高中物理競(jìng)賽講座6剛體力學(xué)

1、csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).1 / 38第五章剛體力學(xué)研究有一定大小及質(zhì)量分布的物體的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。(對(duì)于剛體可以看作(利用微元法)由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組，從而利用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)規(guī)律推導(dǎo)剛體的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。)(1)、平衡條件(2)、牛頓定律(3)、動(dòng)量定理(4)、動(dòng)量守恒平動(dòng)規(guī)律F =0F = maI = .：p .：p = 0(I為沖量)(合外力為0 )(5)、動(dòng)能定理W = . Ek(6)、機(jī)械能守恒AE =0(只有重力做功)(7)、總能量守恒E 總=0轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律(1)、平衡條件M =0(M為力矩)(2)、轉(zhuǎn)動(dòng)定律M = I(I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)(3)、角動(dòng)量定理M. ：t - . L(L為角動(dòng)量=I8 )(

2、4)、角動(dòng)量守恒.L = 0(條件：M=0)研究轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律關(guān)鍵是過(guò)軸的力不產(chǎn)生力矩，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)影響。轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律獨(dú)立于平動(dòng)規(guī)律。知識(shí)點(diǎn)1、剛體：剛體的形狀不能發(fā)生變化。剛體上各點(diǎn)的相互距離不變。2、剛體的運(yùn)動(dòng)(1)、平動(dòng)：剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)完全相同。(2)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角位移9 角速度 8=d =d 角加速度 P =d8 =d=AI dtdt2某點(diǎn)角量與線量之間的關(guān)系l=rHv = r。q=rF an =2r =r(3)、一般運(yùn)動(dòng)(平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng))運(yùn)動(dòng)=隨A點(diǎn)的平動(dòng)+繞A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)(一般 A點(diǎn)取質(zhì)心)csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).2 / 38某點(diǎn)的速度V = VA - ra = aA at r=aA:r r3、質(zhì)心mx

3、c =rx1X m2x2 = xdmmvc = m1Vl m2 V2mac = m1al m2a24、牛頓定律F合, m2a2 = mq5、轉(zhuǎn)動(dòng)平衡M=06、轉(zhuǎn)動(dòng)定律m = I P 或 M = mi (r1Pl)r+ m F2 2 T 2 P d m7、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I -mr2r為質(zhì)點(diǎn)到軸的距離I = m2 m2r22=、mr：= r 2dm質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸I = m2細(xì)圓環(huán)對(duì)經(jīng)過(guò)中心的垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I =mR2勻質(zhì)實(shí)心圓柱體對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I =1 mR212勻質(zhì)桿過(guò)中點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I ml212勻質(zhì)球，以任一直徑為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I =2mR2528、平行軸定理：I = Ic，mD正交軸

4、定理：I z = I x . I y9、角動(dòng)量定理Mt -I 2-I 1= LMt = dm（r2 V2-卬1）10、角動(dòng)量守恒定律 3=恒量 或Jdm(v力-dm1vJ恒量條件：M =011、重力勢(shì)能Ep=mghc一I-1 I 21212、動(dòng)能Ek=Ic +mVc22csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).3 / 38第一講剛體動(dòng)力學(xué)規(guī)律一、剛體的運(yùn)動(dòng)1、平動(dòng)剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)完全相同。即，連接剛體內(nèi)兩點(diǎn)的直線在空間的指向總保持平行。對(duì)平動(dòng)，只要了解其上某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，就足以掌握整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)情況，在描述剛體的 平動(dòng)時(shí)，就可以用剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整個(gè)運(yùn)動(dòng)。就是說(shuō)，平動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化 為質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。2、

5、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)都做圓周運(yùn)動(dòng)，而且各圓都在一條固定不動(dòng)的直線上，這條直線叫轉(zhuǎn)軸。(1)、角位移質(zhì)點(diǎn)和圓心連線的半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度。、角速度(3)、角加速度eTAw.: t空一dtd二日dt若剛體做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度是恒量,角加速度為零。若剛體做變速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度隨時(shí)間變化，若角加速度為恒量，則剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。 剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式相似tH=2 二角量與線量之間的關(guān)系:l = rv = r -2anr例題：如圖所示機(jī)構(gòu)中，方向垂直AB ,求圖所示位置OA = AB = a,滑塊B的速度U等于常數(shù)，OA _L AB , U的OA和AB的角速度和角加速度P。:B)A

6、 =答案：，0A = 0,ABcsg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).4 / 38解：機(jī)構(gòu)中OA和AB在圖示平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)， OA作定軸運(yùn)動(dòng)，AB桿作平面平行運(yùn)動(dòng)。由 于B點(diǎn)速度垂直于 AB , A點(diǎn)速度垂直于 OA ,根據(jù)AB桿上A和B兩點(diǎn)速度在桿方向投影值 妝須相等，得|Ua =即A點(diǎn)為AB桿的瞬時(shí)速度中心。所以在圖示位置AB桿的角速度為6AB =-aOA桿的角度為00A =0又由于圖示位置 OA =0,則A點(diǎn)的法向加速度為 0,只有切向加速度，其方向沿 AB。 由圖中給定條件，B點(diǎn)加速度等于零，依據(jù)加速度的合成公式aB =aA +aBf =aA +（aBf）切向 +（可_）法向?qū)⒋耸噶渴?，分別在 Oxy坐標(biāo)

