工程制圖之投影變換

1、第六章 投影變換6-1 概述 6-2 變換投影面法 6-3 旋轉(zhuǎn)法16-1 概 述 當(dāng)空間幾何元素對(duì)投影面處于特殊位置時(shí)，則其投影或反映其真實(shí)形狀，或具有積聚性 。本章引入投影變換的方法來(lái)達(dá)到上述目的。 當(dāng)我們圖示、圖解一般位置的空間幾何元素及其相互間的定位和度量問(wèn)題時(shí)，如能把它改變成特殊位置，則問(wèn)題就可能比較容易地獲得解決 。2投影變換的方法 1 正投影變換 用改變幾何元素與投影面體系的相對(duì)位置來(lái)達(dá)到投影變換的目的。 1）變換投影面法(換面法)保持幾何元素的位置不動(dòng)，而建立新的直角投影面體系 。2）旋轉(zhuǎn)法 保持原直角投影面體系不動(dòng)，將空間幾何元素繞某個(gè)選定的軸旋轉(zhuǎn) 。3斜投影變換 保持投影面

2、和空間幾何元素的位置不動(dòng)，改變投射方向(即采用斜投影)，使空間幾何元素在投影面上的新投影有利于解題 。本章主要介紹正投影變換 46-2 變換投影面法(換面法)6.2.1 換面法的基本概念 新投影面的選擇應(yīng)符合下列兩個(gè)條件： 1)新投影面必須垂直一個(gè)原有的投影面。 2)新投影面對(duì)空間幾何元素應(yīng)處于有利于解題的位置。 56.2.2 點(diǎn)的投影變換 2.2.1 點(diǎn)的一次變換 1換V面 VHXV1HX1aaaxax1a1 舊投影體系 XVH 新投影體系V1HX1A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a,aA點(diǎn)的兩個(gè)投影：a,a16XVHaaaxa1ax1.X1H1VO1O2換H面 點(diǎn)的換面規(guī)律： 1)點(diǎn)的新投影和保留投影的連

3、線垂直于新投影軸； 2)點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被替換的投影到舊投影軸的距離 。7先把V面換成平面V1， V1H，得到中間新投影體系:V1HX1 再把H面換成平面H2， H2 V1，得到新投影體系: X2 V1 H 2 新投影體系的建立AaVH aaxXX1V1a1ax1H2X2ax2a2按次序更換6.2.2.2 點(diǎn)的二次換面 8ax2 aaXVH 求新投影的作圖方法a2X1HV1X2V1H2 作圖規(guī)律：a2a1 X2 軸； a2ax2 = aax1a1axax1#*.二次換面作圖步驟： 1）定出新投影軸11；2）根據(jù)點(diǎn)的換面規(guī)律，求出新投影1；3）作新投影軸22；4）根據(jù)點(diǎn)的換面規(guī)律，

4、求出新投影2，5）2即為變換后的新投影。 96.2.3 直線的換面 2.3.1 直線一次換面的兩個(gè)基本作圖問(wèn)題 1把一般位置直線變換為投影面平行線 反映直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角。 10例1已知：直線AB的兩投影、， 試求：直線AB的實(shí)長(zhǎng)和角 。分析： 直線AB為一般位置直線，欲求直線AB的實(shí)長(zhǎng)和角，應(yīng)建立新的投影面體系1/，使直線AB成為新投影面1的平行線 (1)。 V1X1HVAB a baba1b1X11 1）作11； 2）按點(diǎn)的換面規(guī)律，求出新投影1、1； a babXVHX1HV1a1.b1作圖步驟： 3）求實(shí)長(zhǎng)：11即為直線的實(shí)長(zhǎng) ； 4）求角：11與11軸的夾角 即為直線AB與H

5、面的夾角。 12用換面法求直線AB的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)V面的夾角。 132把投影面平行線變換為投影面垂直線 把投影面平行線變換為投影面垂直線，是為了使直線投影成為一個(gè)點(diǎn)，從而解決與直線有關(guān)的度量問(wèn)題(如求兩直線間的距離)和定位問(wèn)題(如求線面交點(diǎn))。 14例2已知正平線AB的兩投影， 試把它變?yōu)橥队懊娲怪本€。 分析：直線AB為正平線，應(yīng)將AB變換為新投影面1的垂直線 ,因，而新投影面要垂直AB又必須垂直一個(gè)投影面，所以只能設(shè)置新投影面1，且1，即建立新投影體系/1。 15作圖步驟：1）作11；2）按點(diǎn)的換面規(guī)律，求出新投影1、1（1與1重合）。 16 把一般位置直線變換為投影面垂直線，只經(jīng)過(guò)一次換面是不能

