車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)02A課件

1、數(shù)學(xué)建模競賽題選講(2)第1頁，共36頁。車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì) （2002 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 A 題） 汽車頭部的車燈形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，其對(duì)稱軸水平地指向正前方，并已知其開口半徑為36毫米，深度為21.6毫米. 經(jīng)過車燈的焦點(diǎn)F，在與對(duì)稱軸相垂直的水平方向上，對(duì)稱地放置一定長度的均勻分布的線光源. 要求在某一設(shè)計(jì)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)下確定線光源的長度。該設(shè)計(jì)規(guī)范可簡單描述如下： 在焦點(diǎn)F正前方25米處的A點(diǎn)放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光. 在屏上過A 點(diǎn)引出第2頁，共36頁。一條與地面相平行的直線，在該直線A點(diǎn)的同側(cè)取B點(diǎn)和C點(diǎn)，使AC=2AB=2.6米. 要求C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小

2、于某一額定值（可取為1個(gè)單位），B點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）. 我們需要解決的是： 滿足該設(shè)計(jì)規(guī)范的條件下，計(jì)算線光源長度，使線光源的功率最小 . 得到的線光源長度，在有標(biāo)尺的坐標(biāo)系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū) . 討論該設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性 .第3頁，共36頁。1、線光源寬度與其長度相比小得多的發(fā)光體.2、光通量光源在單位時(shí)間內(nèi)輻射出的光能，用 c 國際規(guī)定的眼（對(duì)光適應(yīng)的眼）的靈 c 敏度來估定.3、發(fā)光效率光源每消耗1瓦特功率可輻射出的光c 通量，又叫光效.4、照 度單位面積所接受的光通量，單位為勒 c 克斯.一、幾個(gè)概念第4頁，共36頁。 首先解決本問題的一個(gè)難點(diǎn)：由

3、于問題討論的主要對(duì)象是線光源，而線光源處理起來不太容易，因此想到用微元法將線光源劃分為若干小段（微元），每一段可視為一個(gè)點(diǎn)光源. 這樣就將線光源的問題轉(zhuǎn)化為了點(diǎn)光源的疊加問題.二、問題分析 由于該線光源照射到測試屏上，有兩種途徑：直射和反射. 因此我們?cè)诳紤]某點(diǎn)的光強(qiáng)時(shí)，必須同時(shí)考慮兩種情況 . 還需解決的幾個(gè)關(guān)鍵問題是如何度量光強(qiáng)，光強(qiáng)的額定值為多少，如何建立起功率與光強(qiáng)的關(guān)系 .第5頁，共36頁。三、模型假設(shè)1、光在反射時(shí)及整個(gè)傳播過程中，能量均無損耗;2、只計(jì)此線光源的長度，其體積忽略不計(jì);3、此線光源均勻分布，各點(diǎn)同性; 且任意一點(diǎn)向整個(gè)空間各個(gè)方向均勻輻射能量; 4、光強(qiáng)額定值為1勒

4、克斯;5、不考慮光的干涉、衍射等現(xiàn)象;6、光強(qiáng)在某點(diǎn)疊加時(shí)，可直接取其代數(shù)和;7、只考慮一次反射 .第6頁，共36頁。四、符號(hào)說明 1、 C 焦距 （m ） 2、 p 線光源的功率 （W ） 3、 光通量 （lm 流明 ） 4、 發(fā)光效率 （lm/W ） 5、 E 照度 （lx(lm/m2) 勒克斯 （ lx=1 lm/m2） ） 6、E0 照度額定值 （ lx(lm/m2) ） 7、 k 發(fā)光功率線密度 （W/m ） 8、 L 線光源長度 （m ）第7頁，共36頁。五、模型的建立首先，建立如圖坐標(biāo)系如下：第8頁，共36頁。于是, 推出此旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為 設(shè) (x0, y0, z0) 為此拋

5、物面上任意一點(diǎn)，求得過此點(diǎn)的切面方程為 結(jié)論: 在旋轉(zhuǎn)拋物面上，每個(gè)反射點(diǎn)的法線都與對(duì)稱 c 軸相交。 從上圖，可以看出此旋轉(zhuǎn)拋物面是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)得到的。第9頁，共36頁。進(jìn)而得法線方程為 聯(lián)立對(duì)稱軸方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y0+c，0） 將開口半徑及深度等數(shù)據(jù)代入（1）式，得出焦距 c/2=15mm=0.015（m） 然后代入，推得該線光源的范圍為 0.03, 0.03m。 然后代入, y=0.015, 推得該線光源的范圍為 c 0.03, 0.03m .第10頁，共36頁。六、模型的求解 光源功率與照度的關(guān)系 可見，在點(diǎn)光源垂直照射的情況下，被照面上的照度跟光源的發(fā)光強(qiáng)度成正比，跟表面法

