概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)引言課件

1、西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)劉建軍編制引言一、課程介紹二、簡(jiǎn)談概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展史1.概率論的起源與初步發(fā)展早在16世紀(jì)，賭博中的偶然現(xiàn)象就開始引起人們的注意 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的理論研究如何有效地收集、整理、分析受隨機(jī)因素影響的數(shù)據(jù)，從而對(duì)所研究的問題作出一定的結(jié)論的方法與理論。應(yīng)用概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(L.Pacioli,1445-1517)、塔塔利亞(N.Tartaglia,1499-1557)和卡爾丹(G.cardano,1501-1576)的著作中都曾討論過倆人賭博的賭金分配等概率問題。1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯(C.Huyge

2、ns,1629-1695)發(fā)表了論賭博中的計(jì)算，這是最早的概率論著作。這些數(shù)學(xué)家的著述中所出現(xiàn)的第一批概率論概念與定理，標(biāo)志著概率論的誕生。而概率論最終成為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，真正的奠基人是伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。他的主要貢獻(xiàn)是建立了概率論中的第一個(gè)極限定理，我們稱為“伯努利大數(shù)定理”，即“在多次重復(fù)試驗(yàn)中，頻率有越趨穩(wěn)定的趨勢(shì)”。這一定理是在他死后，即1713年，發(fā)表在他的遺著猜度術(shù)中。 2.概率論在實(shí)踐中曲折的發(fā)展與完善1730年，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(A.de Moivre,1667-1754)出版其著作分析雜論，其中包含了著名的“棣莫弗拉普拉斯定理”。

3、這就是概率論中第二個(gè)基本極限定理的原始形式。1781年發(fā)表了機(jī)遇原理書中提出了概率乘法法則，以及“正態(tài)分”和“正態(tài)分布律”的概念，為概率論的“中心極限定理”的建立奠定了基礎(chǔ)1777年法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐(C.De Buffon,1707-1788 )完成了他的著作的偶然性的算術(shù)試，在這本著作中，他把概率和幾何結(jié)合起來，開始了幾何概率的研究，他提出的“蒲豐問題”就是采取概率的方法來求圓周率的嘗試。18世紀(jì)，通過貝努利和棣莫弗的努力，使數(shù)學(xué)方法有效地應(yīng)用于概率研究之中，這就把概率論的特殊發(fā)展同數(shù)學(xué)的一般發(fā)展聯(lián)系起來，使概率論開始就成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支 概率論問世不久，就在應(yīng)用方面發(fā)揮了重要的作用牛痘在歐洲

4、大規(guī)模接種之后，曾因副作用引起爭(zhēng)議這時(shí)貝努利的侄子丹尼爾貝努利（Daniel Bernoulli）根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)資料，作出了種牛痘能延長(zhǎng)人類平均壽命三年的結(jié)論，消除了一些人的恐懼和懷疑；歐拉（Euler）將概率論應(yīng)用于人口統(tǒng)計(jì)和保險(xiǎn)，寫出了關(guān)于死亡率和人口增長(zhǎng)率問題的研究關(guān)于孤兒保險(xiǎn)等文章，泊松將概率應(yīng)用于射擊的各種問題的研究，提出了打靶概率研究報(bào)告總之，概率論在18世紀(jì)確立后，就充分地反映了其廣泛的實(shí)踐意義19世紀(jì)概率論朝著建立完整的理論體系和更廣泛的應(yīng)用方向發(fā)展其中為之作出較大貢獻(xiàn)的代表性人物有：法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(Gauss)，英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家麥克斯

