交通信號(hào)的同步的整數(shù)線性規(guī)劃翻譯

1、交通信號(hào)的同步的整數(shù)線性規(guī)劃論文的作者(們): John D. C. Little資料來(lái)源:運(yùn)籌學(xué)卷,第3期,第4號(hào),第14 - 8(1966年),頁(yè)。568-594由 發(fā)布Http:/stable/168720穩(wěn)定的URL:07/11/2009 21:33訪問(wèn):您使用JSTOR JSTOR檔案顯示出你的驗(yàn)收的使用條款及細(xì)則的限制,可在Http:/page/info/about/policies/terms.jsp。JSTOR的使用條款及細(xì)則的限制規(guī)定,在部分,除非你獲得未經(jīng)許可,不可以下載整個(gè)一期的雜志上的文章或多個(gè)副本，你可以使用內(nèi)容僅供你個(gè)人檔案JSTOR,非商業(yè)性的使用。請(qǐng)與我們聯(lián)系我

2、們將進(jìn)一步使用關(guān)于任何的出版商的這項(xiàng)工作。出版商聯(lián)系信息可以被獲得Httpshowpublisher?Publishercode=informs。每份副本的任何部位的JSTOR傳輸必須包含相同的版權(quán)聲明,出現(xiàn)在屏幕上或打印出來(lái)頁(yè)面的傳輸。JSTOR是一個(gè)非營(yíng)利性的服務(wù)，幫助學(xué)者、研究人員和學(xué)生發(fā)現(xiàn),使用,和建立一個(gè)廣泛的內(nèi)容在一個(gè)信任的數(shù)字檔案。我們使用信息技術(shù)和工具,以提高生產(chǎn)率和促進(jìn)新形式的獎(jiǎng)學(xué)金。更多詳情,請(qǐng)聯(lián)系support JSTOR。合作與JSTOR通知在數(shù)字化、保存和延長(zhǎng)訪問(wèn)運(yùn)籌學(xué)。交通信號(hào)的同步的整數(shù)線性規(guī)劃*John D. C. LittleMiassachusettisns

3、titute of technologyc,ambridge,Massachusetts交通信號(hào)可以被synichroniized使一輛汽車(chē),在一條主干道的開(kāi)端動(dòng)并按照預(yù)定的速度行駛,到達(dá)另一端而不遇任何一個(gè)紅燈。信號(hào)周期的一部分,這是可能是為所謂的帶寬的那個(gè)方向。利用混合整數(shù)線性程序是為了證明接下來(lái)的干道問(wèn)題:給(1)任意數(shù)量的信號(hào),(2)在每個(gè)信號(hào)的紅綠燈,(3)上部和下部限制信號(hào)周期,(4)上位機(jī)、下位機(jī)之間的限制acenit signials速度;(5)限制在速度、找到改變普通信號(hào)周期(1)、(2)速度信號(hào),并betweeni(3)相對(duì)分階段的信號(hào),以最大限度地總和的帶寬為兩個(gè)方向。幾

4、個(gè)變異的問(wèn)題,包括制定synchronizinig的問(wèn)題的一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)。Branch-and-bound發(fā)展出對(duì)于解決算法求解整數(shù)線性pro-grams ordiniary序列的線性程序。一個(gè)10-signal動(dòng)脈的例子和7-signal擬定網(wǎng)絡(luò)例子。交通信號(hào)可以達(dá)到同步，如果司機(jī)能夠保持這一部分設(shè)置的速度，這樣一輛車(chē)就可以暢通無(wú)阻地從一個(gè)街道的盡頭駛到另一條街。信號(hào)周期的一部分，可能就是被稱(chēng)為帶寬為那個(gè)方向。對(duì)于較大型的帶寬的同時(shí)性一般稱(chēng)為連續(xù)數(shù)列（progression）。交通工程師們長(zhǎng)久以來(lái)建立起的（progressions）數(shù)列,盡管在交通量較大時(shí)似乎作用很小，但在交通量較小時(shí)它們似

5、乎是相當(dāng)有效的。HELLY和bakerli的工作傾向于支持這個(gè)情形。（progression）的價(jià)值也可以通過(guò)給予司機(jī)速度指令而提高,而這VONSTEIN已經(jīng)做好了。在前面的論文中，J. MVIORG和作者開(kāi)發(fā)了一mviorgaannd算法求解接下來(lái)的對(duì)于主干道交通信號(hào)同步問(wèn)題的運(yùn)算兩個(gè)問(wèn)題，帶寬在任何一個(gè)方向上都是不可分裂的。1。給定任意數(shù)量的信號(hào),一種常見(jiàn)的信號(hào)周期的、綠色的給不同信號(hào)和紅色次旅行時(shí)間,和特定的相鄰信號(hào),* 工作報(bào)告被支持的部分原因是由于美軍軍隊(duì)研究辦事處(達(dá)拉謨)在DA-31-214-ARO-D-209合同下,是MAC工程的一部分,麻省理工學(xué)院搜索程序由高等研究計(jì)畫(huà)署,部