7、系寫(xiě)出分量式2x方向：0=0+aPBTA+0 y方向：0 = 237十0十？一a解得,2AB桿角加速度=0 OA桿角加速度 憶 二. a3、剛體的一般運(yùn)動(dòng)（既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)）可以看作由兩部分合成：剛體上各點(diǎn)隨質(zhì)心的平動(dòng)。繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)（也可理解為: 對(duì)地運(yùn)動(dòng)=對(duì)參考系的運(yùn)動(dòng)+參考系對(duì)地的運(yùn)動(dòng)）例：圓柱體在水平地面上無(wú)滑動(dòng)的勻速滾動(dòng)：分解為繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和各點(diǎn)隨軸的平動(dòng)。因?yàn)榧儩L動(dòng)8=v/r因?yàn)閯蛩? =0vA = vr = 2vvB = 0vC = v r = 2斜向下45 口各點(diǎn)的速度與該點(diǎn)和 B點(diǎn)的連線垂直。2 aA =& +a2 =缶r各點(diǎn)的加速度均為對(duì)圓心轉(zhuǎn)軸的 法向加速度，其切向加速度為零。c

8、sg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).5 / 38例：圓柱體在水平地面上無(wú)滑動(dòng)地勻加速滾動(dòng)。取v0=0,加速度為a,經(jīng)時(shí)間t12質(zhì)心(軸)：s = at v=at2=v / r - /：-./- . ： (v /r )l/ t a /r各點(diǎn)的速度=質(zhì)心速度+繞軸速度。各點(diǎn)的速度與該點(diǎn)和B點(diǎn)的連線垂直81 I I*=&+a2(ai為質(zhì)心加速度a?為對(duì)質(zhì)心的加速度) =氏 + 其中 at=.Pr, an =cc2r二、剛體的質(zhì)心2、質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心m1x1m2x2 1、質(zhì)點(diǎn)系牛頓定律F合=m1ai+ma2 +mim2.剛體的質(zhì)心，可以利用微元法分為無(wú)數(shù)個(gè)微元質(zhì)點(diǎn)利用上式求得mx - x ：mx = xdmi :二3、

9、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律F合=(日+m2 + )aa為質(zhì)心的加速度從質(zhì)心來(lái)看，F(xiàn)改變的是質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，F(xiàn)一定，a一定。而與系統(tǒng)內(nèi)各物體的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。例如：炮彈做拋體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，落地之前，爆炸前和爆炸后，其質(zhì)心均在同一拋物線 上做拋體運(yùn)動(dòng)。三、剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)定軸剛體，若受到的合力矩為零，則處于平衡狀態(tài)(靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng))，若受到的合力矩不為零，則變速轉(zhuǎn)動(dòng)，具有一定的角加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律研究的是合力矩和角加速度之間的關(guān)系。推導(dǎo)：質(zhì)點(diǎn) m繞軸o受力F轉(zhuǎn)動(dòng)。Fr = mar =m( Pr)r =(mr2) P則有 M =(mr2)：(1)、以上推導(dǎo)不嚴(yán)密，但具有普適性csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).6 / 38、表

10、示合力矩和角加速度之間的關(guān)系，叫轉(zhuǎn)動(dòng)定律(3)、I =m 2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。有： I = mr12 +m2r；+= Z Amiri2 = Jr2dm(4)、(5)、類似于牛頓第二定律。設(shè)剛體對(duì)某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I,令I(lǐng) =mr2, r叫做回轉(zhuǎn)半徑?？梢哉J(rèn)為剛體是質(zhì)量m集中在距軸r處的質(zhì)點(diǎn)。和質(zhì)心的位置不一定相同。四、常用的幾個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、2、2質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸I =m1。例如，繩系質(zhì)點(diǎn)對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)輕桿二端固定質(zhì)點(diǎn)22=m111m2I2mi- 1-0i m2-2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為正的標(biāo)量I 1ml、|0 ,向右。時(shí)。f=0。時(shí)。f0,向左。對(duì)自行車后輪?？梢哉J(rèn)為 F是飛輪受到鏈條對(duì)他的力，但車身還要通過(guò)后輪的軸對(duì)