5、韋(Maxwell)，美國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家吉布斯(Gibbs)，泊松(S.D.Poisson)等特別是數(shù)學(xué)家拉普拉斯，他是嚴(yán)密的、系統(tǒng)的科學(xué)概率論的最卓越的創(chuàng)建者，在1812年出版的概率的分析理論中，拉普拉斯以強(qiáng)有力的分析工具處理了概率論的基本內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了從組合技巧向分析方法的過渡，使以往零散的結(jié)果系統(tǒng)化，開辟了概率論發(fā)展的新時(shí)期。泊松則推廣了大數(shù)定理，提出了著名的泊松分布。概率論的廣泛應(yīng)用，使它于18和19兩個(gè)世紀(jì)成為熱門學(xué)科，幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域，包括神學(xué)等社會(huì)科學(xué)都企圖借助于概率論去解決問題，這在一定程度上造成了“濫用”的情況，因此到19世紀(jì)后半期時(shí)，人們不得不重新對(duì)概率進(jìn)行檢查，為它奠定

6、牢固的邏輯基礎(chǔ)，使它成為一門強(qiáng)有力的學(xué)科。19世紀(jì)后期，極限理論的發(fā)展成為概率論研究的中心課題，俄國(guó)數(shù)學(xué)家在這方面做出了重要貢獻(xiàn)。1917年蘇聯(lián)科學(xué)家伯恩斯坦(Bernstein)首先給出了概率論的公理體系1933年柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)又以更完整的形式提出了概率論的公理結(jié)構(gòu)，從此，更現(xiàn)代意義上的完整的概率論臻于完成切比雪夫建立了關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律，推廣了棣莫弗拉普拉斯的極限定理。切比雪夫(Chebyshev)的成果后被其學(xué)生馬爾可夫發(fā)揚(yáng)光大，影響了20世紀(jì)概率論發(fā)展的進(jìn)程。2021世紀(jì)，由于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)業(yè)技術(shù)和軍事技術(shù)發(fā)展的推動(dòng)，概率論飛速發(fā)展，理論

7、課題不斷擴(kuò)大與深入，應(yīng)用范圍大大拓寬。在最近幾十年中，概率論的方法被引入各個(gè)工程技術(shù)學(xué)科和社會(huì)學(xué)科。目前，概率論在近代物理、自動(dòng)控制、地震預(yù)報(bào)和氣象預(yù)報(bào)、工廠產(chǎn)品質(zhì)量控制、農(nóng)業(yè)試驗(yàn)和公用事業(yè)等方面都得到了重要應(yīng)用。有越來越多的概率論方法被引入到經(jīng)濟(jì)、金融和管理科學(xué)，概率論成為它們的有力工具。3. 統(tǒng)計(jì)的起源與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的初步發(fā)展統(tǒng)計(jì)的早期開端大約是在公元前世紀(jì)初的人口普查中由于受到概率論發(fā)展的影響，18世紀(jì)，統(tǒng)計(jì)才開始向一門獨(dú)立的學(xué)科發(fā)展，用于描述表征一個(gè)狀態(tài)的條件的一些特征高斯從描述天文觀測(cè)的誤差而引進(jìn)正態(tài)分布，并使用最小二乘法作為參數(shù)的估計(jì)方法，是近代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展初期的重大事件。18世紀(jì)到

8、19世紀(jì)初期的這些貢獻(xiàn)，對(duì)社會(huì)發(fā)展有很大的影響例如，用正態(tài)分布描述觀測(cè)數(shù)據(jù)后來被廣泛地用到生物學(xué)中，其應(yīng)用是如此普遍，以至在19世紀(jì)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)，包括高爾頓(Galton)在內(nèi)的一些學(xué)者，認(rèn)為這個(gè)分布可用于描述幾乎是一切常見的數(shù)據(jù)直到現(xiàn)在，有關(guān)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)方法，仍占據(jù)著常用統(tǒng)計(jì)方法中很重要的一部分最小二乘法方面的工作，在20世紀(jì)初以來，又經(jīng)過了一些學(xué)者的發(fā)展，如今成了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的主要方法 從高斯到20世紀(jì)初這一段時(shí)間，統(tǒng)計(jì)學(xué)理論發(fā)展不快，但仍有若干工作對(duì)后世產(chǎn)生了很大的影響，為后來數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展奠定了一定的基礎(chǔ)其中，如貝葉斯( Bayes)在1763年發(fā)表的論有關(guān)機(jī)遇問題的求解，提出了進(jìn)

