經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、隨機(jī)變量的概率分布完整地描述了隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但是在實(shí)際問題中求得隨機(jī)變量的概率分布并不容易， 而且對(duì)某些問題來說， 只需知道它的某些特征， 我們把刻畫隨機(jī)變量 某些方面特征的數(shù)值稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。本章主要研究隨機(jī)變量的期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等數(shù)字特征。隨機(jī)變量的期望離散型隨機(jī)變量的期望引例10人參加考試，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均 分?！敬鹨删幪?hào)：10040101針對(duì)該題提問】解：平均分為：10= 0,1x100+0,6x80+0,360 = 76從本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。這是由于60分出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多于 100分，

2、上面方法出現(xiàn)了 60分出現(xiàn)的頻率多。100分的頻率小，能正確計(jì)算平均值。定義 若X的分布律為 P (X=x。=pi, i=1, 2 -當(dāng)級(jí)數(shù)9*絕對(duì)收斂時(shí)(即：同由收斂)工均;片巧+電居/ 就說T是離散型隨機(jī)變量 X的期望。記作EX,即窈=汽燃=再孰+建口 + +4一說明：(1)若X取值為有限個(gè)X1 , X2,，Xn 9ex=e 下用=工砂十&孫十十5Pr則；-；(2)若X取值為可列無限多個(gè) X1, X2,，Xn斯二X飛馬=或1產(chǎn)1 +叼+ /聲并則 u、Z工的這時(shí)才要求無窮級(jí)數(shù) I絕對(duì)收斂。很明顯，X的期望EX體現(xiàn)隨機(jī)變量 X取值的平均概念，所以 EX也叫X的均值?！纠?-1 設(shè)隨機(jī)變量X的

3、分布律為XdU1P0.30.20.5求 E (X)解 E (X) = (-1) X0.3+0 刀.2+1 刀.5=0.2【例4-2】甲乙兩人進(jìn)行打靶，所得分?jǐn)?shù)分別記為X, Y,它們的分布律分別為XU 12P002 03p n. i o.E ci.i試比較他們成績的好壞。【答疑編號(hào)：10040102針對(duì)該題提問】解我們分別計(jì)算X和丫的數(shù)學(xué)期望：EX=0X 0+1X0.2+2 X0.8=1.8 （分）。EY=0 0.1 + 1 刀.8+2 刀.1=1 （分）。這意味著，如果進(jìn)行多次射擊，甲所得分?jǐn)?shù)的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明顯乙的成績遠(yuǎn)不如甲。下面介紹幾種重要離散型隨機(jī)變

4、量的數(shù)學(xué)期望。.兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X的分布律為一111Fp其中0vpv 1,有EX=0X （1-p） +1Xp=p。.二項(xiàng)分布設(shè) X B （ n,p）,即吁步g 李葉& = 1一方,” 1二司可以證明它的期望 EX=np二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望np,有著明顯的概率意義。比如擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)出現(xiàn)正面概率P = ,100 x1 = 502若進(jìn)行100次試驗(yàn)，則可以 期望”出現(xiàn) 2次正面，這正是期望這一名稱的來由。.泊松分布設(shè)*尸（由其分布律為尸（天吵則X數(shù)學(xué)期望為EX=A小結(jié)上面的結(jié)果，有下面公式分布EXX-(0,1)pXB (n,p)npX、P （入）X今后在上面三種情形下，期望EX不必用定義計(jì)算，可以直

5、接套用公式。例如 若 X B （10, 0.8）,則 EX=100.3+ (2X0+1)0.2+ (2X1+1)X0.4+(2X2+1)X0.1=(-1) X0.3+1 X0.2+3 0.4+5 0.1=1.6o【例4-6】設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為3 一】 口 QL5 12F 030J 0J0J Q3-且 Y=X 2,求 EY?！敬鹨删幪?hào)：10040104針對(duì)該題提問】聯(lián)y) = s虱與m =萬巧+電%+弓巧+/瑪+它汽 解,=(-1) 2X0.3+020.2+0.52X0.1 + 12X0.1+22X0.3 =0.3+0.025+0.1 + 1.2=1.625。連續(xù)型隨機(jī)變量的期望對(duì)于連續(xù)型隨

