高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編

1、高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編課堂教學(xué)改革的目的，一是要打破傳統(tǒng)教學(xué)束縛學(xué)生手腳的陳舊做法；二是要遵循現(xiàn)代教育以人為本的的觀 念，給學(xué)生發(fā)展以最大的空間；三是能根據(jù)教材提供的基本知識(shí)，把培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力作為教學(xué)的重 點(diǎn)。數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)是以學(xué)生探究為基本牲的一種教學(xué)活動(dòng)形式。具體是指在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自 主學(xué)習(xí)和合作討論為前提，以學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以現(xiàn)行教材為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充 分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑嘗試活動(dòng)，自己發(fā)現(xiàn) 問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的一種教學(xué)活動(dòng)形式。它可使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和掌握科學(xué)

2、方法，為學(xué)生終身 學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。探究性試題有助于數(shù)學(xué)思維的提高。1.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù) f(x)的全體：在定義域內(nèi)存在 x0 ,使得f(Xo +1)= f(Xo計(jì)f(1)成立。(I)函數(shù)f(x)=1是否屬于集合 M?說(shuō)明理由；X(n )設(shè)函數(shù)f (x )= lg - W M ,求a的取值范圍；x 1(出)設(shè)函數(shù) y=2x圖象與函數(shù)y =-x的圖象有交點(diǎn)，證明：函數(shù)f(x)=2x + x2wM。1 11斛：(I)右f (x )= 1= M ,在定乂域內(nèi)存在 x0 ,則=一十1= x0+x0+1 = 0 ,x% 1 x0.-萬(wàn)程 x0 +x +1 =0 無(wú)解，f(x)= M。x(

3、n) f(x)=lgawm= lga= lg +lg9= (a - 2 x2 + 2ax + 2(a -1 )= 0,x2 1x 1 2 1x2 12a=2 時(shí)，x=1；a =2時(shí)，由之0 ,得 a2 6a+4M0= aw 3卷,2L(2,3 +新。2a 3 - 5,3 ,51。(m)f (x0 +1)f(x0 )-f(1 )=2%+ +(x0 +1f 2 %2 3 = 2x +2(% 1) = 21,+(%“，又函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,則 2a +a=0= 2+(x0 1)=0,其中 x0 =a+1。f(x0 +1 )= f(x0 計(jì) f(1 ),即

4、f(x)=2x +x2 w M 。2.已知f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的x、yWR都滿足：f (x) f (y) = f (x y)(1)求f(0)的值，并證明對(duì)任意的 xw R ,都有f (x) 0;(2)設(shè)當(dāng)x c0時(shí)，都有f(x)f(0),證明f (x)在g,)上是減函數(shù);(3)在(2)的條件下，求集合 *(SJ f),，f (SJ，f(lim Sn)中的最大元素和最小元素。 nT 二解：(1) f (0) ,f (0) = f(0), f (0) 0,二 f(0) =1f ( ) - 0, . f (x) = f ( ) f () = f ( ) 2 , 02222

5、.當(dāng) x f (0) =1 6分，當(dāng) X1 x2,即 X1 -x2 0 ,其前n項(xiàng)和為Sn ,且滿足a2 a =45,a +a4=14,求數(shù)列 &n的通項(xiàng)公式;S (2)通過(guò)bn =構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列bn,是否存在一個(gè)非零常數(shù) c,使bn也為等差數(shù)列; n c(3)求 f(n)=bn(n 2005) bn 1(n N*)的最大值。解：(1) .等差數(shù)列a中，公差d A0,a2 a3 =45a1 +a4 =14a2 a3 =45二 ”2 a a3 =14a2a3=5 二9一d =4= an =4n 3。SnSn2nm2)人1一，令 c = 一 ,即得 bn = 2n , 2數(shù)列n 為等差數(shù)列，存在

6、一個(gè)非零常數(shù) C = -1 ,使由n 也為等差數(shù)歹限2(3) f (n)=bn(n 2005) bn 1 n 2005 n 1=, n 2005 20062,2005 2006n. 45 - J2005 - (&005 -44 )= 89 -2V2005 = 7921 - V8020 0, TOC o 1-5 h z 459即 45 J2005 0,令函數(shù)f (x)為函數(shù)g(x)和h(x) x 3的積函數(shù)。(1)求函數(shù)f(x )的表達(dá)式，并求其定義域;_1一 .(2)當(dāng)a =時(shí)，求函數(shù)f x的值域；4(3)是否存在自然數(shù) a,使得函數(shù)f(x)的值域恰為I1,- 1?若存在，試寫(xiě)出所有滿足條件的

7、自然數(shù) .3 2的集合；若不存在，試說(shuō)明理由。解：(1)f(x)=-, xe b,ata0)。 x 3(2) .a=1 , .函數(shù) f(x )的定義域?yàn)?p,1 1,令 Jx + 1=t，則 x = (t1f , tw hl4. 4_ 2a所構(gòu)成tt 4一”_2 t同時(shí)4,t+彳遞減，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增,4, 八.t=時(shí)，t=芟正 t.F(t)41,6 即函數(shù) 能)的值域?yàn)镴,6L|3 13|3 13(3)假設(shè)存在這樣的自然數(shù) a滿足條件，令 jx +1 = t ,y-2t十廠t + f 一2 t0,aa 0 ),則t w 1. +1，要滿足值域?yàn)間21則要滿足Nt-W， 44由于當(dāng)且僅當(dāng)t=