6、門(mén)在辦公室的防線,海軍研究實(shí)驗(yàn)室合同號(hào)。Nonr-4102(01)。同步交通信號(hào)生產(chǎn)同步信號(hào)帶寬,每個(gè)方向都是平等的,盡可能大。2、通過(guò)增加某些特定的一個(gè)帶寬調(diào)整信號(hào)同步，可行性的價(jià)值和保持其他帶寬一樣大是可能的。隨后，R-奧利弗指出，作者認(rèn)為兩個(gè)信號(hào)問(wèn)題1的版本可以設(shè)置為線性規(guī)劃問(wèn)題。我們?cè)谶@里展開(kāi)這成為一個(gè)相當(dāng)普遍的最大帶寬制定理念問(wèn)題。在一般情況下，我們?nèi)匀挥幸粋€(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，但unfortu-nately它是混合整數(shù)類(lèi)型。對(duì)于問(wèn)題1和2中的新沒(méi)有優(yōu)勢(shì)和制定提供了許多缺點(diǎn)。然而，線性規(guī)劃的格式打開(kāi)了解決更多的可能性涉及引進(jìn)新的決策變量的一般問(wèn)題和新的限制。舉例來(lái)說(shuō)，最大帶寬為通常執(zhí)行計(jì)算

7、有一個(gè)令人不安的特點(diǎn)。在漫長(zhǎng)的街道上的關(guān)鍵信號(hào)收縮帶寬可能會(huì)變得很遠(yuǎn)。然后一個(gè)小的沿街的設(shè)計(jì)速度的變化，在重新解決這個(gè)問(wèn)題，導(dǎo)致不同的同步和不同帶寬。然而，司機(jī)并不準(zhǔn)確的擁有自己的速度常數(shù)，事實(shí)上，眾所周知，往往會(huì)調(diào)整自己的速度信號(hào)。因此，這就形成了一個(gè)很好的協(xié)議感，讓設(shè)計(jì)速度信號(hào)之間是一個(gè)變量，至少在一定限度內(nèi)。這很容易做到在線性規(guī)劃。另一個(gè)可以明確地引入變量是信號(hào)周期。問(wèn)題1，周期是一個(gè)常數(shù)，雖然它并不太難 用我們以前使用的方法來(lái)檢查組織方式中的相當(dāng)多的值。對(duì)連續(xù)變化的線性規(guī)劃的制定，似乎更可取。也許最有趣的發(fā)展是同步的的街道網(wǎng)絡(luò)信號(hào)問(wèn)題可以作為一個(gè)混合配制而成整數(shù)線性規(guī)劃。一個(gè)街道網(wǎng)絡(luò)的

8、工程由組成對(duì)于一個(gè)網(wǎng)絡(luò)方案包括加上額外的限制的干道方案，只要這些干道連接起來(lái)，就能形成循環(huán)或周期。主干道問(wèn)題定義：考慮一個(gè)雙行道有n交通信號(hào)。街道上的方向可以被定義為進(jìn)境和出境。這些信號(hào)被表示為帶有下標(biāo)的S1S2Sn,增加出境的方向。圖1顯示了在街上運(yùn)行的時(shí)空?qǐng)D。加重的水平線表示當(dāng)該信號(hào)為紅色。鋸齒線代表的汽車(chē)通過(guò)沿軌道方向舒街道暢通無(wú)阻。坡度變化對(duì)應(yīng)于速度的變化。這個(gè)可能的暢通軌跡，設(shè)置在一個(gè)給定的方向，形成一個(gè)綠色帶的水平寬度是該方向的帶寬。雖然但一旦制定，綠色帶在每個(gè)周期的出現(xiàn)一次，在貫穿整個(gè)圖的平行帶里。通常在每個(gè)周期的帶寬是單一的，也就是說(shuō)，是不是在一個(gè)周期內(nèi)分成兩個(gè)或多個(gè)間隔的分裂

9、。一個(gè)分裂的帶寬可以，但是，發(fā)生了特殊的例子，其中已建成的最大總帶寬是由兩片在一個(gè)或兩個(gè)方向。這種可能性在目前的措施下將被忽略。該數(shù)學(xué)規(guī)劃將最大限度地將建造兩個(gè)帶寬，每個(gè)方向邁出的可能性，而不考慮其他部分可能存在一個(gè)加權(quán)總和。某些信號(hào)最終形成了帶寬的限制，并將于所謂的關(guān)鍵信號(hào)。信號(hào)Sj被認(rèn)為是一個(gè)重要的信號(hào)，如果一邊的信號(hào)Sj是紅色觸及的一個(gè)方向的綠色帶，另一邊的紅色涉及綠色帶的其他方向。因此，在圖1信號(hào)S1和Si是至關(guān)重要的，而其它則不這樣。圖1基本法的制定最大帶寬（571）首先，我們?cè)O(shè)置問(wèn)題1作為一個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃。這是除了簡(jiǎn)單的整數(shù)限制。該整數(shù)約束出現(xiàn)，因?yàn)檫@兩個(gè)方向的綠色條紋必須承受

10、特殊的關(guān)系，每人每一個(gè)信號(hào)等。每一個(gè)綠色的帶明顯通過(guò)在任何特定時(shí)間的推移和綠色信號(hào)，因?yàn)榫G色時(shí)報(bào)（或者，等價(jià)地，紅燈時(shí)間）發(fā)生的周期，除了整數(shù)，創(chuàng)建一個(gè)整數(shù)約束每個(gè)信號(hào)（除了最后一個(gè)）。我們將開(kāi)發(fā)一些一般性的約束，然后專(zhuān)門(mén)眼前的干道情況。圖讓Sh和Si是任何兩個(gè)信號(hào)，使得Si遵循Sh的外約束的方向。參考圖2讓 =所研究路段的紅燈時(shí)間（次）=出境（入境）帶寬（次）=由Sh到Si沿出境方向的運(yùn)行時(shí)間（由Si到Sh沿入境方向的運(yùn)行時(shí)間）（次）=由在Sh處的紅燈中心到在Si處的一個(gè)特定的紅燈中心的時(shí)間。兩個(gè)紅燈被選擇從而使得它們每一個(gè)都立即向相同的出境（入境）的綠色帶。是正面的如果Si的紅色中心位于S

