高二12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

1、一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）.設(shè) a, b E R,若a ,則A. Id IJ B. i：二C.尸 1： D.-a b【答案】D【解析】【分析】由題意逐一考查所給命題的真假即可.【詳解】逐一考查所給的選項(xiàng)：取a = -3 ,滿足a b ,但是不滿足 間 |b ,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取R = Zb = -3,滿足a b,但是不滿足,選項(xiàng)B錯(cuò)誤； a b取R = 2.b=-，滿足J A但是不滿足 間 也|,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)=3是增函數(shù)，且ab所以3日啜，選項(xiàng)D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.命題FE亂十,的否定是

2、A.,B. .一.： ?- 一C.；二:x x ：； D. ：三.,.： 1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可.【詳解】命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題，據(jù)此可得命題早xEQ十s）,寸丹?！钡姆穸ㄊ呛隕 十句，2x2-x 0)的準(zhǔn)線方程為x = -求解即可.【詳解】由于拋物線=2px(p 0)的準(zhǔn)線方程為x = - E ,拋物線x = 即/ =依的準(zhǔn)線方程為x=-l,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的準(zhǔn)線方程的求法，屬于中等題.4.在等差數(shù)列0U中，11%卜知 = 42,則數(shù)列忸的前9項(xiàng)和與等于A. 126 B. 130 C.

3、147 D. 210【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解S9即可.【詳解】*在等差數(shù)列%與中，/ +眄+為=42 ,二的十附十%=現(xiàn)=42,解得 ,八數(shù)歹U %的前9項(xiàng)和：49,S9 =/ 1 4 a9)=浜=126.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5.設(shè)Fi, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上的任意一點(diǎn)，且 叫1=6, IPFJ |PFJ= 10則橢圓的短軸長(zhǎng)為A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義與性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可.

4、【詳解】設(shè)馬是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的點(diǎn)，且 島|=6,可得c = 3,IPFJ ”叫| = 10,可得a = 5,則橢圓的短軸長(zhǎng)為：2b -葭25 - 9 - 8 .故選：C. TOC o 1-5 h z 【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.使不等式。成立的一個(gè)充分不必要條件是A.B.C.D. -1【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后確定其成立的一個(gè)充分不必要條件即可【詳解】由/-*-60得僅十2）（又-斗4。，得若使不等式x：-x-6U成立的一個(gè)充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)范圍是（-2J）的一個(gè)真子集，即- 24xh。，滿足條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查

5、充分條件和必要條件的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為集合真子集關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.小.已知雙曲線的漸近線方程為 y = yx ,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-46和i+0）,則雙曲線方程為【詳解】/雙曲線的漸近線為y = I 焦點(diǎn)坐標(biāo)為（.4和140）,焦點(diǎn)在x軸上， 3.設(shè)雙曲線方程為一=2:口）, “2 2得;.= /= 所以2雙曲線方程為： 22=.312 4故選：B.【點(diǎn)睛】本題給出雙曲線的漸近線、焦點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于中等題.8.若實(shí)數(shù)m是-和20的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線 一+ /= 1的離心率為5m2222【答案】D【解析】【分析】 求出m值，然后利用橢圓、雙曲

6、線的性質(zhì)求解離心率即可.【詳解】實(shí)數(shù) m是不和20的等比中項(xiàng)，可得m = 4或-4, TOC o 1-5 h z 當(dāng)m=4時(shí)，圓錐曲線Y-r=l化為：一/=是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，離心率為： in4 r2222當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線土十尸二1化為： =是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，離心率為： mP 4故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的離心率的求法，等比數(shù)列的性質(zhì)，考查計(jì)算能力.9.大衍數(shù)列來源于乾坤譜中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，該數(shù)列從第一

7、項(xiàng)起依次是0, 2,4, 8, 12, 18, 24 , 32, 40, 50,，則該數(shù)列第 18 項(xiàng)為A. 200 B. 162 C. 144 D. 128【答案】B【解析】18項(xiàng)即可.【分析】由題意，首先猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解該數(shù)列第【詳解】偶數(shù)項(xiàng)分別為2, 8, 18, 32, 50,即， ， ， ，即偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的第18項(xiàng)為第9個(gè)偶數(shù)即，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)列尋找偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.10.已知下列結(jié)論：若數(shù)列%的前n項(xiàng)和1 ,則數(shù)列一定為等差數(shù)列若數(shù)列的前n項(xiàng)和品=-I ,則數(shù)列一定為等比數(shù)列非零實(shí)數(shù)a, b, c不全相

