控制系統(tǒng)數(shù)字仿真習(xí)題答案

1、控制系統(tǒng)數(shù)字仿真與CAD 第二章習(xí)題答案2-1 思考題：（ 1 ）數(shù)學(xué)模型的微分方程，狀態(tài)方程，傳遞函數(shù)，零極點(diǎn)增益和部分分式五種形式，各有什么特點(diǎn)？（ 2）數(shù)學(xué)模型各種形式之間為什么要互相轉(zhuǎn)換？（ 3）控制系統(tǒng)建模的基本方法有哪些？他們的區(qū)別和特點(diǎn)是什么？（ 4）控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真中的“實(shí)現(xiàn)問(wèn)題”是什么含意？（ 5）數(shù)值積分法的選用應(yīng)遵循哪幾條原則？答： （ 1）微分方程是直接描述系統(tǒng)輸入和輸出量之間的制約關(guān)系，是連續(xù)控制系統(tǒng)其他數(shù)學(xué)模型表達(dá)式的基礎(chǔ)。狀態(tài)方程能夠反映系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)之間的相互關(guān)系，適用于多輸入多輸出系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是零極點(diǎn)形式和部分分式形式的基礎(chǔ)。零極點(diǎn)增益形式可用于分析系統(tǒng)的

2、穩(wěn)定性和快速性。利用部分分式形式可直接分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。2）不同的控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法，只適用于特定的數(shù)學(xué)模型形式。3）控制系統(tǒng)的建模方法大體有三種：機(jī)理模型法，統(tǒng)計(jì)模型法和混合模型法。機(jī)理模型法就是對(duì)已知結(jié)構(gòu)，參數(shù)的物理系統(tǒng)運(yùn)用相應(yīng)的物理定律或定理，經(jīng)過(guò)合理的分析簡(jiǎn)化建立起來(lái)的各物理量間的關(guān)系。 該方法需要對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性完全的了解，精度高。統(tǒng)計(jì)模型法是采用歸納的方法，根據(jù)系統(tǒng)實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)規(guī)律和系統(tǒng)辨識(shí)等理論建立的系統(tǒng)模型。該方法建立的數(shù)學(xué)模型受數(shù)據(jù)量不充分，數(shù)據(jù)精度不一致，數(shù)據(jù)處理方法的不完善，很難在精度上達(dá)到更高的要求。混合法是上述兩種方法的結(jié)合。4） “實(shí)現(xiàn)問(wèn)題”就

3、是根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型和精度，采用某種數(shù)值計(jì)算方法，將模型方程轉(zhuǎn)換為適合在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的公式和方程， 通過(guò)計(jì)算來(lái)使之正確的反映系統(tǒng)各變量動(dòng)態(tài)性能，得到可靠的仿真結(jié)果。5）數(shù)值積分法應(yīng)該遵循的原則是在滿足系統(tǒng)精度的前提下，提高數(shù)值運(yùn)算的速度和并保證計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定2-2.用matlab語(yǔ)言求下列系統(tǒng)的狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)增益、和部分分式形式的模型參數(shù)，并分別寫出其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式:G (s)=S3 7 s2 24s 24-i32s 10s35 s 50s 24(2)2.25-5-1.25-0.542.25-4.25-1.25-0.252X =X u0.25-0.5-1.25-121.25-

4、1.75-0.25-0.750y=0 2 0 2 X(1)解：(1)狀態(tài)方程模型參數(shù)：編寫matlab程序如下 num=1 7 24 24; den=1 10 35 50 24; A B C D=tf2ss(num,den)-10-35-50-241得到結(jié)果：A=1000,b=0,C= 1 7 24 24,d=00100000100-10 -35 -50 -241所以模型為：X =00 X+ 0 u,y= 17 24 24 X00000100(2)零極點(diǎn)增益：編寫程序 num=1 7 24 24; den=1 10 35 50 24; Z P K=tf2zp(num,den)得到結(jié)果Z= ,-

5、1.5388P= -4, -3 ,-2 ,-1K=1 部分分式形式：編寫程序 num=1 7 24 24; den=1 10 35 50 24; R P H=residue(num,den)得到結(jié)果R=,P=H=G(s尸(2)解：(1)傳遞函數(shù)模型參數(shù)：編寫程序 A=2.25 -5 -10.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75; B=4 2 2 0; C=0 2 0 2; D=0; num den=ss2tf(A,B,C,D)得到結(jié)果num =32G(s)4 s + 14 s + 22 s + 15-43_2 s + 4 s + 6.25 s + 5.2

