d51n維euclid空間中的點(diǎn)集的初步知識

1、第五章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 推廣一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué) 注意: 善于類比, 區(qū)別異同1第一節(jié) n維Euclid空間中 點(diǎn)集的初步知識1.2、 中的點(diǎn)列的極限1.1、 n 維Euclid空間1.3、 中的開集與閉集1.4、 中的緊集與區(qū)域21.1、 n維Euclid空間1.1、 n維Euclid空間規(guī)定：加法數(shù)乘稱為一個(gè)n 維實(shí)向量空間（實(shí)線性空間）。若定義內(nèi)積成為一個(gè)n 維Euclid空間。3中的長度：1.2、 中的點(diǎn)列的極限定義1.1 設(shè) 是 中的一個(gè)點(diǎn)列，其中又設(shè)是中的一固定點(diǎn)，若當(dāng) 時(shí)，即使得則稱點(diǎn)列的極限存在，且稱為它的極限，記作4這時(shí)也稱點(diǎn)列收斂于定理1.1則點(diǎn)設(shè)點(diǎn)列都有定

2、理1.2設(shè) 是 中的收斂點(diǎn)列，則(1) 點(diǎn)列的極限唯一；(2) 是有界點(diǎn)列， (3) 若 則5(4) 若 收斂于 ，則它的任一子列也收斂于定理1.3中的有界點(diǎn)列必有收斂子列.( 中的點(diǎn)列 的收斂子列的極限也稱為 的極限點(diǎn)）設(shè) 是 中的點(diǎn)列，若使得則稱 是 中的基本點(diǎn)列或Cauchy點(diǎn)列.定理1.4中點(diǎn)列 收斂于 中的點(diǎn)是 中的Cauchy點(diǎn)列.1.3、 中的開集與閉集6定義1.2則稱 為設(shè) 是 中的一個(gè)點(diǎn)集，若存在中的點(diǎn)列使得的聚點(diǎn).的所有聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 的導(dǎo)集.記作集合 稱為 的閉包.若但則稱 為的孤立點(diǎn).若則稱 為閉集.注：(1) 集合 的聚點(diǎn)一定屬于 嗎？(2) 什么樣的集合對極限運(yùn)

3、算封閉？定義1.3設(shè)稱點(diǎn)集稱為以 為中心、 為半徑的開球或 鄰域，7為點(diǎn) 的去心 鄰域.注：收斂于 可以描述為：點(diǎn)列使得定理1.5設(shè) 是 中的一個(gè)點(diǎn)集，則即 為的聚點(diǎn)證：存在 中的點(diǎn)列 且使得即 的任意去心鄰域包含 中的點(diǎn).當(dāng)且僅當(dāng)8于是由取且于是注：若 則 為閉集。單點(diǎn)集和有限集都是閉集。定義1.4 設(shè)的內(nèi)點(diǎn).則稱 是集 (1) 若存在 使 由 的所有內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 的內(nèi)部，記作(2) 若存在 使 則稱 是集 9的外點(diǎn).由 的所有外點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 的外部，記作(3) 若對任何 也含有不是 中的點(diǎn)，由 的記作中既含有 中的點(diǎn)，則稱 是集 的邊界點(diǎn).所有邊界點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 的邊界，注：且

4、三者不交。10對于 中的任一點(diǎn)集 必有特別的，開球與它的邊界之并稱為閉球。例1.211定理1.6 是開集 是閉集.注：中的開區(qū)間中的閉區(qū)間注：一個(gè)點(diǎn)集是不是“非開即閉？”定理1.7在n維Euclid空間 中,開集有下列性質(zhì)：(1) 空集與空間 是開集；(2) 任意多個(gè)開集的并是開集；(3) 有限多個(gè)開集的交是開集.12利用對偶原理：(1) 空集于空間 是閉集；(2) 任意多個(gè)閉集的交是閉集；(3) 有限多個(gè)閉集的并是閉集.1.4、 中的緊集與區(qū)域設(shè) 是 中的一個(gè)點(diǎn)集，若存在一個(gè)常數(shù)使得對于所有的 都有則稱 是有界集。否則稱為無界集.定義1.6設(shè) 是 中的一個(gè)點(diǎn)集，若 是有界閉集，則稱 為緊集。定義1.7設(shè) 是 中的一個(gè)點(diǎn)集，若 中的任意13連通的開集稱為開區(qū)域.兩點(diǎn) 都能用完全屬于 的有限個(gè)線段連接起來，則稱 是連通集.開區(qū)域與它的邊界的并稱為閉區(qū)域.設(shè) 是 中的一個(gè)點(diǎn)集，若連接