高中數(shù)學(xué)空間幾何體的外接球?qū)ｎ}附經(jīng)典例題與解析

1、【知識(shí)點(diǎn)分析】：球的性質(zhì)回顧如右圖所示：O為球心，O為球O的一個(gè)小圓的圓心，則此時(shí) OO垂直于圓O所在平面求外接球半徑的原理是：在 RtOAO中，OA2=OO2+OA2常見平面幾何圖形的外接圓半徑（r）的求法1、三角形：（1）等邊三角形：等邊三角形（正三角形），五心合一，即內(nèi)心、外心、重心、垂心、中心重合于一點(diǎn) 內(nèi)心：內(nèi)切圓圓心，各角角平分線的交點(diǎn)；外心：外接圓圓心，各邊中垂線的交點(diǎn)； 重心：各邊中線的交點(diǎn)；垂心：各邊垂線的交點(diǎn)；中心：正多邊形特有。從而等邊三角形的外接圓半徑通常結(jié)合重心的性質(zhì)（2:1）進(jìn)行求解：33r 2 a a （其中a為等邊三角形的邊長）23BD=1a2由圖可得：r J(

2、h r)2 (1)2（4）非特殊三角形：非特殊三角形求解外接圓半徑可使用正弦定理sinsin sin C2Ro（2）直角三角形：結(jié)合直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;可知：直角三角形的外接圓圓心位于斜邊的中點(diǎn)處，r=c2（3）等腰三角形：結(jié)合等腰三角形中三線合一的性質(zhì)可知：等腰三角形的外接圓圓心位 于底邊的高線（即中線）上。2、四邊形常見具有外接圓的四邊形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形與長方形半徑求解方法轉(zhuǎn)化為直角三角 形，等腰梯形的外接圓圓心不在中學(xué)考察范圍內(nèi)。外接圓圓心是在圓心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相同的點(diǎn)；外接球球心則是球心到幾何體各個(gè)頂點(diǎn)距離相同的點(diǎn)。結(jié)論：幾何體

3、的外接球球心與底面外心的連線垂直于底面，（也即球心落在過底面外心的垂線上，）簡單稱之為：球心落在底面外心的正上方?！鞠嗨祁}練習(xí)】2.半徑為2的球的內(nèi)接三棱錐 P - ABC,A. 3近B.孚PA= PB= PC =C, 22243, ab = ac=bc,則三棱錐的高為（【知識(shí)點(diǎn)分析】：O必位于上下兩類型一：直（正）棱柱：上下兩底面三角形的外心連線與側(cè)棱平行與底面垂直，從而球心1底面外心連線的中點(diǎn)處，即 OO AA，從而R可求.21 .三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面 ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱D.【相似題練習(xí)】AA1垂直于底面 ABC ,且AA1 = 4,則此三棱【知識(shí)點(diǎn)分析】：類

4、型二：側(cè)棱垂直底面的三棱錐 ，法一：補(bǔ)形法：該幾何體可由正三棱柱沿平面PBC切割得來，故可轉(zhuǎn)化為原三棱柱的外接球；法二：先確定底面三角形 ABC的外心0,從而球心位于 0的正上方，即OO，平面ABC,同時(shí):OP=OA,故，過O作OM，PA于M,此時(shí)M必為PA中點(diǎn)，從而四邊形 OMAO為矩形，所以12 22OO AM PA,在直角二角形 OO A 中有：R2 r2 OO2.2【相似題練習(xí)】PA，底面ABC且PA=2,則該三棱錐的外接2.已知在三棱錐 P-ABC中， ABC是邊長為2代的正三角形，若 球的表面積為（）D. 20兀3.在三棱錐 P-ABC 中，PAL平面 ABC, PA = 2, A

5、B=4, AC =3,則三棱錐 P - ABC的外接球的/ BAC半徑R=()A.二B.C.【知識(shí)點(diǎn)分析】：類型三：正三棱錐：由底面正三角形邊長可得r,在直角三角形OO A 中，R2r2 OO2,故只需確定OO的長度即可，結(jié)合圖形， OO =PO-OP=H-R,代入R2 r2 （H R）2即可求解.【相似題練習(xí)】側(cè)棱與底面ABC所成的角為60 ,則該正三棱錐外接球半徑為2.某幾何體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1 ,則該幾何體的外接球的表面積為（【知識(shí)點(diǎn)分析】：類型四：側(cè)面垂直于底面的三棱錐：設(shè) 4ABC和4PAB的外心分別為 O ,0,則PMXAB ,球心設(shè)為O,則 00，平

