等參單元概述

1、 前面介紹的三角形單元和四面體單元，其邊界都是直線和平面，對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的曲邊和曲面外形，只能通過減小單元尺寸，增加單元數(shù)量進行逐漸逼近。這樣，自由度的數(shù)目隨之增加，計算時間長，工作量大。另外，這些單元的位移模式是線性模式，是實際位移模式的最低級逼近形式，問題的求解精度受到限制。為了克服以上缺點，人們試圖找出這樣一種單元：一方面，單元能很好地適應(yīng)曲線邊界和曲面邊界，準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)形狀；另一方面，這種單元要具有較高次的位移模式，能更好地反映結(jié)構(gòu)的復(fù)雜應(yīng)力分布情況，即使單元網(wǎng)格劃分比較稀疏，也可得到較好的計算精度。等參數(shù)單元（等參元）就具備了以上兩條優(yōu)點，因此，得到廣泛應(yīng)用。6-1 等參元的概念第六

2、章 等參數(shù)單元1等參數(shù)單元 每一種等參數(shù)單元有二種形式：一種形式在局部座標(biāo) 或 中，是以邊長為2的正方形單元或邊長為2的立方體單元用作計算稱為母單元；另一種形式在整體座標(biāo) x y或x y z中，通過母單元映射到整體座標(biāo)上的單元用于離散結(jié)構(gòu)物稱為子單元。由于母單元上的位移函數(shù)與座標(biāo)變換的函數(shù)具有相同的參數(shù)。這就是等參數(shù)單元名稱的來由。 母單元的位移函數(shù):座標(biāo)變換的映射關(guān)系:2 等參元的基本思想：首先導(dǎo)出關(guān)于局部坐標(biāo)系的規(guī)整形狀的單元（母單元）的高階位移模式的形函數(shù)，然后利用形函數(shù)進行坐標(biāo)變換，得到關(guān)于整體坐標(biāo)系的復(fù)雜形狀的單元（子單元），這種子單元的位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式都用相同的形函

3、數(shù)與結(jié)點參數(shù)進行插值，稱其為等參元。一、形函數(shù)對于單元形函數(shù)的確定，首先假設(shè)單元的位移模式，代入結(jié)點的位移和坐標(biāo)，從而推導(dǎo)出單元的任意一點的位移插值函數(shù)，即形函數(shù)。實際上，形函數(shù)是定義在單元內(nèi)部的、滿足一定條件的、坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。形函數(shù)不僅可以用于單元位移函數(shù)的插值，還可以用于單元形狀的變換。形函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：3(6-1)1. 在結(jié)點i處 ， 在其他結(jié)點處 ； 2. 能保證用它定義的未知量（位移或坐標(biāo)）在相鄰單元之 間的連續(xù)性；3. 應(yīng)包含任意線性項，以保證用它定義的單元位移可滿足常應(yīng)變條件； 應(yīng)滿足下列等式以保證用它定義的單元位移能反映剛體位移。4如圖6-1所示，坐標(biāo)原點在單位形心上。單

4、元邊界是四條直線： ， 。為保證用形函數(shù)定義的未知量在相鄰單元之間的連續(xù)性，單元結(jié)點數(shù)目應(yīng)與形函數(shù)階次相適應(yīng)。因此，對于線性、二次和三次形函數(shù)，單元每邊的結(jié)點數(shù)分別為兩個、三個和四個。除四個角點外，其他結(jié)點位于各邊的二分點或三分點上。 二維母單元是平面中的22正方形二、母單元首先，根據(jù)形函數(shù)的定義，在局部坐標(biāo)中，建立起幾何形狀簡單且規(guī)整的單元，稱為母單元。5圖6-1 二維母單元(a) 線 性 單 元(b) 二 次 單 元123412348756 1) 線性單元（4結(jié)點）(6-3)以上形函數(shù)也可以合并表示為（i=1, 2, 3, 4） (6-4)其中(6-5)6三、坐標(biāo)變換母單元可以直接用來進行

5、有限元分析，其單元特性可以按照前面幾章中講述的步驟進行。但是這些單元形狀規(guī)整，難以適應(yīng)實際工程中出現(xiàn)的各種結(jié)構(gòu)的復(fù)雜形狀。為了解決這個矛盾，需要用坐標(biāo)變換的方法，把形狀規(guī)整的母單元，轉(zhuǎn)換成具有曲線（面）邊界的形狀復(fù)雜的單元。轉(zhuǎn)換后的單元稱為子單元。子單元在幾何上可以適應(yīng)各種實際結(jié)構(gòu)的復(fù)雜外形。這樣，對于一個實際結(jié)構(gòu)，就可以采用各種形狀復(fù)雜的子單元在整體坐標(biāo)系中進行劃分，來逼近其復(fù)雜的曲線或曲面邊界。而每個子單元，通過坐標(biāo)變換，都可以映射成一個局部坐標(biāo)系下的規(guī)整單元，即母單元，計算比較簡單。為了進行坐標(biāo)變換，必須在局部坐標(biāo) 和整體坐標(biāo) 之間建立一一對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)關(guān)系可以利用形函數(shù)建立起來。