8、口 t=2時(shí)，有t十一、一、,1一至4中的等號(hào)成立，且此時(shí) F(t )=-恰為最大值,F(t城1,2】上是增函數(shù)，在 2,Ji十1上是減函數(shù)，F(xiàn)&G+1 )=三史上1之1= 0 a 9,a 33綜上，得1 Ma W9 。6、已知二次函數(shù)f僅)=x2 - ax + a(x w R)同時(shí)滿足：不等式 f(x)0的解集有且只有一個(gè)元素；在定義域內(nèi)存在0 x1 x2 ,使得不等式f (x1f (x2 )成立。設(shè)數(shù)列1 的前n項(xiàng)和Sn = f (n ),(1)求數(shù)列&n的通項(xiàng)公式;(2)試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列 K ,(寫(xiě)出bn 的一個(gè)通項(xiàng)公式)滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n都有bn an,且四0aL = 2,并說(shuō)明理由

9、;(3)設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列 右n中，所有滿足 c c由0的正整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列 %的變號(hào)數(shù)。令, a , Cn =1 (n為正整數(shù))，求數(shù)列 an解：(1)f(x)M0的解集有且只有一個(gè)元素，A=a24a =0= 2=0或2 = 4,當(dāng)a =0時(shí)，函數(shù)f (x )=x2在(0,收)上遞增，故不存在0 x1 f (x2)成立。當(dāng)a = 4時(shí)，函數(shù)f (x)=x2-4x+4在(0,2)上遞減，故存在0 x1f(x2 )成綜上，得 a = 4 , f (x )= x2 -4x + 4 , . Sn = n2 -4n + 4 , 口.二$.一二4一5vn 2a(2)要使lim =2,可構(gòu)造數(shù)列

10、bn = n k , 對(duì)任意的正整數(shù) n都有bn an, n必當(dāng)n之2時(shí)，n - k 5 k恒成立，即5 k3,3又bn #0,k 正 N ，.二 bn = n ，等等。2- 3 n =1 TOC o 1-5 h z (3)解法一：由題設(shè)cn = 0 ,，n 2 3 時(shí)，數(shù)列 tn遞增，2n -5 2n -3 2n -5 2n -34 a4 = 5,可知a4 a5 0,即n之3時(shí)，有且只有1個(gè)變號(hào)數(shù);32n-54 5又 G = -3 C2 =5, C3 = -3,即 c1c2 0,c2 c3 0 ,，此處變號(hào)數(shù)有 2 個(gè)。綜上得 數(shù)列主口共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3。解法二：由題設(shè)cn-3,n

11、 -14，1 ,n _22n -5人2n -9 2n -7n 之 2 時(shí)，令 cn Cn* 0 =0 =2n -5 2n -33:n25T 7 或 22綜上得7.已知復(fù)數(shù)解：（1）=一3,c2 = 5,，n = 1 時(shí)也有 g c2 0o數(shù)列Qn ）共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為 3。2_2 a 2a -15.z=a a6 +21 ,a -4當(dāng)a亡（2,2 ）時(shí),是否存在實(shí)數(shù)a ,2a2 2a-15.v1的取值范圍;使得z20 ,若存在,求出 a的值;若不存在，說(shuō)明理由。2a -15.a2 -4（理） z2 Vab (當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)取等號(hào))”推廣到三個(gè)正數(shù)時(shí)結(jié)2 一.論是正確的，試寫(xiě)出推廣后的

12、結(jié)論(無(wú)需證明)；(2)若f(x0在(0,2 恒成立，且函數(shù)f(x)的最大值大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并由此猜測(cè)y=f(x) 的單調(diào)性(無(wú)需證明)；(3)對(duì)滿足(2)的條件的一個(gè)常數(shù) a,設(shè)x = x1時(shí)，f(x叫得最大值。試構(gòu)造一個(gè)定義在D =xx A_2,且x=4k_2,kw N 上的函數(shù) g(x ),使當(dāng) xw(2,2 陽(yáng)，g(x)= f(x),當(dāng) xw D 時(shí)，g(x)取得最大值的自變量的值構(gòu)成以 x1為首項(xiàng)的等差數(shù)列。b=c時(shí)取等號(hào))。解：(1)若a、b、c R*,貝U a +b +cbC (當(dāng)且僅當(dāng) a一o 1 。 f(2) f(x)=axx =xa2 I31 2 , ( ,-x

13、2在(0,2)上恒成立,212-，2 x2 J0在(0,2)上恒成立，即1 ，-x2 w 0,2 , . . a2 之 2 ,即2-1x2 .2x2 +c1C2I2a - x232、32a21 262,6 3x ，即 x =a 時(shí)，f max =a a 1 =2392.64又 x =6a - 0,2 , . . a w(0,76 13綜上，得aw V2,6 )。易知,6f x是奇函數(shù)，: x = -6a時(shí)，函數(shù)有最大值，3x = -E6a時(shí)，函數(shù)有最小值。3故猜測(cè):x 匚一2,亞aJ遮a,2%f(x沖調(diào)遞減; 3-3 JV60故a 00,要使f (x92,+oc上單調(diào)遞增，必須滿足 J 4a之

14、1。2 2a(n)若 a=0, f (x )= 244+2b - b2x ,則 f (x)無(wú)最大值，故 a#0,. f(x)為二次函數(shù)，a 0要使f x而最大值，必須滿足 ,9 ，即a 0且1 J5 Eb 1十。5 ,4 + 2b-b2 之04 2b - b2一 一 一此時(shí)，x = x0 =時(shí)，f (x)有最大值。a4 2b - b2cc2又 g(x 咫最小彳1時(shí)，x=x0=a，依題意，有上b-b=aw Z ,則 a2 = j4+2bb2 = %；5(b1),a a 0且 1 j5 w b w 1 + 75 ,0 (出)當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b .(1,1)( 1,3 /，f(x)=x22x依題意，只

