根軌跡的概念

1、根軌跡的概念特征方程(見傳遞函數(shù))的根隨某個(gè)參數(shù)由零變到無窮大時(shí)在復(fù)數(shù)平面上 形成的軌跡，稱為根軌跡。我們先看下面的例子。設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng)開環(huán)放大系數(shù)K從零到無窮大變化時(shí)，系統(tǒng)的特征根在s平面上怎樣分布? 解系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)S1 = 032 = 1系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,、Yfe) Got)G (s)二二X fc) 1+ Gofc)_ K_ s2+ s+ K系統(tǒng)的特征方程為S2+ s+ K = 0特征方程的根如=-0.5 +0.571-4X也=0.5- 0.5%/1-47可見特征根在s平面的位置與K有關(guān)。K=0時(shí)，明二。;如二i 1,與開環(huán)極點(diǎn)的位置相同。0K1/4時(shí)，判和宅

2、都成為共軛復(fù)數(shù)。j1；2=- 0,5 土滄5%/4K 1具有相同的負(fù)實(shí)部，且為常數(shù)，而虛部則隨K的增加其絕對(duì)值也增加。圖3.28給出了系統(tǒng)的特征根在K從零變化到無窮大時(shí)，相應(yīng)位置的變化情況。這種放大系數(shù)K從零到無窮大變化時(shí)，特征方程的根在s平面上相應(yīng)變化的軌跡， 稱為根軌跡。根軌跡完整地反映了特征根隨參數(shù)變化的情況。根據(jù)圖3.28的根軌 跡圖，我們可以知道，在Km，m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)，還有（n-m） 條根軌跡則終止于無窮遠(yuǎn)處。這時(shí)因?yàn)?，?dāng)s! 1時(shí)，由于nm,同樣有mn 十瓦）lim =0S T 8 Zi z zn + 4）i = 1根軌跡的漸近線終止于無窮遠(yuǎn)處的（n-m）條根軌跡，在m

3、! 1時(shí)，沿漸近線變化。漸近線確定了終止于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的變化方向。漸近線與實(shí)軸正方向的夾角Y為白_ (2K十 1)130一 n-mK=SL2(3.152)漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為nms （耳） 一（&）_ n m（3.153）式（3.153）可以表述為“=（所有開環(huán)極點(diǎn)之和-所有開環(huán)零點(diǎn)之和）/n-m根軌跡的對(duì)稱性特征方程的根不是實(shí)數(shù)就是共軛復(fù)數(shù)，所以根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。在繪制根軌跡時(shí)，只需繪出上半平面的部分，根據(jù)對(duì)稱性，下半平面的部分很容 易繪制出來。實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)把整個(gè)實(shí)軸劃分為若干線段。這些線段是不是根軌 跡的一部分，可以根據(jù)幅角條件來判斷。只有其右邊開環(huán)零極點(diǎn)總

4、數(shù)為奇數(shù)的線 段，才能滿足根軌跡的幅角條件。所以說，實(shí)軸上的根軌跡是那些右邊開環(huán)零極 點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的線段。根軌跡的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)兩支根軌跡從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)后相遇又分開的點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)。兩支根軌跡 相遇后又分開各自趨向終點(diǎn)的點(diǎn)稱為根軌跡的會(huì)合點(diǎn)。在分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)上，特 征方程必有重根。分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)可用下面的方法求取。系統(tǒng)的特征方程為即mmn 十綏)十K 3+R) = 0i = 1J = 1上式可簡化為&十氐引5)= 0式中A(s)和B(s)是不含可變參數(shù)K的表達(dá)式。解方程dK=0/、急(3.154)即可求出分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。但方程(3.154)的解不一定都是分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。 經(jīng)檢驗(yàn)，這些點(diǎn)若

5、在根軌跡上，則為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。若不在根軌跡上，此時(shí)對(duì) 應(yīng)的K一般為負(fù)值，則不是分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。絕大多數(shù)分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)都分布在 實(shí)軸上。實(shí)軸以外的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)則以共軛復(fù)數(shù)形式成對(duì)出現(xiàn)。根軌跡的出射角與入射角系統(tǒng)存在復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，必須知道根軌跡從開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)出射的方 向或進(jìn)入到開環(huán)零點(diǎn)的方向。出射角(入射角)是根軌跡在開環(huán)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)上切線的方向角，可以根據(jù)根軌跡的幅角條件求出。根據(jù)式（3.150）可得m摭=100 十 I； % (3.155)(3.156)J = 1m TOC o 1-5 h z r.尸n=130-%十目織J 1-1*j上兩式中原為出射角，如為入射角，為和周是所有開

6、環(huán)零極點(diǎn)（不包括所求的零極點(diǎn)）指向所求開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的矢量與實(shí)軸正方向的夾角。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)s平面的虛軸是控制系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界線。根軌跡通過虛軸，系統(tǒng)的穩(wěn)定 性就會(huì)發(fā)生變化。所以，確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)非常重要。根軌跡在虛軸上，則s=j ,將其代入特征方程再令特征方程的實(shí)部和虛部都為零，可以得到兩個(gè)方程：實(shí)部方程和虛部方程。求解這兩個(gè)方程，可得到根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的K值。利用上述8條繪制根軌跡的規(guī)則，可以較方便地做出系統(tǒng)的根軌跡圖。下面，通 過一些實(shí)例，進(jìn)一步了解根軌跡的作圖規(guī)則。例17控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為魚瓦0 =十 2）（ +4）試?yán)L制K從零到無窮大變化時(shí)系