6、7等參數(shù)單元1. 平面坐標(biāo)變換 在整體坐標(biāo)系中，子單元內(nèi)任一點的坐標(biāo)用形函數(shù)表示如下(6-4) 其中，Ni 是用局部坐標(biāo)表示的形函數(shù)，xi，yi 是結(jié)點i的整體坐標(biāo)，上式即為平面坐標(biāo)變換公式。返回8 若以母單元上12邊為例，通過映射可得在平面內(nèi)任一直線，12邊的方程為 = -1,代入 通過局部座標(biāo)與整體座標(biāo)的映射關(guān)系把母單元變換到整體座標(biāo)上成為一個任意四邊形用于離散結(jié)構(gòu)物，它能適合于任意曲邊的形狀。9同理可得 把以參數(shù) 代表的 x方程和 y方程消去 ，則得 x , y 所組成的直線方程 y=kx+b 所以母單元上的四個邊都可以通過映射在x, y座標(biāo)面上得出一個任意四邊形，用該四邊形離散結(jié)構(gòu)物。

7、10（a）母單元 （b）子單元圖6-2 二維單元的平面坐標(biāo)變換1234875623154678等參數(shù)單元返回 圖6-2表示了二維單元的平面坐標(biāo)變換。母單元是正方形，子單元則分別變換成任意四邊形和曲邊四邊形。而且相鄰子單元在公共邊上的整體坐標(biāo)是連續(xù)的。以二次單元為例，兩個相鄰單公共邊界上都是二次曲線（拋物線），而在三個公共結(jié)點上具有相同的坐標(biāo)。因此，整個公共邊界都有相同的坐標(biāo)，即相鄰單元是連續(xù)的。11等參數(shù)單元2. 兩類坐標(biāo)系的關(guān)系以上坐標(biāo)變換式給出了局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。如果給定了局部坐標(biāo) 的值，則可以求出整體坐標(biāo) 的對應(yīng)值，反之亦然。在有限元分析中，兩者的作用是不同的。直角坐

8、標(biāo)系在 整個結(jié)構(gòu)的所有子單元中共同采用，所以稱為整體坐標(biāo)。返回而曲線坐標(biāo)系 則只適用于單個獨立的子單元，所以稱為局部坐標(biāo)。整體坐標(biāo)在整體分析中采用，局部坐標(biāo)則在單元分析中采用。12現(xiàn)在討論兩類坐標(biāo)系中有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以二維坐標(biāo)為例：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有(6-5) 上式可寫成矩陣形式(6-6)其中：J稱為雅可比（Jacobi）矩陣式（6- 7）的逆變換式為(6-7)(6-8)其中，J-1是J的逆陣13等參數(shù)單元 四、等參元在有限元分析中，定義一個單元需要確定其幾何形狀以及位移分布。以上已經(jīng)建立了各種子單元的幾何形狀，還需要假設(shè)其內(nèi)部的位移分布情況。子單元的位移模式可用形函數(shù)表示如下(6-9)用矩陣表示為返回14(6-10)其中：N為用局部坐標(biāo)表示的形函數(shù)， 是整體坐標(biāo)下的結(jié)點位移。比較子單元的坐標(biāo)變換式和位移模式，兩者都利用了形函數(shù)，它們可以是局部坐標(biāo)的一次、二次、三次甚至更高次的函數(shù)。坐標(biāo)變換式是根據(jù)結(jié)點的坐標(biāo) 和形函數(shù) 來確定單元的幾何形狀；位移模式是根據(jù)結(jié)點的位移 和形函數(shù) 來確定單元的位移場。如果單元坐標(biāo)變換式和位移模式所用的形函數(shù)的階次相等，即用于規(guī)定單元形狀的結(jié)點數(shù)等于用于規(guī)定單元位移的結(jié)點數(shù)，那么這種單元就稱為等參數(shù)單元（等參元）。在等參元中坐標(biāo)變換和位移模式一般使用相同的結(jié)點。15等參數(shù)單元等參元具有以下優(yōu)點：1）可以模擬曲線和曲面邊界，適用于處