15、需構(gòu)造以 2 (或2的正整數(shù)倍)為周期的周期函數(shù)即可。如對(duì) xw (2k -2,2k ), k w N,x-2k = (-2,0),此時(shí)，h x =hx2k = f x-2ki； =ix-2k 2 -2 x -2k ,故h(x)=僅2kf 2(x2k)xw(2k2,2k,kw N。10.已知在數(shù)列an中，a1=1, a2n=qa2n4, a2n由=a2n+d ( q、dwR,q#0)。(1)若 q =2, d =-1 ,求徭、a4,并猜測(cè) a2006 ;(2)若a2n_J是等比數(shù)列，且a2n是等比數(shù)列，求q、d滿足的條件；一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地運(yùn)動(dòng)，第n次

16、運(yùn)動(dòng)的位移是an ,質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)Pn。設(shè)點(diǎn)P4n的橫坐標(biāo)為 刈門(mén)，若d =0,若1&/4n = 3 , 求q。解：(1) , a1 = 1, a2 = 2, a3 = a? 1 = 1, a4=2a3 = 2 , (2 )二猜測(cè): a2006 = 2. (4)(2)(理)由 a2n =qa2n1, a2n 由=a2n *d 得22n 由=qa2n 7 *d ,當(dāng)d =0時(shí)，a2n+ =qa2n2)，當(dāng)q =1時(shí)，a2n =a2n/ +d (n2),顯然a2n是等差數(shù)列，當(dāng)q#1時(shí)，a2 =qa1 =q，只有a2n =q時(shí)，a?n才是等差數(shù)列, a2n 書(shū)=q(a2n +d)= q+d=1,即 q

17、=1,或 q+d=1)_3-q ,綜上，q、d滿足的條件是q+d =1 (3) a2n4 =qa2n,. a2n1=qnJL (122X4 二 a1 -a3 =1 -q,X8 =1 -q q.232n _22n 1X4n=1-q q -q -q -q nmx4n =系=上qfn(x), n為奇數(shù)；f1 fn(x-1),n為偶數(shù)。111 已知函數(shù) f1(x)=f(x), f2(x)=f1 (X), fn 書(shū)(X)(1)若函數(shù)f1(x)=Jx,求函數(shù)f3(x)、f4(x)的解析式；(2)若函數(shù) f(x) =logz(x), x w 1, a,函數(shù) y= f3(x)，f4(x)的定義域是1,2,求a

18、的值；(3)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，且函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于直線 x = a 對(duì)稱(chēng)。當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)=JX,求正數(shù)a的最小值及函數(shù)f (x)在-2,2上 的解析式。1 一斛：(1) - f|(x) = Nx,x w 0,+吟，(1 ) f2(x)=f1 (x) = x , x w 0,+0)； 21f3(x) = f1f2(x1) = f1(x-1)2 =x1,xW1,+g) ；f4(x)= f3 (x) = x + 1,xW0,+s).f(x) =log2 X, xw1,a,，f? (x) = f/(x) = 2X, x w 0, log? a .f3(x) =f1

19、f2(x-1) =log2(2X)=x-1,x 1,1 logza,12f4(x) = f3 (x) =x +1, xu 0, log2 a,. . y = f3 (x)，f4(x) = x 1, x= 1, log2 a.由題設(shè),得log2a = 2=,a = 4. f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)=f(x)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 x = a對(duì)稱(chēng)，f(x) = f(2ax)在式中以x替換x,得f (x) = f (2a+x)由式和式，得f (2a+x) = f (x)在式中以x+2a替換x,得f (4a + x) = f (2a + x) 由式和式，得 f(4a x)=f(x) (

20、14 )f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，正數(shù) a的最小值是1.當(dāng) XW0,1時(shí)，f (X) = VX,當(dāng) xW-1,0時(shí)，XW0,1,f (-x) = - f (x),即 f (x) = -v - x .:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱(chēng)，. ,當(dāng) xW(1,2時(shí)，2- x0,1) , f (x) = f (2 - x) = V2 - X當(dāng) xW-2,-1)當(dāng)，一xW(1,2 , f(-x) = J2+X =-f (x),即 f(x) = 12 + x.一 .二 2 -x, x (1,2，f(x). x，x 0,1i x, x -1, 0)-2 x, x -2,-1)12.已知等差

21、數(shù)列 配）的首項(xiàng)為p,公差為d （d 0）.對(duì)于不同1 V的自然數(shù)n,直線x=an與x軸和指數(shù)函數(shù)f（x） =（1）x的圖像分別 2B1yiA1A2B2B1 A2A3B3B2的面積分別為 當(dāng)和電，一般地記直角梯形 AnA+Bn4Bn的面積為Sn .B2(1)求證數(shù)列 是公比絕對(duì)值小于1的等比數(shù)列;(2)設(shè)L 的公差d =1 ,是否存在這樣的正整數(shù)n,構(gòu)成以、，書(shū),為邊長(zhǎng)的三角形？并請(qǐng)說(shuō)明理由;AiA2(3)（理）設(shè)n的公差d （d A 0）為已知常數(shù)，是否存在這樣白實(shí)數(shù)p使得（1）中無(wú)窮等比數(shù)列 1n各項(xiàng)的和 （文）設(shè) L的公差d =1,是否存在這樣的實(shí)數(shù) p使得B3S2010?并請(qǐng)說(shuō)明理由.