6、5 s + 2.25 零極點(diǎn)增益模型參數(shù)：編寫程序 A=2.25 -5 -10.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75; B=4 2 2 0; C=0 2 0 2; D=0; Z,P,K=ss2zp(A,B,C,D)得到結(jié)果P= -1.5000-1.5000表達(dá)式G(s)4s+1-1.2247i s+1+1.2247is+0.5-0.866i s+0.5+0.866i s+1.5(3)部分分式形式的模型參數(shù)：編寫程序 A=2.25 -5 -10.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75 B=4 2 2 0; C=0 2

7、0 2; D=0; num den=ss2tf(A,B,C,D) R,P,H=residue(num,den)得到結(jié)果 R = 4.0000 -0.00000.0000 - 2.3094iP =H =、42.3094i2.3094iG(s) s 1.5 s 0.5 0.866i s 0.5 0.866i2-3.用歐拉法求下面系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y在0t q2得到結(jié)果函數(shù)的數(shù)值解為(2)另建一個(gè)m文件求解y et 0,1的數(shù)值 (y 3是丫 y, y(0) 1的真解)程序?yàn)閔=0.1;disp(函數(shù)的離散時(shí)刻解為);disp(y=);for t=0:h:1y=exp(-t);disp(y);end在m

8、atalb命令行中鍵入 q3函數(shù)的離散時(shí)刻解為比較歐拉方法求解與真值的差別歐拉1真值1慶方0一一一一一一顯然誤差與h2為同階無(wú)窮小，歐拉法具有一階計(jì)算精度，精度較低，但算法簡(jiǎn)單2-4用二階龍格庫(kù)塔法求解2-3的數(shù)值解，并于歐拉法求得的結(jié)果比較。yk 1 yk (K k?)解：我們經(jīng)常用到預(yù)報(bào)二校正法的二階龍-格庫(kù)塔法，k1 f(tk，yk)此方法k2 f (tk h, yk hk1)f(t,y) y可以自啟動(dòng)，具有二階計(jì)算精度幾何意義：把f(t,y)在tk，yj區(qū)間內(nèi)的曲邊面積用上下底為fk和fk 1、高為h的梯形面積近似代替。利用matlab提供的m文件編程,得到算法公式。如下所示(1) m

9、文件程序?yàn)閔=0.1;disp(函數(shù)的數(shù)值解為);disp(y=);y=1；for t=0:h:1 disp(y)； k1=-y;k2=-(y+k1*h);y=y+(k1+k2)*h/2;end在matlab的命令行中鍵入 q4顯示結(jié)果為函數(shù)的數(shù)值解為（2）比較歐拉法與二階龍格-庫(kù)塔法求解.（誤差為絕對(duì)值）真 值1龍 庫(kù)1誤 差0明顯誤差為h3得同階無(wú)窮小，具有二階計(jì)算精度，而歐拉法具有以階計(jì)算精度，二階龍 格-庫(kù)塔法比歐拉法計(jì)算精度高。2-5.用四階龍格-庫(kù)塔法求解題2-3數(shù)值解，并與前兩題結(jié)果相比較。yk 1k1hz.yk -(k16 f(tk,yk)2k2 2k3 k4)解：四階龍格-庫(kù)

10、塔法表達(dá)式k2f(tkf(tkk4f(tkh2,yk h 2,yk h,yk3 加 hk3),其截?cái)嗾`差為h5同階無(wú)窮小，當(dāng)h步距取得較小時(shí)，誤差是很小的.編輯m文件程序h=0.1;disp（四階龍格-庫(kù)塔方法求解函數(shù)數(shù)值解為）;disp(y=);y=1；for t=0:h:1disp(y)；k1=-y;k2=-(y+k1*h/2);k3=-(y+k2*h/2);k4=-(y+k3*h);y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;end在matlab命令行里鍵入 q5得到結(jié)果四階龍格-庫(kù)塔方法求解函數(shù)數(shù)值解為y=(2)比較這幾種方法：對(duì)于四階龍格-庫(kù)塔方法真 值1龍 庫(kù)1誤 差000