6、面ABC, 00平面PAB,從而四邊形 OOMO是矩形，可得：OO=OM,在RtOOC中用 勾股定理求解.25 7t.【講透例題】1 .在四面體 A-BCD中，AB=5, BC=CD = 3, DB= z/s, AC=4, /ACD = 60 ,則該四面體的外接球的表面積為.解析：如圖：取 AB的中點(diǎn)0,在4ACD中，由余弦定理得： AD2=AC2+CD2-2X ACXCDcos60 =13,在4ABD 中， AB2= BD2+AD2, - Z ADB = 90 ,OA = OB=OD, 在ABC 中，. AB2=BC2+AC2,ACB = 90 ,. OA=OB=OC,.OA = OB=OC

7、=OD,O為四面體 ABCD的外接球的球心，其半徑【相似題練習(xí)】4.在三才錐P-ABC中，面PAB ABC,三角形 ABC和三角形PAB均為等邊三角形，且 AB=3 ,求該幾何 體外接受半徑.2.在邊長為2的菱形ABCD中，|BD=2V3,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使彳#平面 ABC,平面ACD,則所得三棱錐A - BCD的外接球表面積為(B.1 .已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓 O上異于B,C.C的動(dòng)點(diǎn)，P為平面 ABC外一點(diǎn)，且平面 PBC，平面 ABC, BC =3, PB = 2冷，PC = J目，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為5、如圖，在四棱錐 P - ABCD中，底面 ABC

8、D為長方形，PAL底面 ABCD, AD = AP=2, AB = 277, E為棱PD 中點(diǎn).(1)求證：PDL平面ABE;(2)求四棱錐 P - ABCD外接球的體積.1 .如圖，在正四棱錐 P-AMDE ,底面AMDE的邊長為2,側(cè)棱PA=Y號(hào)，B, C分別為AM, MD的中點(diǎn).F為棱PE的中點(diǎn)，平面 ABF與棱PD, PC, PM分別交于點(diǎn) G, H, K.(1)求證：AB / FG;(2)求正四棱錐 P-AMDE的外接球的表面積.1 .如圖，四凌錐 P-ABCD而底面ABCD是矩形，側(cè)面 PAD是等腰直角三角形/ APD =90 ABCD.(I)求證：平面 PAD，平面 PCD;(n

9、)在 AD=2, AB=4,求三棱錐 P- ABD的體積；(出)在條件(n)下，求四棱錐P - ABCD外接球的表面積.,且平面PAD，平面7、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 棱錐的外接球的表面積是()1,粗實(shí)線畫出的是某四棱錐的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該四D. 22兀課后作業(yè):1 .如圖，一個(gè)正三棱柱的主視圖是長為明,寬為2的矩形，俯視圖是邊長為 6的正三角形，則它的外接球的表面積等于（12兀8兀4兀2.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的表面積C.兀3.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的外接球的表面積為（6兀12兀4.四棱錐

10、 P-ABCD中，ABCD為矩形,AD = 20 AB = 2,PA= PD, / APD且平面PAD，平面ABCD.(1)證明：PAXPC;(2)求四棱錐 P - ABCD的外接球的體積.參考答案與解析BC =(5分)已知A, B, C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)， 。01為 ABC的外接圓.若。O1的面積為4冗,ABAC=OO1,則球0的表面積為()A. 64兀B. 48兀C. 36兀D . 32 ?！窘獯稹拷猓河深}意可知圖形如圖：。1的面積為4兀，可得O1A=2,則AO1 = ABsin60 , 5Ao. AB= BC= AC= OO1 =外接球的半徑為：R= Ja012+0012=4,球O的