6、機(jī)變量的期望，形式上可類似于離散型隨機(jī)變量的期望給予定義，只需將號(hào)小和式i 中的Xi改變x,Pi改變?yōu)閒 (x) dx (其中f (x)為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函 數(shù))以及和號(hào)“濃變?yōu)榉e分號(hào) “即可。 為療d*絕對(duì)收斂，則稱該積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望或均值)，記為 EX,即?二廣球(工法。J-【例4-7】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求 E (X)?！敬鹨删幪?hào)：10040105針對(duì)該題提問】【例4-8】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為22JT 其他.cos 元 用0,求 E (X)?！敬鹨删幪?hào)：10040106針對(duì)該題提問】2 2解 因?yàn)閒(x)只在有限區(qū)間憶后上不為零，且在該區(qū)間上為連續(xù)

7、函數(shù)， 所以E (X)存在，且rf 2 凰=J獷加一xcos3 M冗根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)知道 E (X) =0。下面介紹幾種重要連續(xù)型隨機(jī)變量的期望。.均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X在a,b上服從均勻分布，其概率密度為一,口 0 k Wb, 鼻其他,左(士匚獷松下 f占力嚀在區(qū)間a,b上服從均勻分布的隨機(jī)變量的期望是該區(qū)間中點(diǎn)。.指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 入0勺指數(shù)分布，其概率密度為237： Q0,十求既0, 霜與0,冊(cè)=k.SX即指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為參數(shù) 入的倒數(shù)。.正態(tài)分布設(shè)X -我3)其概率密度為f(x) -f 二M 廠8 7 +OOrV2-JTCF則X的期望E (X)=科。(不證)上面三種情況

8、列表如下(可以作為公式使用)艮._。+1Q _ 5例如XU (0,10) 則2XE (2) 則EX=-2下面介紹連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。定理4-2設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fX (x),又隨機(jī)變量 Y=g (X),則當(dāng)匚做成力時(shí)斂時(shí),有證明略。這一公式的好處是不必求出隨機(jī)變量Y的概率密度fY(X),而可由隨機(jī)變量 X的概率密度fx (x)直接計(jì)算E (Y),應(yīng)用起來比較方便。特別情形若工-蜃0) = 1例4-921, 0s 0+ (1x0) X + (lx|) X=326 6【例4-11】設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為口 口三工，以勺，為八Q,其他.求：(1) E (X+

9、Y ) ; ( 2) E (XY ) ; (3) P X+YW1?！敬鹨删幪?hào)：10040109針對(duì)該題提問】解：(1)夙京竊=廣廣十次”ij)網(wǎng)=jf(了+y) 2小打=I：M gy) 2。=卜29+/)1=1E (郎=柯(Xy)盤打dx) P(X+YV) = J|力工初也打 k&】=J； 2(1 - 2M型4.1.6期望的性質(zhì)期望有許多重要性質(zhì)， 利用這些性質(zhì)可以進(jìn)行期望的運(yùn)算。下面列舉的這些性質(zhì)對(duì)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量而言，都可以利用隨機(jī)變量函數(shù)的期望與二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式加以證明。性質(zhì)4-1常數(shù)的期望等于這個(gè)常數(shù)，即E (C) =0,其中C為常數(shù)。證明常數(shù)0作為隨機(jī)變量，它