6、線與光線方向之間夾角的余弦成正比，與光源到被照面問的距離的平方成反比 .第一問：計(jì)算線光源長度說明：將對(duì)B點(diǎn)進(jìn)行分析，對(duì)于C點(diǎn)，所用方法及運(yùn)算c 過程完全類似 . 如果光源的發(fā)光強(qiáng)度為 I，光源與被照面的距離是R,光線方向與被照面法線的夾角為 . 那么，這個(gè)面上的照度就是第11頁，共36頁。由物理知識(shí)知，光通量與發(fā)光強(qiáng)度之間的關(guān)系式為：聯(lián)立得光源功率為 即可推出 對(duì)于功率線密度為k瓦米，發(fā)光效率為流明瓦的線光源，在距它 r 米的物體表面，照度為第12頁，共36頁。 用微元法將線光源轉(zhuǎn)化為點(diǎn)光源 對(duì)于線光源來說，利用微元法的思想，將其分為若干小段（l），每一段可視為一個(gè)點(diǎn)光源，各自獨(dú)立向四周輻射

7、光能 . 而在測試屏上的任意一受光點(diǎn)的照度等于各點(diǎn)光源在此處的照度代數(shù)和 . 這樣，就把對(duì)線光源的討論轉(zhuǎn)化成了對(duì)點(diǎn)光源的討論 .第13頁，共36頁。 求直射光的強(qiáng)度 線光源上任一點(diǎn)光源 D 直射到測試屏上 B 點(diǎn)處有且只有一條光線. 因?yàn)?D 發(fā)出的光是以球面波的形式向空間傳播的，設(shè)該點(diǎn)到 B 點(diǎn)的半徑為 r，則在 B 點(diǎn)處的波面面積為 據(jù) 式，可得任意一點(diǎn)光源直射到 B 點(diǎn)時(shí)該點(diǎn)的照度為：第14頁，共36頁。=25.034(米)于是得出此線光源的直射光在 B 點(diǎn)輻射出的總照度為：而此時(shí)線光源所消耗的功率 p=kL 可以看出此量與距離有關(guān)，也就是說，不同的點(diǎn)光源在 B 點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的照度值不同.

8、但注意到所有的差別太小，因此在實(shí)際計(jì)算中，我們對(duì)作近似處理，令它為一個(gè)常數(shù)：第15頁，共36頁。D 線光源上任一點(diǎn) N 對(duì)應(yīng)于D點(diǎn)的反射點(diǎn) G 法線與中軸線的交點(diǎn) 求反射光的強(qiáng)度 為了便于分析，我們將圖一抽象出來，并旋轉(zhuǎn)一定角度后得右圖：第16頁，共36頁。 對(duì)于線光源上的任意一點(diǎn)D(設(shè)坐標(biāo)為(t，0.015，0),假設(shè)從它發(fā)出的光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面上的點(diǎn)N反射后，可以射到B點(diǎn)上. 下面利用向量來推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)拋物面上滿足此條件的所有反射點(diǎn)N的坐標(biāo) . 設(shè)反射點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 (x，y，z)，由以上的證明可知，在旋轉(zhuǎn)拋物面上，每個(gè)反射點(diǎn)的法線都與對(duì)稱軸相交，且交點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 (0，y+c，0). 又

9、已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1.3，25.015，0)，點(diǎn)D 的坐標(biāo)為(t，0.015，0). 經(jīng)分析可知，點(diǎn)N 必須滿足以下三個(gè)條件：第17頁，共36頁。1）NG是BND的角平分線，即： BNG= DNG故有 cos BNG =cos DNG第18頁，共36頁。3）點(diǎn)N在拋物面上，故應(yīng)滿足拋物面方程： 聯(lián)立方程、，即可求解出與線光源上一點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的所有的反射點(diǎn)N .2）點(diǎn)G、B、N、D四點(diǎn)共面，故有從而有第19頁，共36頁。 但實(shí)際上我們并不關(guān)心 N 點(diǎn)的具體坐標(biāo)值，而看重的是線光源上每一點(diǎn)能發(fā)出多少光線經(jīng)拋物面反射后照到 B 或 C 點(diǎn). 由于光源發(fā)出的光能否反射受燈反射面幾何尺寸大小的限制，并且B

