電路若干定理

1、第4章 電路的若干定理 (Circuit Theorems)4.1 疊加定理 (Superposition Theorem)4. 2 替代定理 (Substitution Theorem)4.4 戴維南定理和諾頓定理 (Thevenin-Norton Theorem)4. 5 特勒根定理 (Tellegens Theorem)4. 3 互易定理 (Reciprocity Theorem)4. 6 對偶原理 (Dual Principle)1 4.1 疊加定理 (Superposition Theorem)一、線性電路的齊次性和疊加性線性電路：由線性元件和獨立源構(gòu)成的電路。1.齊次性（homog

2、eneity)(又稱比例性，proportionality)電路x(t)y(t)+-+-齊次性：若輸入x(t) 響應(yīng)y(t) ，則輸入K x(t) Ky(t) 電路Kx(t)Ky(t)+-+-22.疊加性（superposition)若輸入x1(t) y1(t)(單獨作用） , x2(t) y2(t) xn(t) yn(t)則x1(t) 、x2(t) xn(t) 同時作用時響應(yīng)y (t)= y1(t)+ y2(t)+ +yn(t)注： x1(t) xn(t) 可以是不同位置上的激勵信號電路x1(t)y(t)+-+-x2(t)xn(t)+-33.線性=齊次性+疊加性若輸入x1(t) y1(t)(

3、單獨作用） x2(t) y2(t) xn(t) yn(t)則: K1 x1(t) +K2 x2(t) +K n xn(t) K1 y1(t)+ K2 y2(t)+ + K n yn(t)注：齊次性是一種特殊的疊加性。 故，線性電路的根本屬性是疊加性4二、疊加定理疊加定理：在線性電路中，任一支路電流(或電壓)都可以看成是電路中各個獨立源分別單獨作用時，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。注： 一個獨立源單獨作用，其余獨立源需置零。電壓源置零視為短路。電流源置零視為開路。5例1.求圖中電壓u+10V4A6+4u解:(1) 10V電壓源單獨作用，4A電流源開路（圖a）u=4V(2) 4A電流源單獨

4、作用，10V電壓源短路（圖b）u= -4（6/4）= -9.6V共同作用：u=u+u= 4+(- 9.6)= - 5.6V+10V6+4u（圖a）4A6+4u（圖b）6是否可以視為不存在？例2. 求電壓Us 。(1) 10V電壓源單獨作用：(2) 4A電流源單獨作用：解:Us= -10 I1+4= -101+4= -6VUs= -10I1+(6/4)4 = -10 (-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us= Us +Us= -6+25.6=19.6V+10V6I14A+Us+10 I14+10V6I1+Us+10 I146I14A+Us+10 I147例 :如圖，N為線性含源電阻網(wǎng)絡(luò)，

5、(a)中I1=4A，(b)中I2= 6A，求 (c)中I3=?NI1R1R2(a)NI2R1R2(b)4V+-NI3R1R2(c)6V-+解：(a) 中僅由N內(nèi)獨立源單獨作用時 I1=4A(b) 中由N內(nèi)獨立源和4V電源共同作用時 I2= 6A故僅由 4V電源單獨作用時R1支路電流 I2= 6-4= 10A若僅由(c)中6V電源單獨作用時R1支路電流 I3 = 15A故(c)中電流I3 = I1+ I3 =4+15=19A8小結(jié) :1. 疊加定理只適用于線性電路。2. 某獨立源單獨作用，其余獨立源置零零值電壓源短路。零值電流源開路。3. 功率不能疊加(功率為電源的二次函數(shù))。4. u,i疊加時

6、要注意各分量的方向。5. 受控源不能單獨作用。某獨立源單獨作用時，受控源應(yīng)始終保留。9 4.2 替代定理 (Superposition Theorem)替代（置換）定理：含獨立源的任意網(wǎng)絡(luò)中，若已知其中某一單口網(wǎng)絡(luò)（或某一支路）的電壓和電流分別為uK和iK，則可將此單口網(wǎng)絡(luò)（或支路）用uK電壓源或iK電流源替代。若替代后網(wǎng)絡(luò)仍有唯一解，則原網(wǎng)絡(luò)中其它部分電壓電流分配不變。NMi=iKu=uK+-(a) 原網(wǎng)絡(luò)NuK+-(b) M被uK電壓源替代NiK(c) M被iK電流源替代注:被替代部分N與M中應(yīng)無耦合關(guān)系10與理想電流源串聯(lián)電流為零可以斷開與理想電壓源并聯(lián)簡證替代定理:uK+-NiKuK+