11、表面積：4X ttX 42=64兀.故選：A.CABV外接球CAB如圖2PB-0PRtAPMB解析：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，其中底面是一個(gè)兩直角邊都為D. 2D. 3BPM = 30由余弦定理得 cos/ BPMPBM = 60球O的內(nèi)接三棱錐 P - ABC的球心O在PM所在直線上1.1. 一個(gè)幾何的三視圖如圖所示，它們都是腰長為1 ,半徑為2的球的內(nèi)接三棱錐 P - ABC, PA=PB=PCPM= PBsinZ PBM = 3.故選：D故選：BO 的半徑為 2, OB = OP = 2三棱錐 P-ABC 中，PA=PB=PCp作PM，平面ABC的垂足為 M ,貝PC

12、,底面 ABC,且 PC= 1 .將此三棱錐恢復(fù)為棱長為 1的正方體，可知該正方體的外接球的直徑即為正方體的對(duì)角線京等523.外接球的表面積為： 4兀2二6432.已知在三棱錐 球的表面積為32兀P-ABC中， ABC是邊長為2n目的正三角形，若 PAL底面ABC且PA=2,則該三棱錐的外接)28兀24兀【解答】解:由正弦定理可知，正 ABC的外接圓的直徑為20兀2V3Giry1 .三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面 ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱 AA1垂直于底面 ABC,且AA1 = 4,則此三棱 柱外接球的表面積為(C.D.【解答】解：二,正三棱柱 ABC-A1B1C1的中，底面邊長

13、為 2,高為4,由題意可得：三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心, 正三棱柱ABC - A1B1C1的外接球的球心為 O,外接球的半徑為 r,表面積為：4 /3，三棱錐外接球的半徑 R= OA=1故答案為：1.2.某幾何體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該幾何體的外接球的表面積為（）A. 16兀B. 12兀C. 9兀D. 8?！窘獯稹拷猓焊鶕?jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面為等腰直角三角形，高為2的三棱錐體.如圖所示：所以該三棱錐體的外接球的球心為O,外接球的半徑為 OA=r,貝U： r=（2_T（V2）2，解得 r2-

14、故 s= 4兀又卷=9n 故選：C.4.在三才錐P-ABC中，面PABL面ABC,三角形 ABC和三角形PAB均為等邊三角形，且 AB=3 ,求該幾何體外接千半徑.由題可得：OO OM 1PM ,r工3AB J3,所以R Jr2 OO2 115 32322.在邊長為2的菱形ABCD中，|BD=2V3,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使彳#平面 ABC,平面ACD,則所得三棱錐A - BCD的外接球表面積為(3TTB.14元C.2。元中，BD=2V3;如圖,【解答】解：二.在邊長為2的菱形ABCD由已知可得， ABC與4ACD均為等邊三角形，取 AC中點(diǎn)G,連接 BG, DG ,貝U BGXAC

15、,DG=? cos/ GDA=-2? /GDA =? /ADC =二面角 B-AC-D為直二面角，則 BGL平面 ACD,分別取 BCD與4ABD的外心E, F,過E, F分別作兩面的垂線，相交于 O,則O為三棱錐A-BCD的外接球的球心，由 BCA與 ACD均為等邊三角形且邊長為 2,可得 OE=OF = DG =DE=DG-GE = 3 OD HVoe2+ed2 =J陰，(心亭.二三棱錐 A- BCD的外接球的表面積為 4TtXR2=4TtX (丫|五)2=告工1 .已知點(diǎn)A是以BC為苜色的圓 O上異于B, C的動(dòng)點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，且平面 PBCL平面ABC, BC = 3, PB

16、 = 2M2 PC = V5,則三棱錐 P-ABC外接球的表面積為10兀.【解答】 解：因?yàn)镺為 ABC外接圓的圓心，且平面 PBCL平面ABC,過O作面ABC的垂線1,則垂線l 一定在面PBC內(nèi)，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線1,在4PBC中，由余弦定理得球心O1 一定在面PBC內(nèi)，即球心 O1也是 PBC外接圓的圓心，由正弦定理得:三棱錐p-ABC外接球的表面積為 s= 4 #2= 10兀，故答案為：10 7t.sinB1 .如圖，在四棱錐 P - ABCD中，底面 ABCD為正方形，PAL底面 ABCD, AD = AP=2, AB = 2V7 , E為棱PD 中點(diǎn).(1)求證：PDL平面