8、等，若a, b, c成等差數(shù)列，則可能構(gòu)成等差數(shù)列 a b c0非零實(shí)數(shù)a, b, c不全相等，若a, b, c成等比數(shù)列，則一定構(gòu)成等比數(shù)列 a b c則其中正確的結(jié)論是A. B. ； C. ； D. 【答案】A【解析】【分析】由題意逐一分析所給的命題是否成立即可.【詳解】（若數(shù)列J應(yīng)手的前n項(xiàng)和S=n-M ,可得港1=5 = 2； n 之 2時(shí)，41 = 4-*.+ 1 -E- 1f-】=2口-1 ,上式對(duì)n=l不成立則數(shù)列%不為等差數(shù)列，故 錯(cuò)；若數(shù)列嗝的前n項(xiàng)和品= 2” - I,可得 二瓦= 1; n1時(shí)，/=2 - 1 -2 1 =*1則數(shù)列為首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列，故對(duì);非零

9、實(shí)數(shù)a, b, c不全相等，若a, b, c成等差數(shù)列,可得，D由:ib = be,即& = ,即為a=b = c,不成立，則不可能構(gòu)成等差數(shù)列，故,錯(cuò)； a b c非零實(shí)數(shù)a, b, c不全相等，若a, b, c成等比數(shù)列，可得=螢，! =），則！ 11一定構(gòu)成等比數(shù)列，故 對(duì).b2 的 abc故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的遞推式的運(yùn)用， 考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中等題.Yr，則實(shí)數(shù)m的取值范圍11.右兩個(gè)正實(shí)數(shù) x, y滿足- - = 2 ,且不等式x - 1 + 2 I二=1 + 2父卜=_2/_= + = 2,44 2x y 2 4 y 8

10、x Jy 8x2當(dāng)且僅當(dāng)一=,即+*=16x即y= 4k時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=l, y = 4,y 8x即，4則由2得mmOO,即+得m 2 或m o,且X+y = 6,則曙邑X + I曜J的最大值為 【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則確定-1隼5y的最大值即可.【詳解】x 0 , y0,且x+y = 6 ；，. 6 = x I- y三2xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y = 3時(shí)取等號(hào)；Axy 9;A 1ob3x 1 logjy = laggxy 十1=1,三十*=, 4 242由二氏*/曰(xl-x2)(x1-x2) (y+y2)(y1-y2)兩式作差可得：，42xi +

11、x2 Yi 十力 yj-yi即，42 冀一叱，一,一 力$ 2 1 一 ，,由于X|十嗎= Zi十%=Lk =,故k = 0,解得：k = T,X - 勺4 2所以直線PQ的方程為2x十藥-3=0.故答案為：2x + 2y-3 = 0.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)差法及其應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.在R上定義運(yùn)算8派5=(日+1州，若對(duì)于VxE2、3,使得不等式+ 成立，則 實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【答案】,【解析】【分析】由題意結(jié)合新定義的運(yùn)算和二次函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)m的取值范圍即可.【詳解】根據(jù)題意，(mF)米(m+x) 4即(m-x- l)(m +由4

12、,變形可得：(x-m- l)(x - m) A -4 ,即m + m 4 x3 其，又由xER3,則b-對(duì)的最小值為2,則有,解可得：,即m的取值范圍為(-3,2)；故答案為：(-3,2).【點(diǎn)睛】 新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后 根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說新題”不一定是雉題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.已知下列命題： 4 ,當(dāng)且僅當(dāng)x? I 3 = 4 ,即x = I ,收+3收-3y取得最小值4,故對(duì)；對(duì)于3,設(shè)數(shù)列

13、1%；滿足：為I泡4現(xiàn)4土 n = 2*1 W N * ),n = L 時(shí).%= 2 ; n 2時(shí)，為 I 2七 4 3H* * .斗(n-1)a|1_1 =2“ 1 ,又為 2% + 3的 +11 = 2n(n N * ),相減可得 11ali = 2 1 ,即為之2),故錯(cuò)；對(duì)于一,由雙曲線的定義可得動(dòng)點(diǎn) P的軌跡是雙曲線的一支，故 對(duì).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，主要是充分必要條件的判斷和基本不等式的運(yùn)用、數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，雙曲線的定義，考查定義法和推理能力，屬于中檔題.三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)x 917.已知命題p：實(shí)數(shù)x滿足iX3a)(x-a)

14、V。，其中a。，命題q：實(shí)數(shù)x滿足一;0,若p X -上是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】【解析】【分析】首先求解命題p和命題q,然后由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù) a的不等式組，求解不等式組即可求得最終結(jié)果.【詳解】由(X -初(xa) Mn得日 0 ,由一W0得2式x - 2若p是q的充分不必要條件，則 3口聲9,則得；1，即2WHM3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 巳3.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的解法，由充分不必要條件求解參數(shù)的方法等知識(shí),學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力 .意在考查18.已知數(shù)列是首項(xiàng)% 7 ,公差的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為好,且為，%，為 成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列%的通項(xiàng)公式

