柔性懸臂梁的主動(dòng)控制

1、柔性懸臂梁的主動(dòng)控制呂毅寧在各類太空結(jié)構(gòu)和超高層結(jié)構(gòu)中，大柔性結(jié)構(gòu)(如柔性梁、柔性板等)的應(yīng) 用日益廣泛。由于大型柔性復(fù)雜結(jié)構(gòu)極易受到外部以及結(jié)構(gòu)自身的影響而發(fā)生振 動(dòng)。劇烈的振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的正常工作，導(dǎo)致系統(tǒng)的性能下降甚至失效，直 接威脅整個(gè)結(jié)構(gòu)的安全。長(zhǎng)期的振動(dòng)還可能造成結(jié)構(gòu)的疲勞破壞。因此，對(duì)大柔 性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制有非常重要的工程意義。采用傳統(tǒng)的以減振墊、約束阻尼結(jié)構(gòu)等為代表的被動(dòng)控制方法對(duì)這類結(jié)構(gòu)進(jìn) 行振動(dòng)控制往往不能達(dá)到很好的效果。近年來(lái)，以壓電晶體作為作動(dòng)元件的主動(dòng) 控制方法在對(duì)大柔性結(jié)構(gòu)的主動(dòng)控制中得到了廣泛的應(yīng)用。柔性懸臂梁作為典型的大柔性結(jié)構(gòu)，以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和便于實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在

2、這類結(jié)構(gòu)的 控制方法研究中得到廣泛應(yīng)用。本文在柔性懸臂梁中集成作為壓電傳感器與執(zhí)行器的壓電陶瓷對(duì)懸臂梁的 自由振動(dòng)進(jìn)行了主動(dòng)控制數(shù)值模擬。懸臂梁的彎曲振動(dòng)方程梁彎曲振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程d4y(x,t) d2y(x,t) EI=-m- ,(0 xL)dt式中，m是單位長(zhǎng)度梁的質(zhì)量。邊界條件)，(0j) = 0 ( = 1,2,345,6)是 六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量，S, , ( / = 1,2,3,4,5,6 )是六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量，P心 (, = 1,2,3)是在x,”方向上產(chǎn)生的極化強(qiáng)度。在各向異性電介質(zhì)中電位移D和外加電場(chǎng)強(qiáng)度E以及極化強(qiáng)度P之間滿足下面 的關(guān)系， TOC o 1-5 h z P =

3、 % 座(12)D二用(13)D = %E + P(14)式中，是介電常數(shù)，孔是電場(chǎng)強(qiáng)度E為0時(shí)的介電常數(shù)。對(duì)于柔性梁振動(dòng)，主要考慮沿梁長(zhǎng)度方向的應(yīng)變，且考慮外加電場(chǎng)強(qiáng)度為0.此 時(shí)，可以將上面的公式簡(jiǎn)化為，Q =右兀=%/(15)式中，跖是電場(chǎng)強(qiáng)度E為0時(shí)壓電片的彈性常數(shù)。傳感壓電片輸出的電壓信號(hào)為v(r)= Y5叫七(卻)k(16)式中，是X位置處的壓電片的應(yīng)變，可以近似為該貼片處的梁的應(yīng)變。壓電控制原理對(duì)懸臂梁進(jìn)行一維簡(jiǎn)化后的逆壓電方程= Epcd.y(/dp(17)式中，E好為彈性模量，dp為壓電片的厚度，嶺(/)為所施加的控制電壓。數(shù)值模擬1)問(wèn)題彈性懸臂梁受到初始橫向力作用，在，=

4、0時(shí)刻撤除該力，則梁發(fā)生彎曲自由振 動(dòng)。對(duì)該振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)壓電控制。2)求初始條件在橫向力。作用下梁的變形由平衡方程和邊界條件可得，初始模態(tài)狀態(tài)Eh* = Q%L=o，y：L=o，y：、=o光(工)=百0X3,工=0乂。=。扁。匕女，(尸= 1,2,., 8)0 =。(18)(19)(20)(21)求解模態(tài)方程 TOC o 1-5 h z qr(t)+co；qr(t) = Qrt)，(尸=1,2,.,s)(22)式中，00)是主動(dòng)控制力。主動(dòng)控制力由壓電晶體根據(jù)給定的控制電壓得到。這里根據(jù)壓電傳感器輸出的電 位變化來(lái)得到控制電壓，其具體描述如下。,。)=0(夕)匕3)火(23)式中，qt)是分布