11、后輪施加力，所以應(yīng)變?yōu)?軸。由于車身比車輪的質(zhì)量要大的多，所以 a一般較小，f 一定向右。2、F作用在軸下方 （略）模型：質(zhì)量為 m、半徑為的r的勻質(zhì)圓柱體，在水平地面運(yùn)動(dòng)V增大，3減小的運(yùn)動(dòng)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，cor=V。然后做純滾動(dòng)，f=0滑動(dòng)摩擦力向左，由 - 得，V減小，3增大的運(yùn)動(dòng)日的斜面當(dāng)時(shí)，即 時(shí)，cor=V,然后做純滾動(dòng)，f=0例題：如圖所示，一具有圓形周邊、質(zhì)量均勻分布的實(shí)心柱形物體在一傾角為csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).12 / 38上做純滾動(dòng)。設(shè)動(dòng)摩擦因數(shù)為 N ,求使該物體做純滾動(dòng)時(shí),0的取值范圍。答案：-arctan(3)對(duì)質(zhì)心mgsini-f = ma- a以質(zhì)心為軸fR = |

12、 ： = 1aRIm g sin 二解得f2I mR純滾動(dòng)的條件f _N =mg cosu得Marctan(3)例題：如圖所示，A、B兩個(gè)輪子的質(zhì)量分別是mA和mB,半徑分別是 屋和rB .另有一細(xì)繩繞在兩輪子上，并按圖示連接。其中A繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，求:1、輪子B下落時(shí)，輪心的加速度。2、細(xì)繩的拉力。3、軸對(duì)。點(diǎn)的作用力答案：ac=2(mA mB)gT= mAmB3mA 2mB3mA 2mB對(duì)B輪mBg -T =mb( r b+ r aa)由以上幾式可得ac=2(mA Dg T= mAmB g3mA 2mB3mA 2mBcsg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).13 / 38例題：在平行的水平軌道上有一個(gè)纏著繩

13、子且質(zhì)量均勻的滾輪，繩子的末端固定著一個(gè) 重錘。開(kāi)始時(shí)，滾輪被按住，滾輪與重錘系統(tǒng)保持靜止。在某一瞬間，放開(kāi)滾輪，過(guò)一定的時(shí)間后，滾輪軸得到了固定的加速度a略求(1)重錘的質(zhì)量m和滾輪質(zhì)量M(2)滾輪對(duì)平面的最小動(dòng)摩擦因數(shù)。,如圖所示。假定滾輪沒(méi)有滑動(dòng)，繩子的質(zhì)量可以忽之比。2( a2 g2 -a)2(甲)(乙)解：輪子的加速度為a時(shí)，角加速度為a = a/R,重錘相對(duì)于輪心的相對(duì)加速度也為a。對(duì)重錘, 對(duì)重錘, 對(duì)輪心在水平方向在豎直方向T sin 1-m(a asin1) mg -T cos)- ma cos)f -T sin【-Ma19 -對(duì)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，以質(zhì)心為軸TR-fR = MR -2由

14、以上幾式解得M3a ,a2 g22(,a2 g2 -a)2對(duì)輪在豎直方向N =T cos1 Mg輪子和平面不出現(xiàn)滑動(dòng)的條件f _N由于可得 a/g第二講 角動(dòng)量及守恒、角動(dòng)量定理(1)、利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律推導(dǎo):M；二2一1M = I 二 I 1：t :tcsg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).14 / 38（2）、M At為沖量矩，I切為角動(dòng)量。（3）、類比：F t = mV2 - mV,（研究平動(dòng)物體），MAt = I%-I必（研究轉(zhuǎn)動(dòng)物體）（4）、力矩作用的時(shí)間積累效應(yīng)是改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的角動(dòng)量例題：質(zhì)量為 m,半徑為r的勻質(zhì)輪以與角速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。輪子和一端帶軸的輕桿間mbr -1AB =aJAD =b）3水：

15、F - oL.的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 在B處施加力F為多大可使輪子在t時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。（已知：2at一一一 .,12斛：對(duì)輪子：（NN）rt = Im 其中：I =3mr對(duì)桿：NLad =Fab加曰 l mbr解得：F =m的木塊以速率u02日at例題：如圖所示，圓柱的軸固定不動(dòng)，最初圓柱是靜止的。一質(zhì)量為 無(wú)摩擦地向右滑動(dòng)，它經(jīng)過(guò)圓柱而到達(dá)虛線所示的位置。當(dāng)它和圓柱接觸時(shí)，它就在圓柱上滑動(dòng)，但因摩擦力足夠大，以至于在它剛和圓柱分開(kāi)之前就和圓柱之間停止滑動(dòng)。設(shè)圓柱半徑為R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,求木塊的最后速率u答案：=mR 0mR+I解：對(duì)木塊對(duì)圓柱體f t = m，0 - mfR t = I ，= I