10、、C點(diǎn)的位置相對(duì)燈而言是處在斜前方，所以，N點(diǎn)的位置并不具有對(duì)稱性 . 對(duì)于線光源上不同的點(diǎn)，與其對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)數(shù)目也不同. 但在線光源上位置十分相鄰的兩點(diǎn)，可認(rèn)為它們對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)數(shù)目相同. 即它們發(fā)出的光中有相同數(shù)目的光線經(jīng)拋物面反射后恰好照射到B點(diǎn)(或C點(diǎn)).第20頁，共36頁。 我們采用在小區(qū)域采集離散點(diǎn)的方法，使用Mathematic軟件，通過改變微小l,得到線光源上當(dāng)前D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的反射點(diǎn)（即N點(diǎn)）的數(shù)目. 以此作為此微小區(qū)域 l, l+ l 內(nèi)各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)數(shù)目 . 0.000 222-0.000 2000.000 422-0.000 4000.000 622-0.000 6000.000

11、 862-0.000 8000.001 052-0.001 0000.001 252-0.001 2000.001 452-0.001 4000.001 654-0.001 6000.001 856-0.001 8000.002 046-0.002 000t 的取值到B 的反射光的條數(shù)到C 的反射光的條數(shù)t 的取值到B 的反射光的條數(shù)到C 的反射光的條數(shù)第21頁，共36頁。t 的取值到B 的反射光的條數(shù)到C 的反射光的條數(shù) t 的取值到B 的反射光的條數(shù)到C 的反射光的條數(shù)0.002 246-0.002 2000.002 445-0.002 4000.002 645-0.002 6000.00

12、2 846-0.002 8000.003 046-0.003 0000.003 245-0.003 2000.003 445-0.003 4000.003 646-0.003 6000.003 845-0.003 8000.004 045-0.004 0000.004 245-0.004 2000.004 445-0.004 4000.004 645-0.004 6000.004 844-0.004 8000.005 044-0.005 000表中t為點(diǎn)光源x的坐標(biāo)第22頁，共36頁。于是，可以得到 如果把整個(gè)線光源劃成個(gè)相等的微小區(qū)間，則由上述分析，第個(gè)微小區(qū)間的點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物面反射，如

13、果能恰好射到B點(diǎn)（或者C點(diǎn)），那么在B點(diǎn)的照度為第23頁，共36頁。 求光源長度的優(yōu)化解至此，已分別求得了E直、E反，于是可以得到通過條件，建立線光源長度的優(yōu)化模型：第24頁，共36頁。 代入照度額定值(1勒克斯)、高壓毛細(xì)汞燈和鹵素?zé)舻膮?shù)，得到以下結(jié)果：材料發(fā)光效率（流明/瓦）功率線密度（瓦/毫米）B點(diǎn)照度（勒克斯）C點(diǎn)照度（勒克斯）線光源的長度（毫米）高壓毛細(xì)汞燈50302.012 11.367 742鹵素?zé)?0202.126 71.512 279第一問的問題全部解決.第25頁，共36頁。 線光源反射光的亮區(qū)可以近似的看作線光源上一系列離散的點(diǎn)光源的反射光亮區(qū)的疊加. 通過如下方式產(chǎn)生線

14、光源反射光的亮區(qū)： 首先我們稱光能照射到的區(qū)域?yàn)榱羺^(qū). 以常用的高壓毛細(xì)汞燈為例（即深度= 4.2mm），來繪制出測試屏上反射光的亮區(qū).亮區(qū)圖的繪制步驟：第二問：反射光亮區(qū)的繪制第26頁，共36頁。1) 在線光源上等間距的選取一系列的點(diǎn)作為點(diǎn)光源;2) 在旋轉(zhuǎn)拋物面上產(chǎn)生均勻排列的網(wǎng)格作為反光點(diǎn)；3) 對(duì)于每一點(diǎn)光源，計(jì)算它到所有反光點(diǎn)的入射光 的方向向量及其法線方向向量；4) 通過入射光方向向量及其法線方向向量計(jì)算反射 光方向向量；5) 通過反射光方向向量及反射點(diǎn)的坐標(biāo)求出反射光 的解析式，進(jìn)而求出反射光在測試屏上的投影坐標(biāo)， 并在此處描點(diǎn). 其中，由入射光方向向量及其法線方向向量計(jì)算反射光

15、方向向量具體過程如下：第27頁，共36頁。 將入射光方向向量 X及其法線方向向量 Y 均轉(zhuǎn) c化為單位向量（如下圖所示）；任一點(diǎn)光源的向量反射光路圖 所以 Z 即為反射光的方向向量. 由幾何關(guān)系可知： 取入射光方向向量X 的反方向向量X；第28頁，共36頁。亮區(qū)圖 測試屏上反射光的亮區(qū)圖第29頁，共36頁。 第三問 設(shè)計(jì)規(guī)范合理性的討論 要解釋此設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性，就需要解釋清楚只選擇A、B、C點(diǎn)(即25米、1.3米、2.6米這些距離上的點(diǎn)) 并要求這些受光點(diǎn)處的光強(qiáng)不小于某一額定值的原因這需要從幾個(gè)方面來闡述 . 從實(shí)際著眼，司機(jī)在夜晚行車，難免有一定的安全隱患，如前方突然出現(xiàn)一橫穿公路的行人