22、（1）中無(wú)窮等比數(shù)列也各項(xiàng)白W口 S2010?如果存在，給出一個(gè)符合條件的p值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解.(1) an=p+(n_1)d, bn =(；)用9ddSn =2p(n)d . (i) pnd =g (i)p 22 2Lndi ,對(duì)(1)nd .(1)(n1)d1 .(1)dsn 1 _ 22=2Sn(1 )(n 1)d . ( 1) nd 2d -1221=（2）,所以數(shù)列&n ）是等比數(shù)列且公比/1 dq =(3)q 4,這是不可能的所以對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n,以bn,bn + ,bn也為邊長(zhǎng)不能構(gòu)成三角形10分（3）（理）由1)知，0 q 201018分2 2010 (2d _1)說(shuō)

23、明：如果分別給出a1與d的具體值，說(shuō)明清楚問(wèn)題，也參照前面的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分，但不得超過(guò)該部分分值的一半。 TOC o 1-5 h z 、31(又)&q =-11 分22 p 2所以5=&=314分1 . .q2 P 1如果存在 P使得S=I3jT 2010,即2P 16分 2P 14020 1340兩邊取對(duì)數(shù)得：p 2010也可。p 113.函數(shù)f(x)=X (a, b是非零實(shí)常數(shù))，滿足f (2)=1 ,且方程f(x)=x有且僅有一個(gè)解。ax b(1)求a、b的值；(2)是否存在實(shí)常數(shù) mj使得對(duì)定義域中任意的x, f(x)+f(mi- x)=4恒成立？為什么？(3)在直角坐標(biāo)系中，求定點(diǎn)

24、 A - 3,1)到此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P的距離| AP的最小值。x(1)由 f (2)=1 得 2a+b=2,又 x=0 te是萬(wàn)程 =x 的解，ax b一、，1 一一所以=1無(wú)解或有解為 0,ax b若無(wú)解，則ax+b=1無(wú)解，得a=0,矛盾， 一，1右有斛為0,則b=1,所以a= 2(2) f (x)= -2x-,設(shè)存在常數(shù) mj使得對(duì)定義域中任意的x, f(x)+f(mi- x)=4恒成立，x 2取 x=0,則 f (0)+ f (rrr 0)=4 ,即 2m =4, m= - 4(必要性) m 22x 2( -4 - x)又 m= -4 時(shí)，f (x)+f ( - 4 - x)=+=

25、4成立(充分性)x 2- 4 - x , 2所以存在常數(shù) m= -4,使得對(duì)定義域中任意的x, f (x)+f (m-x)=4恒成立，(3)| AP| 2=(x+3)2+( x2)2,設(shè) x+2=t, tw0, x 22 ,2 t -4 2 , 2 ,8 16,2 16,4,4 2,4 TOC o 1-5 h z 貝U| AP =(t+1) +()=t+2t+2+ 2 =(t + 2 )+2( t - )+2=( t -) +2(t -)+10tt t tttt=(t - - +1) 2+9,t所以當(dāng)t - 4+1=0時(shí)即t= 1 v17 ,也就是xJ5,17時(shí),t22| AP| min =3

26、.已知元素為實(shí)數(shù)的集合 S滿足下列條件：1、0里S ；若a w S ,則 w S(1 )若2,-2 S,求使元素個(gè)數(shù)最少的集合S；(2城上一小題求得的集合 S中，任取3個(gè)不同元素a,b,c ,求使abc = -1的概率。(3 )(本小題選理科的學(xué)生做，選文科的學(xué)生不做)若非空集合S為有限集，則你對(duì)集合 S的元素個(gè)數(shù)有何猜測(cè)？并請(qǐng)證明你的猜測(cè)正確。一 _1解 1 2 S=-1 S =1 -21u2S二工=2乏S;1-121- -2311-1 3S=11一3 2,使2,-2)c S的元素個(gè)數(shù)最少的集合 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark193 o Current

27、Document 11 3S為 J2,-1,-,-2,-,- HYPERLINK l bookmark67 o Current Document 23 211 3(2段a,b, c是S = W2,-1,2,b中二個(gè)不同兀素，且使abc = -1,由于S中僅有2個(gè)負(fù)數(shù)，故只有如下兩 23 211 3種可能：2 -1 = -1, 一2 = -1 HYPERLINK l bookmark152 o Current Document 23 2，所相對(duì)的概率為 P = WC；110(3月空有限集S的元素個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)證明如下:設(shè)awS,則a #0,1且c1 ca S- S =1 -a1 a -1 =u

28、1， a1 -aS=由于a1 一 a1 一 豐同理1 a-a +1 =0(a #1 ),1 -a但a2 -a +1 =0無(wú)實(shí)數(shù)根a -1 a -1-, aa a1 a若存在bwS,而b正4a,a .1-a-1則a(若b -1b 產(chǎn)S且ja,11 -aa -1 ! _ I 1 b -1 b, , 一 二 -a I I 1-b bb, 1 -b1 a一1,1 a1a, ,h則利用前述的 *式可知b= a,H1-a a. 1 -a a1a,1-ab -1U i工S ,1 -b b上述推理還可繼續(xù)，由于S為有限集，故上述推理有限步可中止二S的元素個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)。.已知二次函數(shù)f (x) =ax2+bx

29、(a、b為常數(shù)且a / 0)滿足條件：f (x+5) = f (x3),且方程f(x) = x有等 根。(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù) nr n(mn),使f (x)的定義域和值域分別是m, n和3m, 3n?如果存在，求出 m n的值； 若不存在，說(shuō)明理由。 TOC o 1-5 h z b11a1 2.解：(1)由條件易得2 2a= 2， f (x) = x2+x7分 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document .2 一 .2：=(b -1) =0 b = 11c1 c 1(2) 假設(shè)存在這樣的 m n滿足條件，由于f(x)=-x +x