5、橫向載荷，坐標(biāo)變換關(guān)系= x- xQ(24)(25)(26)(27)由壓電晶體作動(dòng)器對(duì)梁的彎矩得到的等效分布橫向載荷為1P式中，M是壓電晶體作動(dòng)器對(duì)梁的彎矩，且MLjbpdph = EpMMQ）bph式中，如是壓電晶體的寬度，人是梁的厚度。由此可得壓電晶體作動(dòng)器對(duì)梁的控制力，ci f24SE cLye （t）b h0u）=L 一外（有+）火式中，嶺（。是給定的控制電壓，實(shí)際應(yīng)用中可以根據(jù)測(cè)量得到的壓電傳感 器電壓進(jìn)行反饋得到。在數(shù)值模擬中，根據(jù)數(shù)值計(jì)算得到的該處的虛擬壓電 傳感器電壓進(jìn)行反饋控制來(lái)確定V.（0o在本文中，給定，嶺（。=*,（。（28）式中，。是一個(gè)給定常數(shù)。4）主動(dòng)控制梁的響應(yīng)

6、），（?。?機(jī)業(yè)）匕（力（29）r=l5）數(shù)值模擬結(jié)果懸臂梁、壓電陶瓷以及與模態(tài)相關(guān)的參數(shù)的選取如表1, 2, 3。表1.懸臂梁的參數(shù)EIPALhQl.e57.8e330*2e-60.62e-350表2.壓電陶瓷的參數(shù)選取Ep,.-255.25e-126.39el0240015.66e-120.3e-310e-3表3.模態(tài)相關(guān)參數(shù)假設(shè)選取模態(tài)數(shù)n4qiq2(rox)A圖1.未加主動(dòng)控制的梁的自由振動(dòng)8n0246圖1.主動(dòng)控制后梁的振動(dòng)結(jié)論1）本文在柔性懸臂梁中集成作為壓電傳感器與執(zhí)行器的壓電陶瓷對(duì)懸臂梁 的自由振動(dòng)進(jìn)行了主動(dòng)控制數(shù)值模擬；2）數(shù)值模擬結(jié)果表明主動(dòng)控制對(duì)柔性懸臂梁的自由振動(dòng)有很明

7、顯的衰減作 用；3）根何文中所述的主動(dòng)控制原理，其對(duì)柔性梁結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)的主動(dòng)控制 同樣有效。附錄：MATLAB計(jì)算程序function beamactivecontrolclear all; clc;format long;%format short;n=4;L=600e-3; %x0=0 1;EI=0.1;row=7.8e3;A=30e-3*2e-3;m=row*A;Q=2;%zeta_i=1:n;%zeta_w=(2*zeta_i-l) ./ (2*L) .*pi) .A2.*sqrt(El/m) zeta=get_eigval(n)timespan=0:0.01:12;tmp=size

8、(timespan);qrdqr=zeros(tmp(2) / n*2);for ii=l:nzetai=zeta (ii);w(i i)=zetai.*zetai.*sqrt(EI/m/LA4);% qrO(ii)=1.0/iiA2;qrO(ii)=get_qr0(YZ y0z Q,EIZ Lrmz zetai);endwqrOalpha(1:n)=1;for ii=l:n% iizetai=zeta(ii);wi=zetai.*zetai.*sqrt(EI/m/LA4);time,qrdqr(:/2*ii-l:2*ii)=ode45(get_q,timespan,qrO(ii);0t fw

9、iz Lz zetai,zeta,wz qrOz alpha(ii);%qrrrz dqrr=ode45(get_q,timespan, qrO; 0, f wz Lz zetai);% cx=size(qrrr)% cy=size(dqrr)% cxx=size(qrr)% cyy=size(dqr)end qrdqr%f id=fopen (1 NoControl. dat1 / 1 v;1 );fid=fopen(1ActiveControl.dat,1w1);fprintf (fid, 1 time qlq2 q3q4 n1 );for ii=l:size(time)fprintf(f

10、id,1 %10.7f %15.7f %15.7f %15.7f %15.7fn1, time(ii)/qrdqr(iiz1:2:2*n);end%fprintf (fid, 1 time dqldq2 dq3dq4dq6 dq7dq8 n1 );%for ii=l:size(time)% fprintf(fid, 1 %10.7f %15.7f %15.7f %15.7f %15.7f Xntimedi) , qrdqr (ii, 2 : 2 : 2*n);%endfclose(fid);dqr=zeros(tmp(2),1);x0=100.e-3;for ii=l:n/2dqr(:)=dq

11、r(:)+qrdqr(:,2*ii-l) .*Y(xOzL,zeta (ii);endfid=fopen(1ActiveControlresult.dat,1w1);fprintf (fid, 1 time qlq2 q3q4 q5q6 q7q8 nf);for ii=l:size(time)fprintf(fid,1 %10.7f %15.7fn1,time(ii),dqr(ii);end%fprintf (fid, 1 time dqldq2 dq3dq4 dq5dq6 dq7dq8 n1 );%for ii=l:size(time)% fprintf(fid, 1 %10.7f %15.

