9.2.2等差數(shù)列的前n項和

1、書 山 有 路 勤 為 徑，學 海 無 崖 苦 作 舟！2.2 等差數(shù)列的前n項和 重慶市渝北中學校 授課人：薛梅 傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成(如右圖) ，共有120層，奢靡程度可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？問題呈現(xiàn)：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成，陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。屬于世界七大奇跡之一。1234120+=?在一所小學里，有一次數(shù)學老師給學生們出了一道題：計算從1到100的所有自然數(shù)之和。老師認為，這些孩子算出這道題需要很長時間，所以他寫完題目，就坐到一邊看書

2、去了。誰知，他剛坐下，馬上就有一個學生舉手說：“老師，我做完了。”老師大吃一驚，原來是班上年紀最小的同學。老師走到他身邊，只見他在筆記本上寫著“5050”，老師問他怎么算出來的。他說：“1+100299398，（1100）50不就行了嗎？”老師聽了，不由得暗自稱贊。這位小神童后來與阿基米德、牛頓并稱為歷史上三位最偉大的數(shù)學家 “數(shù)學王子”高斯。等差數(shù)列的前n項和的計算1 + 2 + 3 + 4 + 100 = ？1+2+3+98+99+100的高斯算法。設S100=1 + 2 + 3 +98+99+100倒序S100=100+99+98+ 3+ 2+ 1+ + + + + + +作加法+ +

3、+ + + + +作加法多少個101 ?100個101所以S100=(1+100)100？首項末項？總和+)？項數(shù)2S100=101+101+101+101+101+101/ / / / / + + + + + + +作加法這就是等差數(shù)列前n項和的計算公式！=50502Sn=(a1+an)+(a1+an)+ +(a1+an) 多少個(a1+an) ?共有 n 個(a1+an) 把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1)由等差數(shù)列的性質：當m+n=p+q時， am+an=ap+aq 知：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1，所以式可化

4、為：= n(a1+an) 這種求和的方法叫倒序相加法！因此， 若an是等差數(shù)列，Sn是前n項和，則證明： Sn= a1+ a2 + a3 + +an-2+an-1+an即Sn=a1a1a1an+ a2 + a2 + a2 +an-1+a3a3an-2+anan+an-1+an-2+an-1+證明公式驗證公式：1、利用上述公式求1+2+3+120=?2、已知梯子的最高一級寬33cm，共12級，且各級寬 度構成公差為7的等差數(shù)列，計算各級寬度的和？33共12級公式變形即：已知a1、an、n、d、Sn中的三個量，可以求出其他兩個量。(知三求二） 已知a1、n、d、Sn中的三個量，可以求出另外一個量。已知a1、n、 an 、Sn中的三個量，可以求出另外一個量。根據(jù)下列條件，求相應