高三數(shù)學(xué)考前解答題專練立體幾何與空間向量

1、解法一：依題設(shè)知AB =2 , CE =1 .(I )連結(jié)AC交BD于點(diǎn)F ,則BD _L AC .BD _L AC .在平面ACA內(nèi)，連結(jié)EF交AC于點(diǎn)G ,由于AAiFCAC-CE= 2,2,故RtAACs Rt/XFCE , /AA1C =/CFE ,2009屆高三考前解答題專練：立體幾何與空間向量1、如圖，在長方體 ABCD-ABGD中，底面是正方形且 AA=2AB=4點(diǎn)E在CC上且GE=3EC(1)證明：AC，平面BED(2)求二面角Ai-DE-B的余弦值./CFE與/FCA互余.于是A1C .L EF ,4分AC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD, EF都垂直，所以AC，平面BED6分

2、(H)作 GH _L DE ,垂足為 H ,連結(jié) AH . A1H .L DE ,故AHG是二面角 A - DE -B的平面角.8分EF=衍定=6 CG=MF噂 El-g.10分EG 11 EF FD 、, 2=一,GH =EF 33 DE 15又 AC =JAA2 +AC2 =2 AG=ACCG=56. tan/AHG =A1G所以二面角A-DE-B的余弦值為貴解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為X軸的正半軸,建立如圖所示直角坐標(biāo)系D -xyz .依題設(shè)，B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,21), A(2,0,4).DE =(0,21),DB =(2,2,0),HGI-AC =(

3、2,2,4), DA =(2,0,4).(I)因?yàn)?ACtDB=0, AC LDE = 0 ,故 AC _L BD , A1C _L DE .又 DB P|DE = D ,所以 AC _L平面 DBE .(H)設(shè)向:ff*n =(x, y, z)是平面DAE的法向量，則n-L DA .故 2y+z=0, 2x + 4z = 0 .則 z = -2 , x=4, n =(4,1,2).10分設(shè)二面角A1 -DE -B的平面角為a貝 cos 二=cos n,n *A1C _ 14n A1c42所以二面角A-DE-B的余弦值為噂12分2、如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為矩形，俯視圖

4、為直角 梯形(尺寸如圖所示)（第19題圖）（1）求證：AE平面DCFNCEF =90 7寸,求二面角A-EF-C的大小。9(2)當(dāng)AB的長為 ,2佛19題圖）解法一（1）過點(diǎn)E作EGLCF交CF于G, 連結(jié)DG可得四邊形BCG時(shí)矩形， 又四邊形ABC師矩形，所以AI/=EG從而四邊形ADG時(shí)平行四邊形故 AE/DG 4 分因?yàn)锳E0平面DCF DG u平面DCF所以AE/平面DCF 6分（2）過點(diǎn)B作BH _L EF交FE的延長線于H, 連結(jié)AH BH由平面 ABCD _L 平面 BEFC, AB _L BC ,得AB_L平面BEFC從而AH_L EF。B（第jg貼圖）所以/AHB為二面角A-

5、EF-C的平面角在 RtAEFG中，因?yàn)?EG = AD = %；3,EF =2.GFE =60 , FG =1.又因?yàn)? GEF =90 ,所以CF=4從而BE=CG=3于是 BH = BE sin . BEH3,3 10 分29 在 RTAAHB 中,AB =,2一.AR r貝U tan AHB = V3 ,BH因?yàn)?0AHB ： 180 ,所以/AHB =60：所以二面角A-EF -C的大小為60= 12 分解法二：（1）如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系C - xyz設(shè) AB =a, BE =b,CF =c,則 C(0,0,0)A(,. 3,0,a), B(, 3,0,0),

6、E( , 3,b,0)F(0,c,0)于是 AE -(0,b,-a)3、已知斜三棱柱ABC-A1B1C,側(cè)面ACC1 A與底面ABC垂直，/ ABC =90, BC = 2, AC = 2出，且 AA，AC , AA=AC 解法一:試判斷AiA與平面ABC是否垂直，并說明理由； 求側(cè)面BBGC與底面ABCff成銳二面角的余弦值。如圖建立空間直角坐標(biāo)系，(D有條件知 B(0,0,0), C(0,2,0), A(2.2,0,0),由面 ACCiAiXW ABC AAAiC, AA=AC,AA1 =(- .2,1, . 3),BC =(020),V AA BC =2 = 0 AA與BC不垂直，即AA