11、00000000顯然四階龍格-庫(kù)塔法求解精度很高，基本接近真值。三種方法比較可以得到精度（四階）精度（二階）精度（歐拉）2-6.已知二階系統(tǒng)狀態(tài)方程為x1a11 a12%X2a21 a22X2b1Xi(0)u;b2X2(0)X10;X20寫出取計(jì)算步長(zhǎng)為h時(shí)，該系統(tǒng)狀態(tài)變量X=X1, X2的四階龍格-庫(kù)塔法遞推關(guān)系式解：四階龍格-庫(kù)塔法表達(dá)式y(tǒng)k 1 yk(k16k1f(tk,yk)hk2f(tk2,ykk3f(tk2,ykk4f (tkh,yk2k2 2k32k1)h.、3 k2)hk3)k4)所以狀態(tài)變量的遞推公式可以寫作:all a12A=a21 a 22,B二bib2x1可以寫成XX2

12、AX BuhXki Xk *( ki 2k2 2k3 k4) 6ki AXk Bu則遞推形式 k2 A(Xk ki*h/2) Buk3 A(Xk k2 * h/2) Buk4 A(Xk k3*h) Bu2-7單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)已知如下5s I00s(s 4.6)(s2 3.4s I6.35)用matlab語(yǔ)句、函數(shù)求取系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)，并求取系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程的可控標(biāo) 準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。解：已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)5s I00s(s 4.6)(s2 3.4s I6.35) 5s i00在matlab命令行里鍵入 a=i 0; b=i 4.6; c=i 3.4 I6.35; d=

13、conv(a,b)； e=conv(d,c)0 f=0 0 0 5 I00; g=e+f%以上是計(jì)算閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式數(shù)的極點(diǎn)% p=roots(g) %計(jì)算特征多項(xiàng)式的根，就是閉環(huán)傳遞函P = m=5 I00; z=roots(m)z = -20%計(jì)算零點(diǎn)%綜上：當(dāng)閉環(huán)傳函形如g(s) nnsbn 1s bn時(shí),可控標(biāo)準(zhǔn)型為a1s.an 1s an010 .00001 .00A ；B : C0010an a11bn bn1 bi ；D 0 x1 0.X20.X30100 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 所以可控標(biāo)準(zhǔn)型是x4100X10

14、010X20u001X3080.2131.998X41x1Y 100 5X20 00 uX3X42-8用matlab語(yǔ)言編制單變量系統(tǒng)三階龍格-庫(kù)塔法求解程序，程序入口要求能接收狀態(tài)方程各系數(shù)陣(A,B,C,D),和輸入階躍函數(shù)r(t尸R*1(t);程序出口應(yīng)給出輸出量y (t) 的動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值解序列y0, y1,yn。解：m文件為：function y=hs(A,B,C,D,R,T,h) %T為觀測(cè)時(shí)間，h為計(jì)算步長(zhǎng)，R為輸入 信號(hào)幅值%disp(數(shù)值解為);y=0;r=R;x=0；0；0；0；N=T/h;for t=1:N;k1=A*X+B*R;k2=A*(X+h*k1/3)+B*R;k3

15、=A*(X+2*h*k2/3)+B*R;X=X+h*(k1+3*k3)/4;y(t)=C*X+D*R;end在命令行里鍵入A= B= C= D= R= T= h=y=hs(A,B,C,D,R,T,h)得到結(jié)果2-9.用題2-8仿真程序求解題2-7系統(tǒng)的閉環(huán)輸出響應(yīng)y(t).0解：A= 00000 ,B= 0 ,C= 100 5 0100 ,D=010080.2131.998在命令行里鍵入 A=0 1 0 00 0 1 00 0 0 1-100 -80.21 -31.99 -8; B=0 0 0 1; C=-100 5 0 0; D=0; T=1; R=1; h=0.01; y=hs(A,B,C

16、,D,R,T,h)數(shù)值解為。%僅取一部分2-10.用式(2-34)梯形法求解試驗(yàn)方程,1一，y 1y,分析對(duì)計(jì)算步長(zhǎng)h有何限制，說(shuō)明h對(duì)數(shù)值穩(wěn)定性的影響。h .yk i yk -d k2)2 i解：編寫梯形法程序?yàn)閗i-y.,1 ,1 ,、k2(ykykh)得到y(tǒng)ki yk(i h工)穩(wěn)定系統(tǒng)最終漸進(jìn)收斂 2 2系統(tǒng)穩(wěn)定則1 h1 計(jì)算得0 h 2 , h的選取不能超出上述范圍，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。2-11如圖2-27所示斜梁滾球系統(tǒng)，若要研究滾球在梁上的位置可控性，需首先建立其數(shù)學(xué)模型，已知力矩電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩 M與其電流i成正比，橫梁為均勻可自平衡梁(即 當(dāng)電機(jī)不通電且無(wú)滾球時(shí)，橫梁可處于=0的