10、只可能取一個(gè)值C,即PX=C=1 ,所以E (C) =0 1=0性質(zhì)4-2常數(shù)與隨機(jī)變量 X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機(jī)變量X的期望的乘積，即E (CX) =0 E (X)。證明設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f (x),則有磯=廣Q/Q)去=Cp球以=C趴X) . rg當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，請(qǐng)讀者自證。.有 E (0X+b) =0EX+b性質(zhì)4-3 隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望之和，即E (X+Y) =E (X) +E (Y)。證明不妨設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，其概率密度為f (x,y) ,Z=X+Y是(X, Y)的函數(shù)，有(z)= (x+r)=廣(不一力/(冷加呦二I叭苞力I討

11、瓜24=E (X) +E (Y)。這一性質(zhì)可作如下推廣：E (GX+02Y) =0iE (X) +02E (Y),其中 0i, 02 為常數(shù)。結(jié)合性質(zhì)4-2與性質(zhì)4-3可證此性質(zhì)。一般地，設(shè)Xi, X2,Xn為n個(gè)隨機(jī)變量，則有E (Xi+X2+Xn) = EX 1+ EX2+ EX nE (GXi+C2X2+ . +CnXn)=C1EXi+C2EX2+ CnEXn性質(zhì)4-4 兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積，即若 X, Y是 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則 E (XY) =E (X) E (Y)。證明 僅證連續(xù)型情況，因?yàn)?X, Y相互獨(dú)立，所以f (x,y) =fX (x) fY (

12、y),重期二硒六工力d沖二門2破內(nèi)0)擊出1-ho=稔卻必0)副J 0J =E (X ) E (Y)由數(shù)學(xué)歸納法可證得：當(dāng) Xi, X2,，Xn相互獨(dú)立時(shí)有E (XiX2 - X n) =E (Xi) E (X2) E (Xn)?！纠?-12】設(shè)Xi (i=1,2, )服從0-1分布與01P1-pp其中0p曰4)飛一= JX 0123 TOC o 1-5 h z 口如削1 口033nP_I8S81331 . . _.EY - Ox h-20 x 60 x +1。0 x=3M1258838，該人平均得分42.5分。4.2.1方差的概念隨機(jī)變量的期望反映了隨機(jī)變量取值的集中位置，在許多問題中，我們

13、還要了解隨機(jī)變量的其他特征。例如，在投資決策中，我們選擇某一項(xiàng)目或購買某種資產(chǎn)(如股票、債券等)，我們不僅關(guān)心其未來的收益水平，還關(guān)心其未來收益的不確定程度，前者通常用期望來度量，后者常稱為風(fēng)險(xiǎn)程度。這種風(fēng)險(xiǎn)程度有多種衡量方法，最簡(jiǎn)單直觀的方法就是用方差來度量。 粗略地講，方差反映了隨機(jī)變量偏離其中心-期望的平均偏離程度。對(duì)任一隨機(jī)變量 X,設(shè)期望為E(X),記Y = X-E(X),稱為隨機(jī)變量X的離差，由于E(X) 是常數(shù)，因而有E(Y)=E X-E(X)I=E(X)|-E 00司|由此可知，離差 Y代表隨機(jī)變量X與期望之間的隨機(jī)誤差，其值可正可負(fù)，從總體上 說正負(fù)相抵，故其期望為零。這樣用

14、 E(Y)不足以描述X取值的分散程度。為了消除離差中 的符號(hào)，我們也可以考慮使用絕對(duì)離差|區(qū)一嶺1,但由于昨E|)中絕對(duì)值不便處理， 轉(zhuǎn)而考慮離差平方 住一趴囚)2=的期望,MW E(XE(X)r來描述隨機(jī)變量X取值的分散程度。定義4-3設(shè)隨機(jī)變量(X-E(同y的期望存在，則稱E(X-E(X為隨機(jī)變量X的方差,記作 D(X),即 D(X) =稱回可為X的標(biāo)準(zhǔn)差(或均方差)。rL 1從隨機(jī)變量的函數(shù)的期望看，隨機(jī)變量X的方差D(X)即是X的函數(shù)卜的期望。由方差定義可知，當(dāng)隨機(jī)變量的取值相對(duì)集中在期望附近時(shí)，方差較??；取值相對(duì)分散時(shí)，方差較大，并且總有。加若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為4TA1L