7、統(tǒng)的根軌跡。解 （1）系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，根軌跡共有3條分支。（2）根軌跡的起點(diǎn)為0，-2, -4，圖3.29中用x表示開環(huán)極點(diǎn)。根軌跡無開環(huán)零點(diǎn)，三支根軌跡均終止于無窮遠(yuǎn)處。（3）終止于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的三條漸近線與實(shí)軸正方向的夾角和與實(shí)軸 的交點(diǎn)為=60?1300 + （- 2） + （- 4） - 0 n（4）根軌跡在實(shí)軸上的部分是。22，一8兩個(gè)線段。（5）分離點(diǎn)。特征方程十2）0十4）十氏=。K=-3（32）（3 +4）K=-3（32）（3 十 4）= 3s2 12s 0 = 0 ds求得：跖=3。83 2 = 2 - /3 = 3.15JK2 =- 3.00電不在根軌跡上，不是分離點(diǎn)。

8、分離點(diǎn)為s=-0.85。（6）系統(tǒng)無復(fù)數(shù)零極點(diǎn)，因而無出射角、入射角問題。（7）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)理十2蟲+4）十風(fēng)，次=0得（K 6山勺知（山8） = 0實(shí)部方程K-6w=0虛部方程1）（1）2 8） = 0解得= 2.33K = 48圖3.29是該系統(tǒng)的根軌跡圖。圖3.29例17的根軌跡例18控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：=5十 3）（5，十 十 *）試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解 （1）系統(tǒng)為四階系統(tǒng)，根軌跡共有4條分支。（2）根軌跡的起點(diǎn)：0，-3, -1土 j1。根軌跡終點(diǎn)：-2,有3條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。（3）漸近線與實(shí)軸的交角和交點(diǎn)E=6 此 1800 十（一3）十（一1 十時(shí)）十（一1

9、1） （ 2）（4）根軌跡在實(shí)軸上的部分是0到-2, -3到負(fù)無窮大。（5）分離點(diǎn)：無根軌跡分離與會(huì)合。（6）出射角：開環(huán)極點(diǎn)-1土j為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。開環(huán)零點(diǎn)分布入圖3.30所將圖3.30各角的值代入式（3.155），= 130+ 45- (26.6+ 90 + 135) =- 26.6根據(jù)根軌跡的對(duì)稱性，復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)-1-j的出射角為2&礦。（7）與虛軸交點(diǎn)，將S二加代入特征方程。特征方程為1十= 03十 3）（3，十 2s 十 2）丁十5凌十爵十位十Kb十2K = 0代入S二如并整理后得實(shí)部方程4.-山一 +27 = 0虛部方程-5c/十（K十時(shí)山=0解此方程組，得Lb1 = 1.61K

10、= 7圖3.31是系統(tǒng)的根軌跡圖。圖3.32控制系統(tǒng)的根軌跡圖3.33附加零點(diǎn)的作用根軌跡法分析系統(tǒng)性能根軌跡法是一種圖解方法。運(yùn)用根軌跡法能夠分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性、穩(wěn) 定特性。根軌跡法在對(duì)高階系統(tǒng)的分析中，可以根據(jù)閉環(huán)零極點(diǎn)的位置，較方便 地確定參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的影響，利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行近 似分析計(jì)算。因此是一種很實(shí)用的工程方法。下面，我們通過一些實(shí)例說明根軌 跡法在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。例設(shè)某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為3十 10)分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性并利用根軌跡法校正系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解按照根軌跡的繪制規(guī)則，系統(tǒng)的根軌跡圖如圖3.32所示。由圖可見，系統(tǒng)的 兩支根軌跡位于s平

11、面右半邊，無論K怎樣變化，系統(tǒng)始終是不穩(wěn)定的。若在系統(tǒng)中附加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，該開環(huán)零點(diǎn)是位于0到-10之間的一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，則 系統(tǒng)的根軌跡就變成圖3.33所示的形狀。顯然，無論K怎樣變化，系統(tǒng)始終是穩(wěn) 定的。圖3.32和圖3.33說明，在適當(dāng)位置上引入附加零點(diǎn)，可以使控制系統(tǒng)的性能得到 有效改善。圖3.33還表明，在s平面原點(diǎn)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)是氏型系統(tǒng)，對(duì) 單位階躍和單位斜坡輸入函數(shù)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，是衰 減振蕩過程。例20單位反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為玳。庇十1) 色乙(國_i)求使系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍。解：本例給出的傳遞函數(shù)是典型環(huán)節(jié)形式，將其改寫為零極點(diǎn)形式：0.5X(+ 2) _ Kf(s + 2)頃時(shí)=。海3 少=理4)式中K稱為開環(huán)放大系統(tǒng)，K稱為根軌跡放大系數(shù)Kf=2K二者相差一個(gè)比例常數(shù)，比例常數(shù)是由時(shí)間常數(shù)和零極點(diǎn)的數(shù)值決定的?？梢宰C明，二階開環(huán)系統(tǒng)在其開環(huán)極點(diǎn)左邊有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)時(shí)，其根軌跡有一部