可分離變量的微分方程課件_第1頁
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1、第二節(jié) 可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程二、典型例題一、可分離變量的微分方程形如 的方程，稱為可分離變量的微分方程.分離變量，得：設(shè) y= (x) 是方程的解, 則有恒等式： 兩邊積分, 得 即： 設(shè)函數(shù) G(y) 和 F(x) 是 g(y) 和 f(x) 的一個原函數(shù) ,則有當(dāng) G(y) 與F(x)可微且 G(y) =g(y)0時, 說明由確定的隱函數(shù) y=(x) 是的解. 稱為方程的隱式通解, 或通積分.同樣,當(dāng)F(x) = f (x) 0時,上述過程可逆,由確定的隱函數(shù) x=(y) 也是的解. 一、可分離變量的微分方程形如 的方程，稱為可分離變量的微分方程.求解步驟： (變量

2、分離法)1、分離變量,得2、兩邊積分,得3、求出通解隱函數(shù)確定的微分方程的解微分方程的隱式通解例1 求解微分方程解分離變量 , 得兩端積分 , 得二、典型例題解得例2 求解微分方程解分離變量,得兩端積分,得解得解分離變量,得兩端積分,得解得解根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量, 即利用初始條件, 得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:解 根據(jù)牛頓第二定律 , 得初始條件為對方程分離變量 ,然后積分 :得利用初始條件,得代入上式后化簡, 得特解例 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 )速度為0,求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. t 足夠大時解分離

3、變量,解得然后積分 :可分離變量的微分方程初值問題:的解也可直接用變上限積分來確定：分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分隱式通解.三、小結(jié)若是求特解，還需根據(jù)初值條件定常數(shù) .(1) 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程,2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程,3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程.(2) 利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定初值條件.(3) 求通解, 并根據(jù)初值條件確定特解. 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟思考與練習(xí)求方程的通解 :提示:方程變形為練 習(xí) 題練習(xí)題答案例 9 有高為 1 m 的半球形容器 , 水從它的底部小孔流出 , 小孔橫截面積為 1 cm2 (如圖). 開始時容器內(nèi)盛滿了水 , 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度 h (水面與孔口中心間的距離) 隨時間t 的變化規(guī)律 .解由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在微小的時間

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