16、，或者前方有影響正常、安全行駛的障礙物等等. 要避免交通事故的發(fā)生，就需要在一定遠(yuǎn)的距離外，司機(jī)能看到這些突發(fā)事件并及時(shí)作出反應(yīng)，采取措施 ( 如立即剎車等) .第30頁，共36頁。 而司機(jī)在遇到突發(fā)事件后總有一定的反應(yīng)時(shí)間，因此剎車總距離(也稱停車視距)為司機(jī)反應(yīng)時(shí)間距離，剎車系統(tǒng)協(xié)調(diào)時(shí)間距離和剎車距離三者合一. 為了確保安全，就必須保證進(jìn)入停車視距的突發(fā)事件被充分照亮(即該處所接受的光強(qiáng)不小于某一額定值).下面分兩種情況來計(jì)算停車視距 . 第31頁，共36頁。 情況一 正前方發(fā)生突發(fā)事件，司機(jī)或者立即剎車，或 者調(diào)整方向，繞道而行.司機(jī)反應(yīng)時(shí)間距離為 對(duì)這兩種救急措施，我們認(rèn)為其停車視距的

17、計(jì)算可歸為一類，即計(jì)算上面定義的剎車總距離.資料顯示人的反應(yīng)時(shí)間一般為1s，普通公路上車速一般為60km/h，剎車系統(tǒng)協(xié)調(diào)時(shí)間距離和剎車距離一般為8m.下面來計(jì)算停車視距.所以其停車視距為 16.7+8=24.7（m） 但由于剎車系統(tǒng)協(xié)調(diào)時(shí)間距離和剎車距離隨路面附著系數(shù)不同而不同，所以此種情況下的停車視距一般在2430米之間波動(dòng). 因此可以看出保證25米處光強(qiáng)足夠大能在一定程度上確保安全性.第32頁，共36頁。情況二 相鄰車道發(fā)生突發(fā)事件，司機(jī)立即剎車. 同時(shí)從經(jīng)濟(jì)的角度講，不選取更長的距離作為規(guī)范，是因?yàn)樵谝呀?jīng)保證安全性的前提下，避免造成浪費(fèi). 以上的討論從實(shí)際、安全、經(jīng)濟(jì)多角度出發(fā)，說明了

18、該設(shè)計(jì)規(guī)范是合理的 . 基于情況一，我們進(jìn)一步深入. 通過查資料，我們了解到一般公路的車道寬度為 2.54 米，我們以 3 米為例，這時(shí)若有行人處于相鄰車道的中線，且與車垂直距離為 25 米，正欲橫穿本車道，我們來計(jì)算一下：假定行人行走速度為 1.5m/s，其余參數(shù)同上. 則易算出行人在快要到達(dá)本車道中線時(shí)，車也剛剛 駛到，自然會(huì)出現(xiàn)事故. 因此必須照亮相鄰車道的部分情況來 使司機(jī)提前采取應(yīng)急措施. 針對(duì)不同的車道寬度，可算出此值為2.54 米。這說明僅照亮正前方 25 米還不夠，必須同時(shí)保證左右偏大約 2.6 米的地方也被照亮 .第33頁，共36頁。 7.1 優(yōu)缺點(diǎn)評(píng)價(jià) 1、運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具簡單，模型清楚易懂，可讀性好，實(shí)用性強(qiáng) . 2、運(yùn)用近似計(jì)算的思想，將運(yùn)算過程大大簡化，且對(duì)結(jié)果影響不大，增強(qiáng)了該模型的可運(yùn)行性和可移植性 . 3、引進(jìn)向量，使模型統(tǒng)一性好，巧妙地避開了運(yùn)用初等幾何知識(shí)分析時(shí)需進(jìn)行的大量復(fù)雜的討論 . 4、引入發(fā)光效率，照度等物理概念來準(zhǔn)確描述功率與光強(qiáng)的關(guān)系，受光強(qiáng)度等量，而且通過查資料得到一般測試光強(qiáng)的額定值等重要參數(shù)，實(shí)際背景較強(qiáng) . 5、但在距離求和的運(yùn)算中，考慮到毫米與米在數(shù)量級(jí)上差4個(gè)單位，因此我們忽略了毫米的微小影