15、1則 泡(4.2.1)若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),則D（X）=t（LE（X其父泣(4.2.2)【例4-14】設(shè)兩批纖維的長度分別為隨機(jī)變量同其分布律為-11P0.50. 5求：L：； 一；二】必-100 100P0.50. 5【答疑編號(hào)：10040201針對(duì)該題提問】(%) =卜力乂。. 5+110.鳳E(X?)= (-100)Xo. 5+100Xo. 5=00任1卜(7-呼川.5+(1-09)(15 -1D(X2)-(-1DC-0)x0.5+ C10D-0)2x0.5-10 000)【例4-15】已知隨機(jī)變量X的概率密度為24其他求；：】.【答疑編號(hào)：10040202針對(duì)該題

16、提問】12 1 -I =二二.在計(jì)算方差時(shí)，用下面的公式有時(shí)更為簡(jiǎn)便；口 （冷=武X2）-坎尸即X的方差等于及之的期望減去x的期望的平方。 證明利用期望的性質(zhì)證明。因?yàn)?4.2.3)(X- 在)/=jr2- 2xe(jt)+玳加*由于E(X)是一個(gè)常數(shù)，有D(X)=E(-E：(X)2=E吁）=二6）汽力加舄（F*改 41-2XE(X) + E2(X) E(X2)-2E(X)E(X)+ e2(x)- E(Xs)-E2 (X)當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量時(shí)，2=-1(4.2.4)當(dāng)X是連續(xù)型隨面變量時(shí),d=7鵬可心-（D可(4.2.5)【例4-16】 設(shè)隨機(jī)變量的期望 E（X）=2，方差D（X）=4 ,求

17、：以工1.【答疑編號(hào)：10040203針對(duì)該題提問】解由式（4.2.3） W義曰區(qū)卜兇刈T,及已知 E(X)=2,D(X)=4,得笆1 D仔）4同X）了 =4 + 4= S【例4-17】設(shè)X的概率密度為求：DX.1 Q【答疑編號(hào)：10040204針對(duì)該題提問】號(hào)犬=廣獷（才燦=P x 2為出=解：（1）此(2)阮三匚燈赤=/ 一 2煨五411K n- D(X) = Zr2-(EX)2 = i-1184.2.2常見隨機(jī)變量的方差 1.0-1分布設(shè)X的分布律為0L1-PP其中0V PV 1,則X的方差D(X)=P(1-P).因?yàn)镈iXi=EX3i-|e-Xi E(X2=02x(1-p)+心 mp

18、= p*=p.故D(X)-r2-(EX：)2 -p-p2(.p)(2)二項(xiàng)分布設(shè)XB(n,p)則有 Wz型生M(不證)(3)泊松分布設(shè)XP(；L),則有 悝二田(不證)(4)均勻分布設(shè)XU(a,b),則有L=1之加一0q其他門理,意疝。比 匯則;= _ 2-77DX = E3) -=4-(1)3=工*1 X(6)正態(tài)分布可以證明，若1 I1 下表是六種常見分布的期望和方差的結(jié)果。 要求大家熟記下面公式。分市EXDM(Os 1)PP(1-口)(4 p)npnpfl-p)2KUb軟+與1211IA2一)一 以=1【例4-18若XU(a,b)且EX = 3,3求：a,b及X的概率密度f(x)【答疑編

19、號(hào)：10040205針對(duì)該題提問】解：N陽 *($*),1 g + &) = 3.(b-a )=-2123，叮h七=5(ta) = 4 b-a = 2of = 2,4|12父工e4./W = hf口， 其它【例4-19】已知隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，且 E(X)=2.4 , D(X)=1.44 ,求二項(xiàng)分布的參 數(shù) n, p?！敬鹨删幪?hào)：10040206針對(duì)該題提問】解：因?yàn)?E(X)=np , D(X)=npq ,1.44q =06由已知 E(X)=2.4 , D(X)=1.44 , np=2.4 , npq=1.44,得 q=0.6 , p=0.4, n=6【例4-20】已知(X , Y)

