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文檔簡介

1、第二章 數(shù)列極限二 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.2(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂 那么它的極限唯一 使當(dāng)nN時(shí), 同時(shí)有 因此同時(shí)有 這是不可能的. 所以只能有a=b. 證明 一個(gè)收斂數(shù)列一般含有無窮多個(gè)數(shù),而它的極限只是一個(gè)數(shù).我們單憑這一個(gè)數(shù)就能精確地估計(jì)出該數(shù)列的幾乎全體項(xiàng)的大小.以下收斂數(shù)列的一些性質(zhì),大都基于這一事實(shí).注: 如果M0, 使對nN 有|an|M, 則稱數(shù)列an是有界的; 如果這樣的正數(shù)M不存在, 就說數(shù)列an是無界的 收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.2(極限的唯一性) 如果數(shù)列an收斂 那么它的極限唯一 定理2.3(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列an收斂 那么數(shù)列an一

2、定有界 收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.|,|1,max1axxMN+=記 1 如果數(shù)列an收斂, 那么數(shù)列an一定有界 發(fā)散的數(shù)列是否一定無界? 有界的數(shù)列是否收斂? 2 數(shù)列1, 1, 1, 1, , (1)N1, 的有界性與收斂如何?討論 收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.2(極限的唯一性) 如果數(shù)列an收斂 那么它的極限唯一 定理2.3(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列an收斂 那么數(shù)列an一定有界 收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.2(極限的唯一性) 如果數(shù)列an收斂 那么它的極限唯一 定理2.3(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列an收斂 那么數(shù)列an一定有界 定理2.4(收斂數(shù)列的保號性)

3、如果數(shù)列an收斂于a, 且a0(或a0) 那么存在正整數(shù)N 當(dāng)nN時(shí) 有an0(或an0) 推論 如果數(shù)列an從某項(xiàng)起有an0(或an0) 且數(shù)列an收斂于a 那么a0(或a0) 例1證由定理2.5可得 a0.lim,lim,0axaxxnnnnn=求證且設(shè)例2解由夾逼定理得定理2.7 (數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則)注: 在數(shù)列xn中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序 這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列. 收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系 例如數(shù)列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一個(gè)子數(shù)列為x2n 1 1 1 (1)2n1 在數(shù)列xn中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在 原數(shù)列中的先

4、后次序,得到的數(shù)列稱為子數(shù)列:注1 由定義可見,數(shù)列xn的子列xnk的各項(xiàng)都選自xn,并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序, xnk中的第k項(xiàng)是xn中的第nk項(xiàng),故有nkk.實(shí)際上,nk本身也是正整數(shù)數(shù)列n的子列.注2 數(shù)列xn本身以及xn去掉有限項(xiàng)后得到的子列,稱為xn的平凡子列;不是平凡子列的子列,稱為xn的非平凡子列.例如x2k和x2k-1都是xn的非平凡子列.由上節(jié)例8可知:數(shù)列xn與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散,且收斂時(shí)有相同的極限.定理2.8 數(shù)列xn收斂的充要條件是它的任一非平凡子列都收斂. 這一定理表明的是收斂的數(shù)列與其子數(shù)列之間的關(guān)系。由此可知,若數(shù)列xn 有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不

5、同的極限值,則xn一定是發(fā)散的。定理2.8 數(shù)列xn收斂的充要條件是它的任一非平凡子列都收斂.性質(zhì)對于數(shù)列 xn證此時(shí)有此時(shí)有總之:恒有)(),()(|=naxqpaNBABqxApxxnqpn則趨于同一極限值其中與:若子數(shù)列對數(shù)列U 1 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 2 數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何? 3 發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎? 4 如何判斷數(shù)列1 1 1 1 (1)N1 發(fā)散?定理 (收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列xn收斂于a那么它的任一子數(shù)列也收斂 且極限也是a 討論由此定理可見,若數(shù)列 這些子列必收斂于同一個(gè)極限。 的任何非平凡子列都收斂,則所有于是,若數(shù)列或有兩個(gè)子列收斂而極限不相等,則數(shù)列一定發(fā)散。 有一個(gè)子列發(fā)散,這是判斷數(shù)列發(fā)散的一個(gè)很方便的方法。 小結(jié) (1), 唯一性; (2), 有界性; (

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