ch2軸向拉壓8節(jié)2003《材料力學(xué)》課件

1、材 料 力 學(xué)第二章 軸向拉伸和壓縮Ch2. Axial Tension and Compression作業(yè):2-21,2-23,2-28,2-33,2-38,2-418 拉、壓超靜定問題Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars.超靜定問題及其解法.裝配應(yīng)力(assembly stress) 溫度應(yīng)力.綜合問題18 拉、壓超靜定問題Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars超靜定問題及其解法基本概念Conception:靜定問題SDP: 結(jié)構(gòu)(桿件或桿系)的內(nèi)力和支

2、反力僅用靜力學(xué)平衡條件就能 唯一確定的問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)叫靜定結(jié)構(gòu)(SDS)與之對應(yīng):超靜定問題SIP:結(jié)構(gòu)(桿件或桿系)的內(nèi)力和支反力僅用靜力學(xué)平衡條件不能唯一確定的問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)叫超靜定結(jié)構(gòu) (SIS)實(shí)例:如圖28 拉、壓超靜定問題超靜定問題及其解法 基本概念由上可見,SIP的未知力個(gè)數(shù)(內(nèi)力+未知反力)超過了獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)。其差值叫超靜定次數(shù)（階數(shù): the order of statical indeterminacy）。解SIP需補(bǔ)充一些方程才能唯一確定未知力。這些補(bǔ)充方程一般是根據(jù)變形后,約束條件不被破壞來建立的。由于約束條件的限制,各桿件(or 桿件的各部分)之間的變形必

3、存在一些聯(lián)系變形協(xié)調(diào)條件(con-dition of displaced compatibility構(gòu)件體系的變形協(xié)調(diào)原則:桿件不破壞,彼此不相分離,結(jié)構(gòu)的一部分對另一部分不發(fā)生未預(yù)見的、影響結(jié)構(gòu)形狀的相對位移。),由此可建立相應(yīng)的變形幾何方程(geometrical equation of deformation)在線彈性范圍內(nèi)，我們可由胡克定律將變形與桿件的內(nèi)力聯(lián)系起來，得到以內(nèi)力為未知量的變形幾何方程補(bǔ)充方程,然后與靜力學(xué)平衡方程一起求解，即可求出結(jié)構(gòu)的所有未知力。38 拉、壓超靜定問題超靜定問題及其解法思路：靜力+變形幾何+物理關(guān)系物理關(guān)系即本構(gòu)關(guān)系(Constitutive Rela

4、tion) 理論（彈性力學(xué)中方程的封閉性和解的唯一性定理）和實(shí)踐證明:無論超靜定次數(shù)為多少，總能找到相應(yīng)數(shù)量的補(bǔ)充方程來求解 。（比較：流體基本方程的非封閉性）。48 拉、壓超靜定問題超靜定問題及其解法例 圖(a)所示為兩端固定的鋼桿,已知l1=1.0m,l2=0.5m,A=20cm2,P=300kN,E=200GPa。試求鋼桿各段應(yīng)力和變形。解1,列靜力平衡方程 以整根桿為研究對象,畫出受力圖如圖(b),靜力平衡方程為 RA+RB=P (a) 2,建立補(bǔ)充方程 (桿受力后,C截面下移至C1截面,結(jié)果AC段伸長D l1,而CB段縮短D l2,桿兩端固定總長不變,即 D l0 。因此,有: D

5、l1|D l2| 這就是本例的幾何方程。變形和內(nèi)力有關(guān)。用截面法求得兩段內(nèi)力分別為:N1=RA, N2=RB(壓) 。58 拉、壓超靜定問題超靜定問題及其解法由虎克定律式(3.18)求得各段變形為: 以上兩式稱為物理方程。將此代入式 D l1|D l2| 即得補(bǔ)充方程:RA+RB=P (a)(b)聯(lián)解(a),(b)兩式,得:3,求各段應(yīng)力和變形(反力求出以后,就按靜定問題求各段內(nèi)力、應(yīng)力和變形):6 2,建立補(bǔ)充方程(原結(jié)構(gòu)下端鉸接于A點(diǎn),受到P力作用變形之后仍應(yīng)鉸接于A點(diǎn)。作出A節(jié)點(diǎn)變位圖(d)。由于結(jié)構(gòu)的對稱性,有:Dl1=Dl2 ,A點(diǎn)應(yīng)在桿3的軸線上。根據(jù)變位圖,幾何方程為: Dl1=