6、實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)榇怪庇谝话阄恢弥本€的平面是一般位置平面，它與原有的兩個(gè)投影面均不垂直，不能構(gòu)成正投影體系，所以需要經(jīng)過(guò)兩次換面。第一次： 將一般位置直線變?yōu)樾峦队绑w系中的投影面平行線。第二次： 將投影面平行線變?yōu)榱硪煌队绑w系中的投影面垂直線。 6.2.3.2 直線兩次換面的基本作圖問(wèn)題 17a1b1a babXVHX1HV1V1H2X2作圖步驟： a2 (b2 ).先變換V面然后再換H面VH aaXB bbAX1V1a1b1X2V2A2(b2 )ax2例3已知一般位置直線AB的兩投影，試將其變換為新投影面的垂直線 分析：要把一般位置直線變換為投影面垂直線，須經(jīng)過(guò)兩次換面 3）作2211；1）作11

7、；2）求出新投影1、1；4）求出2、2（2與2重合）。 182.4.1 把一般位置平面變換成投影面垂直面 如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面?？臻g分析： 在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：6.2.4 平面的換面19例1已知一般位置平面ABC的兩投影， 試求該平面對(duì)H面的傾角。 分析：欲求一般位置平面對(duì)H面的傾角，應(yīng)當(dāng)保留H面，用1面替換V面，建立1/新投影體系，使平面成為新投影面1的垂直面。 X cbcdHBCD a baVA dV1X1c1b1a1（d1）20例1已知一般位置平

8、面ABC的兩投影， 試求該平面對(duì)H面的傾角。 HV1X1dd1a1（d1）c1.a a ccbXVHd bX cbcdHBCD a baVA dV1X1c1b1a1（d1）21例求平面ABC的角作圖過(guò)程： 在平面內(nèi)取一條正平線AD。 將AD變換成新投影面的垂直線。226.2.4.2 把投影面垂直面變換為投影面平行面例3試求鉛垂面的實(shí)形 分析：欲求鉛垂面的實(shí)形， 應(yīng)建立1/新投影體系， 并使1， 即把變換為 1/體系中1的平行面。 23作圖步驟：1）作11；2）求出新投影 111；3）求實(shí)形：111即反映的實(shí)形。 24 右圖表示了把正垂面變換成/1體系中1的平行面的作圖方法。注意：新投影軸11

9、bac。 256.2.5 換面法的應(yīng)用 應(yīng)用換面法解題時(shí)，首先分析已知條件和待求問(wèn)題之間的相互關(guān)系，再分析空間幾何元素與投影面處于何種相對(duì)位置時(shí)，解題最為簡(jiǎn)便，進(jìn)而確定需幾次換面及換面順序。 26例1:試求平面ABC的實(shí)形和角 必須經(jīng)過(guò)兩次換面，先將它變換為新投影體系中的投影面垂直面，再將它變換為另一投影體系中的投影面平行面。 換面順序 /12/1 27例2 已知直線AB與平面CDE平行，試求它們之間的距離。 將平面CDE變換為投影面垂直面，則BK變換為投影面平行線。 空間及投影分析： 1）把CDE平面變換為H/V1體系中的投影面垂直面，求得d1c1e1（積聚為直線）； 2）求出a1b1； 3

10、）求距離（）：作1k1 c1d1e1則1k1反映實(shí)長(zhǎng)。 4）求BK的原投影、。 28例3 求兩相錯(cuò)直線間的最短距離。 欲求兩相錯(cuò)直線間公垂線MN的實(shí)長(zhǎng)，應(yīng)將MN變換為新投影體系中的投影面平行線。有兩種解題方法： 空間及投影分析：1包含兩相錯(cuò)直線之一作另一直線的平行平面 ，則線面間的距離即為兩直線之間的距離（如右圖）。292將直線AB或CD變換為新投影體系中的投影面垂直線 ：1）直線AB經(jīng)過(guò)兩次投影變換，變成1/2體系中的投影面垂直線2、2。2）求距離MN的實(shí)長(zhǎng)。由點(diǎn)2（2）向22作垂線22，22反映AB、CD兩直線間距離的實(shí)長(zhǎng)，1122。3）求MN的原投影和。30例4：求平面ABC和ABD的夾

11、角。31分析：兩平面的夾角以其二面角度量，而二面角所在平面與該兩平面垂直，亦即與該兩平面的交線垂直。為求出該二面角，需將兩平面變換成投影面垂直面，即把兩平面的交線變換成投影面垂直線。 作圖步驟：1）把兩平面的交線AB經(jīng)兩次變換成1/2體系中的垂直線，求得2（2），隨之求得2、2。2）求夾角：22（）2。 326- 旋轉(zhuǎn)法 空間點(diǎn)A繞直線OO旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A稱為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，直線OO稱為旋轉(zhuǎn)軸。 自A點(diǎn)向OO軸引垂線，其垂足O稱旋轉(zhuǎn)中心，AO稱旋轉(zhuǎn)半徑，A點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，以AO為半徑的圓周，稱為軌跡圓，軌跡圓所在的平面與旋轉(zhuǎn)軸垂直。 33 按旋轉(zhuǎn)軸與投影面的相對(duì)位置不同，旋轉(zhuǎn)法分為：1)繞垂直于投