11、h的中心的右側(cè)（左側(cè)）。wi(zCv)=從Si的紅燈的右側(cè)（左側(cè)）到綠波帶的時(shí)間（次） （1）需要指出的是，有大量的時(shí)間量的尺寸可以總是用一個(gè)周期可以劃分為若干時(shí)間段來(lái)表達(dá)。由圖2來(lái)讀取身份：. （2）和的值具有非常重要的約束，它們的和必須是一個(gè)整數(shù)，但在其他方面不受限制。因此，上述兩個(gè)約束可以被替換為：目前，我們已經(jīng)按照需要在出境方向讓Si跟隨者Sh，但是這種限制可以通過(guò)正確的定義來(lái)消除。出于這種物理原因，我們希望保持中關(guān)系。何處，設(shè)置h=j，我們得到：同樣的道理也適應(yīng)于因此我們采取的公約，為沿出境方向從Sl到Sk的出行時(shí)間大小的負(fù)值?，F(xiàn)在（2）及（3）有任意的Si和Sh以及：持有相應(yīng)的表達(dá)

12、式：從圖2，我們也看到現(xiàn)在還沒(méi)有任何使用的特殊編碼沿出境的方向。在以后的網(wǎng)絡(luò)工作中它還是一般需要的，但我們?cè)龠@可以簡(jiǎn)單定義符號(hào)：?jiǎn)栴}1：現(xiàn)在是代表了一個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃。約束條件（6）需要每個(gè)信號(hào)，約束（3）需要每個(gè)相鄰（信號(hào)）對(duì)。盡管有許多其他類(lèi)型的（信號(hào)）對(duì)，但只需考慮相鄰對(duì)，因?yàn)榧s束3對(duì)于任何其他對(duì)都可以從約束3相鄰對(duì)中獲得線性組合。LP1已知 ，得到max b,，使其服從：Integer(整數(shù))LP1有3n-1個(gè)約束，3n個(gè)未知數(shù)，不包括松弛或人工變量。增加決策變量接下來(lái)，我們讓時(shí)間和速度是變量。每個(gè)將受到上限和下限的控制。此外，從一路段到下一個(gè)路段的速度的變化，將是有限的。最后，我們

13、取一個(gè)帶寬使其是其他帶寬的固定比例，而不是在每個(gè)方向都尋求相同的帶寬。（然而，這只是一種可能被使用的制約關(guān)系。）使 k =和之間的比例常數(shù)T =信號(hào)周期（s）周期的上、下限 （s）z =信號(hào)頻率（次/秒）=和間的距離（米）=與之間出境方向的速度（和之間進(jìn)境方向的速度）（米/ 秒）=出境（入境）速度的上下限（米/秒）=在出境進(jìn)境方向上下限速度的倒數(shù)的變化，l/hi (1/vi+1) -(l/vi) l/gi (meters/second,)我們是制約變化速度通過(guò)改變上、下的限制之間的速度倒數(shù)（reciprocal speed.）。盡管兩者并不完全一樣，但是在相互制約速度的變化還是一定滿(mǎn)足基本內(nèi)涵

14、的，這是一個(gè)有效地防止速度突然發(fā)生大的變化的手段。速度的倒數(shù)起作用的原因是它線性的出現(xiàn)在約束中，并且可以轉(zhuǎn)化為。因此在擴(kuò)大方案中，和都是決策變量，這些一旦已知，將決定其速度。在對(duì)帶寬、距離、速度、以及速度倒數(shù)的變化等限制通過(guò)一些代數(shù)運(yùn)算后，可以被加到LP1中得到一個(gè)更通用的混合整數(shù)線性規(guī)劃。LP2已知得到使其服從：LP2包括11n-10個(gè)約束和5n個(gè)變量，不包括松弛或人工變量。對(duì)稱(chēng)問(wèn)題某些對(duì)稱(chēng)性，如果它們存在，則可以用來(lái)減少LP2的大小。特別地，如果對(duì)速度的約束在各個(gè)方向上是相同的，而且在每個(gè)方向帶寬都必須相等，那么線性程序的大小是削減約百分之四十。節(jié)省時(shí)間的方法也可以解決極大帶寬的平等，然后

15、調(diào)整其他方案同步。參考文獻(xiàn)3表明，一些特殊的資格條件包括，max(+)是一個(gè)可以被分為之間的方向不變。為設(shè)置一個(gè)具有任意可行性的帶寬值而給出的規(guī)則，另一個(gè)最大價(jià)值對(duì)給定速度和距離的可能。該案件的對(duì)稱(chēng)線性規(guī)劃是基于以下兩個(gè)定理。定理1如果在每個(gè)相同方向上速度的限制和速度的變化是相同的，并且，如果LP2擁有任何最優(yōu)解，隨后LP2有一個(gè)最優(yōu)解，其中證明：在每個(gè)相同方向上擁有相同的速度限制和速度變化，即。設(shè)為所有t中對(duì)LP2的一個(gè)最佳解決方案，定義我們斷言用代替，代替，將會(huì)為L(zhǎng)P2將產(chǎn)生一個(gè)新的最優(yōu)解。由于T的變化不影響目標(biāo)函數(shù)，唯一的問(wèn)題是可行性。顯然，（14）依然滿(mǎn)足的。（15a）加上（15b）然