9、行統(tǒng)計(jì)推斷的方法論方面的一種見解，在這個(gè)時(shí)期中逐步發(fā)展成統(tǒng)計(jì)學(xué)中的貝葉斯學(xué)派（如今，這個(gè)學(xué)派的影響愈來愈大）現(xiàn)在我們所理解的統(tǒng)計(jì)推斷程序，最早的是貝葉斯方法，高斯和拉普拉斯應(yīng)用貝葉斯定理討論了參數(shù)的估計(jì)法，那時(shí)使用的符號(hào)和術(shù)語，至今仍然沿用再如前面提到的高爾頓在回歸方面的先驅(qū)性工作，也是這個(gè)時(shí)期中的主要發(fā)展，他在遺傳研究中為了弄清父子兩輩特征的相關(guān)關(guān)系，揭示了統(tǒng)計(jì)方法在生物學(xué)研究中的應(yīng)用，他引進(jìn)回歸直線、相關(guān)系數(shù)的概念，創(chuàng)始了回歸分析4.數(shù)理統(tǒng)計(jì)快速發(fā)展與完善數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展史上極重要的一個(gè)時(shí)期是從19世紀(jì)到二次大戰(zhàn)結(jié)束現(xiàn)在，多數(shù)人傾向于把現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的起點(diǎn)和達(dá)到成熟定為這個(gè)時(shí)期的始末這確是數(shù)

10、理統(tǒng)計(jì)學(xué)蓬勃發(fā)展的一個(gè)時(shí)期，許多重要的基本觀點(diǎn)、方法，統(tǒng)計(jì)學(xué)中主要的分支學(xué)科，都是在這個(gè)時(shí)期建立和發(fā)展起來的以費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)和皮爾遜(K.Pearson)為首的英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)派，在這個(gè)時(shí)期起了主導(dǎo)作用，特別是費(fèi)歇爾繼高爾頓之后，皮爾遜進(jìn)一步發(fā)展了回歸與相關(guān)的理論，成功地創(chuàng)建了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)，并得到了“總體”的概念，1891年之后，皮爾遜潛心研究區(qū)分物種時(shí)用的數(shù)據(jù)的分布理論，提出了概率和相關(guān)的概念接著，又提出標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)曲線、平均變差、均方根誤差等一系列數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本術(shù)語皮爾遜致力于大樣本理論的研究，他發(fā)現(xiàn)不少生物方面的數(shù)據(jù)有顯著的偏態(tài)，不適合用正態(tài)分布去刻畫，為此他提出了后來以他的名字命

11、名的分布族，為估計(jì)這個(gè)分布族中的參數(shù)，他提出了“矩法”為考察實(shí)際數(shù)據(jù)與這族分布的擬合分布優(yōu)劣問題，他引進(jìn)了著名卡方檢驗(yàn)法，并在理論上研究了其性質(zhì)這個(gè)檢驗(yàn)法是假設(shè)檢驗(yàn)最早、最典型的方法他在理論分布完全給定的情況下求出了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布1901年，他創(chuàng)辦了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)，使數(shù)理統(tǒng)計(jì)有了自己的陣地，這是20世紀(jì)初葉數(shù)學(xué)的重大收獲之一1908年皮爾遜的學(xué)生戈賽特（Gosset）發(fā)現(xiàn)了Z的精確分布，創(chuàng)始了“精確樣本理論”他署名Student在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)上發(fā)表文章，改進(jìn)了皮爾遜的方法他的發(fā)現(xiàn)不僅不再依靠近似計(jì)算，而且能用所謂小樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，并使統(tǒng)計(jì)學(xué)的對(duì)象由集團(tuán)現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)“Student分布