7、-(a)NiKuK+-(b)uK+-NiKuK+-(c)(d)uK+-等電位點可以短接NiKuK+-(a)NiK(b)iKNiK(c)iK(d)iK11例：如圖(a)電路，運用節(jié)點法可以求得I1= -0.5A，I2=0.75A，I3=0.75A，U1=15V。運用替代定理將I3支路用0.75A電流源替代如圖(b)，試驗證其余各支路電流、電壓不變。-+10V10I12A20I2I320U1+-(a)10V-+10I12A20I2I3U1+-(b) 替代后0.75A由圖(b)得： (0.1+0.05)U1=(10/10)+2-0.75 (節(jié)點方程）解：得： U1=15V故 I1=(10- U1)/

8、10=(10-15)/10= -0.5A I2=U1/20=0.75AI3=0.75A 故替代后電壓、電流分配不變。12N1N2例：求如圖(a)電路中電流i1、i2(分解法和替代定理）+-+24101V0.5A122Vi1i2圖(a)abi+-+abuN1N2圖(b)解：(1)將原電路分解為N1、N2兩個單口網(wǎng)絡(luò)(2)為了求i, 將N1、N2分別等效如圖(b)13N1+-24101V0.5Ai1圖(c)1/3Aab241/6Ai1圖(d)(3) 為求i1，將N2用1/3A電流源替代（圖(c) 、(d)）得 i1=1/9A （分流）14N2-+122Vi2圖(e)+-8/9Vba(4) 為求i2

9、，將N1用 8/9V 電壓源替代（圖(e) ）得 i2= 8/9 A15替代與等效的區(qū)別：如前例中，N2可用2/3V電壓源串聯(lián)2/3電阻來等效它，也可用1/3A電流源來替代它。這時電路中其他部分電壓電流分布都不變。但替代只針對特定的外電路N1時才成立，外電路改變，替代的電流源大小也改變。而等效則是指對任意外電路都成立。i-+abuN1-+122VN2abN1iabuN11/3AN2被等效N2被替代16例.若要使試求Rx。0.50.5+10V31RxIx+UI0.5注：替代是特定條件下的一種等效（即只在一點等效）17解：用替代：=+0.50.51+UI0.50.50.51+UI0.50.50.5

10、1+U0.5U=U+U= (0.1-0.075)I=0.025I18工作點替代后唯一解的重要性i+-RsUs(a)u+-ui0(b)Us/RsUsIqUqi+-Uq(d) 唯一解u+-(c) 解不唯一u+-Iqi隧道二極管19小結(jié)：1.替代定理既適用于線性電路，也適用于非線性電路。3.替代后外電路及參數(shù)不能改變(只在一點等效)。2. 替代后電路必須有唯一解。204. 3 互易定理 (Reciprocity Theorem)例:-+4VUs263R1R3R2abcdAI2(a)-+4VUs263R1R3R2abcdAI1(b)對(a):對(b):有I1= I2 說明互易性21第一種形式:電壓源激

11、勵，電流響應(yīng)。不含獨立源和受控源的線性雙口網(wǎng)絡(luò)，其端口具有互易性。令NR表示具有互易性的雙口網(wǎng)絡(luò)?；ヒ锥ɡ恚篒2NR+us1122(a)22+us11(b)I1NR有I1= I222第二種形式:電流源激勵，電壓響應(yīng)。有U1= U2IsNR1122(a)U2+-2211(b)NR+-U1Is第三種形式:IsNR1122(a)I22211(b)NR+-U1Us=Is+-有U1= I2即：當Us數(shù)量上等于Is時，U1數(shù)量上等于I223練習:已知圖(a)電路，求圖(b)中開路電壓Uab=?1Aabcd(a)Ucd=20mV+-線性純電阻無源網(wǎng)絡(luò)cdab(b)+-Uab=?2A線性純電阻無源網(wǎng)絡(luò)答案：U

12、ab= -40mV24例：2124+8V2Iabcd求電流I 。解：利用互易定理I1 = I2/(4+2)=2/3AI2 = I2/(1+2)=4/3AI= I1-I2 = - 2/3A2124+8V2IabcdI2I解畢！I125(1) 互易定理只適用于不含獨立源和受控源的線性網(wǎng)絡(luò)(2) 激勵為電壓源時，響應(yīng)為電流激勵為電流源時，響應(yīng)為電壓電壓與電流互易。(3) 互易前后要注意激勵與響應(yīng)的參考方向。（如何判斷？）(4) 含有受控源的網(wǎng)絡(luò)，互易定理一般不成立。應(yīng)用互易定理時應(yīng)注意：(5) 互易前后網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部電壓、電流一般會發(fā)生改變。26例：由圖(a)中條件求圖(b)中電流I=? (NR為互易雙口