20、的分布律為求：E(X),E(Y),D(X),D(Y).【答疑編號(hào)：10040207針對(duì)該題提問】 解：;X0 213T-102P2111243P工111264汽5 11.1 5 (1)=0 m 十一乂 一l 又一=12 3 43 1212(2)(3)12 9 43 36(4)E(Y2) =： (-1)2 X+o X1 + 22 xl = 1264 12(5)1M 7S 77口晝)=E(X= -= 36 144 144(6)p（y）= （Fa）-fl（r）=19227【例4-21】設(shè)（X,Y）的概率密度為-,0 * 1 0尸 4DX+DY=18=*藥 +% . + %)(2)DF4-J24 .+

21、 xq連4m 4DX/4 吟-7T f + +(T2)=:5仃2) = C7 司理評(píng)【例4-24】設(shè)隨機(jī)變量 X, Y相互獨(dú)立，X與Y的方差分別為4和2。求D(2X-Y). 【答疑編號(hào)：10040211針對(duì)該題提問】解由方差的性質(zhì)得D(2X-Y)=D(2D(-V)=4DX+DY=184.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)對(duì)二維隨機(jī)變量(X, Y),我們除了討論 X與Y的期望和方差之外，還需討論 X與Y 之間相互關(guān)系的數(shù)字特征，本節(jié)主要討論這方面的數(shù)字特征。協(xié)方差定義4-4 設(shè)有二維隨機(jī)變量(X, Y),且E (X) , E (Y)存在，如果 用在，則稱此值為X與Y的協(xié)方差，記C皿叉,門，即定義 G勢(shì)(F)=磯

22、(萬一醺)(-現(xiàn))(4.3.1)當(dāng)(X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量時(shí)，其分布律為勺=P(N = %,y=jj (t = L 2 j =(4.3.2)Cw(ZF) = 22-總必- E)片則i J當(dāng)(X, Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，口,y)為(X,Y)的概率密度(4.3.3)Cnv(X,Y) = rpCr-W)O -頤就一協(xié)方差有下列計(jì)算公式:C口或七 Y) = S(XY)-EXE(Y)(4.3.4)證明島“,了)=且(里一E(xy)(r-巨了=EXY-XE(Y)-空( +且()=躍XY)- SX)S(X)- E(Y)SX)= EXY 芭(X)趴0此公式是計(jì)算協(xié)方差的重要公式，特別地取X=Y時(shí)

23、，有,幻=E(X -或初(X -且()=Q(X)【例4-25】設(shè)(X, Y)的密度函數(shù)為1八”50,0 x 1,0 uy 0, D(Y) 。,稱為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記為的X4.3.2相關(guān)系數(shù)4-101 11781超1/301/801/811/81/81/3求：(1)(3) EXX的邊緣分布,獷，DX(2) Y的邊緣分布(4) EY, EY2 , DY例28若(X, Y)的分布律為(5) E (XY)(6)(7) 口 (8)討論X, Y的獨(dú)立性【答疑編號(hào)：10040304針對(duì)該題提問-1解：(1)P簫的的 323EX = lx + 0X+1 乂一 = 0373 3SX2 =1 乂一+ Qx +1

24、 乂一= 888 A口乂 = EX?-回?=-3235y = -x-+0 x-+lx- = ij二：.3733Y2 =x + Qx 一十 1x一= S 88 4(ZZ)=x 1 + (-l)x 0 x1+(-l)xlxl TOC o 1-5 h z S3811+0 x(-l)c- + 0 x0 x0+0 xlx- 88(5)+1x(-1)x- + 1k0 x1-f1xx- = 0 888二(”)二耿即-以昨。，不相關(guān)(8)g(X = L? = D = ；3 3 戶(占=1)尸(y=i)=xPX = 1F = 1) # 8萬=1)F(F = D，不獨(dú)立本例說明X, Y不相關(guān)不能得出 X, Y獨(dú)立

