平面法向量和平面向量表示

1、關(guān)于平面的法向量與平面的向量表示第一張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、復(fù)習(xí)引入1.直線與平面垂直的定義、判定和性質(zhì)定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直。判定：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線與這個(gè)平面垂直。性質(zhì)：(1)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。第二張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、概念形成概念1.平面的法向量已知平面 ，如果向量 的基線與平面 垂直，則 叫做平面 的法向量或說(shuō)向量 與平面 正交。由平面的法向量的定義可知，平面 的法向量有無(wú)窮多個(gè)，法向量一定垂直于與

2、平面 共面的所有向量。由于垂直于同一平面的兩條直線平行，所以，一個(gè)平面的所有法向量都是平行的。模為1的法向量，叫做單位法向量，記作 顯然第三張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、概念形成概念2.直線與平面垂直的判定定理的向量證明直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。已知： 是平面 內(nèi)的兩條相交的直線，且 求證： 第四張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 正方體AC1棱長(zhǎng)為1，求平面ADB1的一個(gè)法向量。二、概念形成概念1.平面的法向量例子：ABCDA1B1C1D1一個(gè)平面的法向量不只一個(gè)，但它們都是平行(或共線)的，我們借助

3、于待定系數(shù)法可求出平面的一個(gè)法向量。第五張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月待定系數(shù)法第六張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題例1：已知點(diǎn) ， ， ，其中求平面 的一個(gè)法向量。有何關(guān)系？第七張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、概念形成概念3.平面的向量表示空間直線可以用向量來(lái)表示，對(duì)于空間的平面也可以用向量來(lái)刻畫。設(shè)A是空間任意一點(diǎn)， 為空間任意一個(gè)非零向量，適合條件 的點(diǎn) M 的集合構(gòu)成什么樣的圖形？AMM1M2我們可以通過(guò)空間一點(diǎn)和一個(gè)非零向量確定唯一的一個(gè)與該向量垂直的平面。稱此為平面的向量表達(dá)式。第八張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、概念形成概念4

4、.用法向量證明平面與平面平行及垂直設(shè) 分別是平面 的法向量，則有第九張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)。求證：平面DEA平面A1FD1 。二、概念形成概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直例子ABCDA1B1C1D1EF利用法向量證明兩個(gè)平面垂直的基本思路是證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直。第十張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月射影：已知平面 和一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作 的垂線 與 交于點(diǎn) ，則 就是點(diǎn)A在平面 內(nèi)的正射影，也可簡(jiǎn)稱射影。二、概念形成概念5.用法向量證明“三垂線定理”預(yù)備知識(shí)：A斜線在平面上的正射影：

5、設(shè)直線 與平面 交于點(diǎn)B，但不和 垂直，那么直線 叫做這個(gè)平面的斜線。斜線和平面的交點(diǎn)B叫做斜足。斜線在平面上的正射影：在直線 上任取一點(diǎn)A，作A點(diǎn)在平面 內(nèi)的射影 ，則平面內(nèi)直線 叫做斜線 在該平面內(nèi)的射影。A第十一張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月已知 是平面 的斜線， 是 在平面 內(nèi)的射影,直線 且二、概念形成概念5.用法向量證明“三垂線定理”三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。A求證：第十二張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十三張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明：如圖,已知:求證：在直線l上取向量

6、 ,只要證為第十四張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月逆定理第十五張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 (2)三垂線定理： 如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的 垂直，則它也和這條斜線垂直 (3)三垂線定理的逆定理： 如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的 垂直射影射影第十六張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題分析： 1、判定下列命題是否正確 (1)若a是平面的斜線、直線b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則ab。 ( ) (2)若a是平面的斜線，b是平面內(nèi)的直線，且b垂直于a在內(nèi)的射影，則ab。 ( ) 三垂線定理第十七張，PPT

7、共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 關(guān)于三垂線定的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)及垂線。至于射影則是由垂足、斜足來(lái)確定的。 第一、定平面(基準(zhǔn)面)第二、找平面垂線（電線桿） 第三、看斜線，射影可見(jiàn)三垂線定理第四、證明直線a垂直于射影線，從而得出a與b垂直。 強(qiáng)調(diào)：1四線是相對(duì)同一個(gè)平面而言。 2定理的關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”和“電線桿”。 第十八張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例3在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：A1C是平面BDC1的法向量 思路點(diǎn)撥根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1內(nèi)的射影，由三垂線定理證明BDA1C，C1DA1C.第十九張，PP

8、T共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 精解詳析在正方體中，AA1平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影，又ACBD，所以BDA1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1內(nèi)的射影所以C1DA1C.又C1DBDD，所以A1C平面BDC1.第二十張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1正三棱錐PABC中，求證：BCPA.證明：在正三棱錐PABC中，P在底面ABC內(nèi)的射影O為正三角形ABC的中心，連接AO，則AO是PA在底面ABC內(nèi)的射影，且BCAO，所以BCPA.第二十一張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)1.直線與平面垂直的定義 2. 平面的法向量： 3. 平面的向量表示

9、： 4. 兩平面平行或重合、垂直的充要條件 6.有關(guān)平面的斜線概念， 三垂線定理及其逆定理 第二十二張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月再見(jiàn)第二十三張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例. 在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面 經(jīng)過(guò) 點(diǎn) ，平面 的法向量為 ， 為平面 內(nèi)任意一點(diǎn)，求 滿足的關(guān)系式。解：由題意可得 第二十四張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月PO 平面PAOaPO答：aPO 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。為什么呢？PAa PAaAOaa平面PAO三垂線定理PaAo數(shù)式板書第二十五張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例1已知點(diǎn)A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一個(gè)法向量思路點(diǎn)撥第二十六張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十七張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月平行與垂直關(guān)系的向量表示（1）平行關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為 ， ，平面 ， 的法向量分別為 ， 線線平行線面平行面面平行新知探究第二十八張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 （2）垂直關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為 ， ，平面 ， 的法向量分別為 ， 線線垂直線面垂直面面垂直（3）用向量處理平行問(wèn)題 用向量處理垂直問(wèn)題第二十九張，PPT共三十三頁(yè)，創(chuàng)