16、_Rcsg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).15 / 38解得mR 0 mR+I二、角動(dòng)量守恒定律I o =恒量條件：M =0例如，人站在一軸光滑的轉(zhuǎn)臺(tái)上，以一定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，若將其兩手平舉，人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 增大，但由于總角動(dòng)量守恒，所以角速度減小。例如，人在軸光滑的轉(zhuǎn)臺(tái)上，人和轉(zhuǎn)臺(tái)均靜止，若人沿半徑向軸運(yùn)動(dòng)，則轉(zhuǎn)臺(tái)不動(dòng)，若 人沿切線繞軸走動(dòng)，則轉(zhuǎn)臺(tái)向相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。例題：半徑為R的水平輕質(zhì)圓盤(pán)，邊緣固定 4個(gè)質(zhì)量均為m的小球，開(kāi)始圓盤(pán)靜止, 質(zhì)量也為m的玩具汽車，以恒定的相對(duì)盤(pán)的速率 v。沿半徑駛往盤(pán)的邊緣并沿盤(pán)的邊緣行駛, 求，圓盤(pán)的角速度。(1)、汽車沿半徑行駛(2)、汽車沿圓盤(pán)的邊緣行駛答案：, = 0 -

17、 v / 5R例題：如圖所示，一長(zhǎng)為l =0.40m ,質(zhì)量為M=1kg的均質(zhì)桿，鉛直懸掛，求：當(dāng)質(zhì)量 m =8父10工kg的子彈以水平速度 v=200m/s在距軸O為3/41處射入桿內(nèi)時(shí)，此桿的初始角速 度答案： =8.88rad / s/ 3 、2 v3 、212.：m( l)m( l) Ml 4 3l /443代入數(shù)據(jù)，得 =8.88rad /s例題：光滑水平面上有一小球 A被一輕繩拴住，輕繩穿過(guò)平面上小孔 O與小球B連接。csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).16 / 38開(kāi)始時(shí)A球在水平面上繞 O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，B球靜止地下垂著，如圖所示，今使小球B的質(zhì)量緩慢增加，直到A球繞O點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑縮短

18、一半， 問(wèn)B的質(zhì)量為初始質(zhì)量的多少倍。答案：m2 / Ri)= 8.2上力222r 、斛：m1g = m or m2g =m-1r/2 (mr) 0=(m )14解得：m2 / m, =8第三講 剛體的能量、重力勢(shì)能Ep =mgh(1)、參考平面一般選地面或運(yùn)動(dòng)中的最低點(diǎn)，有時(shí)選無(wú)限遠(yuǎn)處。(2)、h有正負(fù)，由參考平面決定(3)、h算到重心?？珊?jiǎn)單理解為重力勢(shì)能是 h的一次函數(shù)，也可據(jù)質(zhì)心的定義進(jìn)行分析。 二、動(dòng)能2若剛體平動(dòng)，剛體上各點(diǎn)的速度相同，叫平動(dòng)能，Ek = mv若剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體上各點(diǎn)的角速度相同，速度不同，叫轉(zhuǎn)動(dòng)能?？梢岳梦⒎e分知 識(shí)推導(dǎo)取微元Am ,其到軸距離為r,角速度為0

19、 ,則._1 .2212 . _Ekm r = 一 I22Ek Ek I 22若剛體平動(dòng)的同時(shí)也轉(zhuǎn)動(dòng)。(利用柯尼希定理推導(dǎo))剛體的動(dòng)能等于繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和隨質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能之和。&=22 2mv2csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).17 / 38注意：求轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能時(shí)，不能用 Ek122 mv (v取質(zhì)心的速度)。例如，有質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的勻質(zhì)細(xì)棒，繞著過(guò)桿的端點(diǎn)且與桿垂直的軸以角速度動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能和相對(duì)端點(diǎn)的角動(dòng)量大小分別為：12_1，l、2Ek I to (而不是 Ek =- m()和 L = I co 式中,222Iml2ID3例如，如圖以角速度 缶繞軸。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能12125212213 2Ek

20、 m( l) -m( 2l) =-m( l) =-(m5l )- - (2m)( -1)222222三、機(jī)械能E =EkEp四、動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律 對(duì)剛體同樣是適用的W總=EkE =0例題：如圖所示，將此桿從水平位置靜止釋放，設(shè)此桿能繞過(guò)A端的固定光滑水平細(xì)軸無(wú)摩擦地?cái)[下。當(dāng)擺角從零達(dá)到10時(shí)，求(1)細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度切和角加速度P(2)固定的光滑細(xì)軸為桿提供的支持力N3g sin 二l答案：3g cos2lNn = 5 mg sin Nt1 mg cos解：勻質(zhì)桿在擺下過(guò)程中，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉Γ瑱C(jī)械能守恒，擺下過(guò)程中，質(zhì)心繞做圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律可以求出下擺過(guò)程中任意位置時(shí)，軸對(duì)桿