30、=(x-1) + HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 222，1 r 1 一 ，一一，一、，一一，一一，所以3n2即nw 6 1,故二次函數(shù)f ( x)在區(qū)間mn上是增函數(shù)， 從而有f (m) =3m 一 l m = -4,0 -,m ：二 n m = -4,n =0f(n)=3nn - -4,016.已知函數(shù)f (t) =at2 -Tbt + (t w R,a 0)的最大值為正實(shí)數(shù)，集合4aA =x | xa 0,集合 B =x | x2 b2。 x(1)求A和B ;(2)定義A與B的差集：A-B =x|xw A且x任B。設(shè)a,b,x均為整數(shù)，

31、且x w A。P(E)為x取自A B的概率，P(F)為x取自A，B的概率，寫(xiě)出a與b的1二組值，使 P(E)=一, P(F)=一。3(3)若函數(shù)f(t)中，a, b是(2)中a較大的一組，試寫(xiě)出 f(t)在區(qū)間n普川 上的最大值函數(shù) g(n)的 表達(dá)式。(1) f(t) =at2 加十表(tWR),配方得f(t)=a(t普)2十好，由a0: b1。 a a/. A = x a x 0 , B = x | -b x b。(2)要使P(E)號(hào)，P(F)=3?？梢允笰中有3個(gè)元素，AB中有2個(gè)元素，AB中有1個(gè)元素。則33a = Y, b =2。A中有6個(gè)元素，AB中有4個(gè)元素，AB中有2個(gè)元素。則

32、a=-7,b=3(3)由(2)知 f(t) =yt2 一行 一 1 (t Wn 、?,n)16oYn2 -拒n -116,n 一字g(n)16,-i2n017.給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任一個(gè)自變量 x。，都有函數(shù)值f(x0)W D ,則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在D上封閉。(1)若定義域D= (0, 1),判斷下列函數(shù)中哪些在D上封閉，且給出推理過(guò)程f i(x)=2x-1 , f2(x)= -4x2 -2x +1, f3(x)=2 x-1 , f4(x)=cosx.;(2)若定義域Q= (1, 2),是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)= 等在D上封閉，若存在，求出a的值，并給出證明，若不存在，

33、說(shuō)明理由。解：(1) -. f1( 1 )=0 2(0,1) , f(x)在 Di 上不封閉；(2).f2(x) = -(x+ !)2+8 在(0,1)上是減函數(shù)，0f2(1) Vf2(x) Vf2(0)=1 ,.f2(x) W(0,1) 3f2(x)在 Di上封閉；(4). f3(x) = 2 x-1 在(0,1)上是增函數(shù)，0=f 3(0) f 3(x) f 3(1)=1 ,.f3(x) w(0,1) =f3(x)在 Di上封閉；(6). f 4(x)=cosx 在(0,1)上是減函數(shù)，cos1=f 4(1) f 4(x) 0,則f(x)在(1,2)上為增函數(shù)，故應(yīng)有f (1)之1 一2=

34、2 (10 ) f (2) 2 a 至2若 a+10=0,則 f(x)=5 ,此與 f(x) (1,2)不合,(12)若a+101 -1 ,C1。行，且p是滿足(2)的正常數(shù)，試證：對(duì)于任意Cn 1自然數(shù)n ,或者都滿足C2nA J2, C2n J2 ；或者都滿足CJ2 , C2n 3。 1(文)若bn是滿足(2)的數(shù)列，且(bn尸成等比數(shù)列，試求滿足不等式：b1 +b2 -b3 +(1)n bn豈2004的自然數(shù)n的最小值。解(1)an=2(/* =2，.-an-2 =高W8=2 ,則加4。即an的最大項(xiàng)的值為4。3 13 13 1 3 11(2)欲使(bn)3成等比數(shù)列，只需 bn成等比數(shù)

35、列。bn =!二P =竽 3n+個(gè)，只需 竽 =0或竽 =0即可。解得P =2 p o(3)(理)p v,Cn * = Cn 由=1 *c；由，C1A1,CnA1 o又C1 #i/2C2=4 2，Cn#H 2 o(C2n 一夜)(C2n一尤)=C2n2n：11 0 ,C2n4, C2n /與；或 C2n二 2。(文)p =4 不合題意，p=2=bn=3n,據(jù)題意，UI； 仝2004=(田7019，nmin=8。19、已知數(shù)列 Gn中，a 二1,a2n = qa2n，a2n由=a2n +d (q,d=R)(1)若 q =2，d = -1,求 a3,a4,并猜測(cè) a2006 ；(2)若a2n/成等

36、比數(shù)列，(a2n成等差數(shù)列，求q, d滿足得條件；(3) 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，依次安向右，向上，向左，向下的方向交替運(yùn)動(dòng)，第n次運(yùn)動(dòng)的2位移ZEan,質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)Fn,設(shè)點(diǎn)P4n的橫坐標(biāo)為x4n,右d = 0,limx4n= 一，求q。X 二 3解：改=1e4 =2總006 =2a2n 1 qa2ni d ,當(dāng)d = 0,顯然成立；當(dāng) d #0, & =l,a2nJ=1 ,則 q + d =1 ；a2n =q a2nN d當(dāng)q =1 ,顯然成立；當(dāng) q #1,只有an =q，則q +d =1232n J32n JXn =1 -q +q -q +q -q211lim x4n = 一 =- q =3

37、 1 q 21f1 X = f X , f2 X = f1 X ,20、已知函數(shù)fn書(shū) X；=fn/X ,n為奇數(shù)fn.1 X = f1 fn X-1 ,n 為偶數(shù) f1(X)=jX,求 f3(X ), f4(X )的解析式；(2)若函數(shù) f(x ) = log2 x,x w 1,a，函數(shù) y = f3(X 皤(X )是 4,2，求 a ；(3) f (x用定義在R上的函數(shù)，且其為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱(chēng)當(dāng)XW 10,1, f (x )= JX,求最小正數(shù)a及函數(shù)f (x值2,2上的解析式解： f3 X )；=x-1(x1), f4 X jx 1,(x -0)a = 4 (可知 l