7、與BC不垂直,AA與平面ABC不垂直5分分(2)由ACCAi為平行四邊形,知 CCi =AA =(-V2,1,3)-7設(shè)平面BBGC的法向量3=(x1,%,乙)，ni _LBC /曰 ni BC =0 口口 2y1 二0 TOC o 1-5 h z 口 .,得2.，即心n1 _ CC1n1 CC1 =0- 2xi yi 、3z1 二0令 Xi =V3 ,則 yi =0,Zi =也 得n =；3,0J2)9分另外，平面ABC的法向量n；= (0, 0, i)i0分一 一n1n22.i0cos :二 n1, n2 =：= | ni | | 1 |- 55所以側(cè)面BBGC與底面ABCf成銳二面角白余

8、弦值為 與012分5解法二：(1)取AC中點(diǎn)D,連結(jié)AQ,則AD, AC又.側(cè)面ACCAi與底面ABC垂直，交線為AC/V AiD)面 ABC2 分1二?.AiD) BC假設(shè)AA與平面AiBC垂直，則AD,BC/：卜./又AD, BC,由線面垂直的判定定理，BCL面AiAC,所以BCL AC 這樣在 ABC中有兩個(gè)直角，與三角形內(nèi)角和定理矛盾。假設(shè)不成立，所以AA不與平面ABC垂直5分(2)側(cè)面BBCC與底面ABC所成的銳二面角即為側(cè)面 BBCC與ABC底面所成 的銳二面角。過點(diǎn)C作AC的垂線CE于E,則CEEL面ABG, BGXCE過點(diǎn)E作BC的垂線EF于F,連結(jié)CR因?yàn)?BCiEF, Bi

9、GXCEL,所以 BC，面 EFC BGXCF所以/ CFE即為所求側(cè)面BBCiC與地面AiBiCi所成的銳二面角的平面角9分由 CE =j3,EF = J2，得 CF =正在 RtABC中，cos/CFE=g=業(yè),55所以，側(cè)面BBCC與底面ABCf成銳二面角白余弦值為 丹012分4、如圖，在四棱柱 ABCD -AiBCiDi 中，AB=BC=CA=3 , AD=CD=1平面 AA&C _L 平面ABCD 0(1)求證：BD _LAAi；(2)若E為線段BC的中點(diǎn)，求證：AE平面DCC1D1。Di證明：(1)因?yàn)橛?以北所以SZ是線段啟仃的垂直平分線所以屆LLAU -2分 又平面AAGCJL

10、平面AECD,平面AACC平面40。=月。,5加二平面ABCD.所以BD_L平面餐AGU 4分因?yàn)榇ǔ鋈势矫鍭4QC,所以占D_LA4. 6分2)因?yàn)?AB = BC = C再一/T,1MkC=i, 所以NERC=*比 = 60/?月=3。:連結(jié)丹因?yàn)镋為又7的中點(diǎn),所以/EAC=30二所以/EAC=/QC兒所以月E/DC因?yàn)?ZX:U平面 DCCD. ,AE(t 平面 ZX7GA, 所以AE4平面口CGA. $分因?yàn)槔庵?ECD-48iG5 ,所以啟4因?yàn)榱?仁平面口。口。海4厘平面比GR， 所以AAi平面口CC】n.11分因?yàn)楣ば∝纹矫姘?E,HEU平面4414%仆45=內(nèi)，所以平面?1&

11、/平面QCC1。.因?yàn)?EU平面AA或所以A盧於平商RCC曲. 因分5、如圖，在四棱錐 ABCLfr,底面ABC此正方形，側(cè)棱PD底面ABCDPD=DC E是PC的中點(diǎn)，作 EFl PB交PB于點(diǎn)F.證明PA/平面EDB證明PB1平面EFD求二面角C-PB-D的大小.解析：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=a.(I )連結(jié)AC, AC交BD于G 連結(jié)EG依題意得A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E(0, -, -) . (2 分)2 2底面ABCD1正方形，. G是此正方形的中心，故點(diǎn) G的坐標(biāo)為(-,-,0),2 2P且PAa a二（a, -a）, , 一2pA