6、Dl3cosa (b)物理方程為: 8 拉、壓超靜定問題超靜定問題及其解法例:圖(a)所示三桿鉸接組成的結(jié)構(gòu),1,2兩桿橫截面剛度為E1A1,3桿為E3A3。求在P力作用下三桿的內(nèi)力。解:1,列靜力平衡方程(取節(jié)點(diǎn)A為研究對象(圖(c),其靜力平衡方程為:N1=N2 2N1cosa+N3=P (a) 未知力有三個(gè),而平衡條件只有兩個(gè),故為一次超靜定結(jié)構(gòu),需建立一個(gè)補(bǔ)充方程。 由前述超靜定問題的解法及例題可見，在綜合應(yīng)用變形的幾何方面、變形與力之間的物理方面以及靜力學(xué)方面來解超靜定問題時(shí)，根據(jù)問題的變形相容條件寫出變形幾何方程（幾何方面），并通過胡克定律（物理方面）而得到補(bǔ)充方程，這是整個(gè)解題步

7、驟中的主要環(huán)節(jié)。抓住了這一環(huán)，超靜定問題就迎刃而解了。(c) 將式(c)代入式(b),得補(bǔ)充方程:聯(lián)立求解式(a)和(d),并注意到l1cosa =l3得: 結(jié)果均為正,說明原假定三桿軸力均為拉力是正確的。由解可見:在超靜定桿系問題中,各桿軸力與該桿本身剛度和其它桿的剛度之比有關(guān)。剛度越大的桿,其軸力也越大。這是超靜定結(jié)構(gòu)的一個(gè)特性。(d)728 拉、壓超靜定問題超靜定問題及其解法例:桁架如圖所示,由三根抗拉壓剛度均為EA的桿 AD、BD和CD在D點(diǎn)鉸接而成。試求:1,在力作用下各桿的內(nèi)力。解:1,計(jì)算P力作用下三桿的內(nèi)力(1)(2)(1)作節(jié)點(diǎn)的受力圖 用截面將AD、BD及CD桿截開,取節(jié)點(diǎn)

8、部分為考察對象,并設(shè)三桿軸力為N1、N2及N3且均為拉力,如受力圖所示。則平衡條件為: 可見僅有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程,但包含三個(gè)未知量,故為一次靜不定問題。(2)作變形位移圖 因?yàn)楦鳁U軸力均設(shè)為拉力,故均產(chǎn)生伸長變形: 過D1、D2及D3各點(diǎn)作各桿垂直線,相交于D點(diǎn)(如位移圖所示)。在位移圖中過D點(diǎn)作鉛垂線,延長D1D及DD3與此鉛垂線交于F、E點(diǎn),由幾何關(guān)系可得:88 拉、壓超靜定問題超靜定問題及其解法若b=90o,則有:比較上面二式，得變形協(xié)調(diào)條件為:(3)物理關(guān)系為:將此式代入變形協(xié)調(diào)條件,得補(bǔ)充方程:(3)聯(lián)解平衡方程式(1)、(2)及補(bǔ)充方程式(3),得:討論:若b=0,則有:98 拉

9、、壓超靜定問題超靜定問題及其解法 也可以選取結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量首先求出,再求內(nèi)力和應(yīng)力。這種以位移作為基本未知量的方法稱為位移法。位移法在現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析中有廣泛的應(yīng)用,具有方法規(guī)范,便于編制結(jié)構(gòu)通用計(jì)算機(jī)程序的特點(diǎn)。 在結(jié)構(gòu)分析中,以內(nèi)力作為基本未知量的方法稱為力法。即先求出內(nèi)力,進(jìn)而求應(yīng)力和變形。108 拉、壓超靜定問題 .裝配應(yīng)力(assembly stress) 溫度應(yīng)力一，裝配應(yīng)力(Assembly Stress): 預(yù)應(yīng)力Prestress 預(yù)應(yīng)變效應(yīng)Prestrain Effect SDS因桿件尺寸誤差,會使結(jié)構(gòu)空間形狀與原設(shè)計(jì)相比發(fā)生偏差。但不會產(chǎn)生內(nèi)力(不會引起各桿的變

10、形)。 SIS因桿件尺寸誤差,不僅會使空間結(jié)構(gòu)、形狀與原設(shè)計(jì)相比發(fā)生偏差。而且會產(chǎn)生內(nèi)力(引起各桿的變形,相應(yīng)的應(yīng)力叫裝配應(yīng)力)。即: SDS的桿件尺寸誤差各桿的剛體位移 引起 SIS的桿件尺寸誤差各桿的剛體位移+變形位移 118 拉、壓超靜定問題 .裝配應(yīng)力 溫度應(yīng)力解:由于中間桿短了D,為裝配在一起,顯然,2桿要拉長一些,而1、3桿則要縮短一些,圖中實(shí)線為裝配前的情況,虛線為裝配在一起時(shí)的情況。 設(shè)1、3桿縮短Dl1及Dl3 ，2桿伸長Dl2 ，此時(shí)1、3桿的軸力N1及N3為壓力，2桿軸力N2為拉力，例:桁架如圖所示,由三根抗拉壓剛度均為EA的桿AD、BD和CD在D點(diǎn)鉸接而成。試求: 2,