38、og2a = 2)a = 1 (略)f x =、,x,x 0,1 hf (x )=-lX,x-1,0)；f X = .2-x,x (1,2；f (x )= -也 +x,x e-2,-1)o21 .若函數(shù)f (X)對(duì)定義域中任一 X均滿足f(x)+f(2ax)=2b ,則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)。2 .(1)已知函數(shù)f(x)=空皿的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù) m的值； x(2 )已知函數(shù)g(x)在(,0) U(0,)上的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)xw (0,)時(shí)，2g(x)=x +ax+1,求函數(shù)g(x)在x w (-,0)上的解析式；(3)在(1)、(2)的條件下，

39、若對(duì)實(shí)數(shù) x0,恒有g(shù)(x)f(t),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：(1)由題設(shè)可得f(x)+f(x)=2,解得m=1；(2)當(dāng) x 0),其最小值為f(1) = 3, g(x) =-x+ax + 1 =-(x-)+1 +t2 HYPERLINK l bookmark387 o Current Document aa當(dāng)一 0 ,即 a 0 時(shí)，g(x)max =1 + 3,得 a W (-22 ,0), HYPERLINK l bookmark181 o Current Document 24 當(dāng)a 20,即a 之0時(shí)，g(x)max 10時(shí)，試探求一個(gè)函數(shù) h(x)使得f(x)+g(x)+h(x)

40、在限定定義域?yàn)?, 1)時(shí)有最小值而沒(méi)有最大值. TOC o 1-5 h z 解：(1)當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1, 1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1 -；*1, 1), 2分點(diǎn)Q也在y= f(x)的圖像上，1 =log ：+1),即t=0.5分(根據(jù)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性求得t=0,請(qǐng)相應(yīng)給分)(2)設(shè)Q(x, y)在y =g(x)的圖像上則 Jx =2即。0=2、+-1 8 分2y=y而 P(%, y)在 y = f (x)的圖像上，. y =log工(x0+1)2代入得，y =g(x) =log；(2x+t)為所求. 11 分3 - x(3) h(x) nog；/；或 h(x) =log；2x元 等. 1

41、5分如：當(dāng)h(x) =log產(chǎn);時(shí)， 2 2x tf (x)十g(x)十h(x) =log2(x+1) +logi(2x+t) +logi-Lix = log i(1-x2)2 . _ 22、.1x 在0, 1件調(diào)遞減，. 0 1 -x 0 ,即f (x) +g(x) +h(x)有最小值0,但沒(méi)有最大值. 18分(其他答案請(qǐng)相應(yīng)給分)(參考思路)在探求 h(x)時(shí)，要考慮以下因素：h(x)在0, 1)上必須有意義(否則不能參加與f(x) + g(x)的和運(yùn)算)；由于f(x)和g(x)都是以2為底的對(duì)數(shù)，所以構(gòu)造的函數(shù)h(x)可以是以J為底的對(duì)數(shù)，這樣與 f(x)和g(x)進(jìn)行的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為真數(shù)白

42、乘積運(yùn)算；以1為底的對(duì)數(shù)是減函數(shù)，只有當(dāng)真數(shù)取到最大值時(shí)，對(duì)數(shù)值才能取到最小值；為方便起見(jiàn)，可以考慮通過(guò)乘積消去g(x)；乘積的結(jié)果可以是x的二次函數(shù)，該二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)在直線 x = g的左側(cè)(否則真數(shù)會(huì)有最小值，對(duì)數(shù)就有最大值了)，考慮到該二次函數(shù)的圖像與x軸已有了一個(gè)公共點(diǎn)(-1, 0),故對(duì)稱(chēng)軸又應(yīng)該是 y軸或在y軸的右側(cè)(否則該二次函數(shù)的值在0, 1)上的值不能恒為正數(shù))，即若拋物線與 x軸的另一個(gè)公共點(diǎn)是(a, 0),則1 a 02 . .12 . .12x t - x t - x2238t32 2)27f (x y=x2 t - 二 x2 E 2 J，x2=tx2,即 x

43、2=,x =23.6t / 6t(ul2,0)時(shí)，f33min猜想f(x)在b,2 上的單調(diào)遞增區(qū)間為心。t 至9 時(shí)，任取2 Mxix29 ,4-2t b0)的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB若點(diǎn)*M在x軸上，且a2b2使得MF為 AM的一條內(nèi)角平分線，則稱(chēng)點(diǎn) M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”2(1)求橢圓5+ y2 =1的“左特征點(diǎn)” M的坐標(biāo);中的結(jié)論猜測(cè):2橢圓x2 a2I2=1 (a b 0)的“左特征點(diǎn)” M是一個(gè)怎樣的點(diǎn)？并證明你的結(jié)論.(2)試根據(jù)(1)2解：設(shè)Mm 0)為橢圓2+y2 =1的左特征點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為F(2,0),5 J設(shè)直線AB的方程為x =ky -2(k

44、#0)2將它代入+y2 =1 得：(ky 2)2 +5y2 =5 ,即(k2 +5)y2 -4ky-1 =05設(shè) A(x1， y1) , B( x2, y2)，貝U y1+ y2 =_4k , y1y2 = -21k2 5k2 5.一/AM瞅 x 軸平分，kAM +kBM =0即 一y y 二0 = y1(x2 - m) y2(x1 - m) = 0 x1 -m x2 -m二 y1(ky2 -2) 丫2*必-2) 一(y y2)m = 02ky1 y2 一(y yz)(m 2) = 0 ,于是 2k (-) -I4(m 2) =0k2 5k2 55 k #0 , . 1 +2(m +2) =0