17、水平狀態(tài))，是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并給出簡(jiǎn)化后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：設(shè)球的質(zhì)心到桿的距離為 0,該系統(tǒng)為特殊情況下的球棒系統(tǒng)。另令 L,m,l2分 別表示棒的慣量、球的質(zhì)量和球的慣量。則球質(zhì)心的位置和速度為xc(xcos ,xsin )vc(v cosx sin , vsin x cos )其中x v , o因而動(dòng)能的移動(dòng)部分為因而動(dòng)能的移動(dòng)部分為K trans - mvf 1mM x2 2) TOC o 1-5 h z 22球棒系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為Krot -I1 2 -l2(-)222r因而，系統(tǒng)總的動(dòng)能K Ktrans Lot等于K-(I1mx2)2-mv222其中 1匕1為常數(shù)。mr此系統(tǒng)

18、的拉格朗日方程組為mgsindt(J?)kimgcos綜合以上公式的系統(tǒng)的方程組為 2m x mx mg sin( ) 0(Ii mx2)2mxX mgxcos( ) ki?設(shè)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近0, cos 1, sin ,則系統(tǒng)方程可化為m x mg 02、(11 mx ) mgx ki對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換并化簡(jiǎn)后可得到少。I(s)參考文獻(xiàn)：Hauser, S. Sestry, and P. Kokotovic. Nonlinearcontrol via approximate input-output linearization ” .IEEE Trans. on Automatic Co

19、olr37:pp.392-398, 1992.R. Sepulchre. “Slowpeaking and low-gain designs for global stabilization of nonlinear systems submitted for IEEE TAC 1999.R. Sepulchre, M. Jankovic, and P. Kokotovic Constructive Nonlinear Control. Springer-Verlag, 1997.R. Teel. Usingsaturation to stabilize a class of single-i

20、nput partially linear composite systems ” . IFAC NOLCOS92 Symposium, pages 3674, June 1992.2-12如圖2-28所示雙水箱系統(tǒng)中，qin為流入水箱1的液體流量，qut為流出水箱2的液體流量，試依據(jù)液容與液阻的概念，建立Q“t(s) Qin(s), H1(s),Q1(s), H2(s)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：根據(jù)液容和液阻的概念，可分別列出兩個(gè)水箱的數(shù)學(xué)模型c dh1C1 qin qdtc dh2C2 - qi qoutdt幾 :q1Rh2qoutR2對(duì)上式進(jìn)行在零初始條件下進(jìn)行拉普拉斯變換得CiSHi(s)

21、 Qin (s) Q1(s)Hi(s) H2(s)Qi(s)C2sH2(s) Qi(s) Qo,(s)Ri化簡(jiǎn)后可得Qout(s)Qin (S)Qout(s)H2(s)R22R1clR2c2s(RC1R2c2R2c1)s 1 TOC o 1-5 h z Qout(s)1Q1 (s)R2c2s 1Qout(s)1H1(s)R1R2c2sR2 1Qout(s)H2(s)記控制系統(tǒng)數(shù)字仿真與 cad第二章習(xí)題答案2-1思考題：(1)數(shù)學(xué)模型的微分方程，狀態(tài)方程，傳遞函數(shù)，零極點(diǎn)增益和部分分式五種形式, 各有什么特點(diǎn)？(2)數(shù)學(xué)模型各種形式之間為什么要互相轉(zhuǎn)換？(3)控制系統(tǒng)建模的基本方法有哪些？他們