25、的結(jié)論。 各問：(1) =。時(shí)，說X, Y不相關(guān)1。1二1時(shí)，說X, Y完全相關(guān)且|日|二10尸(=值工+占)=1(不證)定理：若X, Y獨(dú)立，則X, Y不相關(guān)證：X, Y 獨(dú)立，則有 E (XY) =E (X) E (Y)一 J，一/；1.”0本定理說明X, Y獨(dú)立是X , Y不相關(guān)的充分條件，反之不一定成立，在例28中，(X , Y)不相關(guān)，但(X, Y)并不獨(dú)立。雖然在一般情況下，X,Y不相關(guān)不能得到X,Y一定獨(dú)立的結(jié)論，但如果XN(臂目丹，YN(&則x, Y不相關(guān)則是X, Y獨(dú)立的充分條件，即有若X, Y都正態(tài)分布，則有 X, Y獨(dú)立的充分必要條件是 X, Y不相關(guān)?！纠?-29】設(shè)二

26、維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為8宿OEy工苞0工工王1,加)力 其化求：(1) E(X), E(Y);( 2)D (X) , D(Y);( 3)Cov(X,Y), Pjq-【答疑編號(hào)：10040305針對(duì)該題提問】解：這是一道綜合題，要熟練掌握解題的全過程，本題可以先求出邊緣概率密度，再求期望和方差，也可以直接由聯(lián)合分布求期望和方差。先畫出區(qū)域的圖形如圖 4-2所示。解法18,0 /小刃寸6其他(1)L當(dāng)04天Ml時(shí)/Oj) =力=4/,當(dāng)工00或1n 1時(shí)，*工,尸）=。I 40/比J)0=a f4x3,0 xl0, 其它.當(dāng) y l,（文刃=。45）三廣了（冗尸）小=IF &W = *

27、41-y),。尸與1.0,其匕驅(qū)：-泗力二（J-勺(2)3 l0口 4 1KliZ）=叉/）一；一成）=羲,衣）=J：4%外初介=（4 4 B 4cw(y)=磯雙-&胤 n = - = _ Cav(_XrY) _ ?屏 = 7 4方，*解法2EX=J 就(K，y)dxdy = Cd； K 8研力)4天1)p3 3 產(chǎn) 4/ 1 1 S= 一砂 dx = 1 x di = k =叮|0 Jo 315 0 15蹌=，八死板尚=：。；一 8號(hào)我Wk1 ,=q/y2 dx= Id以=3 = 2Jo 0 J。 6 0 3微=卜(內(nèi)心力=J：(V超號(hào)力加W4 4 84_ 加晝,F) _ 2辰【例 4-30

28、】證明 D (X+Y) =D (X) +D (Y) +2Cov (X, Y)【答疑編號(hào)：10040306針對(duì)該題提問】證明口(月十 F)二 S(X + E(X+Y)廣二切(X - E(X) +(y-E(Y)f =E(X-E (X)內(nèi) +E(Y-E 尸十洱lXEOO(Y-E 二DCO+DGHZCovKY)【例4-31】已知 函二w)=i二環(huán)求口 u+n值年為【答疑編號(hào)：10040307針對(duì)該題提問】口 (X + F) = D(X) +。(門 + 2aM 區(qū))-D(X) + D(Y) + 2 %叵 ,亞而解：=4+1+2MQ, 6*2x14 4,DQX- 2門=力0)+3(-2門 + 20廿0工-管)二 35匠+(-2 尸 DY-12Cov(Xn=%?( + 4。叱)-12M0 閥而 =36+4-12x0,6x2x1= 25.6.性質(zhì)若(X, Y)N 3也%R”)則(X, Y)的相關(guān)系數(shù)為 0 ,且有X與Y獨(dú)立a Q =