16、后除以2得出：因此(15a)和(15b)也是滿(mǎn)足的。一個(gè)相似的論點(diǎn)證明（16a）（16b）也是滿(mǎn)足的。這就是證明過(guò)程。定理2如果在每個(gè)方向的帶寬都必須平等，如果LP2有任何最優(yōu)解，然后LP2有一個(gè)最佳的解決方案，其中對(duì)于任何一個(gè)i都有。證明：給定任何最優(yōu)解給LP2，用 代替， 代替，并定義：相同類(lèi)型的參數(shù)用來(lái)證明定理1中（13a）和（13b）和（14）新方案的可行性。最優(yōu)的即是目標(biāo)函數(shù)是不變的。如果兩個(gè)定理的條件得到滿(mǎn)足，我們可以制定以下簡(jiǎn)化混合整數(shù)線性規(guī)劃：LP3已知得到：使其滿(mǎn)足：LP3有6n-5個(gè)制約因素和3n個(gè)變量，不包括松弛變量和人工變量。確定同步變量的線性規(guī)劃確定的同步的信號(hào)。讓=

17、Sh與Si之間的相對(duì)相位（偏移），即為從Sh的紅燈中心到另一個(gè)路口的紅燈中心得時(shí)間間隔。（次）一個(gè)關(guān)于的例子已在圖2中給出。我們采用的公約數(shù)。一組將被稱(chēng)為信號(hào)的同步。為了能夠給以及某些其他的量一個(gè)簡(jiǎn)單、明確的表達(dá)式，我們定義，對(duì)任意的x，因此例如由圖2我們可以看出并且，使用（2a）（4a）（7），我們得出：在對(duì)稱(chēng)情況下的LP3，（2）指出，由（2）（3）得出：因此（24）（4c）（7）給出對(duì)整型變量的限制該整數(shù)變量m(h,i) 的價(jià)值相當(dāng)有限，他可以呈現(xiàn)出而不會(huì)造成一個(gè)不可行的方案。如果大多數(shù)的不可行值可以提前排除，我們應(yīng)該可以在下一節(jié)的算法保存計(jì)算。我們尋求整數(shù)和如下：由（3）由于以及有類(lèi)似

18、的關(guān)系。因此然而，T和T通常是變量，可以遵循該問(wèn)題的常數(shù)的有界范圍。因此，在LP2中遵循LP2中的符號(hào)，我們得到：一個(gè)分支定界（BRANCH-AND-BOUND）算法各種求解的一般混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的算法已制定。（7、8、9）被報(bào)道出來(lái)的這些計(jì)算經(jīng)驗(yàn)在某些情況下相當(dāng)有限，而在其他情形下，不免有些讓人失望。因此，一個(gè)專(zhuān)門(mén)的算法已經(jīng)制定了最大的帶寬問(wèn)題，利用分支定界（BRANCH-AND-BOUND）方法。這些方法已在其他一些組合問(wèn)題被證明是相當(dāng)成功的。（5、6）總體描述該方法的基本思想為，打破所以可行的解決方案至越來(lái)越小的子集，計(jì)算每一種上(下)界對(duì)最佳解決方案的目標(biāo)函數(shù)的約束。邊界引導(dǎo)子集的

19、分割并最終確定一個(gè)最大化（最小化）的解決方案。當(dāng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)子集，其中包含一個(gè)單一的解決方案，其目標(biāo)函數(shù)是大于（小于）或等于上（下）的所有其他子集的上（下）限，該解決方案是最優(yōu)。解決方案的子集可以方便的表示為樹(shù)的節(jié)點(diǎn)，作為樹(shù)的分支分配過(guò)程，因而得名，“分支定界”。這個(gè)過(guò)程的銜接，可以保證通過(guò)一個(gè)分區(qū)程序的制定，在最壞的情況下，導(dǎo)致所有的解決方案最終一一枚舉。這個(gè)過(guò)程的計(jì)算效率，但是，非常依賴(lài)于執(zhí)行分區(qū)和計(jì)算范圍的使用方法。迄今為止，成功的應(yīng)用已經(jīng)開(kāi)發(fā)特色的手邊某類(lèi)特定的問(wèn)題,培養(yǎng)良好的界限。一個(gè)對(duì)LP2(或LP3)branch-and-bound算法將會(huì)被描述?？紤]一個(gè)R-信號(hào)問(wèn)題（2rn），組成

20、的第一個(gè)R信號(hào)的n-信號(hào)問(wèn)題。假設(shè)我們挑選LP2中的變量的具體整數(shù)值。LP2現(xiàn)在是一個(gè)普通的線性規(guī)劃問(wèn)題，并且可以在一個(gè)直截了當(dāng)?shù)姆绞浇鉀Q，以最大限度地提高目標(biāo)函數(shù)?，F(xiàn)在，設(shè)置了N -信號(hào)解決方案，這方面的具體的整數(shù)值是對(duì)所有n信號(hào)解決方案集的子集。此外，對(duì)于R信號(hào)問(wèn)題有最大的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)于N信號(hào)解決方案中的這些m值形成目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)上限，由于增加了更多的信號(hào)能夠僅僅限制最大化的可能性。因此，我們有一個(gè)確定的解決方案的子集（通過(guò)指定的M -值），并放置在他們的目標(biāo)函數(shù)式（普通線性規(guī)劃求解）方法。該可進(jìn)一步劃分子集通過(guò)指定的m的更多的價(jià)值。流程圖上一節(jié)的想法，現(xiàn)在更正式地表示。讓X=一對(duì)的N-信