21、的作用力。(1)因?yàn)闆](méi)有摩擦，機(jī)械能守恒csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).18 / 38曲, 1,23g sin 1將I = 3ml2代入后，得 s = 工一細(xì)桿重力相對(duì)于 A點(diǎn)的力矩M =mgLcos8。2由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理得M =1 一：3 g cos）解得-=”21某點(diǎn)的切向加速度思路：桿的動(dòng)能的幾種計(jì)算辦法（2）如圖所示，將所求支持力 N分解為Nn和Nt兩個(gè)分量。考慮到支持力與重力合力為細(xì)桿質(zhì)心提供加速度，可建立兩個(gè)動(dòng)力學(xué)方程:2 1Nn -mgsin 二-mt：mg cos6 - Nt = mB g解得Nn = :mg sin 二1.Nt = 4 mg cos 二例題：有一質(zhì)量為 m、半徑為的

22、r的勻質(zhì)圓柱體，沿傾角為 日、高為h的斜面無(wú)滑動(dòng)地 滾下。求質(zhì)心加速度 a、所受靜摩擦力 F、滑到底端時(shí)質(zhì)心的未速度。1、運(yùn)動(dòng)分解：（1）、隨質(zhì)心的平動(dòng)（2）、繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)Vc =r & （ %質(zhì)心速度，0轉(zhuǎn)動(dòng)角速度）2、動(dòng)力學(xué)對(duì)質(zhì)心：f合二mac轉(zhuǎn)動(dòng)方程：M合=IcB （Ic：對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）則：對(duì)質(zhì)心 mgsinF = mac12對(duì)質(zhì)心軸Fr = Ic - Ic mr2csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).19 / 38ac=r小 21.仔：ac = gsin 二 F = mg sin n33由上可知：圓柱體滾下的加速度，比無(wú)摩擦滑下時(shí)要小。2h由 v = 2ac sin 二得v=jggh （比滑下速

23、度?。?22mv 得：v =44gh/31 122或利用機(jī)械能寸恒 mgh （ mr ） 2 2注意：即轉(zhuǎn)（繞質(zhì)心）又動(dòng)（質(zhì)心在動(dòng)）的物體動(dòng)能的計(jì)算若FNN ,斜面不能提供足夠的摩擦，因而發(fā)生邊滑邊滾的現(xiàn)象。mgsin - NmgcosH = mac 得： 4 = g（sin 8Ncos8）12-mgcosr =-mr P 得：P=2Ngcos8/r注意：a0. r ： v不,rc利用上二式，可以求出到底端時(shí)，質(zhì)心的速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。例題：如圖所示，一根長(zhǎng)為 L的輕質(zhì)剛性棒的兩端分別連著質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。現(xiàn)將此棒放在光滑的桌面上，并用一個(gè)質(zhì)量為m、速度為。的質(zhì)點(diǎn)與棒端的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相碰。已知 u0的

24、答案：二生2： 07L方向與棒的夾角為 45。，并設(shè)碰撞為彈性碰撞。碰撞之后，質(zhì)點(diǎn)沿原直線返回，求碰撞之后 棒的角速度。釋：設(shè)碰后小球返回的速度為 U1,棒繞質(zhì)心的角速度為 s ,質(zhì)心的速度為u2動(dòng)量守恒mp0 =2mP2 m TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark330 o Current Document 12121 _21_ L2 2機(jī)械能守恒m： 0m; 12 m; 22m（一） 1 HYPERLINK l bookmark332 o Current Document 222221L . 2 L 21L . 2 L . 2m（v2；二一sin9）（：.-,

25、 cos） m（v2 + ； sm）（；-，cos1） HYPERLINK l bookmark334 o Current Document 222222csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué),20 / 38角動(dòng)量守恒 TOC o 1-5 h z 1L、21 .質(zhì)心軸m. 0 一 Lsin 45o= 2m(一) ，- m. 1 - Lsin 45o HYPERLINK l bookmark318 o Current Document 222或下端軸0 = 2mV2 Lsin - m - L L HYPERLINK l bookmark281 o Current Document 22或下端軸0 =mV2Lsl

26、n 0 - mco L2解得4-207L例題：如圖所示，半徑為 r的勻質(zhì)小球自半徑為 R的大球頂部由靜止開(kāi)始受微小擾動(dòng)而 無(wú)滑動(dòng)地滾下，大球固定不動(dòng)，求小球開(kāi)始脫離大球時(shí)的角度。i.10答案： =arc cos =54o17解：機(jī)械能守恒， ，一C、 12,1,2mg(r + R)(1 -cos8) m + Iw其中脫離時(shí)有解得I =2m15mg cos)=10a - arc cos 54o17剛體力學(xué)習(xí)題1、一個(gè)圓球在傾角為 30的斜面上向上做純滾動(dòng)，在斜面下端時(shí)，球的質(zhì)心具有5.0 m/s的平動(dòng)速度。問(wèn)(1)球在斜面上能向上滾多遠(yuǎn)(2)它需要多長(zhǎng)時(shí)間才能滾回斜面下端答案：3.6 m 2.8

