《三維設計》2016級數(shù)學一輪復習基礎講解直線與圓、圓與圓的位置關系

1、直線與圓、圓與圓的位置關系基礎知識要打車IICHUZHISHIYAODALAO強雙基固本源得基礎分掌握程度知識能否憶起一、直線與圓的位置關系（圓心到直線的距離為d圓的半徑為r）相離相切相交圖形(ZK量化方程觀點J0幾何觀點drd=rdr二、圓與圓的位置關系（OO、。?半徑仃、r2,d=IOO2l）相離外切相交內切內含圖形護量化0乂lr十一rdd=IrTd1，解得-V3vkvV3.1+k2答案：(一冷3,3)5.已知兩圓C1：x2+y2-2x+10y-24=0,C2：x2+y2+2x+2y8=0,則兩圓公共弦所在的直線方程是.解析：兩圓相減即得x-2y+4=0.答案：x-2y4=01.求圓的弦長

2、問題，注意應用圓的幾何性質解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質，可用勾股定理或斜率之積為1列方程來簡化運算2對于圓的切線問題，要注意切線斜率不存在的情況直線與圓的位置關系的判斷例1(2012陜西高考)已知圓C：x2+y24x=0,l是過點P(3,0)的直線，貝9()A.l與C相交B.l與C相切C.l與C相離D.以上三個選項均有可能自主解答將點P(3,0)的坐標代入圓的方程，得32+02-4X3=9-12=-3題多變本例中若直線l為“xy+4=0”問題不變.解：圓的方程為(x-2)2+y2=4.圓心(2,0),r=2.又圓心到直線的距離為d=62二3：22.l與C相離2由題悟法判斷直線與圓的

3、位置關系常見的方法幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系.代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程消元后利用A判斷.點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內可判斷直線與圓相交3以題試法1.(2012哈師大附中月考)已知直線l過點(一2,0),當直線l與圓x2+y2=2x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是()B.(2,.2)D.(-8,i)A.(一2辺，2問c.(-，刊解析：選C易知圓心坐標是(1,0),圓的半徑是1,直線l的方程是y=k(x+2)，即kxy+2k=0,根據(jù)點到直線的距離公式得穿H1，即層，解得一汽k罟直線與圓的位置關系的綜合1典題導入例2(1)(2012廣東高考)在平面直角

4、坐標系xOy中，直線3x+4y5=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點，則弦AB的長等于()A.33B.2百C.V3D.1(2)(2012天津高考)設m,nWR，若直線(m+1)x+(n+1)y2=0與圓(x1)2+(y1)2=1相切，則mn的取值范圍是()a.1V3,1+V3B.(OO,1V3ui+V3,+O)22邁，2+2百(o,22辺U2+.2,+o)自主解答圓x2+y2=4的圓心(0,0)，半徑為2，則圓心到直線3x+4y-5=0的距32+42故IABI=2r-d2二2寸4-1二|m+n|(2)圓心(1,1)到直線(m+1)x+(n+1)y-2=0的距離為=1所以m+n(m+1)2+(

5、n+1)2m+nW2-2邁.+1=mnW4(m+n)2,整理得(m+n)-22-8三0，解得m+n三2+2寸2或答案(1)B(2)D2由題悟法圓的弦長的常用求法：(1)幾何法：設圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為1,則()2=廠2d2.(2)代數(shù)方法：運用韋達定理及弦長公式：IABI=冷1+k2IXx?l=冷(1+k2)(X+x2)24XX2.注意常用幾何法研究圓的弦的有關問題求過一點的圓的切線方程時,首先要判斷此點與圓的位置關系,若點在圓內,無解若點在圓上,有一解；若點在圓外,有兩解.3以題試法2.(2012杭州模擬)直線y=kx+3與圓(x2)2+(y3)2=4相交于M,N兩點，若MN22如

6、，則k的取值范圍是(B.A.；-4,0；C.-也，D.|,0解析：選B如圖，設圓心C(2,3倒直線y=kx+3的距離為d,若IMNI三2*3,則d2=r2GmN)2W43=1,即1+01，解得一WkWx-3.圓與圓的位置關系出典題導入例3(1)(2012山東高考)圓(x+2)2+y2=4與圓(x2)2+(y1)2=9的位置關系為()A.內切B.相交C.外切D.相離(2)設兩圓q、C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1),則兩圓心的距離ICC2I=.自主解答(1)兩圓圓心分別為(-2,0),(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d=h2+1二佰3-2d0,i=1,2.由兩圓都過點(4,1)得(4-