12、7f %15.7f %15.7f %15.7fnf,time(ii),qrdqr(ii,2:2:2*n);%endfclose(fid);function zeta=get_eigval (n)for k=l:nzeta(k)=fzero(inline(1 cos(x)*cosh(x)+11),pi*(2*k-l)/2.);end%x=0:0.1:n*pi;%figure(1)%plotcos(x) .*cosh(x)+1.0)%axis(0 n*pi -0.01 0.01);function primey=get_q(tz y,wi,L,zetai,zeta,wr qr0z alpha) p

13、rimey= y (2) ; -wi . *vzi . *y (1) +Qrk (tz Lz zetai, zetaz wz qrO, y (2);%primey=y(2); -wi.*wi.*y(1);%primey=y(2); -wi.*wi.*y(1)+(-alpha).*y(2);function qr0=get_qr0(y0z Q,El,Lz zeta) qr0=quadl(Yy0, 0 .，L, , L,zeta,El,Q)； function y=Qrk(t,L,zetai,zeta, wr qr0z y2)%x0z Epe,alpha,klz d31z sllz hzIpx0=

14、100.e-3;Epe=6.39el0;alpha=0.5; kl=l.0;%kl=2400;d31=-255.25e-12;sll=1.0/(15.66e-12);h=2e-3;lp=10e-3; TOC o 1-5 h z %/*for With Active Control*y=quadl(xY,0,lp/2.0z z z x0z Lz zetai);y=y*48.0*Epe*d31*h/(lpA3)*Vc(tz alpha,x0z klz d31,sllz h,Ip,Lz zeta,qr0z y2)；%*for With Active Control*/%/*for No Active

15、%Control! mmmmm !H! !%y=0.0;%*for No Active Control/function y=Vc(tz alpha,x0z klz d31z sllz h,Ip,Lz zeta,wr qr0z y2)format long;y=alpha*kl*d31*sll*h/2.0;y=y.*(Y(xO+lp/2.0z L,zeta)-2.0.*Y(x0z L,zeta)+Y(xO-lp/2 0,L,zeta) ./(Ip*lp/4.0);%y=sum(-y.*(qrO.*sin(w.*t);%y=-y(1) .*(-qrO(1) .*sin(w(1) .*t);y=y

16、(D .* (-y2)；%if (abs(y)l.e-6)% y=O.0;%end%y=y(1) .*(-qr(1) .*sin(w(1) .*t)+y(2) .* (-rO (2) .*sin(w(2) .*t);- %y=-alha*Vs (t) ; %Vs (t) is to be got from sensor as part of feedback signal;function y=Vc_openloop(tz alpha,x0z klz d31f sllzh,lp,Lz zeta,w,qrO) format long;y=alpha*kl*d31*sll*h/2.0;y=y.*(

17、Y(xO+lp/2.0z Lz zeta)-2.0.*Y(x0z L,zeta)+Y(xO-lp/2 0,L, zeta) ./(Ip *lp/4.0);%y=sum(-y.*(qrO.*sin(w.*t);y=-y(1) .*(-qrO(1) .*sin (w(1) .*t);if (abs(y)1.e-6)%y=0.0;end%y=y(1) .*(-qr(1) .*sin(w(1) .*t)+y(2) .* (-rO (2) .*sin(w(2) .*t);- %y=-alha*Vs (t) ; %Vs (t) is to be got from sensor as part of fee

18、dback signal;function y=Vc_closeloop (t, alpha, x0f kl, d31z sllz hz lpz L, zeta, qrO) format long;y=alpha*kl*d31*sll*h/2.0;y=y.*(Y(xO+lp/2.0z Lz zeta)-2.0.*Y(x0z L,zeta)+Y(xO-lp/2 0,L,zeta) ./(Ip*lp/4.0);%y=sum(-y.*(qrO.*sin(w.*t);keth=alpha/2/vz (1);wp=w(1)*sqrt(l-keth*keth);z=-y(1) .*alpha *(-exp(-keth*w(1)*t) .*qr0(1) .*sin(wp.*t) ; %+y(2).*(qrO(2).*cos(w(2).*t);y=z-y(1) *alpha.*(-keth