27、5 Scsg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).21 / 38解：(1)因?yàn)閳A球作純滾動(dòng)，摩擦力不作功，故根據(jù)能量守恒，有 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark383 o Current Document 1mt2 1 I 12 = mgh 22口h12,1222, .”即一mu0 +一 - mR w0 =mglsin8 HYPERLINK l bookmark385 o Current Document 22 5又因圓球只有滾動(dòng)無(wú)滑動(dòng)，有u0 = R.o0.27- 0 Q /將上式代入前式，得(2)對(duì)質(zhì)心平動(dòng)l = 3.6m.10 gsin 二mg sin 二-f = ma =

28、 mR!：:;-|對(duì)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)解得則則22-fR = mR :5a = 5gsinu107 0t 二 二a 5g sin 1T =2t =2.85= 1.452、質(zhì)量均為m的小球1, 2用長(zhǎng)為4a的輕質(zhì)細(xì)線相連后， 均以初速v沿著與線垂直的方1為a的點(diǎn)向在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)線處于伸直狀態(tài)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線上距離小球 部位與固定在水平面上的一豎直光滑細(xì)釘接觸，如圖所示，設(shè)在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩球不相碰，求小球1與釘?shù)淖畲缶嚯x。(精確到0.001a)答案：r1 = 1.653a3a1丑解：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球 1, 2所受的細(xì)線拉力相對(duì)于釘?shù)牧貫榱悖虼诵∏?、2各自對(duì)釘子的角動(dòng)量守恒。設(shè)某時(shí)刻

29、小球1沿細(xì)線方向白速度為 ur ,與細(xì)線垂直方向的速度為u1t，那么小球2沿細(xì)線方向的速度大小也為、與細(xì)線垂直方向的速度為 &t,如圖所示,小球1、2角動(dòng)量各自守恒式為mv(a) = mvt Amv(3a) = mv2t (4 a - r1)式中，r1為球1與釘子的距離。又因系統(tǒng)處處光滑，csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).22 / 38有機(jī)械能守恒 TOC o 1-5 h z 12121 2121212mv mv= mvr- mvrmv1t mv2t HYPERLINK l bookmark422 o Current Document 222222當(dāng)小球1達(dá)到與釘最大距離時(shí)，滿足條件5 = 0,代入上式

30、，可得| HYPERLINK l bookmark438 o Current Document 222v1t % = 2v與角動(dòng)量守恒式聯(lián)立，可得（va）2 （ 3va ）2 =2v2r14a - ri引入?yún)⒘緼 =a簡(jiǎn)化上式為A3 -7A2 4A 8 =0采用二分逼近法，得數(shù)值近似解A=1.653因此，小球與釘?shù)淖畲缶嚯x為1.653a解得：r1 = 1.653a3、如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量都為 m的滑冰者，在冰場(chǎng)兩條相距 Lo的平直跑道上均以“0速率 迎面勻速滑行。當(dāng)兩者之間的距離等于 Lo時(shí)，分別抓住一根長(zhǎng) Lo的輕繩兩端，而后每人都用 對(duì)等的力緩慢向自己一邊拉繩子，直到兩者相距L （LL）時(shí)為

31、止。求這一過(guò)程中，兩位滑 冰者動(dòng)能總增量。 答案：（，-1）mu：-一解：兩人繞質(zhì)心的角動(dòng)量守恒mU0%2=muL2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark305 o Current Document 22 1cle I2C則動(dòng)能增量E = m 22 - m： ；2 = （ ； -1）m 2 HYPERLINK l bookmark256 o Current Document 22L2,兩個(gè)質(zhì)量分別與m1和m2的h1和h2,他們同時(shí)開(kāi)始向to4、一根輕繩跨過(guò)具有光滑水平軸的定滑輪（質(zhì)量可忽略） 人各抓住繩子的一端，開(kāi)始時(shí)，兩人與水平軸之間的高度差分別為 上爬，并同

32、時(shí)到達(dá)該滑輪的水平軸處，求他們爬繩經(jīng)歷的時(shí)間csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué),23 / 38答案：t 二找岫皿 g(m2-曰)解一：設(shè)繩中張力為 T,則對(duì)ml和m2分別由牛頓第二定律T-m1g=m1a1T-m2g=m2a21212由運(yùn)動(dòng)方程a1t = %a2t =h222由以上四式得到t = 2(岫一0生) g(m? -m1)解二：對(duì)系統(tǒng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，設(shè)滑輪半徑為R,取輪心為軸/ 2% 2hm1()R - m2 (一)R = (m2gR -m1gR)tt = Nmhmzhz)；g(m2 -m1)5、質(zhì)量皆為 m的兩珠子可在光滑輕桿上自由滑動(dòng)，桿可在水平面內(nèi)繞過(guò)O點(diǎn)的光滑豎直軸自由旋轉(zhuǎn)，原先兩珠對(duì)稱地位于O