12、=2EG ,這表明 PA/EG.而EG u平面EDEfi PA0平面EDB PA平面 EDB（4分）（II）依題意得 B（a, a, o）, PB =（a, a,a a又 DE =。-,）,故 PB DE2 22 a-o -22a - =o.2二 PB .LDE . （6 分）由已知EF _L PB ,且EF門DE = E ,所以PB _L平面EFD（8分）（田）設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（xo, yo, zo） , PF = KPB ,則（xo, yo, zo -a） =Ma a, -a）,從而 xo = Ka, yo =九a, zo = （1 九）a ,所以aFE = （ -Xo, - - yo,

13、2由條件EF _LPB 知,aK _ zo ） =（ -，a,（2FE PB=Q ,即11八）a,（九）a）. （9 分）222121、 2Ka （_ _ 九）a _（九）a o22解得,占八、F 的坐標(biāo)為（3,32/）a aa、FE =（，-,-）,3 66aFD =（一3, 3亙 3,2aT TPB FD=o,即 PB_LFD故/EFD是二面角C PB- D的平面角.（io分）a a -a- FE FD =二9 18 9 6，|FE| =9 36 36 6a,|FD|=|222 二a .a .4a46i 一十一十一 =一a,V 9 9 932 a.cos. EFD=E一石一| FE | F

14、D |/6.6aa63所以二面角C PB- D的大小為-. 3評(píng)析(1)用向量法證明線面平行的另兩種常見方法是：利用共赭向量定理證明存在實(shí)數(shù)x,y,使得pA = xDB + yDE;證明向量PA與平面EDB的一個(gè)法向量垂直.(2)計(jì)算二面角大小，既可以根據(jù)二面角的定義，通過作出二面角的平面角， 再解三角形求角，也可以運(yùn)用向量方法，轉(zhuǎn)化為計(jì)算兩個(gè)平面的法向量的夾 角.做題時(shí)要考慮前后聯(lián)系，注意選擇簡便的方法.6、已 知如圖(1),梯形 ABCD 中，AD/BC , /ABC=/BAD=，2AB =BC =2AD =4 , E、F 分別是 AB、CD 上的動(dòng)點(diǎn)，且 EF /BC ,設(shè) AE = x

15、 (0 x 矩形，從而CDLBF. .4分又 PA_L 底面 ABCDCD1AD,故知 CDJ_PD 在4PDC中,E、耳F分別PC CD的中點(diǎn)，故EF/ PD從而CD1EF,由此得CDJ_面BEF .7(II)連結(jié)AC交BF于G.易知G為AC的中點(diǎn).連接EG則在 PAC中易知EC/ PA 又因PA_L底面ABCD故BC_L底面ABC*E底面ABCg,過C作GHL BD垂足為H,連接EH由三垂線定理知 EH_lBD從而上 EHG為二面角E-BD C的平面角. .10分.連設(shè)AB=a貝1!在4 PAC,有一 1 一 1B(G=!pA=ika. TOC o 1-5 h z 22以下計(jì)算GH考察底面

16、的平面圖(如答(19)圖2)結(jié)GD因 SacbdfBD- GHGB- OF.故 GH=GB * DF .22BD在AABD中，因?yàn)?AB= a, AD=2A,得 BDz、；5 a而 GB= 1 FB= 1 ADa. DF-AB 從而得 GH= GB *DF =a.因此22BD.5a 5一k.2.12 分EG 1 ka tan EHG怎p = 2a 5由k0知/EHG是銳角，故要使ZEHG 30,必須也k tan 30。二 23解之得，k的取值范圍為k名竺.14分15解法(I)如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為：軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB二a則易知點(diǎn)a,b

17、,c,d,f的坐標(biāo)分別為從而 DC =(2 a,0,0),AfO)BA(0,0,0), B(a,0,0), F(a,2a,0).DC - BF =0,故 DC -L BF第(20)設(shè)PA=b,則P(0,0, b),而E為PC中點(diǎn).故E a,a, b .從而 BE = 0,a, b i.0 知,EHC銳角，由/EHC 30，得 tanEHGCi重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-ABC比3tan 30:即出k也.故k的取值范圍為k 23158、如圖1所示，在邊長為12的正方形AAAA中，BB/CCiAA,且AB =3 ,BC =4, A分別交BB ,CCi點(diǎn)于P,Q ,將該正方形沿BBi、CCi

