高中數(shù)學(xué)三角形心的應(yīng)用專題輔導(dǎo)

1、高中數(shù)學(xué)三角形“心”的應(yīng)用梁克強(qiáng)三角形的外心、內(nèi)心、重心、垂心，以及正三角形的中心與解析幾何有關(guān)圖形的性質(zhì) 有機(jī)地結(jié)合，可拓寬應(yīng)用的范圍，使很多解析幾何問題能簡(jiǎn)單明快地解決。下面先從一道高考題談起。例1.如圖1,已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為 A (1, 0),點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支 上，點(diǎn)m(m 0)到直線AP的距離為1,當(dāng)m = J2+1時(shí)，a APQ勺內(nèi)心恰好是點(diǎn) M求此 雙曲線方程。解：設(shè)雙曲線方程為22 yx =1(b =0)b2由 M (12+1, 0), A(1, 0)得 |AM |=V2因?yàn)镸是AAPQ勺內(nèi)心，M到直線AP的距離為1所以/ MAP= 45AM是/ PAQ的平分

2、線且M到AQ PQ的距離均為1因此 kAP =1, kAQ - -1所以直線PQ: x = 2 +J2 ,直線AP: y =x1解得 P(2 .2, 1,2)代入x2=1得工=5+4，? =2叵-1b b 3 2 2故所求雙曲線的方程為x2 -(2.2 -1)y2 =1點(diǎn)評(píng)：這是04年高考題，得分率不高。有些同學(xué)對(duì)“內(nèi)心”的概念的理解就很含糊， 更別提與圓錐曲線的性質(zhì)有機(jī)結(jié)合了。所以加強(qiáng)有關(guān)三角形的“心”的相關(guān)訓(xùn)練是很有必要的。例2.已知拋物線y2 =4x的通徑為AR P是拋物線上非 A B的動(dòng)點(diǎn)，分別過A、B作AP、 BP的垂線相交于 M點(diǎn)，求M點(diǎn)的軌跡方程。解：如圖2, A、P、B M四點(diǎn)

3、共圓，圓心就是 PM的中點(diǎn)C,即AAPB的外心，故 C在 線段AB的垂直平分線，即 x軸上。1設(shè) M (x, y) , P ( X0, y0),則 y0 = _y而 A (1, 2)所以kPA kMAy0 - 2 y - 2二IX0 -1 X -12 _4將代入上式得X0 = y T+1 x 7將1和2代入拋物線方程，得2y2 -4(-y) =4(1)X -1整理得(x -1)(y2 -4) -4(y2 - 4)由P與A、B不重合，可知y2 4#0所以M點(diǎn)的軌跡方程為X =5(y ；二2)例3.已知銳角A ABC的頂點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，底邊BC為定線段，它與高 AD的長(zhǎng)均為 ABC的垂心H的軌跡方程。

4、解：以BC中點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線 BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè) B(a, 0), C (a, 0), A (x, 2a),垂心 H (x, y)由垂心的定義，知 BH! ACy 2a即得 y 1(x；)x a x -a由于A ABC是銳角三角形所以垂心H的軌跡方程是 2ax =-2a(y -)(| x| a)22a,求 A例4.如圖3,已知在A ABC邊上作勻速運(yùn)動(dòng)的三點(diǎn) D E、F,在時(shí)刻t = 0時(shí),分別從A、B C出發(fā)，各以一定速度分別向 B、C A前進(jìn)，在時(shí)刻t = 1時(shí)到達(dá)B C Ao試證在運(yùn)動(dòng) 過程中，A DEF的重心不變。分析：設(shè)A (xi,yi), b(T T TAB、BC、CA 的因?yàn)樵谕粫r(shí)刻t(0 t 1) , D E、F分別于所在的位置分有向線段 比相同，所以ADBE CFtDB EC FA 1 -t利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求得D(tx2(1-t)xvty2(1-t)yi)E(tx3(1-t)x2，ty3(1 -t)y2)F (tx1(1t)x3,ty1(1 -t)y3