12、”已成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的常用工具，Student氏也是一個(gè)常見的術(shù)語英國(guó)實(shí)驗(yàn)遺傳學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾，是將數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科的奠基者，他開創(chuàng)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，憑借隨機(jī)化的手段成功地把概率模型帶進(jìn)了實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域，并建立了方差分析法來分析這種模型費(fèi)歇爾的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，既把實(shí)踐帶入理論的視野內(nèi)，又促進(jìn)了實(shí)踐的進(jìn)展，從而大量地節(jié)省了人力、物力，試驗(yàn)設(shè)計(jì)這個(gè)主題，后來為眾多數(shù)學(xué)家所發(fā)展費(fèi)歇爾還引進(jìn)了顯著性檢驗(yàn)的概念，成為假設(shè)檢驗(yàn)理論的先驅(qū)他考察了估計(jì)的精度與樣本所具有的信息之間的關(guān)系而得到信息量概念，他對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)中的信息，壓縮數(shù)據(jù)而不損失信息，以及對(duì)一個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)等貢獻(xiàn)了完善的理論概念，他把一致性、有效性和

13、充分性作為參數(shù)估計(jì)量應(yīng)具備的基本性質(zhì)同時(shí)還在1912年提出了極大似然法，這是應(yīng)用上最廣的一種估計(jì)法他在年代的工作，奠定了參數(shù)估計(jì)的理論基礎(chǔ)關(guān)于卡方檢驗(yàn)，費(fèi)歇爾1924年解決了理論分布包含有限個(gè)參數(shù)情況，基于此方法的列表檢驗(yàn)，在應(yīng)用上有重要意義費(fèi)歇爾在一般的統(tǒng)計(jì)思想方面也作出過重要的貢獻(xiàn)，他提出的信任推斷法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)界引起了相當(dāng)大的興趣和爭(zhēng)論，費(fèi)歇爾給出了許多現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)概念，思考方法十分直觀，他造就了一個(gè)學(xué)派，在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)方面都建樹卓越這個(gè)時(shí)期作出重要貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家中，還應(yīng)提到奈曼(J.Neyman)和皮爾遜(E.Pearson)他們?cè)趶?928年開始的一系列重要工作中，發(fā)展了假設(shè)

14、檢驗(yàn)的系列理論奈曼皮爾遜假設(shè)檢驗(yàn)理論提出和精確 化了一些重要概念該理論對(duì)后世也產(chǎn)生了巨大影響，它是現(xiàn)今統(tǒng)計(jì)教科書中不可缺少的一個(gè)組成部分，奈曼還創(chuàng)立了系統(tǒng)的置信區(qū)間估計(jì)理論，早在奈曼工作之前，區(qū)間估計(jì)就已是一種常用形式，奈曼從1934年開始的一系列工作，把區(qū)間估計(jì)理論置于柯爾莫哥洛夫概率論公理體系的基礎(chǔ)之上，因而奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，而且他還把求區(qū)間估計(jì)的問題表達(dá)為一種數(shù)學(xué)上的最優(yōu)解問題，這個(gè)理論與奈曼皮爾遜假設(shè)檢驗(yàn)理論，對(duì)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)形成為一門嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支起了重大作用1946 年 克拉默(H.Cramer)發(fā)表的統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)學(xué)方法是第一部嚴(yán)謹(jǐn)且比較系統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)著作，可以把它作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)進(jìn)入成熟階段的標(biāo)志。 三、為什么要學(xué)習(xí)這門課1.專業(yè)學(xué)習(xí)的需要；2.科學(xué)研究、生產(chǎn)實(shí)踐和現(xiàn)代生活的需要；四、預(yù)備知識(shí)1.求和號(hào)Def 設(shè)為實(shí)數(shù)，則定義并稱為求和， 其中稱為求和下標(biāo)。2.求和號(hào)的性質(zhì)（1）（2）（3）（4）3.求積號(hào)Def 設(shè)為實(shí)數(shù)，則定義并稱為求積，其中稱為