18、折疊，使得A&與AABQ4,C44(I )求證：AB_L PQ ;(II)在底邊 AC上有一點(diǎn)M , AM : MC = 3:求證：BM 面APQ(III)求直線BC與平面APQ所成角的正弦值.(I )證明：因?yàn)?AB =3 , BC =4 , TOC o 1-5 h z 所以 AC =5 ,從而 AC2 =AB2 +BC2 , IP AB 1 BC . 2分又因?yàn)?AB _LBBi ,而 BC A BB1 =B ,所以AB _L平面BC1又PQ u平面BC1所以AB_L PQ ; 4分(II)解：過M作MN CQ交AQ于N ,連接PN ,因?yàn)?AM : MC =3: 4二 AM : AC =

19、MN : CQ =3: 7 6分.MN =PB =3PB / CQ . MN / PB二四邊形PBMN為平行四邊形BM / PN ,所以 BM / 平面 APQ 8 分解：由圖 1 知，PB = AB=3,QC =7,分別以 BA, BC,BB 為 x, y,z軸，則 A(3,0,0), C(0,4,0), P(0,0,3), Q(0,4,7)T T BC = (0,4,0), AP = (-3,0,3), AQ = (-3,4,7) 10分4設(shè)平面APQ的法向量為n = (a,b,c),n AP =0 3- 3a 3c =0所以4n 得!，n AQ =0-3a 4b 7c =0令 a =1

20、,貝 ij c =1,b = -1BC B BC n-4c cos b BC, n-4-產(chǎn)BC n所以直線BC與平面APQ所成角的正弦值為叵312分4 .39、如圖，三棱柱ABC - AB1C1的底面是邊長為2的正三角形第題且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是 & D是AC的中點(diǎn), (1)求證：B1c平面ABD;求二面角A1 -BD - A的大小；(3)求直線AB與平面A1BD所成的角的正弦值.解法一：(1)設(shè)AB1與AB相交于點(diǎn)P,連接PD 則P為AB1中點(diǎn),1 D 為 AC中點(diǎn)，.PDB1C。又丫 PD匚平面A1BD,平面A1BD (4分)(2) : 正三棱住 ABC -A1B1cl , : AA1

21、_L 底面 ABC又 BD-ACA1D -BD二/ADA就是二面角 A - BD-A的平面角一 1 一tAAi = Q, AD)AC=1 A4A TOC o 1-5 h z t tan -A1DA = 3AD -TT.-JTZA1DA =-,即二面角A1 - BD - A的大小是二 (8分)33(3)由(2)作AMLA1D, M為垂足。丁 BD_lAC 平面 A1ACC1 _L 平面 ABC 平面 A1ACC1 c 平面 ABC=AC二 BD_L平面 AiACCi,丁 AM 平面 A1ACC1, .bd_amA1D - BD = D. AM_L平面ADB ,連接MP則/apm就是直線ab與平面

22、abd所成的角V AA1 = v,3 , AD=1，在 RtAAAD中，A1DA=-, 3.AM =1 sin60apab二。22.sin /APM = AMap.3T _ 2177二直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為 號(hào)(12分)解法二：(1)同解法一(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則 D (0, 0, 0), A (1, 0, 0), A1 (1 , 0, B(2也0 ),設(shè)G(Xi)i ).則有DC =(2立1 ),故DC的方程為 余 =一代入雙曲線 E: 3y2 -x2 =4 的方程可得，3y2 -8(y 1)2 =4= 5y2 16y+ 12 = 0 ,其因?yàn)橹本€DC與雙曲線E交于點(diǎn)C ,故必二七.進(jìn)而可得xi =52,2，即G呼；.I 5 5J故雙曲線E在直角梯形ABCD內(nèi)部(包括邊界)的區(qū)域滿足xw |R2,2&L, 5|6,2 1又設(shè)Q(x,y)為雙曲線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，*|短,2五1 _5_ 5所以，BQ= J(x-2& j + y2 =J：x2_4&x +胃43 2ix 32103因?yàn)猷?方3V2 Xx=時(shí)，BQ2