高三數(shù)學(xué)空間向量的應(yīng)用

1、第7課時(shí) 空間向量的應(yīng)用1異面直線所成的角(1)過空間任一點(diǎn)O分別作異面直線a與b的平行線a與b，那么直線a與b所成的 的角，叫做異面直線a與b所成的角基礎(chǔ)知識(shí)梳理不大于90高三數(shù)學(xué)空間向量的應(yīng)用用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”(1)兩種思維方法用空間向量解決立體幾何問題，有兩種基本思維：一種是利用空間向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算實(shí)行判斷，此種方法不需要建系；另一種是用空間向量的坐標(biāo)表示幾何量，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)行判斷，此種方法需要建系規(guī)律方法總結(jié)【規(guī)律總結(jié)】 利用向量法求二面角的步驟：(1)利用圖形性質(zhì)建立坐標(biāo)系；(2)求兩半平面的法向量；(3)求法向量的夾角；(4)結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化二

2、面角課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練例3已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)(1)證明AEPD；(2)“三步曲”建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問題把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相對(duì)應(yīng)的幾何意義，即回歸到圖形問題規(guī)律方法總結(jié)(2)“三步曲”建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離

3、和夾角等問題把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相對(duì)應(yīng)的幾何意義，即回歸到圖形問題規(guī)律方法總結(jié)【名師點(diǎn)評(píng)】 利用空間向量解決探索性問題，具有一定的優(yōu)越性，其思路上，利用坐標(biāo)系，表示出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出滿足條件的關(guān)系，從而探索出所要研究的問題課堂互動(dòng)講練1利用向量求二面角的大小，能夠不作出平面角，如圖所示，m，n即為所求二面角的平面角課堂互動(dòng)講練求二面角如圖所示，二面角l，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，n1，n2，則二面角l的大小為或.課堂互動(dòng)講練4(本題滿分12分)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BCAC，BCAC2，AA13，D為AC的中點(diǎn)課堂互動(dòng)講練高考檢閱 (2)異

4、面直線所成角的向量公式 兩異面直線a、b的方向向量分別為m和n.當(dāng)m與n的夾角不大于90時(shí)，異面直線a、b所成的角與m和n的夾角 ；當(dāng)m與n的夾角大于90時(shí)，直線a、b所成的角與m和n的夾角 所以直線a、b所成的角的余弦值為 .基礎(chǔ)知識(shí)梳理相等互補(bǔ) 2直線和平面所成的角 (1)平面的斜線與它在平面上的 所成的角叫做這條斜線與平面所成的角 (2)直線與平面所成角的向量公式 直線a的方向向量和平面的法向量分別為m和n，若m與n的夾角不大于90時(shí)，直線a與平面所成的角等于 ；若m與n的夾角大于90時(shí)，直線a與平面所成的角等于 ，所以直線a的方向向量和平面所成的角的正弦值為 .基礎(chǔ)知識(shí)梳理射影m與n的

5、夾角的余角m與n的夾角的補(bǔ)角的余角3平面和平面所成的角(1)過二面角l棱上任一點(diǎn)O作垂直于棱l的平面角，與面、的交線分別為OA、OB，那么 叫做二面角l的平面角(2)平面與平面所成角的向量公式平面與平面的法向量分別為m和n，則二面角與m、n的夾角 基礎(chǔ)知識(shí)梳理AOB相等或互補(bǔ)1若平面，的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則( )A BC，相交但不垂直 D以上均不準(zhǔn)確答案：C三基能力強(qiáng)化2若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于( )A120 B60C30 D以上均錯(cuò)答案：C三基能力強(qiáng)化3(教材習(xí)題改編)在如圖所示的正方體A1B1C1D1AB

6、CD中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為( )三基能力強(qiáng)化答案：D三基能力強(qiáng)化4已知直線l的方向向量為v，平面的法向量是，且v0，則l與的位置關(guān)系是_答案：l或l5.已知正方體ABCDA1B1C1D1中平面AB1D1與平面A1BD所成的角為(090)，則cos_.三基能力強(qiáng)化設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一求異面直線所成的角課堂互動(dòng)講練例1(2009年高考廣東卷)如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是正方形BCC1B1的中心，點(diǎn)F、G分別是棱C1D1、AA1的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E1、G1分別是點(diǎn)E、G在平面DCC1D1內(nèi)的正