21、號(hào)的問(wèn)題解決方案的子集，即所有的解決方案具有的一個(gè)特殊r -信號(hào)問(wèn)題的m值。=定義為X的問(wèn)題中的信號(hào)數(shù)=定義為X的r-信號(hào)問(wèn)題的整數(shù)值=通過(guò)進(jìn)一步解決分割得到的子集X集合X被劃分為子集每一個(gè)被定義為不同的（r+1)-信號(hào)問(wèn)題。任何一個(gè)（r+1)-信號(hào)問(wèn)題，為Xj提供說(shuō)法，將會(huì)擁有和X相同的的值，i最大到r-1：另外，一個(gè)的值。讓=使用最大和最小的S的值區(qū)分Xa（X）=對(duì)X的解決方案的目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)上限，通過(guò)解決一個(gè)帶有知道m(xù)值的r-信號(hào)問(wèn)題的普通線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)獲取。=迄今為止發(fā)現(xiàn)的最好的n信號(hào)問(wèn)題函數(shù)的計(jì)算一個(gè)算法的流程圖如圖3所示。我們將跟蹤這些盒子，這些完成之后，就對(duì)所提到的圖4有作用，它

22、顯示出已經(jīng)完成的10個(gè)交叉口信號(hào)問(wèn)題的樹(shù)。在樹(shù)的表示中，節(jié)點(diǎn)代表解決方案的子集，所以我們用X來(lái)同時(shí)指代子集和它們的節(jié)點(diǎn)。Box 1初始化三個(gè)數(shù)量：X的所有解集，r到1圖4。10個(gè)信號(hào)主干道問(wèn)題的樹(shù)。節(jié)點(diǎn)上的標(biāo)簽是解決方案的帶寬的上界的計(jì)算值（一個(gè)周期）。標(biāo)簽X表示沒(méi)有可行的解決方案。節(jié)點(diǎn)內(nèi)的數(shù)字是mi右邊顯示的值。和F3為零。專(zhuān)欄2初始化兩個(gè)量是在X分支的節(jié)點(diǎn)的用來(lái)興建干線：該指數(shù)計(jì)算的節(jié)點(diǎn)，設(shè)置為1和，其值將定義的節(jié)點(diǎn)，其較低的設(shè)置限制。方框3,在分支結(jié)構(gòu)上設(shè)置一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這個(gè)節(jié)點(diǎn)可能被確認(rèn)為，設(shè)置為的當(dāng)前值，【在圖4中，的值被寫(xiě)為該周期內(nèi)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的值，藥完全定義節(jié)點(diǎn)，我們還需要，但是它們

23、都可以追溯回樹(shù)的全部解決方案來(lái)找到，并閱讀過(guò)所有節(jié)點(diǎn)所遇到的?！拷酉聛?lái)，LP2是為了解決由當(dāng)前m值，m1定義的r+1信號(hào)問(wèn)題。該目標(biāo)函數(shù)的最大值成為的上限值，并被用來(lái)標(biāo)記為節(jié)點(diǎn)。方框4測(cè)試是否一個(gè)n-信號(hào)的問(wèn)題正在得到解決。如果是這樣，框5測(cè)試，看是否產(chǎn)生更好的目標(biāo)函數(shù)是比以前的最好的。如果是這樣的話(huà)，框6取代了以前的最好與新的解決方案。框7測(cè)試，看看是否所有計(jì)劃M(mǎn)R值已被用來(lái)創(chuàng)建新的節(jié)點(diǎn)。如果沒(méi)有，框8 ，J和加1，并返回框3，成立一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)。方框9，從分支中尋求一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，這些候選人是樹(shù)的節(jié)點(diǎn)，除了那些沒(méi)有分支的的樹(shù)。這里沒(méi)有必要考慮那些r=n的節(jié)點(diǎn)。在夠資格的節(jié)點(diǎn)中，有最大的節(jié)點(diǎn)被選

24、出，成為一個(gè)新的X。r 的當(dāng)前值由r（X）取代，的當(dāng)前值由取代，（i=1r-1）。方框10測(cè)試，看其最大上限值是否大于目前為止最好的N-信號(hào)目標(biāo)函數(shù)。如果是，那么就有可能找到一個(gè)更大的n-信號(hào)目標(biāo)函數(shù)和計(jì)算，從一個(gè)新的X的分支返回到方框2。否則，計(jì)算結(jié)束，而目前最好的解決方案就是對(duì)原來(lái)的n-信號(hào)問(wèn)題的混合整數(shù)優(yōu)化。它可能有助于追蹤在圖4中的前幾個(gè)節(jié)點(diǎn)。第一，這個(gè)節(jié)點(diǎn)的作用解決方案都已被列出。然后，由于，那么，以及，已被列出。這兩者中的最大值為0.440，所以的節(jié)點(diǎn)被用作分支。除了它又來(lái)了兩個(gè)節(jié)點(diǎn)：m2=O, a=0.282 and m2=1, a=O.381。接下來(lái)的一步就是從節(jié)點(diǎn)m2-=1,