7、r.)2+(1-r.)2二r2,整理得r2-10r.+17=0，此方程的兩根即為兩圓的半徑r1,r2,所以廠厶二17,r1+r2=10,則icq八-吵+-吵二邁X血+吵-4r/2=邁X：100-68=8.答案(1)B(2)82由題悟法兩圓位置關系的判斷常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系一般不采用代數(shù)法若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到3以題試法3.(2012青島二中月考)若0O：x2+y2=5與0O1：(xm)2+y2=20(mR)相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長是.解析：依題意得1001=5+20=5，且OO1A是

8、直角三角形,S3。嚴扌號.|00112IOAIIAO|2乂-佔乂2-肪=2IOAIIAO1I，因此iABI=iOO|1=5=4.答案：4Q|解題訓練要高效抓速度抓規(guī)范拒絕眼離手低掌握程度JIETIXUNLIANYAOGAOXIAOIA鶴全員必做題一、選擇題1.(2012人大附中月考)設m0,則直線/2(x+y)+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關系為()A.相切B.相交C.相切或相離D.相交或相切解析：選C圓心到直線l的距離為=中，圓半徑為wm.因為d-(mm+1)=2(l；ml)2三0,所以直線與圓的位置關系是相切或相離.(2012福建高考)直線x+冷3y2=0與圓x2+y2=4相交于A,

9、B兩點，則弦AB的TOC o 1-5 h z長度等于()A.2石B.2逅C.J?D.1解析：選B因為圓心(0,0)到直線x+hy-2=0的距離為1，所以AB二2訂4-1二2“朽.(2012安徽高考)若直線xy+1=0與圓(xa)2+y2=2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是()A.3，1B.1,3C.3,1D.(a,3U1,+r)解析：選C欲使直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點，只需使圓心到直線的la-0+11距離小于等于圓的半徑J2即可，即，令2，化簡得la+1IW2，解得-3WaW1.12+(-1)2過圓x2+y2=1上一點作圓的切線與x軸，y軸的正半軸交于A,B兩點，則IA

10、BI的最TOC o 1-5 h z小值為()A竝B.V5C.2D.3解析：選C設圓上的點為(x0,y0),其中x00,y00,則切線方程為x0 x+y0y=1.分別令,円得扯,。）,B（o，yo），則咖祀叩2咗它二宀且僅當2x0=y0時，等號成立.（2013蘭州模擬）若圓x2+y2=r2（r0）上僅有4個點到直線x-y-2=0的距離為1,則實數(shù)r的取值范圍為（）A.（V2+1,+s）B.（邁1,邁+1）C.（0,邁-1）D.（0,.2+1）解析：選A計算得圓心到直線l的距離為含=邁1,如圖.直線I：x-y-2=0與圓相交，12與l平行，且與直線l的距離為1,故可以看出，圓的半徑應該大于圓心到直

11、線12的距離2+1.（2013臨沂模擬）已知點P（x，y）是直線kx+y+4=0（k0）上一動點，PA，PB是圓C：x2+y2-2y=0的兩條切線，A,B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為（）AA2B.乎D.2解析：選D圓心C（0,1）到l的距離d=,k2+1所以四邊形面積的最小值為2X（X1X：d2-1）=2,解得k2=4，即k=2.又k0,即k=2.7.（2012朝陽高三期末）設直線x-my-1=0與圓（x1）2+（y2）2=4相交于A、B兩點,且弦AB的長為2電，則實數(shù)m的值是.解析：由題意得，圓心（1,2）到直線x-my-1=0的距離d=4-3=1，即11-2m-111

12、+m21，解得m=答案：8.（2012東北三校聯(lián)考）若a,b,c是直角三角形ABC三邊的長（c為斜邊），則圓C：x2y2=4被直線l：axbyc=0所截得的弦長為解析：由題意可知圓C：x2+y2=4被直線l：ax+by+c=0所截得的弦長為2，由于a2+b2=c2，所以所求弦長為2冋.答案：2.!39.(2012江西高考)過直線x+y-2=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60,則點P的坐標是.解析：點P在直線x+y-2邁=0上，.可設點P(x0，-x0+2,2),且其中一個切點為M.兩條切線的夾角為60,OPM=30.故在R2OPM中，有OP=2OM=2.由兩點間的距離