22、的區(qū)別和特點(diǎn)是什么?(4)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真中的“實(shí)現(xiàn)問(wèn)題”是什么含意?(5)數(shù)值積分法的選用應(yīng)遵循哪幾條原則？答：(1)微分方程是直接描述系統(tǒng)輸入和輸出量之間的制約關(guān)系，是連續(xù)控制系統(tǒng)其他 數(shù)學(xué)模型表達(dá)式的基礎(chǔ)。狀態(tài)方程能夠反映系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)之間的相互關(guān)系，適用于多 輸入多輸出系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是零極點(diǎn)形式和部分分式形式的基礎(chǔ)。零極點(diǎn)增益形式可用 于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。利用部分分式形式可直接分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。(2)不同的控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法，只適用于特定的數(shù)學(xué)模型形式。(3)控制系統(tǒng)的建模方法大體有三種：機(jī)理模型法，統(tǒng)計(jì)模型法和混合模型法。機(jī)理模型法就是對(duì)已知結(jié)構(gòu)，參數(shù)的物理系統(tǒng)運(yùn)用

23、相應(yīng)的物理定律或定理，經(jīng)過(guò)合理的 分析簡(jiǎn)化建立起來(lái)的各物理量間的關(guān)系。 該方法需要對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性完全的了 解，精度高。統(tǒng)計(jì)模型法是采用歸納的方法，根據(jù)系統(tǒng)實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)規(guī)律和系 統(tǒng)辨識(shí)等理論建立的系統(tǒng)模型。該方法建立的數(shù)學(xué)模型受數(shù)據(jù)量不充分，數(shù)據(jù)精度不一 致，數(shù)據(jù)處理方法的不完善，很難在精度上達(dá)到更高的要求。混合法是上述兩種方法的 結(jié)合。(4) “實(shí)現(xiàn)問(wèn)題”就是根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型和精度，采用某種數(shù)值計(jì)算方法，將模 型方程轉(zhuǎn)換為適合在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的公式和方程，通過(guò)計(jì)算來(lái)使之正確的反映系統(tǒng)各變 量動(dòng)態(tài)性能，得到可靠的仿真結(jié)果。(5)數(shù)值積分法應(yīng)該遵循的原則是在滿足系統(tǒng)精度的前提下，提

24、高數(shù)值運(yùn)算的速 度和并保證計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定。2-2.用matlab語(yǔ)言求下列系統(tǒng)的狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)增益、和部分分式形式的模型參數(shù)，并分別寫出其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式:3_ 2s 7s 24s 24G ( s) =432s 10s35 s 50s 24(2)2.25-5-1.25-0.54.2.25-4.25-1.25-0.252X =X0.25-0.5-1.25-121.25-1.75-0.25-0.750uy=0 2 0 2 X(1)解：(1)狀態(tài)方程模型參數(shù)：編寫matlab程序如下 num=1 7 24 24; den=1 10 35 50 24; A B C D=tf2ss(nu

25、m,den)得到結(jié)果：A=-10-35-50-24100001000010-10-35-50-24100001000010,B二所以模型為：X =X+0,C= 1 0100 U，y= 124 24 ,D=24 24 X(2)零極點(diǎn)增益：編寫程序 num=1 7 24 24; den=1 10 35 50 24; Z P K=tf2zp(num,den)得到結(jié)果Z= ,-1.5388P= -4, -3 ,-2 ,-1K=1 部分分式形式：編寫程序 num=1 7 24 24; den=1 10 35 50 24; R P H=residue(num,den)得到結(jié)果R=,P=H=(2)解：(1)

26、傳遞函數(shù)模型參數(shù)：編寫程序 A=2.25 -5 -10.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75; B=4 2 2 0; C=0 2 0 2; D=0; num den=ss2tf(A,B,C,D)得到結(jié)果num =G(s)4 s3 + 14 s2 + 22 s + 15-43 2 s + 4 s + 6.25 s + 5.25 s + 2.25 零極點(diǎn)增益模型參數(shù)：編寫程序 A=2.25 -5 -10.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75; B=4 2 2 0; C=0 2 0 2; D=0; Z,P,K=ss2zp

27、(A,B,C,D)得到結(jié)果P= -1.5000-1.5000表達(dá)式G(s)4 s+1-1.2247i s+1+1.2247is+0.5-0.866i s+0.5+0.866i s+1.5(3)部分分式形式的模型參數(shù)：編寫程序 A=2.25 -5 -10.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75 B=4 2 2 0; C=0 2 0 2; D=0; num den=ss2tf(A,B,C,D) R,P,H=residue(num,den)得到結(jié)果 R = 4.0000 -0.00000.0000 - 2.3094iP =2.3094is 0.5 0.866i