13、網(wǎng)絡(luò)）（互易定理、替代定理及疊加定理綜合應(yīng)用）2ANR1122(a)5V+-+-10V2211(b)NRI=?2A52211(d)NRI=?2A52.5V+-2211(c)NR5+-4A2A5V解：(a)中，NR的11 端輸入電阻R=10/2= 5 ，故有(c)圖成立。答案：I=2.5/5=0.5A27兩種錯誤應(yīng)用互易定理的例子：U1 U2(a)U2NR+Us1122+-22+Us11(b)U1NR+-IsNR1122(a)I2NR1122(b)I1IsI1 I2284.4 戴維南定理和諾頓定理 (Thevenin-Norton Theorem)工程實際中，常常碰到只需研究某一支路的情況。這時

14、，可以將除我們需保留的支路外的其余部分的電路(通常為二端網(wǎng)絡(luò)或稱單口網(wǎng)絡(luò)),等效變換為較簡單的含源支路 (電壓源與電阻串聯(lián)或電流源與電阻并聯(lián)支路),可大大方便我們的分析和計算。戴維南定理和諾頓定理正是給出了等效含源支路及其計算方法。R3R1R5R4R2iRxab+us291. 戴維南定理:任何一個含有獨立電源、線性電阻和線性受控源的線性二端網(wǎng)絡(luò)，對外電路來說，可以用一個理想電壓源(Uoc)和電阻R0的串聯(lián)組合來等效；此等效電壓源的電壓等于該二端網(wǎng)絡(luò)的端口開路電壓Uoc ，而等效電阻等于該二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨立源置零后的輸入電阻。NabiabR0Uoc+-Nabi=0Uoc+-N0abR0其中：N0

15、為將N中所有獨立源置零后所得無源二端網(wǎng)絡(luò)。30證明: （略）(a)(b)(對a)利用替代定理，將外部電路用電流源替代，此時u, i值不變。計算u值。=+根據(jù)疊加定理，可得電流源i為零網(wǎng)絡(luò)N中獨立源全部置零abNi+u外iUoc+u外ab+R0abNi+uabN+uabN0i+uR0u= Uoc (外電路開路時a 、b間開路電壓) u= -R0 i則u = u + u = Uoc R0 i此關(guān)系式恰與圖(b)電路相同。證畢！31小結(jié) ：(1) 等效電壓源極性與所求Uoc方向有關(guān)。(2)等效電阻的計算方法：當網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部不含有受控源時可采用電阻串并聯(lián)的方法計算；12外加電源法。開路電壓、短路電流法。3

16、23方法更有一般性。(3) 外電路改變時，含源單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路不變。(4) 當單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部含有受控源時，其控制電路也必須包含在被等效的單口網(wǎng)絡(luò)中。32例.(1) 計算Rx分別為1.2、5.2時的I；(2) Rx為何值時，其上可獲最大功率?IRxab+10V4664解：保留Rx支路，將其余單口網(wǎng)絡(luò)化為戴維南等效電路：ab+10V4 6 6 +U24+U1IRxIabUoc+RxR033(1) 求開路電壓UocUoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = -4+6=2Vab+10V466+U24+U1+-Uoc(2) 求等效電阻R0R0=4/6+6/4=4.8(

17、3) Rx =1.2時，I= Uoc /(R0 + Rx) =2/6=0.333ARx =5.2時，I= Uoc /(R0 + Rx) =2/10=0.2AR0ab466434對本例，即當Rx = R0 =4.8時，其上可獲最大功率。IabUoc+RxR0（4） 求Rx獲最大功率的條件。為了求Rx獲最大功率的條件，令： Rx = R0 （負載匹配條件） Pxmax=U2oc/4R0得：上式又稱最大功率傳輸定理35例：由圖(a)中條件求圖(b)中電流I=? (NR為互易雙口網(wǎng)絡(luò)）（利用戴文南定理和互易定理）2ANR1122(a)5V+-+-10V2211(b)NRI=?2A5解：在(a)中，NR

18、的11 端輸入電阻R0=10/2= 5 。2211(c)NR2A-+Uoc11+-Uoc =5V R0 = 5 (d)5I=?答案：I=0.5A且有(c)圖中11 端開路電壓Uoc =5V 。作(c)圖中11 端以右的戴文南等效電路（d）36含受控源電路戴維南定理的應(yīng)用求U0 。336I+9V+U0ab+6I例.abUoc+R03U0-+解：(1) 求開路電壓UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V36I+9V+Uocab+6I37內(nèi)部獨立源置零(2) 求等效電阻R0方法1：外加電源法U0=6I+3I=9II=I06/(6+3)=(2/3)I0U0 =9 (2/3)I0=6I0R0