25、 a =0.381繼續(xù)分支。最后，整個(gè)樹(shù)網(wǎng)就的一樣被建立起來(lái)了，如圖所示。請(qǐng)注意，十個(gè)信號(hào)問(wèn)題被標(biāo)記為“最佳”的節(jié)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)的值為0.282，這是大于或者等于其他終端節(jié)點(diǎn)的上限值的。例子10信號(hào)的問(wèn)題被用來(lái)作為一個(gè)取自參考文獻(xiàn)3的數(shù)值例子，它代表了在Cleveland的Euclid Avenue大街的延伸。距離和綠燈間隔？取自實(shí)際的使用情況。對(duì)時(shí)間、速度以及速度的變化的限制已經(jīng)做出了非常隨意的（讓步？）該問(wèn)題的常量，現(xiàn)簡(jiǎn)述如下。這些信號(hào)，與SI和工作出站出發(fā)，分別位于0，168，381，716， 929，1173，1371，1493，1706和1843米。對(duì)應(yīng)的紅燈時(shí)間是0.47，0.40，

26、0.40，0.47，0.48，0.42，0.40，0.40，0.40和0.42個(gè)周期。對(duì)周期的限制為T(mén)1=55s T2=75s。速度的上下限為ei= (30 mph, 48.3 km/hr),( 40 mph, 64.4 km/hr)。速度倒數(shù)的變化的限制為這相當(dāng)于最大可能在速度變化在速度限制的下限約為2.2米/秒(4.9 mph, 7.9 km/hr)，而在速度限制的上限為米/秒(8.7 mph, 14.0 km/hr)。這個(gè)問(wèn)題可以由LP2解決，或者由于我們選擇相同的帶寬而由LP3解決。這樹(shù)通過(guò)“分支定界”算法在圖4中發(fā)展。一共需要52個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題。每個(gè)方向的帶寬是0.282個(gè)周期。街道

27、的距離-時(shí)間圖如圖5所示。最佳周期時(shí)間為75秒，帶寬為21.2秒。在S1和S2之間開(kāi)始并逐步發(fā)展，速度分別為17.9，17.9，17.1，14.2,13.4，14.9，13.4，15.6，17.9米/秒。這些階段，為了增加指數(shù)，由i=1開(kāi)始，分別為個(gè)周期。關(guān)鍵信號(hào)分別為S1, S3, S5, S8, 和 S9。這個(gè)結(jié)果可以與利用參考3的方法通過(guò)對(duì)不同恒定速度和時(shí)間探索得到的結(jié)果相比較。最好的結(jié)果為在65s時(shí)以15.2m/s的速度，帶寬為0.235個(gè)周期時(shí)長(zhǎng)。這實(shí)質(zhì)上同步顯示在參考3中。變速的靈活性可以允許在增加帶寬的20%。討論：對(duì)于在這里報(bào)道的數(shù)值實(shí)例，分支定界算法的步驟除了線性規(guī)劃還有手動(dòng)

28、。在一些線性編程代碼，有可能控制限制。然后，整個(gè)n-信號(hào)問(wèn)題可以載入，只有那些對(duì)應(yīng)于當(dāng)前r信號(hào)問(wèn)題所使用的限制。的隨著常數(shù)向量的變化而變化。通常情況下，可以在一個(gè)類(lèi)似問(wèn)題的基礎(chǔ)上完成新的問(wèn)題而節(jié)約時(shí)間。該算法的計(jì)算限制是相對(duì)為開(kāi)發(fā)的。如果在一個(gè)相當(dāng)不同的應(yīng)用領(lǐng)域里德經(jīng)驗(yàn)就是指導(dǎo)，那么線性規(guī)劃的數(shù)將會(huì)很可能隨著n成倍的增加。如果是這樣，一個(gè)比較突出的上限的大小問(wèn)題的計(jì)算有可能是可行的。我們認(rèn)為，然而，這里的例子表明實(shí)際利益的大小是可以解決的。一個(gè)可通過(guò)求解2n線性規(guī)劃獲取的，看上去很好的解決方案，但未必是最佳的。這個(gè)過(guò)程就是簡(jiǎn)單地從那些當(dāng)前X中創(chuàng)建值中最大值的節(jié)點(diǎn)向分支。在其他終端的節(jié)點(diǎn)掃描就被

29、省略了。r的值單調(diào)遞增至n。圖4中的例子，以這種方式獲得的解決方案中的帶寬為0.278。網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題混合整數(shù)規(guī)劃可擴(kuò)展到網(wǎng)絡(luò)。該網(wǎng)絡(luò)方案包括個(gè)別街道的主干道方案，加上、”周期限制”將道路連接在一起。一個(gè)客觀的函數(shù)可以由主干道的帶寬形成。一個(gè)新的決策變量，紅綠間隔，可以有效地引入某些信號(hào)。有些LP2中的決策變量將會(huì)在本節(jié)中得以發(fā)展的網(wǎng)絡(luò)的制定中被刪除。原因就是我們所預(yù)期的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題將比個(gè)別的主干道問(wèn)題會(huì)更大，計(jì)算更加復(fù)雜。因此，似乎應(yīng)該顯現(xiàn)出一種途徑，即這種計(jì)劃可能會(huì)被簡(jiǎn)化。無(wú)論把干道作為一個(gè)整體還是由干道到干道，我們應(yīng)該保持固定的速度在干道的一段距離，干道約束在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題中，干道將會(huì)被用于一個(gè)被需

