高一數(shù)學(xué)平面向量復(fù)習(xí)資料必修4

1、高一數(shù)學(xué)平面向量復(fù)習(xí)資料1、向量有關(guān)概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線(xiàn)段來(lái)表示，注當(dāng) 不能說(shuō)個(gè)量就是有向線(xiàn)段 ,為什么？(向量可以平移)。如已知A (1,2), B (4,2),則把 向量AB按向量1 = ( 1,3 )平移后得到的向量是 (答：(3,0)(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作： 0,注意零向量的方向是任意的；_(3)單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與AB共線(xiàn)的單位向量是 十上B)；_|AB|(4)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；(5)平行向量(也叫共線(xiàn)向量)：方向相同或相反

2、的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a/ b ,規(guī)定零向量和任何向量平行 。提醒：相等向量一定是共線(xiàn)向量，但共線(xiàn)向量不一定相等；兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線(xiàn)C共線(xiàn)u灌AC共線(xiàn)；兩個(gè)向量平行與與兩條直線(xiàn)平行是不同的兩個(gè)概念：但兩條直線(xiàn)平行不包含兩條直線(xiàn)手合；平行向量無(wú)傳遞性！(因?yàn)橛?);三點(diǎn)A、B、a的相反向量是一a (6)相反向量：長(zhǎng)度等q向相與的量叫做相反向量。(3)=DC。如下列命題：(1)若月，則a =b。(2)兩個(gè)向量相等則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。若TB =，C邛 ? 是q亍四邊形。,q4 AD 羋邛四邊形，則定 (5)若 a =bb , c ,貝U a = c。( 6)若 a/b

3、ib/ c ,貝U ac。其中正確的是 (答：(4) (5)2、向量的表示方法：(1)幾何表示法：用帶箭頭的有向線(xiàn)段表示，如 AB,注意起點(diǎn)在前， 終點(diǎn)在后；(2)符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如 , b, 2等；(3)坐標(biāo)表示法： 在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與，x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i , j為基底，則平面內(nèi)的任f43 jffT一向量a可表示為a = xi + yj =(x, y ),稱(chēng)(x, y )為向量a的坐標(biāo)，a = (x, y )叫做向量a的坐標(biāo) 表示。如果 向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理：如果e和e2是同一平面內(nèi)的兩

4、個(gè) 不共線(xiàn)向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)丸1、% ,使a=e1+ K&。14 3.如(1) a =(1,1),b = (1,1),c =(1,2),則 c = (答：a b )；22T T(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. e =(0,0), e2 =(1,-2) B. TOC o 1-5 h z T TT T T 1 3.e =(1,2), % =(5,7)C. e1=(3,5),% =(6,10)D. e1 =(2,3)=(一,)(答:B)；244、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)九與向量a的積是一個(gè)向量，記作 a a,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：44一一一_(1

5、)1-a =|艮| a , (2 )當(dāng)人0時(shí)，a a的方向與a的方向相同，當(dāng)九0時(shí)，九a的方向與a的方向相4 4一反，當(dāng)九=0時(shí)，九a=0,注意：九aw。5、平面向量的數(shù)量積 ：|(1)兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a, b,作OA = a,OB=b, /AOB=e(0 9)稱(chēng)為向量a , b的夾角，當(dāng)H = 0時(shí)，a, b同向，當(dāng)日=幾時(shí)，a, b反向，當(dāng)日=2時(shí)，a , b垂直。4 4(2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量 a, b,它們的夾角為日，我們把數(shù)量|a|b|cos9 b = a|b cose。規(guī)定：零向量與任叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：a.6,即a一向量的數(shù)量積是

6、 0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量如（1） 已知 ABC中，|AB|=3, |記|=4,a =2，W =5,晶=-3 ,則 a + b前|=5,（答：則 AB BC =疹）；9)；(3)已知a,b是兩個(gè)非零向量，且則a與a + b的夾角為_(kāi) （答30）b在a上的投影為|b| cose ,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知| a |=3, | b |=5 ,且a，b =12 ,則向量a在向量b上的投影為12、)5ab的幾何意義：數(shù)量積a *b等于a的模|a|與b在a上的投影的積。向平數(shù)J積4生羋：設(shè)兩個(gè)非零向量 a , b , a _L b。a b = 0；當(dāng)a , b同向時(shí)，a *