33、點(diǎn)的兩邊，與 O相距a,在t=0時(shí)刻，對(duì)桿施以沖量矩，使桿在極短時(shí)間內(nèi)即以角速度00繞豎直軸旋轉(zhuǎn)，求t時(shí)刻桿的角速度0、角加速度P及 兩珠與O點(diǎn)的距離r。答案：x = a2 ( 0at)20 at cos10 xa= 0a 2 x12t2.一 3_ d_2 0t 2 2 2dt (1ot2)2解：由于球的起始位置以及初速度是對(duì)稱的，所以兩球總是位于對(duì)稱點(diǎn)上，具有對(duì)稱的 速度。由于桿沒(méi)有質(zhì)量，所以球和桿之間除與板碰外，球做勻速直線運(yùn)動(dòng)。球和板碰時(shí)是彈性的，切向速度不變，法向速度大小不變，方向反向，遵循反射定律。球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖屬于半徑為 2a的內(nèi)接三角形。取t，小球位移為Eat,球和O點(diǎn)的距離c

34、sg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).24 / 38x = a2 ( -0at)2e0atcos60 xa ，o TOC o 1-5 h z 二，0”2212x 1 F0t.一 3_ d_2 ot一 dt 一一 (1.jt2)26、（國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)訓(xùn)練題） 質(zhì)量為m的剛體可繞O點(diǎn)處的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示， 今在與O點(diǎn) 相距L的P點(diǎn)施以巨大的沖力 F,其指向與OP線垂直。剛體繞 O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。求剛體 給予軸的沖力。（設(shè)質(zhì)心C到O的距離為h）答案:mhFLI-F=F(m2 -1),方向與F平行。 I Z-mk使F的作用點(diǎn)P到軸O的距離L恰好等于k2/h ,則N=0,這1的P點(diǎn)稱為打擊中心解：取x軸的方向與F的方向相

35、同，y軸與之垂直。設(shè)質(zhì)心 C到O軸距離為h,軸承對(duì)剛體的作用力的分量為 Nx、Nv 入 y根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理可得F L= 1對(duì)質(zhì)心，其切線方向動(dòng)力學(xué)方程為F Nx =m%ta。h質(zhì)心的法向動(dòng)力學(xué)方程為Ny =0解方程組得 Nx=mhF-、N”0Iy7、如圖所示，在水平的光滑桌面上開(kāi)有一小孔，一條繩穿過(guò)小孔，其兩端各系一質(zhì)量為 m的物體。開(kāi)始時(shí)，用手握住下面的物體， 桌上物體則以廿0 =q52熊 的速率做半徑為r0 （即 桌上部分的繩長(zhǎng)）的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后放手，求以后運(yùn)動(dòng)中桌上部分繩索的最大長(zhǎng)度和最csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).25 / 38小長(zhǎng)度。答案：ri = 3%r2 =10解：桌面上物體受有心力作

36、用，角動(dòng)量守恒1212機(jī)械能守恒m 0 = mg (l - ro) - m.由上二式得r1 = 3r0r2 = r08、如圖所示，長(zhǎng)為l的均勻桿水平地放置在桌面上，質(zhì)心離桌邊緣的距離為a,從靜止開(kāi)始下落。已知桿與桌邊緣之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為R .求桿開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)的臨界角。解一：機(jī)械能守恒轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)質(zhì)心臨界狀態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由以上解得解二：如圖所示,f -mgsin = m 2amg cos二-N = ma ：f =NI = m.2 +ma212 a a arctan-77:-K2 +36a無(wú)滑動(dòng)時(shí)，桿繞過(guò)A點(diǎn)的固定軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).26 / 38mgacos 1-1 a :

37、(1)由平行軸定理有21,22IA = |C ma = ml ma12(2)無(wú)滑動(dòng)時(shí)，桿上各點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)質(zhì)心2f - mgsin ? - maC,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有由式（1）,有mgcosi - N = ma ： d , mga cos 二-1A 出=I(4) d- .du利用條件e =0時(shí)E =0 ,積分得2 2mgasin1I A將式（5）代入式（3）,并利用式（2）得.24mga2 sin 二 TOC o 1-5 h z f =mgsm1212a2（6）將式（1）代入式（4）,并利用式（2）,得 HYPERLINK l bookmark252 o Current Document 2.

38、 HYPERLINK l bookmark277 o Current Document 12mga cos、N = mgcosl2 12a2開(kāi)始滑動(dòng)的臨界條件為f = N（8）因此，由式（6）、（7）、（8）,有24mga2 sinmgsinC1212a2=mgcos%12mga2cos%22l2 12a2式中a為臨界角。整理可得52 tan c =22l2 36a29、兩均勻細(xì)棒 A、B的長(zhǎng)度均為l ,質(zhì)量分別為 mA和mB,且滿足mB=2mA.兩者都在同一光滑水平面上，開(kāi)始時(shí)棒 B靜止，棒A以速度沿垂直棒的方向平動(dòng)，如圖所示。某瞬 時(shí)棒A的下端與棒B的上端恰好相碰，如圖所示。設(shè)碰撞是彈性碰