30、要的進(jìn)程的任意道路，例如：在這之上，我們定義一個(gè)帶寬，并將它應(yīng)用于數(shù)學(xué)程序中。正如早些時(shí)候，網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)被假定為指定的S1，S2，.S，但我們不能再假設(shè)與相鄰的索引值信號(hào)相鄰。然后考慮干道，并假設(shè)在極端情況下結(jié)束的信號(hào)是Si及Sj。我們指定一個(gè)方向，說(shuō)由Si指向Sj作為出境方向，因此定義為arteryij.。（到底指什么？）關(guān)于artery ij 的量將會(huì)被確定為一個(gè)上標(biāo)。因此，用一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，由第二部分的簡(jiǎn)單定義推廣到。此外，讓=在artery ij出境方向上的速度（m/s）=在artery ij出境方向上速度的上下限（m/s）在artery上出境方向上的速度的倒數(shù)類(lèi)似的符號(hào)在入境變量中葉也

31、被適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用。當(dāng)定義一個(gè)量需要兩個(gè)信號(hào)時(shí)，指定干線是多余的，將被忽略。例如，這些量將會(huì)被用作第二部分的定義。對(duì)于artery ij 的限制如下。把干道作為一個(gè)整體：對(duì)于在干道上的每一個(gè)信號(hào)：對(duì)于在干道上的每一對(duì)相鄰信號(hào)，認(rèn)為，信號(hào)Sk跟隨著信號(hào)Sl的出境方向：目標(biāo)函數(shù)在進(jìn)展中，帶寬決定了一個(gè)當(dāng)保持規(guī)定速度就能夠在街上暢通無(wú)阻的通行的platoon的最大長(zhǎng)度（時(shí)間上）。因此，當(dāng)一個(gè)進(jìn)程系統(tǒng)是合適的，街道（或者街道上的方向）應(yīng)該根據(jù)他們的流動(dòng)分配帶寬。兩個(gè)設(shè)備在街道（方向）中分配帶寬是可用的：目標(biāo)函數(shù)和約束條件。理想的情況下，我們可能限制每個(gè)帶寬要比一些指定的能夠通過(guò)一個(gè)已知流量的帶寬更大一些。不

32、幸的是，我們不能保證結(jié)果將是可行的。作為替代方案，我們可以選擇一些重要的帶寬，稱(chēng)之為，并最大限度的提高這一點(diǎn)，但是需要每一個(gè)帶寬都要大于等于的指定的分?jǐn)?shù)。這些分?jǐn)?shù)將會(huì)依照相關(guān)的流量而被選擇。這種限制是不足以得到系統(tǒng)的最大效益。有時(shí)主干道上的一個(gè)帶寬將不會(huì)在與其他干道的帶寬相沖突。了保證這種帶寬最大化，每帶寬必須包含在目標(biāo)函數(shù)內(nèi)。不太重要的帶寬可以通過(guò)加權(quán)一些小的系數(shù)和大的系數(shù)。正式確定這些想法，讓成為問(wèn)題的帶寬（為了方便起見(jiàn)這里重新索引），并讓=分配給第i個(gè)帶寬的權(quán)重；i=0，q。=保證第i個(gè)帶寬的的分?jǐn)?shù)。我們以網(wǎng)絡(luò)的計(jì)劃目標(biāo)作為限制：要注意的選擇以免讓那個(gè)不重要的干道限制了。周期約束一個(gè)有新

33、的整數(shù)變量的新的約束時(shí)，必須采用多種干道相交，形成一個(gè)封閉的環(huán)，或者像我們稱(chēng)呼它，一個(gè)周期。作為一個(gè)周期的例子，S1、S3、S4、S7出現(xiàn)在圖6里一個(gè)周期的干線的交叉口。新的約束的根本原因在于一個(gè)對(duì)同時(shí)性的物理要求。假設(shè)我們?cè)赟1的紅燈時(shí)間的中心設(shè)置一個(gè)主時(shí)鐘為0。如果我們將干道13降低為S3，這里的紅燈中心時(shí)間將由13的進(jìn)程所固定。作為一個(gè)結(jié)果，S3的紅燈時(shí)間中心沿干道35的方向，也是由主時(shí)鐘所確定的。35的進(jìn)程隨后修正S5紅燈中心的時(shí)間。繼續(xù)循環(huán)，我們最終返回到確定S1紅燈中心的時(shí)間。這個(gè)時(shí)間一定是在0時(shí)段之后一段時(shí)間的整數(shù)倍。這一需求的代數(shù)聲明構(gòu)成了新的約束。圖理論的術(shù)語(yǔ)可能被用來(lái)描述網(wǎng)

34、絡(luò)。信號(hào)出現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)上。相鄰信號(hào)間的街道長(zhǎng)度成為弧或者邊緣?；∮蟹较?，通常在圖中由一個(gè)箭頭表示。為了我們的（研究）目的，將方向規(guī)定為街道上出境方向。一個(gè)邊表示不考慮方向街段。一個(gè)邊的序列形成一個(gè)封閉的循環(huán)被稱(chēng)之為一個(gè)周期。？ Sk處的節(jié)點(diǎn)被簡(jiǎn)單的記為k。從i到j(luò)的弧將會(huì)被記為（i,j）。提及相應(yīng)的弧但是忽略它們自己的方向而得到邊。無(wú)論是邊緣還是弧的概念都被納入概念：周期由邊緣構(gòu)成，但，在寫(xiě)下的函數(shù)分方程中，這是非常重要的為每一條道路都選擇一個(gè)方向，并統(tǒng)一的使用這些方向。該限制為一個(gè)信號(hào)周期制定以下收益：假設(shè)我們追尋一個(gè)周期，發(fā)現(xiàn)一些干道。假設(shè)在干道交叉口的信號(hào)可以由節(jié)點(diǎn)代替，k1,k2,，kp中