45、,即 m =_5 M - 2 , 0) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark205 o Current Document 22(2)解：對(duì)于橢圓 以 + y2 =1 , a =75, b = 1 , c = 2 ,_a=3 .5 yc 2 HYPERLINK l bookmark313 o Current Document 22于是猜想：橢圓 、=1的“左特征點(diǎn)”是橢圓的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).a2b2證明：設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線l與x軸相交于M點(diǎn)，過(guò)A、B分別作l的垂線，垂足分別為 HYPERLINK l bookmark128 o Current Document 3

46、皿去一、，af| Ibfaf|AC據(jù)橢圓第一乂： = 即 =-AF|CM|bf| -|dm|AC|BDCM | - |DM |ac|bd|bf|bd| AC / FM / BD ,.|AC|CM于7i i一BD DM . tan/AMC =tan/BMD ,又 /AMC與/BMD 均為銳角,ZAMC =/BMD，.二 ZAMF =/BMFMF/AMB勺平分線，故 M為橢圓的“左特征點(diǎn)”26. 數(shù)歹U a n中，a7=16，當(dāng) n 2 時(shí)，an= 3an 4一-. 37 - an -4求 a8,a 9,a 10 的值；是否存在自然數(shù) m,當(dāng)nm時(shí)，an2?若存在，求出 m的值；若不存在，說(shuō)明理由

47、。 當(dāng)n10時(shí)，證明* *an，va解(1)a8=3 =12, a 9=30 = _8, a i0=37 - a77 - a87 - a3an 1 4(2)a n-2= n_ 27 -an 15g -2)7 an 1當(dāng) an-22 時(shí)，an8時(shí)an 2 時(shí),an-i 2 又 a8=122,當(dāng) nw 8 時(shí)，an2o綜上所述，滿足條件的m存在，且m=8.(3)a n-1 +an+1-2a n =(7a3 -a n)+(3 an3an 47 - an一 an) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark176 o Current Document 223-(an -2)2

48、 (an -2)22(a0-2)3 HYPERLINK l bookmark136 o Current Document =-=. HYPERLINK l bookmark138 o Current Document an37 -an(7 an)(an3)4 ao C (-3 , 2) o3下面證明，當(dāng) n10時(shí)，-3van10時(shí)，an10時(shí)，an-3。3%4。25an+3= n-+3=7 - an J 7 an J0,即 an -3.25當(dāng) an-1 C (-3 , 2)時(shí)， 7 an 4.當(dāng) n10 時(shí)，-3van2 時(shí)。由 3tSn-(2t+3)S n-1=3t與3tSn-1-(2t+3

49、)S n-2=3t兩式相減可得3ta n-(2t+3)aan 2t+3, r -n-1=0 a7FT ,由上可知an 2t+3對(duì)于自然數(shù)n都有/=一m子成立，故 an成等比數(shù)列，且公比2t+3 q =3t若t=3時(shí))q=1,此時(shí)S=n若t0,t才3時(shí),則Sn=1(1-(飛丁)n)1-2t+3-3T(3t) n-(2t+3) n (3t) n-1(t-3)(2)由題可知:q=f(t)=等，？ g(t)=3t 3竽? g(t)=2t 3+3t 3t3t? g(t)=6t 2+6t=6t(t+1);所以t(-0, 1)1(1Q)0(0, +0)g(t)+-+g(t)增1減0增當(dāng)t=-1時(shí)，g(t)有

50、極大值1 當(dāng)t=0時(shí)，g(t)有極小值0 畫(huà)出y=g(t)及y=k的圖象可得:當(dāng)k1或k0時(shí)，有一解 當(dāng)k=1或k=0時(shí)，有二解 當(dāng)0k0a an書(shū)- an =1 (4分)又 2s = a(a1 1) a1 = 1二 an = n (6 分)(2)假設(shè)存在正整數(shù)p, q使該不等式對(duì)所有正整數(shù)n均成立則取 n =1,有 2(jp +q 一1)即 p +q 2(vn+1 - 1)成立. ai,a2.an(1)當(dāng) n =1時(shí),1 a 2(721)成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即+工j a2(YE-1)成立 .12. k將該不等式兩端同時(shí)加上-=，不等式仍然成立，即k 1 HYPERLINK

51、l bookmark28 o Current Document 1111 1 . ：2( . k 1 -1) -.12. k , k 1, k 11欲證上面不等式成立只 需證 2(2(Jk +2 1)成立即可,k 11欲證該式成立，只需證 士 2(Jk +2 _ Jk +1)成土,k 1即 2 m.k 2 - . k 12 . k 1 ： , k 2, k 1.k 1 ： . k 2該不等式顯然成立二. 當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立 綜上(1)、(2)對(duì)任意n w N 1t命題都成立Q,且29 .已知平面上一定點(diǎn)C (4, 0 )和一定直線 l : x = 1, P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作 PQ _

52、L l ,垂足為(PC 2PQ) (PC -2PQ) =0.(1)問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；(2)設(shè)直線l : y =kx+1與(1)中的曲線交于不同的兩點(diǎn) A、B,是否存在實(shí)數(shù) k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) D(0, 2) ?若存在，求出 k的值，若不存在， 說(shuō)明理由.解：(1)設(shè) P 的坐標(biāo)為(x, y),由(PC +2PQ) 0,即 4k2 -4(3-k2)(-13)0, TOC o 1-5 h z 解得k J13 (9分) 22若以 AB 為直徑的圓過(guò) D (0, 2),則 AD BD,kAD kBD =-1 ,即心x1x2 (y1 2)(y2 2) x1x2 =0