13、公式得OP=x2+(-x0+2臣)2=2，解得x0=邁.故點P的坐標是(&，“).答案：(2,”*2)10.(2012福州調研)已知0M：x2+(y2)2=1,Q是x軸上的動點，QA,QB分別切0M于A,B兩點.若lABB42，求IMQI及直線MQ的方程；求證：直線AB恒過定點212又vlMQI=IMAI2IMPI,.IMQI二3.解：(1)設直線MQ交AB于點P,貝UlAPI二寸，又IAMI=1,APvMQ,AMlaQ，得IMPI設Q(x,0)，而點M(0,2)，由吋x2+22=3,得x=/5,則Q點的坐標為(r,此時不滿足直線與圓相交，故舍去，.圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.

14、12.在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q,過點P(0,2),且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A、B.求k的取值范圍；是否存在常數(shù)k,使得向量OA+OB與PQ共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.解：(1)圓的方程可寫成(x-6)2+y2=4，所以圓心為Q(6,0)過P(0,2)且斜率為k的直線方程為y=kx+2，代入圓的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0,整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.直線與圓交于兩個不同的點A、B等價于A=4(k-3)2-4X36(1+k2)=42(-8k2-6k)0,解得-3k0)的準線為1,

15、焦點為F,圓M的圓心在x軸的正半軸上，圓M與y軸相切，過原點O作傾斜角為訓勺直線n交直線1于點A,交圓M于不同的兩點O、B,且IAOI=IBOI=2.(1)求圓M和拋物線C的方程；若P為拋物線C上的動點，求PM,PF，的最小值;(3)過直線l上的動點Q向圓M作切線，切點分別為S、T求證：直線ST恒過一個定點，并求該定點的坐標解：(1)易得B(1，問,A(-1,3)，設圓M的方程為(x-a)2+y2=a2(a0),將點B(1，朽)代入圓M的方程得a=2，所以圓M的方程為(x-2)2+y2=4，因為點A(-1，-估)在準線l上，所以p=1,p=2，所以拋物線C的方程為y2=4x.由得，M(2,0)

16、,F(1,0),設點P(x,y),則PM,=(2-x,-y),PF,=(1-x,-y)，又點P在拋物線y2=4x上，所以PM,PF,=(2-x)(1-x)+y2=x2-3x+2+4x=x2+x+2，因為x0，所以PM,PF*2.即PM,PF，的最小值為2.證明：設點Q(1,m),貝卩IQSI=IQTI=Jm2十5，以Q為圓心，冷m2+5為半徑的圓的方程為(x+1)2+(ym)2=m2+5，即x2+y2+2x2my4=0,又圓M的方程為(x2)2+y2=4,即x2+y24x=0,由兩式相減即得直線ST的方程3xmy2=0，顯然直線ST恒過定點(j,0)TOC o 1-5 h z1兩個圓：C1：x

17、2+y2+2x+2y2=0與C2：x2+y24x2y+1=0的公切線有且僅有()A1條B2條C3條D4條解析：選B由題知Cf(x+1)2+(y+1)2=4,則圓心C1(1,1),C2：(x2)2+(y1)2=4,圓心C2(2,1),兩圓半徑均為2,又ICC2I=“J(2十1)2十(1十1)2=V73V4,則兩圓相交只有兩條外公切線2.(2012.江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y28x+15=0,若直線y=kx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是.I4k-2I解析：設圓心C(4,0)到直線y=kx-2的距離為d,則d=，由題意知，問題轉化k2+1 HYPERLINK l bookmark89 I4k-2I4為衣2,即得十，所以kmax答案：33.過點(一1,2)的直線l被圓x2+y22x2y+1=0截得的弦長為；2,則直線l的斜率為解析：將圓的方程化成標準方程為(x-1)2+(y-1)2=1，其圓心為(1,1)，半徑r=1.由弦長為V2得弦心距為設直線方程為y+2=k(x+1)，即kx-y+k-2=0,則12垂,Vk2+1217化簡得7k2-24k+17=0，得k=1或k=石.答案：1或丁4圓O的方程為x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心為O2(2,1).若圓o2與圓01外切，求圓O2的方程；(2)若圓O2與