11、由于中間桿BD短了D而引起的各桿內(nèi)力。由受力圖可得平衡條件為: 由變形圖得變形協(xié)調(diào)關(guān)系為:物理關(guān)系為:得補(bǔ)充方程:聯(lián)解平衡方程和補(bǔ)充方程得:12 桿件的伸長（T0）OR縮短（T0)變形。在SDS中，與(28.一,)類似,只引起結(jié)構(gòu)的變溫位移。但在SIS中,與(28.一,)類似,會引起結(jié)構(gòu)的變溫位移和內(nèi)力-變形位移。8 拉、壓超靜定問題 .裝配應(yīng)力 溫度應(yīng)力一,裝配應(yīng)力(Assembly Stress): 由于裝配應(yīng)力是在SIS受載之前就已存在構(gòu)件內(nèi)的,因此可稱為預(yù)應(yīng)力(Prestress)。它對某些構(gòu)件會產(chǎn)生不利影響(減低承載力),而對某些構(gòu)件又可能產(chǎn)生有利效應(yīng)(提高承載力)。二,溫度應(yīng)力Th

12、ermal Stress(變溫應(yīng)力):T在桿內(nèi)均勻變化=t熱應(yīng)力OR變溫應(yīng)力138 拉、壓超靜定問題 .裝配應(yīng)力 溫度應(yīng)力 二,變溫應(yīng)力 附注：由軸向受力桿的內(nèi)力N求應(yīng)力的過程實(shí)質(zhì)上也是解超靜定問題的過程。初應(yīng)力0= + t P、T、d共同存在的SIP:解法1. 直接求解;解法2. 疊加法:=P +T +d14解:3,計(jì)算由溫度升高D而引起的溫度應(yīng)力(若溫度升高D,D節(jié)點(diǎn)位移至D點(diǎn)(如右圖),8 拉、壓超靜定問題 .裝配應(yīng)力 溫度應(yīng)力 聯(lián)立式(13)、(7)解得各桿橫截面上的軸力、正應(yīng)力為:例:桁架如圖所示,由三根抗拉壓剛度均為EA的桿AD、BD和CD在D點(diǎn)鉸接而成。試求: 3,由于溫度升高D

13、T而引起的溫度應(yīng)力。設(shè)N1、N3為壓力,N2為拉力,則平衡條件仍為:由右圖f得變形協(xié)調(diào)關(guān)系為:物理關(guān)系:桿件變形包括荷載引起的彈性變形和溫度引起的熱變形。即:式中a為線膨脹系數(shù)；等式右邊第二項(xiàng)之符號按軸力為拉、壓而定。將式(12)代入式(11)得補(bǔ)充方程: 可見,變溫應(yīng)力一般與桿件的橫截面面積無關(guān)!158 拉、壓超靜定問題 .綜合問題4,討論 試求在P、Dd、DT三種因素共同作用下,圖示三桿的內(nèi)力。 因?yàn)樵趶椥孕∽冃吻闆r下,可應(yīng)用疊加原理,所以桿件的內(nèi)力是三種因素分別引起的內(nèi)力的代數(shù)和(拉力為正,壓力為負(fù))。疊加式(6)、(10)、(14)得:16第二章 軸向拉伸和壓縮Ch2. Axial T

14、ension and Compression小 結(jié) 本章介紹了材料力學(xué)許多重要概念,展示了材料力學(xué)許多重要方法,不僅給出了工程中拉(壓)構(gòu)件分析的基本理論和方法,而且是掌握材料力學(xué)后繼內(nèi)容的基礎(chǔ),應(yīng)予以足夠重視。主要內(nèi)容:1,軸向受力特點(diǎn):荷載和支反力的合力沿桿軸作用,橫截面上內(nèi)力僅為軸力N。2,應(yīng)力分布:應(yīng)力在橫截面上均勻分布(只在外力作用點(diǎn)附近或桿的截面突變處附近,應(yīng)力才成非均勻分布)。 3,拉(壓)虎克定律:這個(gè)定律建立了桿件受力在線彈性范圍內(nèi),內(nèi)力(或應(yīng)力)與變形(或應(yīng)變)的關(guān)系。兩種表達(dá)式: 注意變形和位移的區(qū)別和聯(lián)系!橫截面應(yīng)力斜截面應(yīng)力應(yīng)用虎克定律可計(jì)算桿件的位移和變形,也用于解超靜定問題時(shí)列補(bǔ)充方程。17第二章 軸向拉伸和壓縮Ch2. Axial Tension and Compression小 結(jié)4,強(qiáng)度條件:拉(壓