53、= (kx1 3)(kx2 3) x1x2 =0,(11 分) HYPERLINK l bookmark392 o Current Document 22132k (k + 1)x42 +3k(x1 +x2)+9=0= (k +1)(-r) +3k，+9 =0.(12分)3 k，3 k，解得k2 =7 k=四w(任 112),故存在k值，所求k值為土巫.8,42 2430.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn4=kSn+2,又a1 =2,a2 =1.(I)求k的值；(n)求 Sn ；(m)是否存在正整數(shù) m,n,使Sn 一.工成立?若存在求出這樣的正整數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由Sn 1 -m 2解：

54、(I) ; S2 = k + 2, a1 + a2 = ka1 + 21 TOC o 1-5 h z 又 a1 =2, a2 =1,2 +1 =2k +2, k = 2分2 1-(n)由(I )知 Sn4 = Sn +221-當(dāng)n之2時(shí)，Sn = Sn+221一，得an+=1an(n之2) 4分2又 a? =1 a1，易見(jiàn) an #0(n n N*): an4t = 1 (n s N*)2an 21，于是an是等比數(shù)列，公比為一，所以 21 n21-(- ) 1Sn =4 =4(1 -1)1 -22不等式1即4(hm JSnm 24(1-217)5 2整理得 2 2n(4 m) N (5,1)

55、,若點(diǎn)C滿足OC = tOM+(1-t)ON(t w R),點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y2=4x交于A、B兩點(diǎn).(I)求證：oAoB； TOC o 1-5 h z (n)在x軸上是否存在一點(diǎn) P(m,0),使得過(guò)點(diǎn)P直線交拋物線于 D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)。 若存在，請(qǐng)求出 m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：1)解：由OC=tOM +(1t)ON (tw R)知點(diǎn)C的軌跡是M、N兩點(diǎn)所在的直線，故 點(diǎn)C的軌跡方程一 一 1 -(-3),、te： y +3 = (x -1)即 y = x 4.2分4y =x 4c由二 (x-4)2 =4x= x2 -12x+16 = 0

56、y = 4xXiX2 =16Xi x2 = 12 yy = (x1 - 4)(x2 - 4) =x1x2 - 4(x1 x2) 16 - -16 TOC o 1-5 h z x1x2 + y1y2 = 0 故 OA,OB. 6 分2 )解：存在點(diǎn) P(4,0),使得過(guò)點(diǎn)P任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)由題意知：弦所在的直線的斜率不為零 7分故 設(shè)弦所在的直線方程為：x=ky+4代入y2=x得y24ky 16=0y1 y2 = 4ky1y2 = -16k k _ y1 )2 _ y1y2 _ 16 _ 16kOA kOB22Xi X2江.ym-16 HYPERLINK l book

57、mark187 o Current Document 44OA _LOB故以AB為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn) .10分,1設(shè)弦 ab 的中點(diǎn)為 M(x,y)則x = (x1+x2)y= (y1 + y2)2一一2 一x1 x2 = ky1 4 ky2 4 = k(y1y2) 8 = k (4k) 8 = 4k 8.弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為:x=2k2 +4y = 2k消去k得y2 = 2x -8.14分.設(shè)函數(shù)f (x) =ex對(duì)x,其中m R.(I)求函數(shù)f (x)的最值;(n)給出定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，并且有f (a) ,f (b) 1時(shí)，函數(shù)f (x)在區(qū)間(m,2m)內(nèi)

58、是否存在零點(diǎn).解：(I)皆 f (x)在(一,y)上連續(xù)，f(x) =ex-1, TOC o 1-5 h z 令 f(x) = 0/l|x = m. 2 分當(dāng)x (f,m)時(shí),exjm ：二 1, f (x)：二 0;當(dāng) x w (m, 2)時(shí),exR 1,(x) a0.所以，當(dāng)x = m時(shí)，f (x)取極小值也是最小值.f (x)min = f (m) =1 -m;由知f (x)無(wú)最大值.6分(n)函數(shù)f (x)在m, 2m上連續(xù).而f (2m) =em -2m,令g(m) =em -2m,則g(m)=em-2,m 1,. g (m) e -2 0, TOC o 1-5 h z 二g (m)

59、在(1,收)上遞增.8分由 g(1) =e2 0得g(m) g(1) 0,1Pf (2m) 0, 10分又 f (m) =1 m ： 0,. f (m) f (2m) ： 0,根據(jù)定理，可判斷函數(shù) f (x)在區(qū)間(m, 2ml上存在零點(diǎn) 12分.已知數(shù)列an有a a, a2 p (常數(shù)p0),對(duì)任意的正整數(shù)n, 8a1a2_ n(an -a1)Sn 一。2求a的值；試確定數(shù)列an是否是等差數(shù)列，若是，求出其通項(xiàng)公式，若不是，說(shuō)明理由；對(duì)于數(shù)列bn,假如存在一個(gè)常數(shù) b使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有bnb,且lim bnn)二 nS S的上漸進(jìn)值，令pn=+n ,求數(shù)列P1P2IIIpn2n的“上漸

60、進(jìn)值”。Sn 1Sn 2a a解：(1) S1 = a1 =0 ,即 a =02o onan-n-1an/n -1 n -1 n -2 . 4 3(2)an =Sn Sn=口 an = Hnl= 一 ,一2n -2 n -2 n -33 2an,開(kāi)何=b ,則稱(chēng)b為數(shù)列bn2,一 a2 = n -1 p1備)是一個(gè)以0為首項(xiàng)，p為公差的等差數(shù)列。SnPnSn.2 Snin 2 n _11=T = T = 2 干 2 Sn 1 Sn 2 n n 2n n 2P1 + p2 + pn 2n = 2 11111111 I I I 3 2 4 3 5 4 6111 c c 11 o-=3-2 :二 3