15、;,求數(shù)列bj的前n項(xiàng)和1口.【答案】(1) %=口；(2)2(n + 2)【解析】【分析】(1)由題意首先求得公差，然后求解通項(xiàng)公式即可；(2)結(jié)合(1)中求得的通項(xiàng)公式列項(xiàng)求和求解數(shù)列出/的前n項(xiàng)和與即可.【詳解】 數(shù)列是首項(xiàng)電=1 ,公差的等差數(shù)列，% %,為成等比數(shù)列，可得 ，即為，解得 ，即有* =n；I匕=:=.n (n+(n + l)(n - 2) n+ 1 n- 2，一 E11111則刖門項(xiàng)和li= l 7 + - Z 3 J 4 ri + 1 n + 211 n2 n + 2 2(n + 2)【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，裂項(xiàng)求和的方法等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

16、和計(jì)算求解能力.19.已知點(diǎn)式在拋物線C:二型戊0)上，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，且|PF| = 3.Ui求拋物線C的方程；過點(diǎn)T。)的直線l交拋物線C于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求0?g的值.【答案】(1) = 4x; (2) -4.【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合拋物線的定義確定p的值即可求得拋物線方程；(2)分類討論直線斜率存在和不存在兩種情況確定/ 口H的值即可.【詳解】Q”拋物線C ： y2= 2px(p 0),，焦點(diǎn)由拋物線定義得：IPFI = 2 -| ? = 3 , 2解得p = 2,拋物線C的方程為/ =4x .QXD當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為：x = 2,A班，同則-22- 2

17、加 乂 22 = - 47 JOA OB當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)y = k(x-2), k#0,j-y =. 2)、由;，=4；，可得 kS?-(4k 4)x71? = 0,設(shè) ，則 , Gi 丫3 二 (4xJ = 16x2 = 64,由題意可得y)y2= X.X,-，, =4- 8 = -4【點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,般要用到根與系數(shù)的關(guān)系20.為響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，某汽車制造企業(yè)計(jì)劃在2019年引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本 2500萬元，每生產(chǎn)網(wǎng)百輛，需另投入成本C(x萬元，且i 0 x：+ 200 x,0 x 40.產(chǎn)的

18、汽車當(dāng)年能全部銷售完.(1)求2019年的利潤(rùn)L(萬元關(guān)于年產(chǎn)量 雙百輛的函數(shù)關(guān)系式L(限其中利潤(rùn)=銷售額-成 本；(2)289年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).-1 Ox- + 400k - 2500,0 x40【答案】(1) L(x) =2019年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 1800萬元.【解析】【分析】(1)結(jié)合題意寫出利潤(rùn)函數(shù)即可； TOC o 1-5 h z (2)結(jié)合(1)中的利潤(rùn)函數(shù)分段討論函數(shù)的最值即可求得最終結(jié)果【詳解】(1)當(dāng) 0vx 40時(shí)，L(x) = 600 x- 601x 4500 - 2500 = 2000 - (x ),x

19、x-10 x： + 400 x- 2500,0 x 40當(dāng)0 vxv4O 時(shí)，Lg= . io(x= 2。), I 1500,，當(dāng)k = 20時(shí)，L(k)取得最大值1500;、”,10000I1 10000當(dāng)。時(shí)，L(x) = 2000- (x +)2Q00- 2 r 1800,xdx，10000 _E-r當(dāng)且僅當(dāng)x =即x= 10。時(shí)取等號(hào).X:當(dāng)K= 100時(shí),L(x)取得最大值1800.即2019年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1800萬元.【點(diǎn)睛】(1)很多實(shí)際問題中，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段 函數(shù)模型.(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、

20、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.在求分段函數(shù)的最值 時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.%21.已知數(shù)列為中，的=，1+1=(nN+).I(1)求證：1一十1是等比數(shù)列，并求數(shù)列%的通項(xiàng)公式；%,n(31- 1)已知數(shù)列t%),滿足, =an .(i)求數(shù)列他的前n項(xiàng)和口 ;, n(】i)若不等式(- 1) ZTn 一對(duì)一切nN *恒成立，求的取值范圍. 2【答案】(1)答案見解析；(2) (i)2 - - ； (ii)( - 1 ).【解析】【分析】1由題意結(jié)合等比數(shù)列的定義證明數(shù)列一十1；是等比數(shù)列，然后求解其通項(xiàng)公式即可;%(2)首先確定數(shù)列%的通項(xiàng)公式，然后求解其前 n項(xiàng)和即可；(ii)結(jié)合恒成立的條件分類討論n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況確定的取值范圍即可1 .【詳解】丁與=;,1廣；SEN ), 22an-33