7、b =2,4口山 屯 4 4a b ,特力1J地，a = aa二a/i4j4t,a =Va ；當(dāng)a與b反向時(shí),b ；當(dāng)日為銳角時(shí)，a b 0,且a、b不同向;當(dāng)日為鈍角時(shí)，ab0,且a b不反向,a b 0是日為鈍角的必要非充分條件非零向量a, b夾角8的計(jì)算公式:a ,bcosd =而% ； |a *b |a|b|。如（1）已知a =（%2兒），b =（3%2）,如果a與b的夾角為銳角，則九的取值范圍是兒 一4或九A 0且兒/工）； TOC o 1-5 h z 33.3一 （2）已知AOFQ的面積為S ,且OF FQ =1 ,若一S 0 ,用k表木a b ；求a b的取小值，并求此時(shí) a與b

8、的夾角8的. k2 11大?。ù穑篴 b=（k0）；最小值為一，日=60“基本不等式的運(yùn)用）4k26、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但 U行日鳴t貝士”只適用于不與的向%,.如4之彳，叫力半吧 “三角形法則”：設(shè)AB = a,BC = b，那么向量AC叫做a與b的和,即 a+b = AB + BC=AC;i T -向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)AB. = a,AC = b,那么a b = AB AC = CA,由減向漏一元一亂量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量彳被減量的起點(diǎn)相同。如 （1 ） 化簡(jiǎn)： AB+BC+CD=；(AB -CD) -(AC

9、 -BD)=AD ； CB； 0)；(答：2屁),則ABC的形(3)若O是|_|ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足 狀為 (答：直角三角形)；一， T - e J T (2)若正萬(wàn)形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1, AB=a,BC = b,AC = c，則 |a + b + c| = _OB-OC =|OB+OC-2OA,44)若D為AABC的邊BC的中點(diǎn), 設(shè) 嶼！ = ?則的值為 (答：2)；ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn) P ,滿(mǎn)足 pA+bp + cp=0,|PD|(5)若點(diǎn)。是ABf的外心，為 OA+OB+CO，則 ABC的內(nèi)角C為(答：1200);(2)坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a = (q, yjb =(x2,

10、 y2),則：向量的加減法運(yùn)算：a 土b = (x1x2, y1y2)。如(1)已知點(diǎn) A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若 AP =AB +AC(九w R),則當(dāng)兒=時(shí)，點(diǎn)11P在第一、二象限的角平分線(xiàn)上(答：；)；(2)已知A(2,3), B(1,4)，且、AB=(sin x,cos y),JF JT-JTx,yW(，L),則x+y= (答：或一)；(3)已知作用在點(diǎn) A(1,1)的三個(gè)力T2-2T6 T 2F1 =(3,4), F2=(2,F3=1),則合力 F =弓 +F2+F3 的終點(diǎn)坐標(biāo)是 (答：(9,1) 實(shí)數(shù)與向量的積：九a =九(乂1, y1 )= (Kx1,

11、八乂)。若A(x1,yJB(x2,y2),則AB = (x2 x1, y2 y1)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)A(2,3), B(1,5),且NC = 1AB, AD =3AB ,則C D的3坐標(biāo)分別是一 110”(-7,9)；平面向量數(shù)量積：a,b = x1x2+y1y2。如已知向量 a = (sinx , cosx) , b = ( sinx , sinx ),一冗、- fc= (1, 0)。若x=求向量a、c的夾角；向量的模：| a |= Jx2 + y2, a =| a |2 = x2 +* T Tj60,那么 |a+3b|= (答：J13)

12、；(答：150;);如已知a,b均為單位向量，它們的夾角為兩點(diǎn)間的距離：若 A(x, ,y1 ),B(x2, y2 ),則 | AB|= x2 -x1 j + (y2 - y1 j 。 4，才7、向量的運(yùn)算律：(1)交換律：a + b = b+a,兒(Ra)=(，M)a, a,b = b,a ; (2)結(jié)合律:a+b+c =(a+b )+c,a-b-c = a-(b+c ), (?a ),b = “a b )= a(九b ); (3)分配律： ja 二a :!l-a, a b a b, a b ,c acbc。T T T TT TTT TT TT T如 下列命 題中： a b-c) = a b

13、-a c ; a (b c) = (ab) , c ; 2-2 . . I 一_ J T T 一(a-b) a |12|a| b|+|b| ； 若 a 匕=0,則 a = 0或 b =0；若 a b = c b,則 a = c ；+2 abb22 *2*2a =a ； 咤-=耳；(a b) =a b ；(a -b) =a -2a b +b 。其中正確的是 (答: a a)提醒：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊 平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；(