35、在干道ipjp和i1j1的交叉口的k1，i1j和i2j2的交叉口的k2，等。周期將被C（k1,，kp）。讓t=0成為沿著干道i1j1的在k1處的紅燈中心的時(shí)間。然后，沿著干道i1j1的在k2處的紅燈中心的時(shí)間為。同時(shí)也是沿著干道i2j2的在k2處的綠燈中心的時(shí)間。因此沿i2j2方向上的k2處紅燈中心時(shí)間為：從這一時(shí)間開(kāi)始，我們?cè)黾觼?lái)尋找沿i2j2方向上在k3處的紅燈中心。再加1/2我們就走出谷底并到達(dá)干道i3j3。將1/2假設(shè)為一個(gè)街道路口的紅燈時(shí)間與相交路口的綠燈時(shí)間相一致，反之亦然。更復(fù)雜的安排是可能的并且可能需要更換一些其他部分的1/ 2。由周期出發(fā)，我們最終決定沿著干道i1j1發(fā)生在k

36、1處的紅燈中心的時(shí)間。讓=周期C的整數(shù)變量。然后，對(duì)周期的限制：對(duì)由以下由（2）（26）給出的程序其他變量的合適表達(dá)式，可能會(huì)對(duì)（4）（5）有一定的幫助。多周期引入多個(gè)約束?？赡艿闹芷跀?shù)比所需要的限制數(shù)目大。限制的最小數(shù)可以發(fā)展通過(guò)在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行如下追蹤：選擇一個(gè)起始節(jié)點(diǎn)。追蹤構(gòu)成每個(gè)貫穿起始節(jié)點(diǎn)的干道的?。ú徽撈浞较颍?。然后，對(duì)于每一個(gè)目前能夠追蹤到的節(jié)點(diǎn)，描通過(guò)節(jié)點(diǎn)的干道的弧。現(xiàn)在，只要跟蹤過(guò)程關(guān)閉一個(gè)周期，就形成了一個(gè)周期約束。繼續(xù)這個(gè)過(guò)程，知道沒(méi)有進(jìn)一步的弧可以追溯。如果整個(gè)網(wǎng)絡(luò)都被追溯了，工作就結(jié)束了。否則，網(wǎng)絡(luò)分解為兩個(gè)（或者更多）不連接的子網(wǎng)，其中一個(gè)剛剛被隔離。選擇另一個(gè)節(jié)點(diǎn)并繼

37、續(xù)。追蹤過(guò)程因?yàn)樗_定了哪些信號(hào)要承擔(dān)嚴(yán)格的時(shí)間通過(guò)一系列干道運(yùn)算，憑借信號(hào)的開(kāi)端。只要信號(hào)是封閉的，剛性關(guān)系一定是由一個(gè)約束所兼容的。如果在感到的每個(gè)路口都有一個(gè)信號(hào)（即，沒(méi)有立交橋），該系統(tǒng)的圖形是平面。然后循環(huán)的限制數(shù)量與由干道封閉的不同區(qū)域一致。圖6顯示了一個(gè)平面圖需要的兩個(gè)循環(huán)限制。周期限制不一定是唯一的。在圖6中，例如，我們可以運(yùn)用周期對(duì)C（1,3,4,7）和C(7,4,5,6)或者和對(duì)C(1,3,4,7)和C(1,3,5,6)。代數(shù)地，這些中的任何對(duì)都可以從其他中獲得。紅燈時(shí)間限制一個(gè)由兩個(gè)主干道的相交的交叉口對(duì)的信號(hào)可能是一個(gè)唯一的關(guān)鍵信號(hào)。然后，綠燈時(shí)間的轉(zhuǎn)移可能會(huì)增加主干道

38、的帶寬而減少另一方向的帶寬。因此，在主干道交叉口的紅燈時(shí)間可能有時(shí)會(huì)是一個(gè)有用的決策變量。變量將可能會(huì)收到限制。因?yàn)榻煌鞯男枨?，每條街道上的紅燈時(shí)間的倒數(shù)可能會(huì)受到限制。絕對(duì)紅燈時(shí)間可能會(huì)被限制，最短允許行人過(guò)街，最長(zhǎng)安撫司機(jī)。在這紅色信號(hào)的時(shí)間是一個(gè)決策變量，讓?zhuān)?=上限和下限控制在 (次)，=上限和下限控制在T (秒)則變量是受制于 (37a) (37b)制定一個(gè)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題的步驟 對(duì)于網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題，一般的整數(shù)線性規(guī)劃是有些麻煩,而非編寫(xiě)出程序，我們列出產(chǎn)生它的步驟。1、確定網(wǎng)絡(luò)上的哪些街道將作為干道。2、成立了目標(biāo)函數(shù)和相關(guān)的約束，（34）和（35）。3、設(shè)置時(shí)間限制：(1/T2) z (1/T1).（38）4、對(duì)于每一條干道，設(shè)置限制，（30） - （33），或者，如果在限制條件下優(yōu)先考慮LP2或LP3的。5、建立應(yīng)用了周期約束(36)和程序的