28、H =G(s)2.3094is 1.5 s 0,5 0.866i2-3.用歐拉法求下面系統(tǒng)的輸出響應(yīng) y在0t q2得到結(jié)果函數(shù)的數(shù)值解為(2)另建一個(gè)m文件求解y e%t 0,1的數(shù)值 (y 3是丫 y, y(0) 1的真解)程序?yàn)閔=0.1;disp(函數(shù)的離散時(shí)刻解為);disp(y=);for t=0:h:1 y=exp(-t); disp(y)；end在matalb命令行中鍵入 q3函數(shù)的離散時(shí)刻解為比較歐拉方法求解與真值的差別歐拉1真值1慶方0一一一一一一顯然誤差與h2為同階無(wú)窮小，歐拉法具有一階計(jì)算精度，精度較低，但算法簡(jiǎn)單2-4用二階龍格庫(kù)塔法求解2-3的數(shù)值解，并于歐拉法求得

29、的結(jié)果比較。h yk 1 yk -(k1 kz)解：我們經(jīng)常用到 預(yù)報(bào)-校正法的二階龍-格庫(kù)塔法，k1f(tk,yk)此方法k2f(tk h, yk hki)f(t,y) y可以自啟動(dòng)，具有二階計(jì)算精度幾何意義：把f(t,y)在tk,yk區(qū)間內(nèi)的曲邊面積用上下底為fk和fk 1、高為h的梯形面積近似代替。利用matlab提供的m文件編程,得到算法公式。如下所示(1) m文件程序?yàn)?h=0.1;disp(函數(shù)的數(shù)值解為);disp(y=);y=1;for t=0:h:1 disp(y)； k1=-y; k2=-(y+k1*h);y=y+(k1+k2)*h/2; end在matlab的命令行中鍵入

30、 q4顯示結(jié)果為函數(shù)的數(shù)值解為(2)比較歐拉法與二階龍格-庫(kù)塔法求解.(誤差為絕對(duì)值)真 值1龍 庫(kù)1誤 差0明顯誤差為h3得同階無(wú)窮小，具有二階計(jì)算精度，而歐拉法具有以階計(jì)算精度，二階龍 格-庫(kù)塔法比歐拉法計(jì)算精度高。2-5.用四階龍格-庫(kù)塔法求解題2-3數(shù)值解，并與前兩題結(jié)果相比較hyk 1 yk (k1 2k2 2k3 k4)6ki f(tk,yk)解：四階龍格-庫(kù)塔法表達(dá)式h5同階無(wú)k2 f(tk h,yk gki),其截?cái)嗾`差為k3 f& yk 如K f(tk h,yk hk3)窮小，當(dāng)h步距取得較小時(shí)，誤差是很小的編輯m文件程序h=0.1;disp(四階龍格-庫(kù)塔方法求解函數(shù)數(shù)值解

31、為);disp(y=);y=1；for t=0:h:1disp(y)；k1=-y;k2=-(y+k1*h/2);k3=-(y+k2*h/2);k4=-(y+k3*h);y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;end在matlab命令行里鍵入 q5得到結(jié)果四階龍格-庫(kù)塔方法求解函數(shù)數(shù)值解為y=（2）比較這幾種方法：對(duì)于四階龍格-庫(kù)塔方法真 值I龍 庫(kù)I誤 差00000000000顯然四階龍格-庫(kù)塔法求解精度很高，基本接近真值。三種方法比較可以得到精度（四階）精度（二階）精度（歐拉）2-6.已知二階系統(tǒng)狀態(tài)方程為x1aii a12Xi.X2a21 a22x2biXi(0)X10,u；b

32、2X2(0)X20寫出取計(jì)算步長(zhǎng)為h時(shí)，該系統(tǒng)狀態(tài)變量X=Xi, X2的四階龍格-庫(kù)塔法遞推關(guān)系式解：四階龍格-庫(kù)塔法表達(dá)式h .yk 1yk - (k1 2k2 2k3 k4)6kif(tk,yk)hh. xk2 f(tk 2,yk 2ki)hhk3 f(tk 2, yk - k2)k4 f(tk h,yk hk3)所以狀態(tài)變量的遞推公式可以寫作:aiiA=a2ia12a22D_ bi, 一 b2Xi可以寫成X AX BuXkiXkX2h-*( ki 2k262k3 k4)則遞推形式ki AXk Buk2 A(Xk kI*h/2) Buk3 A(Xk k2 * h/2) Buk4 A(Xk