14、2)向量的“乘法”不滿(mǎn)足結(jié)合律 ，即a(b c) =(a *b)c,為什么？.8、向量平行(線(xiàn))：a,b= a = K 如(1)若向量 a =(x,1),b =(4,x),當(dāng) x =(2)已知 a=(1,1),b = (4,x) , u =a +2b , 設(shè) PA一二，- 一、T-.22一U (a b) =(|a |b|) u “2=0。時(shí)a與b共線(xiàn)且方向相同(答：2)； V=22+b,且 U/V ,貝U x= (答：4); (3)= (k,12),PB=(4,5), PC=(10,k),則 k=_0寸,A,B,C 共線(xiàn)(答：一2 或 11)3(答:3)；29、向量垂直的充要條件： Uu 2

15、b = 0。|2+。|=|，_日|仁x1x2 + y1y2 = 0 .特別地如(1)已知 Oa=(-1,2),OB =(3,m),若 OA_lOB，則 m =(2)以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB /B=90=則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(答：(1,3)或(3, 1); tt則m的坐標(biāo)是(答：(b, t)或(b, a)(3)已知 n =(a,b),向量 n _L m ,且 n =10.線(xiàn)段的定比分點(diǎn)(1)定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)PF2上異于PrP2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù) 九， 1 2 12使PP =?PP2,則九叫做點(diǎn)P分有向線(xiàn)段P1P2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線(xiàn)段PP2的以定比

16、為九的定 比分點(diǎn)；(2)九的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段P 1P2上時(shí)仁 九0；當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段P1P2的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)二 九1；當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段P2 Pl的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)仁-1兒0；若點(diǎn)P分有向線(xiàn)13段PP2所成的比為 九，則點(diǎn)P分有向線(xiàn)段P2Pl所成的比為一。如若點(diǎn)P分AB所成的比為3 ,則A4分銀所成的比為 (答：-7)3-Ix x22y1 + y2。在使用定比2(3)線(xiàn)段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)Ry)、F2(x2,y2), P(x,y)分有向線(xiàn)段PP2所成的比為人，x _ .X2則1,特別地，當(dāng)九=1時(shí)，就得到線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)公式v 小 y = TOC o 1-5 h z y 1分點(diǎn)的坐標(biāo)公

17、式時(shí)，應(yīng)明確(x, y),(為j)、(x2,y2)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比九。17如(1)若 M (-3, -2), N (6, -1),且 MP=- MN,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(答：(-6,);331(2)已知A(a,0),B(3, #a),直線(xiàn)y=1ax與線(xiàn)段AB交于M ,且AM =2MB ,則a等于 2 (答：2 或4).11.平移公式：如果點(diǎn)P(x, y)按向量a = (h, k)平移至P(x,y),則x：=xh；曲線(xiàn) .y = y kf(x,y) =0按向量a=(h,k)平移得曲線(xiàn)f (x

18、 h, y k) = 0 .注意：(1)函數(shù)按向量平移與平常 “左加右減”有何聯(lián)系？ 4 (2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別事了??！如(1)按向量a把(2,-3)平移到(1,2),則按向量a把點(diǎn)(7,2)平移到點(diǎn) (答：(一8,3)；(2)函數(shù)y =sin2x的圖象按向量 二平移后，所得函數(shù)的解析式是y = cos2x + 1,則W =一(答：(-,1)4(1) 一公封閉甲形目尾號(hào)接可成的中量和為零 . ：| + |,特別地，當(dāng)向量，:芍運(yùn)用;|a b|=|a| JbJ|12、向量中一些常用的結(jié)論一了泮心#by 工& 與反向或有 0 u | a-b |=|a | + |b | A |a | |b 卜|a + b |;當(dāng) a、b不共線(xiàn)u |a |-|b |a士b |a |+ |b (這些和實(shí)數(shù)比較類(lèi)似).X2 X3 yi y2 y3(3 )在MBC中，若A(x, y1 ),B(x2, y2 ),C(x3,y3),則其重心的坐標(biāo)為。如若/ABC的三邊的中點(diǎn)分別為(2, 1)、(-3, 4)、-1 ),則ABC的重心的坐標(biāo)為, 2 4(-3,3)1PG =1(PA + PB + PC) u G 為 AABC 的重心，特別地 PA+ PB+ PC4 u 3pAu P為AABC的垂心;MBC 坪 J t T TPA PB =