7、投影(1)證明：直線FG1平面FEE1；(2)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練由題設(shè)知點(diǎn)E、F、G1、E1的坐標(biāo)分別為(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練題目條件不變，求異面直線AE與CG所成角的余弦值課堂互動(dòng)講練互動(dòng)探究課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二求直線與平面所成的角課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練例2(2008年高考海南、寧夏卷)如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDABCD的對(duì)角線BD上，PDA60.(1)求DP與CC所成角的大小；(2)求DP與平面AADD所成角的大小課堂互動(dòng)講練【解】 如圖所示，以D為原點(diǎn)

8、，棱DA，DC，DD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)棱長為1，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，C(0,1,1)，課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【誤區(qū)警示】 在求直線和平面所成的角時(shí)，誤認(rèn)為直線的方向向量和平面的法向量的夾角就是直線和平面所成角，其錯(cuò)誤原因一是概念不清，二是做題不認(rèn)真1利用向量求二面角的大小，能夠不作出平面角，如圖所示，m，n即為所求二面角的平面角課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三求二面角課堂互動(dòng)講練2對(duì)易于建立空間直角坐標(biāo)系的幾何體，求二面角的大小時(shí)，能夠利用這兩個(gè)平面的法向量的夾角來求如圖所示，二面角l，平面的法向量為n1，平面的法向量

9、為n2，n1，n2，則二面角l的大小為或.課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練例3已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)(1)證明AEPD；課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】 據(jù)題意，題目中過A點(diǎn)的線中垂直關(guān)系比較明顯，能夠以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求解【解】 (1)證明：由四邊形ABCD為菱形，ABC60，可得ABC為正三角形，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，所以AEBC.又BCAD，所以AEAD.因?yàn)镻A平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA，所以AE平面PAD.又PD平面PAD，所以AEPD.課堂

10、互動(dòng)講練(2)設(shè)AB2，H為PD上任意一點(diǎn)由(1)知AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角課堂互動(dòng)講練所以ADH45.所以PA2.由(1)知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練取z11，則m(0,2，1)因?yàn)锽DAC，BDPA，PAACA，所以BD平面AFC.課堂互動(dòng)講練【規(guī)律總結(jié)】 利用向量法求二面角的步驟：(1)利用圖形性質(zhì)建立坐標(biāo)系；(2)求兩半平面的法向量；(3)求法向量的夾角；(4)結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化二面角課堂互動(dòng)講練在有些立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具，利用空間向

11、量的坐標(biāo)和數(shù)量積解決直線，平面問題的位置關(guān)系、角度、長度等問題越來越受青睞，尤其是探索性問題，比用傳統(tǒng)立體幾何方法簡便快捷課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)四利用空間向量解決空間中的探索性問題課堂互動(dòng)講練例4課堂互動(dòng)講練(1)求證：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存有一點(diǎn)E，使得BE平面PAC.若存有，求SEEC的值；若不存有，試說明理由課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】 建立空間坐標(biāo)系，以AC、BD為坐標(biāo)軸高三數(shù)學(xué)空間向量的應(yīng)用課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【名師點(diǎn)評(píng)】 利用空間向量解決探索性問題，具有一定的優(yōu)越性，其思路上，利用坐標(biāo)系，

12、表示出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出滿足條件的關(guān)系，從而探索出所要研究的問題課堂互動(dòng)講練4(本題滿分12分)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BCAC，BCAC2，AA13，D為AC的中點(diǎn)課堂互動(dòng)講練高考檢閱(1)求證：AB1平面BDC1；(2)求二面角C1BDC的余弦值；(3)在側(cè)棱AA1上是否存有點(diǎn)P，使得CP平面BDC1？并證明你的結(jié)論解：(1)證明：連結(jié)B1C，與BC1相交于O，連結(jié)OD，如圖，四邊形BCC1B1是矩形，O是B1C的中點(diǎn)又D是AC的中點(diǎn)，ODAB1.AB1平面BDC1，OD平面BDC1，AB1平面BDC1. 4分課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練高三數(shù)學(xué)空間向量的應(yīng)用課堂互動(dòng)講練(3)假設(shè)側(cè)棱AA1上存有一點(diǎn)P(2，y,0)(0y3)，使得CP平面BDC1.方程組無解，假設(shè)不成立側(cè)棱AA1上不存有點(diǎn)P，使得CP平面BDC1 12分課堂互動(dòng)講練用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”(1)兩種思維方法用空間向量解決立體幾何問題，有兩種基本思維：一種是利用空間向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算實(shí)行判斷，此種方法不需要建系；另