高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)立體幾何歐拉定理與球

1、、知識(shí)點(diǎn):1.簡(jiǎn)單多面體：考慮一個(gè)多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)(不破裂)變形，最后可變?yōu)橐粋€(gè)球面如圖：象這樣，表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡(jiǎn)單多面體棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體正多面體頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E正四面體446正/、面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體1220302.五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù):E有關(guān)系式:.歐拉定理 (歐拉公式)：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù) V、面數(shù)F及棱數(shù)V +F -E =2 .歐拉示性數(shù)： 在歐拉公式中令 f(p)=V + F - E , f (p)叫歐拉示性

2、數(shù)(1)簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù)f ( p) = 2 . (2)帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)f ( p) = 0(3)多面體所有面的內(nèi)角總和公式： (EF)3600或(V2)3605球的概念：與定點(diǎn)距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，叫做球體，簡(jiǎn)稱球定點(diǎn)叫球 心，定長(zhǎng)叫球的半徑與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面一個(gè)球或球面用表示它的球心 的字母表示，例如球 O.球的截面： 用一平面a去截一個(gè)球 O ,設(shè)OO是平面a的垂線段， O為垂足，且OO = d ,所得的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心,以r = jR2-d2為半徑的一個(gè)圓，截面是一個(gè)圓面球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的平面

3、 截得的圓叫做小圓.經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與0經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)； 緯度：某地的緯度就是指過(guò)這點(diǎn)的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù).兩點(diǎn)的球面距離： 球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離.兩點(diǎn)的球面距離公式：AB = R0 （其中R為球半徑，8為A,B所對(duì)應(yīng)的球 心角的弧度數(shù)） 10半球的底面：已知半徑為R的球O ,用過(guò)球心的平面去截球 O,球被截面分成大小相等4_311 .球的體積公式：V =-tlR

4、的兩個(gè)半球，截面圓 O （包含它內(nèi)部的點(diǎn)），叫做所得 半球的底面3212球的表面積：S=4nR二、練習(xí)：一個(gè)n面體共有8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)，求n一個(gè)正n面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條棱，求 n一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有下面的關(guān)系：F=2V一 4.有沒有棱數(shù)是7的簡(jiǎn)單多面體？說(shuō)明理由.是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個(gè)面，且每一個(gè)面都有奇數(shù)條邊過(guò)球面上任意兩點(diǎn)，作球的大圓的個(gè)數(shù)是 .球半徑為25cm ,球心到截面距離為 24cm ,則截面面積為 .已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別是5n和&i ,它們位于球心同一側(cè)，且相距 1,則球半徑是 .球O直徑為4, A, B為

5、球面上的兩點(diǎn)且 AB = 2技 則A, B兩點(diǎn)的球面距離為 .R北緯60“圈上M ,N兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)是 （R為地球半徑），則這兩地間的 2球面距離為 .7,北緯45圈上有A,B兩地，A在東徑120, B在西徑150,設(shè)地球半徑為 R, A, B兩地球面距離為;. 一個(gè)球夾在120二面角內(nèi)，兩切點(diǎn)在球面上最短距離為ncm,則球半徑為 _;.設(shè)地球的半徑為R在北緯45圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度相差90。，那么這兩點(diǎn)間 的緯線的長(zhǎng)為 ,兩點(diǎn)間的球面距離是 球的大圓面積增大為原來(lái)的 4倍，則體積增大為原來(lái)的 一倍；.三個(gè)球的半徑之比為 1:2:3,那么最大的球的體積是其余兩個(gè)球的體積和的

6、 倍;.若球的大圓面積擴(kuò)大為原來(lái)的 4倍，則球的體積比原來(lái)增加 倍；.把半徑分別為3, 4, 5的三個(gè)鐵球，熔成一個(gè)大球，則大球半徑是 ;.正方體全面積是 24,它的外接球的體積是 ,內(nèi)切球的體積是 球O、O分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點(diǎn)都在球O的表面上，求三個(gè)球的表面積之比.表面積為324n的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個(gè)正四棱柱的表面積.正四面體 ABCD勺棱長(zhǎng)為a,球O是內(nèi)切球，球 O是與正四面體的三個(gè)面和球 O都相 切的一個(gè)小球，求球 O的體積.練習(xí)參考答案：一個(gè)n面體共有8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)，求n解：. V +F E = 2, F = E +2V = 5,即 n =

7、5.一個(gè)正n面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條棱，求 n8 3解：V =8, E =2-21=12 , F = E +2V =6,即 n = 6.2F= 2V一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有下面的關(guān)系:一 43F3證明：E=一 , V+ FE= 2 V+ F- - F = 2F=2V-4224.有沒有棱數(shù)是 7的簡(jiǎn)單多面體？說(shuō)明理由解：若 E=7, V+ F-E= 2 ,V+ F=7+2= 9 ,二.多面體的頂點(diǎn)數(shù) V4,面數(shù) F4二.只有兩種情況 V= 4, F= 5或V= 5, F=4,但是有4個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有四個(gè)面，不可能是5個(gè)面，有四個(gè)面的多面體是四面體，

