高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納二面角的求法

1、高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納二面角的求法【知識要點(diǎn)】 一、二面角的定義平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫做這個二面 角的平面角.二、二面角的范圍規(guī)定：二面角的兩個半平面重合時，二面角為0O,當(dāng)兩個半平面合成一個平面時，二面角為180,因此，二面角的大小范圍為 -00,180. 三、二面角的求法方法一：（幾何法）找 T作（定義法、三垂線法、垂面法）T證（定義）T指T求（解

2、三角形）一m n 一方法二：（向量法）首先求出兩個平面的法向量m, n ;再代入公式cosa =（其中m,n分別是m n兩個平面的法向量， u是二面角的平面角.）求解.（注意先通過觀察二面角的大小選擇“土 ”號）四、求二面角體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化的思想，就是把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，再利用解三角形的知識解答【方法講評】幾何法使用情景一面角的平囿角本身就存在或方便作出來解題步驟找T作（定義法、三垂線法、垂面法）T證（定義）T指T求（解二角形）【例1】如圖，四棱錐P -ABCD中，底面ABCD是邊長為3的菱形，/ABC =600 , PA，面ABCD ,且 PA =3, F 在gPA上，且AF=1,

3、E 在PD 上.(1)若 CE 面 BDF，求 PE : ED 的值;(2)求二面角B -DF A的余弦值.【解析】門)過火作EG陽交/P于G,連接CG,連接AC交AD于0,連接FCL EG/FDf EG建面RDF , EDu面AD二 EG力面BDF又 EGnCE=E CF面 ADFj，面CGE面BO尸，又 CGu 面 CGE ,，CGH 面 BDF ,又面以Z)/n面以C=F0, CGu面尸，C,FOf/CG.又。為KC中點(diǎn)，耳為KG中點(diǎn)“，F(xiàn)G=G尸=1,，后為尸。中點(diǎn)，PE:ED = l-l.EGCEu 面 CG/_L直線DF交于I ,. PA，面 ABCD , 面 PAD，面 ABCD

4、 , .BH _L面PAD ,由三垂線定理可得DI _ IB ,/BIH是二面角 B -DF A的平面角.由題意得 AH = , BH = 3, HD = ,且 222HI AF 1i, HIHD DF . 109.10203,32030 tan/BIH =父-；= =, .1 面角29 103八人、,+39B-DF A的余弦值為.【點(diǎn)評】(1)本題第2問也可以利用向量的方法解答.(2)第2小問的解答實際上是利用了幾何的方法，利用三垂線定理作出二面角的平面角，再解三角形.這是幾何法求二面角常用的一種方法，大家務(wù)必熟練掌握靈活【反饋檢測1】如圖所示，四邊形 ABCD是菱形，O是AC與BD的交點(diǎn)，

5、SA_L平面ABCD .(2)過點(diǎn)B作BH _L直線DA交DA延長線于H ,過點(diǎn)H作HI(I)求證：平面SAC_L平面SBD;(n)若 /DAB =120) DS 1 BS , AB=2,求二面角 S_BC A 的余弦值.方法二向量法使用情景二面角的平囿角不易作出來 .mn|建立空1可直角坐標(biāo)系 t求出兩個平面的法向量 m,nT代入公式cosot=；f，(其 1mlM解題步驟中m,n分別是兩個平囿的法向重，口是一囿角白平囿角.)求解.(注思先通過觀祭一回角的大小選擇“ 士 ”號)例2已知四棱錐 P -ABCD的底面為直角梯形，AB II DC , /DAB =90 , PA_L底面ABCD ,

6、且-1PA=AD =DC =AB =1 , M 是 PB 的中點(diǎn). 2證明：面PAD，面PCD ；求AC與PB所成的角；求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值.【解析】證明：以上為坐標(biāo)原點(diǎn)，皿 4區(qū)所在直線分另的的弘若由j建立如圖1所示空間直角坐標(biāo)系，則邢帥8g0CQ10)DQ10? NQOW M(1) DC AP = O? DCAP .又由已知且心=從而QCJ_面ZMD.又DC u面PCD,故面2仞_1面巾.(2) 8s即/C與PH所成的角為aiccos半.(3)沒叫Q, %始，% 4)分別為平面血。與平面國/C的法向量, 旦 MA =(0,1，一=(Q1 MC=(l Q pV踞=Q,(叫痂

7、=0.%= 0,MC = 0,解得和21 =2中取法向量為a =(一也21 % =(U2)故8MA嶗=7 =-,即所求二面角的余弦值為一2 .同網(wǎng) 33【點(diǎn)評】由于本題的二面角的平面角不易作出，而建立空間直角坐標(biāo)系和寫坐標(biāo)都比較方便，所以可 以選用向量的方法.【反饋檢測2】如圖，四邊形 PCBM是直角才形 /PCB =90。PM /BC, PM =1,BC =2 ,又 AC =1,NACB =120。AB _L PC ,直線 AM 與直線 PC 所成的角為 60.H(1)求證：PC _L AC ; (2)求二面角 M -AC B的余弦值；(3)求點(diǎn)B到平面MAC的距離.高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納

8、及反饋檢測第55講:面角的求法【反饋檢測1答案】（I）證明見解析；（n） 沫.【反饋檢測1詳細(xì)解析】（I ）證明：因為，面asco、BD仁面ABCD, 所以國即.又因為/CZ形，所以KC_LRD, 又,MndC=a,所以3。_1面4。, 又AD u面SBD,面SBD J_面雙C .(H)法 因為 SA_L面ABCD,BC 匚面ABCD,所以 SA_L BC ,過A作AF _LBC于F ,貝U 8。_1面5八尸，連接SF ,貝U SF _L BC , 所以/SFA是二面角S -BC A的平面角.在菱形 ABCD 中，NDAB=120,所以2CAB=60,AOAB =1, BO = AB =出,

9、22因為 DS _LBS,O是DB中點(diǎn)，SO=；DB = J3.SA=SO2 - AO2 =匹,AF =3AB =而,SF = JS& +AF2 =75, 2155AF 15所以cos/SFA =5 ,即二面角S -BC - A的余弦值SF 5以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB方向為x軸正方向，AS方向為z軸正方向，建立坐標(biāo)系.設(shè) SA=a ,易得 B(2,0,0 1 C(1點(diǎn)0), D&1點(diǎn)0), S(0,0, a 卜 . .DS =(1,-T3,a ), BS=(二,0,a),由 DS _L BS 得 DS BS=0,得 a=T2,前=(-L在0),設(shè)” =(x)是平面SRC的一個法向量,.nkBC

10、n BC = 0f-x + /5v = 0則r上，即.一 ，即即 y? nLBSBS = Q -2x +岳=0解得一個法向量為冷=A研又君=(0,0.是平面ABC的一個法向量所以 ss = -= - ?|45|川| 梃X拆 5故二面角S-BC-A的余弦值半_ ，._ .212.21【反饋檢測2答案】（1）證明見解析；（2） 221；（3） 41.77【反饋檢測2詳細(xì)解析】（1） ; PC _L BC,PC .L AB, AB c BC = B, PC _L 平面 ABC , AC J 平面 ABC , PC .L AC (2)在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)C作BC的垂線，并建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示- 31設(shè) P 0,0, z . CP = 0,0, z ,AM = 0,1,z - -y,-,0cos60=-. . i-w=cosAM CP =AM CPam M g+z2 I- J.z=1. AmJ 立