39、撞，分析碰后兩棒的運(yùn)動(dòng)情況，并求兩者的動(dòng)能。72答案：一m1 o1812 m1 09解一：設(shè)A B相互作用的沖量為 F&。碰后A、B質(zhì)心速度分別為、和,繞質(zhì)心的角 速度分別為W1和w2csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).27 / 38動(dòng)量定理F t =nv 0 - mi iF t = m2 2對(duì)A、B分別用角動(dòng)量定理F -：t = 1 m1f2 ,12 12,Ft =2系統(tǒng)機(jī)械能守恒12m0的條件是 TOC o 1-5 h z Nm2N.tana =,或 a % =3、49.m1 + m23由式（2）, T盧0 T8的條件是3,1. 八-m111cosam1sinot 0, 22即 tana 3或 ct

40、a2時(shí)，圓柱又滾又滑。）本題給出的u =30白，滿足1a CU2和1a ,因此，求解時(shí)附加的三條假設(shè)是合理的。若0 口% ,則木塊、圓柱均靜止不動(dòng)，a =0；繩拉緊，丁r0（當(dāng)以從0增大到巴時(shí)，T從0逐漸增大）。若 vc ,即碰撞后小球 A仍沿v0方向運(yùn)動(dòng)，且其速度大于小球C的速度，發(fā)生 這種運(yùn)動(dòng)的條件是M 6m(14) 解得B fc = 6M J。)5M 6m l方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?由(7)式可知，碰后小球 A的速度的大小和方向與 M m的大小有 關(guān)，下面就 M m取值不同而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)情形的不同進(jìn)行討論：Va = 0 ,即碰撞后小球 A停住，由(7)式可知發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是5M -6m =0(

41、ii ) Va 0但丫人Vc ,即碰撞后小球A沿v0方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，但其速度小于小球C的速度.由(7)式和(6)式，可知發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是6m M 0和 4M 5M -6mcsg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).35 / 38運(yùn)動(dòng)定理，C球的速度要減小，碰后再也不可能發(fā)生第三次碰撞.這兩次碰撞的時(shí)間間隔是(16)5 5M 6m d dt =w 6Mv0 v0從第一次碰撞到第二次碰撞，小球d = vCt =CC走過(guò)的路程2 d3（3）求第二次碰撞后，小球A、B C D的速度剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，細(xì)桿已轉(zhuǎn)過(guò)180,這時(shí)，小球B的速度為vD,小球D的速度為VB.在第二次碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒

42、和能量守恒.設(shè)第二次剛碰撞后小球A、B、C、D的速度分別為vA、vB、VC和vD,并假定它們的方向都與V0的方向相同.注意到（1）、（2）、（3）式可得M v0 = M vA 3mvC0 =mlvC 2mlvB1 o 10 1cle 1c-M v0 =-M v； +-mvB +-mvC+-mv； (20)22222由桿的剛性條件有vd -vc =Vc -vb）（19）式的角動(dòng)量參考點(diǎn)設(shè)在剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)與D球重合的空間點(diǎn).把（18）、（19）、（20）、（21）式與（1）、（2）、（3）、（4）式對(duì)比，可以看到它們除了小 球B和D互換之外是完全相同的.因此它們也有兩個(gè)解力, 4M和vc 二

43、4 v0（23）5M +6m對(duì)于由B C、D三小球組成的系統(tǒng)，在受到 A球的作用后，其質(zhì)心的速度不可能保持不 變，而（23）式是第二次碰撞未發(fā)生時(shí)質(zhì)心的速度，不合理，應(yīng)該舍去.?。?2）式時(shí)，可csg.競(jìng)賽.剛體力學(xué).36 / 38(26)Vd = 0（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度v0作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)，但已位于桿的前方，細(xì)桿和小球B、C D則處于靜止?fàn)顟B(tài)，即 2 d恢復(fù)到第一次碰撞刖的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但都向刖移動(dòng)了一段距離 d =,而且小球D和B換了位3置.22 ，17、半徑為R的乒乓球繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I =3mR （m為乒乓球的質(zhì)量），并以一定的初始條件在粗糙的水平面上運(yùn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)球的質(zhì)心速度為uC0,初角速度為 80,方向如圖所示，且乒乓球與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為N .求乒乓球開(kāi)始做純滾動(dòng)所需的時(shí)間及純滾動(dòng)時(shí)質(zhì)心的速度。答案:C0-gt. t =2-C0 Ro5g解：根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，在地面上質(zhì)心所在平面內(nèi)任取參考點(diǎn)Q如圖所示，規(guī)定角動(dòng)量的正方向?yàn)榇怪庇趫A面向里，乒乓球不受外力矩，故角動(dòng)量守恒。球?qū)⒖键c(diǎn)O的角動(dòng)量等于uC0質(zhì)心對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量和繞質(zhì)心軸的角動(dòng)量的矢量和。