12、影面的軸線旋轉(zhuǎn)，簡(jiǎn)稱繞垂直軸旋轉(zhuǎn)。2)繞平行于投影面的軸線旋轉(zhuǎn)，簡(jiǎn)稱繞平行軸旋轉(zhuǎn)。3)繞一般位置的軸線旋轉(zhuǎn)。346.3.1 點(diǎn)的旋轉(zhuǎn) 如圖所示，點(diǎn)A繞垂直于V面的OO軸(正垂軸)旋轉(zhuǎn)，其V投影反映軌跡圓實(shí)形，而H投影為過(guò)A點(diǎn)且平行于X軸的直線段，其長(zhǎng)度等于軌跡圓的直徑。 35 如圖所示，點(diǎn)A繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)，其H投影反映軌跡圓實(shí)形，即H投影沿圓周旋轉(zhuǎn)角到1，其V投影沿投影軸的平行線移動(dòng)至1 ，1 。 由上可知點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律：當(dāng)點(diǎn)繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)在與旋轉(zhuǎn)軸垂直的那個(gè)投影面上的投影作圓周運(yùn)動(dòng)，而另一投影則沿與旋轉(zhuǎn)軸垂直的直線移動(dòng)。 366.3.2 直線的旋轉(zhuǎn) 直線的旋轉(zhuǎn)，僅需使屬于該直線的任意兩點(diǎn)遵循

13、繞同一軸、沿相同方向、轉(zhuǎn)同一角度的規(guī)則作旋轉(zhuǎn)，然后，把旋轉(zhuǎn)后的兩個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)。 37 1)直線繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線在旋轉(zhuǎn)軸所垂直的投影面上的投影長(zhǎng)度不變。 2)直線對(duì)旋轉(zhuǎn)軸所垂直的那個(gè)投影面的傾角不變。 3)直線在旋轉(zhuǎn)軸所平行的投影面上的投影長(zhǎng)度及對(duì)該投影面的傾角都改變。直線旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì) 386.3.2.1 把一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面平行線 直線繞垂直軸旋轉(zhuǎn)一次，就能改變直線對(duì)一個(gè)投影面的傾角，因此，用繞垂直軸旋轉(zhuǎn)的方法，求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角時(shí)，只要旋轉(zhuǎn)一次即可實(shí)現(xiàn)。 39分析：欲求一般位置直線AB的實(shí)長(zhǎng)和角，需把直線AB繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)成正平線。為了作圖簡(jiǎn)便，使該軸過(guò)直線的一個(gè)

14、端點(diǎn)，如A點(diǎn)，那么，只旋轉(zhuǎn)B點(diǎn)即可。 例1已知一般位置直線AB的兩投影， 試求直線AB的實(shí)長(zhǎng)和角。 40例2已知一般位置直線AB的兩投影， 試求直線AB的角。 分析：欲求一般位置直線的角，需把直線AB繞正垂軸旋轉(zhuǎn)成水平線。 416.3.2.2 把投影面平行線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線 某投影面的平行線繞該投影面的垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，始終保持與該投影面平行，而能改變對(duì)另一投影面的傾角。所以投影面平行線可經(jīng)一次旋轉(zhuǎn)為投影面垂直線。 42 分析：正平線和鉛垂線都平行于V面，因此，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線對(duì)V面的傾角應(yīng)保持不變，只改變它對(duì)H面的傾角，所以應(yīng)取正垂線為旋轉(zhuǎn)軸。 例3試將正平線AB旋轉(zhuǎn)成為鉛垂線 436.3.

15、3 平面的旋轉(zhuǎn) 平面的旋轉(zhuǎn)是通過(guò)旋轉(zhuǎn)該平面所含不共直線的三個(gè)點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，旋轉(zhuǎn)時(shí)，必須遵循同軸、同方向、同角度的規(guī)則。 44平面的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：1)平面繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，平面在旋轉(zhuǎn)軸所垂直的投影面上的投影，其形狀和大小都不變。2)平面對(duì)旋轉(zhuǎn)軸所垂直的那個(gè)投影面的傾角不變。3)平面的另一個(gè)投影，其形狀和大小發(fā)生改變，并且，該平面對(duì)旋轉(zhuǎn)軸所不垂直的那個(gè)投影面的傾角也改變。456.3.3.1 把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面 只要將平面內(nèi)的一條投影面平行線旋轉(zhuǎn)成垂直于某投影面，則平面就垂直于該投影面。 46 分析：欲求一般位置平面ABC對(duì)V面的傾角，須將平面ABC旋轉(zhuǎn)成為鉛垂面。 只要將平面內(nèi)的一條正平線CD繞正垂軸(含C點(diǎn))旋轉(zhuǎn)成為鉛垂線即可。例1試求一般位置平面ABC對(duì)V面的傾角。 47例2試求一般位置平面ABC對(duì)H面的傾角。 分析：把平面ABC旋轉(zhuǎn)成為正垂面。 只要將平面內(nèi)的一條水平線CD繞鉛垂軸（含C點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)成為正垂線即可。 486.3.3.2 把投影面垂直面旋轉(zhuǎn)成為投影面平行面 投影面垂直面繞同一投影面的垂直軸旋