19、 = U0 /I0=6 36I+U0ab+6II0方法2：開路電壓、短路電流法(Uoc=9V 已求得)6 I1 +3I=93I=-6II=0Isc=9/6=1.5AR0 = Uoc / Isc =9/1.5=6 36I+9VIscab+6II138(3) 等效電路abUoc+R03U0-+69V思考：外加電源法與開路電壓短路電流法的區(qū)別39例.解：(1) a、b開路，I=0，Uoc= 10V(2)求R0：加壓求流法(內(nèi)部獨立源置零)U0 =(I0-0.5 I0)103+ I0103 =1500I0R0 = U0 / I0 =1.5kabUoc+U R0.5k R0(含受控源電路)用戴維南定理求

20、U。+10V1k1k0.5Iab R0.5k+UI1k1k0.5Iab+U0II040U=Uoc 500/(1500+500)=2.5VIsc = -I，(I-0.5I)103 +I103+10=01500I= -10I= -1/150 A即 Isc=1/150 A R0 = Uoc / Isc =10 150=1500 ab10V+U R0.5k1.5k(3) 等效電路：開路電壓Uoc 、短路電流Isc法求R0：R0 = Uoc / IscUoc =10V（已求出）求短路電流Isc (將a、b短路)：另：+10V1k1k0.5IabIIsc41加流求壓法求R0I= I0U0 =0.5I0 1

21、03 +I0 103 =1500I0 R0 = U0 /I0=1500 1k1k0.5Iab+U0II0解畢！(內(nèi)部獨立源置零)42任何一個含獨立電源、線性電阻和線性受控源的單口網(wǎng)絡(luò)N ，對外電路來說，可以用一個電流源和電導(dǎo)(電阻)的并聯(lián)組合來等效；電流源的電流等于該單口網(wǎng)絡(luò)的端口短路電流Isc ，而并聯(lián)電導(dǎo)(電阻)等于把該單口網(wǎng)絡(luò)的所有獨立源置零后的輸入電導(dǎo)(電阻)。2. 諾頓定理：NababG0(R0)Isc其中：NabIscN0abR0N0為將N中所有獨立源置零后所得無源二端網(wǎng)絡(luò)。43諾頓等效電路可由戴維南等效電路經(jīng)電源等效變換得到。但須指出，諾頓等效電路可獨立進行證明。證明過程從略。4

22、4例.試用Norton定理求電流I 。12V210+24Vab4I+4IabG0(R0)Isc(1)求IscI1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A解：210+24VabIsc+I1I212V45(2) 求R0：串并聯(lián)R0 =102/(10+2)=1.67 (3) 諾頓等效電路:I = - Isc1.67/(4+1.67) =9.61.67/5.67 =2.83AR0210abb4Ia1.67 -9.6A解畢！46小結(jié)：幾個定理的適用條件：4. 戴文南、諾頓定理: 適用于線性網(wǎng)絡(luò)。1. 疊加定理：適用于線性網(wǎng)絡(luò)（可含獨立源和線

23、性受控源）2. 替代定理：適用于線性和非線性網(wǎng)絡(luò)。3. 互易定理：只適用于不含獨立源和受控源的線性網(wǎng)絡(luò)。474. 4 特勒根定理(Tellegens Theorem)1.具有相同拓撲結(jié)構(gòu)（特征）的電路兩個電路，支路數(shù)和節(jié)點數(shù)都相同，而且對應(yīng)支路與節(jié)點的聯(lián)接關(guān)系也相同。NNR5R4R1R3R2R6+us11234R5R4R1R3R6us6is2+124348兩個電路支路與節(jié)點聯(lián)接關(guān)系相同：假設(shè)兩個電路中對應(yīng)支路電壓方向相同，支路電流均取和支路電壓相同的參考方向。2. 特勒根定理：465123423149+ ukikuk = un - un ， ik = i 則證明：+ 50513. 功率平衡定理

24、：在任一瞬間，任一電路中的所有支路所吸收的瞬時功率的代數(shù)和為零，即將特勒根定理用于同一電路中各支路電流、電壓即可證得上述關(guān)系。此亦可認為特勒根定理在同一電路上的表述。特勒根定理適用于一切集總參數(shù)電路。只要各支路u，i滿足KCL,KVL即可。特勒根定理與KCL,KVL三者中取其兩個即可。注意：52例1：(1) R1=R2=2, Us=8V時, I1=2A, U2 =2V(2) R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V時, I1=3A, 求U2。解：利用特勒根定理由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A無源電阻網(wǎng)絡(luò) P +U1+UsR1I1I2+U2R253 例2.U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A解：P+U1+U2I2I1P+2544. 6 對偶原理 (Dual Principle)1. 對偶電路：例1.網(wǎng)孔電流方程：(R1 + R2)il = us節(jié)點電壓方程：(G1 + G2 )un = is若R1=G1，R2 =G2，us=is，則兩方程完全相同，解答il=un也相