24講：91冪法反冪法

1、第九章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算矩陣特征值與特征向量的計(jì)算 冪方法及程序 冪法的加速反冪法及程序Jacobi方法及程序QR方法及程序冪方法與反冪方法第一節(jié) 冪法與反冪法 冪法運(yùn)算及程序 冪法的加速反冪法及程序引言 小結(jié) 在實(shí)際問題中，矩陣的模最大特征值往往起重要作用，例如矩陣的譜半徑就是矩陣的模最大特征值，它決定了迭代矩陣是否收斂。因此矩陣的模最大特征值比其他特征值的地位更加重要. 冪法就是計(jì)算矩陣的模最大特征值及特征向量的數(shù)值方法。 反冪法就是計(jì)算矩陣的模最小特征值及特征向量的數(shù)值方法。一、引言如何計(jì)算矩陣的特征值和特征向量？在線性代數(shù)中（1）計(jì)算特征多項(xiàng)式（3）將所求的特征根逐個(gè)代入方組

2、中，所有引 言要?dú)v經(jīng)下列步驟：（2）計(jì)算特征多項(xiàng)式的根解的全體組成A的特征向量。Mathematica語句（1）求A的全部特征值、特征向量: EigensystemA（2）求A的數(shù)字特征值： EigenvaluseA（3）求A的特征向量組: EigenvectorsAClearA,xA=1,2,1,-1,2,1,0,4,2;MatrixForm%EigenvaluesAEigenvectorsA;MatrixForm%DetA-x*IdentityMatrix3EigensystemA(4) 求A的特征多項(xiàng)式：DetA-x*IdentityMatrix3程 序1 2 1-1 2 10 4 2

3、2 3-6 x + 5 x - x0, 2, 3, 0, -1, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 4運(yùn)行結(jié)果：程序運(yùn)行結(jié)果預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 二、冪法運(yùn)算及程序冪 方 法冪 方 法解題步驟：冪 方 法冪方法說明幾點(diǎn)說明：因?yàn)橛?jì)算過程中舍入誤差的影響，迭代若干次后，必然它在u1方向上的分量不為零，這樣，以后的計(jì)算就滿足所設(shè)條件。會(huì)產(chǎn)生一個(gè)向量 ，1）如果 的選取恰恰使得a10，冪法計(jì)算仍能進(jìn)行?；蛴沙跏枷蛄康娜我庑裕x取其它不為零的初始向量。冪方法說明冪方法說明冪方法說明用冪法求矩陣按模最大特征值1和對(duì)應(yīng)的特征向量x1 。解:取初始向量V0=(0.5,0.5,1.1)T ，根據(jù)程序：

4、A=2,-1,0,0,2,-1,0,-1,2;MatrixForm%vx=0.5,0.5,1.1;Dovy=A.vx;Printk, ,vy, ,vy1/vx1, , vy2/vx2;vx=vy/MaxAbsvy,k,1,15EigensystemA例1 運(yùn)行結(jié)果：冪方法例題 反冪法就是計(jì)算矩陣A的模最小特征值（即求A的逆的最大特征根）及特征向量的數(shù)值方法。 三、反冪法運(yùn)算及程序反冪法及程序因?yàn)?的計(jì)算比較麻煩，而且往往不能保證矩陣A的一些好的性質(zhì)，如稀疏性，因此反冪法在實(shí)際計(jì)算 時(shí)以求解方程組:代替冪法迭代：反冪法及程序例2A=2,-1,0,0,2,-1,0,-1,2;MatrixForm%

5、y=0,0,1.;Dox=LinearSolveA,y; Printk, ,x, ,y1/x1; y=x/MaxAbsx,k,1,20EigensystemAMathematica語句反冪法例題1 0.166667, 0.333333, 0.666667 02 0.458333, 0.666667, 0.833333 0.5454553 0.708333, 0.866667, 0.933333 0.7764714 0.855655, 0.952381, 0.97619 0.8869575 0.930132, 0.98374, 0.99187 0.9423656 0.966146, 0.9945

6、36, 0.997268 0.9706167 0.983483, 0.998174, 0.999087 0.9850638 0.991886, 0.999391, 0.999695 0.9924349 0.995993, 0.999797, 0.999898 0.99618110 0.998013, 0.999932, 0.999966 0.99807711 0.999012, 0.999977, 0.999989 0.99903412 0.999508, 0.999992, 0.999996 0.9995151, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, -1, 1運(yùn)行結(jié)果為：反冪法程序運(yùn)行結(jié)果內(nèi)