8、也只有四個(gè)頂點(diǎn)，不可能有 5個(gè)頂點(diǎn)，沒有棱數(shù)是7的多面體.是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個(gè)面，且每一個(gè)面都有奇數(shù)條邊解：設(shè)有一個(gè)多面體，有 F （奇數(shù)）個(gè)面，并且每個(gè)面的邊數(shù)n，n2i nF也都是奇數(shù)，則n +出 +% =2E ,但是上式左端是奇數(shù)個(gè)“奇數(shù)相加”，結(jié)果仍為奇數(shù)，可右端是偶數(shù)，這是不可能的，不存在這樣的多面體過(guò)球面上任意兩點(diǎn)，作球的大圓的個(gè)數(shù)是 .球半徑為25cm ,球心到截面距離為 24cm ,則截面面積為 .已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別是5n和8n ,它們位于球心同一側(cè)，且相距 1,則球半徑是.球O直徑為4 , A, B為球面上的兩點(diǎn)且 AB = 273，則A, B兩點(diǎn)的球

9、面距離為 .，一，一，一 二 R ，、一，、一北緯60”圈上M ,N兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)是 （R為地球半徑），則這兩地間的2球面距離為 . TOC o 1-5 h z 4二答案：一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)49m232兀一 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 337,北緯45圈上有A,B兩地，A在東徑120, B在西徑150,設(shè)地球半徑為 R , A, B兩地球面距離為;n答案：一R3. 一個(gè)球夾在120二面角內(nèi)，兩切點(diǎn)在球面上最短距離為ncm,則球半徑為 ；答案：3cm.設(shè)地球的半徑為 R在北緯45圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度相差 90。，那么這兩點(diǎn)間

10、的緯線的長(zhǎng)為 ,兩點(diǎn)間的球面距離是 .分析：求A、B兩點(diǎn)間的球面距離，就是求過(guò)球心和點(diǎn)A B的大圓的劣弧長(zhǎng)，因而應(yīng)先求出 弦AB的長(zhǎng)，所以要先求出 A B兩點(diǎn)所在緯度圈的半徑.解：連結(jié)AB設(shè)地球球心為 Q北緯450圈中心為 0,則001 0A, 00L 0B./01Ao =/01B0 =/A0C =45 I20iA= 0B= 00= 0A cos45 = R .2兩點(diǎn)間的緯線的長(zhǎng)為：7T .2 R=R.224A、B兩點(diǎn)的經(jīng)度相差90。，/A01 B = 90 =.在 RtAA01B 中，AB = J2A01=R,0A=AB=0B, /A0B=3兩點(diǎn)間的球面距離是：-R .3球的大圓面積增大為原

11、來(lái)的 4倍，則體積增大為原來(lái)的 一倍;答案：8.三個(gè)球的半徑之比為 1:2:3,那么最大的球的體積是其余兩個(gè)球的體積和的 倍;答案：3.若球的大圓面積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，則球的體積比原來(lái)增加 倍;答案：7.把半徑分別為3, 4, 5的三個(gè)鐵球，熔成一個(gè)大球，則大球半徑是答案：6.正方體全面積是 24,它的外接球的體積是 ,內(nèi)切球的體積是 .一 一 4答案：4曲式，TI3球O、Q分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點(diǎn)都在球O的表面上，求三個(gè)球的表面積之比.分析：球的表面積之比事實(shí)上就是半徑之比的平方，故只需找到球半徑之間的關(guān)系即可.解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則三個(gè)球的半徑依次為 a、2a a

12、, 73 a222三個(gè)球的表面積之比是 S1 : S2 : 83 =1:2: 3 .表面積為324n的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是 14 ,求這個(gè)正四棱柱的表面積解：設(shè)球半徑為 R ,正四棱柱底面邊長(zhǎng)為 a ,則作軸截面如圖， AA = 14, AC = J2a,又 4nR2 =324n，.二 R =9,AC = JaC2 -CC2 =8匹,. a =8,J =64父2+32乂14 = 576. 正四面體 ABCD勺棱長(zhǎng)為a,球O是內(nèi)切球，球 O是與正四面體的三個(gè)面和球 O都相 切的一個(gè)小球，求球 O的體積.分析：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等.解：如圖，設(shè)球 O半徑為R,千O的半徑為r, E為CD點(diǎn)，球O與平面ACD BCDU于點(diǎn)F、G,千O與平面ACDU于點(diǎn)H