解答橢圓中最值問題策略

1、解答橢圓中最值問題策略橢圓是圓錐曲線這一章節(jié)中的重要內(nèi)容，而與橢圓有關(guān)的最值問題則是解析幾何中最值問題的一個組成部分與橢圓有關(guān)的最值問題具有綜合性強、涉及知識面廣等特點，是學(xué)習(xí)中的一個難點.要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決.一、建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)例1設(shè)P(x,y)是橢圓+=1上的一點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點，求|PFi|的最大值和6428最小值.分析：由于點F的坐標(biāo)為(一6,0),因此只須設(shè)出點P的坐標(biāo)(x,y),結(jié)合橢圓方程即可建立|PFi|關(guān)于橫坐標(biāo)x的目標(biāo)函

2、數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的即可求解解：橢圓的左焦點Fi坐標(biāo)為(一6,0),根據(jù)兩點的距離公式，得|PFi| = (x+6)2 + y2 =7 (x+6)2+(28-石x2) =932 233216(X + 3 ) 4 3 |，由已知，得xC8,8,函數(shù)3|x+32|在8,8上為增函數(shù),32 TOC o 1-5 h z 43332故|PF1|max=1|8+|=14,|PF1|min=：8+1|=2.點撥：函數(shù)法是探求最值問題的常用方法，尤其是二次函數(shù)，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的確定不容忽視.同時通過本題的解答，可得結(jié)論：橢圓上的點到焦點的距離取得最大值和最小值的點就是橢圓的兩個端點.二、利用定義轉(zhuǎn)

3、化，結(jié)合平面幾何性質(zhì)例2已知A(4,0)、B(2,2),M是橢圓9x2+25y2=225上的動點，求|MA|十|MB|MA| 十 |MB| 轉(zhuǎn)A關(guān)于O的對稱的最大與最小值分析：由于A(4,0)是橢圓的焦點，因此可以利用橢圓的定義對化，轉(zhuǎn)化為求解橢圓上一動點到定直線上兩定點的距離之差的最值問題解析：如圖所示，由題意，知點A(4,0)恰為橢圓右焦點，則點Ai(4,0)(左焦點),由橢圓的第一定義，得|MA|十|MAi|=2a,|MA|=2a|MAi|,，|MA|+|MB|=(2a|MAi|)+|MB|=2a+(|MB-|MAi|),在AiBM中，|MB|MAi|gAiB|=2/i0,2/i0MB|

4、MAi|b0)兩個焦點為F1,F2,如果曲線C上存在一點Q,使F1Q，F(xiàn)2Q,求橢圓離心率的最小值。分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，但是若借用三角函數(shù)的有界性求解，會有不錯的效果.由于F1QXF2Q,因此可設(shè)/PFF2=%然后表示出相應(yīng)的焦半徑|QF1|、|QF2,結(jié)合定義即可建立離心率關(guān)于a的三角函數(shù)解：設(shè)/QF1F2=a,則|QF1|=|F1F21cosa=2ccos%|QF2|=|F1F2|sina=2csina,由橢圓定義知|QF”十|QF2|=2a,即2ccosa+2csin后2a,a sin a+ cos-)=a故橢圓離心率的最小值為1f= (當(dāng) a= 45 時取=),V2sin

5、(汁 45 ) 2二.2點評：本題建立離心率e關(guān)于”的目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)處理RtQFiF2邊角的關(guān)系.另外，利用三角函數(shù)的有界性求最值時，一定要注意角的范圍四、利用橢圓的幾何性質(zhì)，建立變量不等式例4若A、B為橢圓三+9=13八0）的長軸兩端點，Q為橢圓上一點，使/AQBa2b2=120,求此橢圓離心率的最小值.分析：建立a、b、c之間的不等式是解決離心率最值問題常規(guī)思路.此題也就要將角轉(zhuǎn)故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化化為邊的思想，但條件又不是與焦點有關(guān)，很難使用橢圓的定義。為坐標(biāo)形式運用橢圓中x、y的取值進行求解離心率的最值解：不妨設(shè)A（a0), B(ay0), Q(x , y),則 kAQ

6、 = x+ akBQ=,x a利用到角公式及AQB = 120 x+ a x 一 a 2ay 廠得=tan120 (x=a),即;2一； = V3y yx2 + y2a21 +,x+ a x -a又點A在橢圓上，故x2a2a2y22ab 2.消去x得丫卡又y4，即寫一則4a2(a2-c2)b0)的兩焦點為Fi、F2,問當(dāng)離心率e在什么范圍取值時，當(dāng)橢圓上恒存在點P使/FiPF2=120時，求離心率最小值.分析：利用余弦定理建立|FiF2|與|PFi|、|PF2|的等式，利用均值定理解：設(shè)橢圓的焦點為2c,由橢圓定義|PFi|+|PF2|=2a,在45352中，由余弦定理得建立a、c的不等式，通

7、過解不等式可求得離心率的最小值|FiF2|2=|PFi|2+|PF2|22|PFi|PF2|cos/FiPF2=|PFi|2+|PF2|22|PFi|PF21cosi20=(|PFi|十|PF2|)2|PFi|PF2|,所以4a24c2=|PFi|PF2H|PFi|+|PF2|c23)2=a2,3a24c24,即3a24c2-a24-3-又0vevi,所以2至vi,故離心率最小值2點評：本題所涉及的三角形是一個一般的三角形，因此利用了余弦定理進行轉(zhuǎn)化.另外本題還可以利用一條直線到另一條直線到角公式求解，不過過程要較為復(fù)雜些例6已知橢圓C:*+y2=i,設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標(biāo)原點3

8、O到直3線l的距離為一，求4AOB面積的最大值.2分析：4AOB的高是已知的，因此只要用直線的斜率k結(jié)合弦長公式表示線段AB的長，即可將4AOB面積S表示為k的函數(shù)，再利用求函數(shù)值域方法就可求得最大值解：當(dāng)ABx軸時，|AB|=3/3當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,由已知黑一=43得m2=3(k2+i)Vi+k224把y=kx+m代入橢圓方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m23=0,36k 2m 2.1AB12 = (1+k2)(XX1)2=(1+k2)(312(m 2-1)12(k2+ 1)(3k 2 + 1 - m2)3k2+1 一(3k2+ 1)23(k2+1)(9k 2+1)(3k2+ 1)212k 23+9k4 + 6k2+ 1 3 +129k2 + +6k212+中=4,當(dāng)且僅當(dāng)9k2= 口，