33、k3*h) Bu2-7單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)已知如下、5s 100G2s(s 4.6)( s 3.4s 16.35)用matlab語(yǔ)句、函數(shù)求取系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)，并求取系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。解：已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) 2 5s 100s(s 4.6)(s2 3.4s 16.35) 5s 100在matlab命令行里鍵入 a=1 0; b=1 4.6; c=1 3.4 16.35; d=conv(a,b)；0e=conv(d,c)f=0 0 0 5 100; g=e+f%以上是計(jì)算閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式% p=roots(g) %計(jì)算特征多項(xiàng)式的根，就是閉環(huán)

34、傳遞函數(shù)的極點(diǎn)% m=5 100; z=roots(m)綜上：當(dāng)閉環(huán)傳函形如G(s)z = -20%計(jì)算零點(diǎn)%n 1b,snn 1sa1sbn1s bn 時(shí),可控標(biāo)準(zhǔn)型為:. an 1s an010.0001.0A ：:00 1；Banai00:C01bn bn 1b1 ;D 0所以可控標(biāo)準(zhǔn)型是x1 .0100 x10 x20010 x20.ux30001x30.10080.2131.998x41x4x1x2Y 100 5 0 0 20ux3x42-8 用 matlab 語(yǔ)言編制單變量系統(tǒng)三階龍格 -庫(kù)塔法求解程序，程序入口要求能接收狀態(tài)方程各系數(shù)陣( A,B,C,D ) ,和輸入階躍函數(shù)r(

35、t)=R*1(t); 程序出口應(yīng)給出輸出量y (t)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值解序列y0, y1, yn 。解：m文件為：function y=hs(A,B,C,D,R,T,h) %T為觀測(cè)時(shí)間，h為計(jì)算步長(zhǎng)，R為輸入信號(hào)幅值 %disp(數(shù)值解為);y=0;r=R;x=0;0;0;0;N=T/h;for t=1:N;k1=A*x+B*R;k2=A*(x+h*k1/3)+B*R;k3=A*(x+2*h*k2/3)+B*R;x=x+h*(k1+3*k3)/4;y(t)=C*x+D*R;end在命令行里鍵入 A= B= C= D= R= T= h=y=hs(A,B,C,D,R,T,h) 得到結(jié)果。2-9用題2

36、-8 仿真程序求解題 2-7 系統(tǒng)的閉環(huán)輸出響應(yīng) y(t).010解：A= 00100010080.2131.99000 ,B= 0 ,C= 100 5 0 0 ,D=01081在命令行里鍵入 A=0 1 0 00 0 1 00 0 0 1-100 -80.21 -31.99 -8; B=0 0 0 1; C=-100 5 0 0; D=0; T=1; R=1; h=0.01; y=hs(A,B,C,D,R,T,h)數(shù)值解為。%僅取一部分2-10.用式（2-34）梯形法求解試驗(yàn)方程yy,分析對(duì)計(jì)算步長(zhǎng)h有何限制，說(shuō)明h對(duì)數(shù)值穩(wěn)定性的影響。hyk 1 yk （年 k2）一 一一，1解：編寫梯形法

37、程序?yàn)镮1yk11一也一丫山）得到 yk iyk(ihh2二)穩(wěn)定系統(tǒng)最終漸進(jìn)收斂系統(tǒng)穩(wěn)定則1h h2一2 2計(jì)算得0 h 2。h的選取不能超出上述范圍,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。2-11如圖2-27所示斜梁滾球系統(tǒng)，若要研究滾球在梁上的位置可控性，需首先建立其數(shù)學(xué)模型，已知力矩電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩 M與其電流i成正比，橫梁為均勻可自平衡梁(即 當(dāng)電機(jī)不通電且無(wú)滾球時(shí)，橫梁可處于=0的水平狀態(tài))，是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并給出簡(jiǎn)化后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：設(shè)球的質(zhì)心到桿的距離為 0,該系統(tǒng)為特殊情況下的球棒系統(tǒng)。另令 L,m,l2分 別表示棒的慣量、球的質(zhì)量和球的慣量。則球質(zhì)心的位置和速度為xc(xcos ,xsin )vc(v cosx sin , vsin x cos )其中X v , 一 0因而動(dòng)能的移動(dòng)部分