17、ABE;(2)求四棱錐 P - ABCD外接球的體積.【解答】 證明：(1)PA，底面 ABCD, AB?底面ABCD,PAAB,又二.底面 ABCD為矩形, ABXAD, PAAAD,又 PA?平面 PAD, AD?平面 PAD,.AB,平面 PAD,又 PD?平面 PAD, ABXPD, AD = AP, E 為 PD 中點(diǎn)， AEXPD, AEA AB = A, AE?平面 ABE, AB?平面 ABE,PD,平面 ABE.解：(II)四棱錐P - ABCD外接球球心是線段 BD和線段PA的垂直平分線交點(diǎn) O,由已知 BD = ab2+AD 2r 2、(而?=4 設(shè) C 為 BD 中點(diǎn)，

18、AM = 2/2, OM aP = 1, OA =產(chǎn) 出 +匕0 2=3,，四棱錐P-ABCD外接球的體積是 9 WAN=36兀.1 .如圖，在正四棱錐 P-AMDE ,底面AMDE的邊長為2,側(cè)棱PA=VS, B, C分別為AM, MD的中點(diǎn).F為棱PE的中點(diǎn)，平面 ABF與棱PD, PC, PM分別交于點(diǎn) G, H, K.(1)求證：AB / FG;(2)求正四棱錐 P- AMDE的外接球的表面積.【解答】(1)證明：在正方形 AMDE中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以 AB / DE .又因?yàn)?AB?平面PDE , DE?平面PDE,所以AB/平面 PDE .因?yàn)锳B?平面 ABF,且平面 A

19、BFA平面 PDE=FG,所以 AB / FG .(2)解：連接 AD, EM,相交于 O,易得 AO =V2, PO =3由正四棱錐P - AMDE的對(duì)稱性，得正四棱錐 P-AMDE得外接球球心在線段 PO上，不妨設(shè)為 O 點(diǎn).設(shè) OA=OP=R,則 OO=行R, . AO2=AO 2+OO 2,，R2 = 2+ R) 2,.R=Q，S= 4兀0=，:兀，.正四棱錐 P - AMDE的外接球的表面積為止S331 .如圖，四凌錐 P-ABCD而底面ABCD是矩形，側(cè)面 PAD是等腰直角三角形/ APD=90 ,且平面 PAD,平面ABCD.(I)求證：平面 PAD，平面 PCD;(n)在 AD

20、=2, AB=4,求三棱錐 P- ABD的體積；(出)在條件(n)下，求四棱錐 P - ABCD外接球的表面積.【解答】解：(I)二四邊形ABCD是矩形，AD LCD,又,平面 PAD，平面 ABCD,平面PAD n平面 ABCD = AD, CD?平面ABCD, CD，平面 PAD, .CD?平面 PCD,平面 PAD，平面 PCD .(II)過P作PEXAD,垂足為 E, PAD是等腰直角三角形，/ APD=90，.=PE =1 g = 12平面 PAD，平面 ABCD,平面 PAD n 平面 ABCD = AD , PE?平面 PAD, PE LAD,PEL平面 ABCD, V 棱錐 P

21、 - ABD =(III)取BD中點(diǎn)M,過 M作MN,平面 ABCD,則球心 O在直線 MN上,連接AM ,則AM =ad2=Vr 1 PEL平面 ABCD, MN / PE.二.四棱錐P-ABCD內(nèi)接于球,.E 為外心，OM= , .1. OA =2=、21 .So o= 4 TtOA2= 20 兀.1.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 棱錐的外接球的表面積是(1,粗實(shí)線畫出的是某四棱錐的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該四 )【解答】解：幾何體的直觀圖如圖:是長方體的一部分，上底面幾何體的外接球的半徑為：該四棱錐的外接球的表面積是：4JTX Q 坦)2=苴 兀.故選：A.112 課后作業(yè)答案：1 .如圖，一個(gè)正三棱柱的主視圖是長為寬為2的矩形，俯視圖是邊長為 右的正三角形，則它的外接球的表面積等于（）主視圖看情視圖A. 16兀B. 12?！窘獯稹拷猓涸O(shè)正三棱柱的外接球的半徑為，底面三角形外接圓的半徑為 手 X寸豆=正三棱柱的外接球的半徑為 由+1=6C. 8兀D. 4兀R,則二.俯視圖是邊長為 6 的正三角