分形的文化價值管窺匯總

1、 分形的文化價值管窺舒昌勇包韜略（江西省上猶縣教師進修學校341200）（江西教育期刊社 330046）數(shù)學是形成人類文化的重要力量，對人們的觀念、精神、思維方式的形成產(chǎn)生了 重要的影響特別是人類文明的重大成果一一歐幾里得幾何開創(chuàng)的公理化思想，更是 對人類理性思維的形成起著關(guān)鍵的作用當歷史的車輪行進到20世紀70年代時，人們的眼光再一次關(guān)注幾何學發(fā)展的新進程一一美籍法國數(shù)學家芒德勃羅創(chuàng)立的一門從 研究對象，到特征長度，到表達方式，到描述方法都異于歐幾里得幾何的新的幾何學 分形幾何學，它以全新的概念、思想和方法改變了人們傳統(tǒng)的認識（表 1），以新表1分形幾何學與歐氏幾何學的差異描述對象特征長度表

2、達方式維數(shù)歐氏幾何學人類創(chuàng)造的 簡單的標準物體有數(shù)學公式0或正整數(shù)分形幾何學大自然創(chuàng)造的 復雜的真實物體無迭代語言一般是分數(shù)（也可 以是整數(shù)）穎的藝術(shù)美感陶冶人們的情操，豐富數(shù)學文化的內(nèi)涵.2003年4月，教育部頒布的普 通高中數(shù)學課程標準（實驗）中，“海岸線與分形”被列為數(shù)學文化的一個選題這 從一個側(cè)面反映了數(shù)學教育對分形文化價值的關(guān)注.在本文中，筆者擬對分形的文化 價值作初步的探討.1英國的海岸線有多長？一一變革人們傳統(tǒng)觀念的問題海岸線的長度問題，按傳統(tǒng)科學的方法來考慮是極其簡單的.可是芒德勃羅1967年在國際權(quán)威的美國科學雜志上的論文英國的海岸線有多長中得出的結(jié)論卻 令人驚異：英國的海岸

3、線長度是不確定的！它依賴于測量時所用的測度單位.芒德勃羅指出，海岸線由于海水長年的沖涮和陸地自身的運動，形成了許多大大 小小的海灣和海岬，彎彎曲曲極不規(guī)則.測量其長度若以公里為單位，則幾米至幾百 米的彎曲就會被忽略不能計入在內(nèi)；若改用米作單位，上面忽略掉的彎曲都可計入， 但仍有幾厘米，幾十厘米的彎曲會被忽略； 采用的單位越小，計入的彎曲就越多， 海岸線長度就越長，而海島的面積卻是確定的一一這一結(jié)論讓所有的人都瞠目結(jié)舌.人們不會忘記，當年英國數(shù)理邏輯學家羅素提出了日常推理的一個悖論時，德國 數(shù)學家弗雷格在給他的復信中一開始就驚呼：“哎呀！算術(shù)動搖了！ ”而今天，芒氏關(guān)于海岸線長度的結(jié)論，同樣讓人

4、們看到幾千年形成的的某些傳統(tǒng)的幾何觀念在搖晃 芒氏的結(jié)論改變了人們對海岸線長度的傳統(tǒng)認識，震憾了國際學術(shù)界！ 2分數(shù)維一一刻劃不規(guī)則幾何形狀的新概念芒德勃羅在得出海岸線長度不確定這一石破天驚結(jié)論的同時，更獨具慧眼地發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)數(shù)學的“病態(tài)”圖形一一科赫雪花曲 線可以作為海岸線的數(shù)學模型.他指出， 科赫雪花曲線與海岸線一樣，隨著測量 單位的不斷減小，其周長不斷增大，而 它所圍成的面積卻為一個定值（如圖1,設正三角形Po的周長為Lo,則圖1 Po, Pl,P2,Pn，的周長依次為L0 , - L0 , (- )2 TOC o 1-5 h z 33Lo,，(4)1 Lo，.由于4 1,所以n趨向于無窮大

5、時，科赫雪花曲線(圖形Pn33當n趨于無窮大時的極限圖形)的周長趨向于無窮大設Po的面積為So,則Po, Pi,34343443 4 4 2P2,Pn，的面積依次為 So, ( 1+ X )So, ( 1 + X _ +_ X _ X ) So,，1+ +() 4 9494994 9 9n+ (4廠1 So,，由于等比數(shù)列求和公式sn= a1(1- q)在q 1, n趨于無窮大時，91 - q為s = 亠，用之可算得4+(4)2 + (4)1=4 ,從而科赫雪花曲線所圍成的面積=1 - q9995(1 + - X 4 ) So=8 So,為一確定的值).芒氏指出海岸線之所以出現(xiàn)這種怪現(xiàn)象， 是

6、因 455為它是一種不同于規(guī)則歐氏幾何圖形的不規(guī)則的分形曲線，它的維數(shù)比歐氏幾何直線 的維數(shù)大而維數(shù)理論告訴我們：對任何一個有確定維數(shù)的幾何對象，只能用與它有 相同維數(shù)的測度單位去測量它如果測度單位的維數(shù)比它更小，則結(jié)果為無窮大；測 度單位的維數(shù)比它更大，則結(jié)果為零因而用 1維的公里、米等歐氏測度單位去測量 海岸線長度時，其結(jié)果必然趨向于無窮大了這樣，芒氏就把被傳統(tǒng)數(shù)學家摒棄的科 赫雪花曲線等具有這種奇怪性質(zhì)的“數(shù)學怪物”一一康托爾集、謝爾賓斯基墊片、門 杰海綿等變成了寶，變成了構(gòu)建充滿新概念、新思想的分形幾何學的基本材料這就 表明芒氏在發(fā)現(xiàn)海岸線本質(zhì)特征的同時，也洞悉了這些在數(shù)學史的垃圾箱中

7、被擱置了 半世紀之久的“病態(tài)”幾何圖形的本質(zhì)，并還它們以公道，精辟地指出可以用它們作 為描述廣泛存在于自然界和人類社會系統(tǒng)中不規(guī)則形狀和現(xiàn)象的數(shù)學模型更值得稱 道的是，芒氏還敏銳地發(fā)現(xiàn)英國科學家理查遜關(guān)于海岸線長度的經(jīng)驗公式和美國語言 學家齊普夫詞頻分布定律中幕指數(shù)的涵義，發(fā)現(xiàn)在標度(測度單位)變化時它們的幕 指數(shù)的不變性，指出對于任何一種分形，都存在這樣一個一般是分數(shù)的不變量，它就 是可用于描述這種分形不規(guī)則程度的分數(shù)維數(shù)這樣，繼 2o世紀上葉數(shù)學在幾何概念 上完成了從有限維到無限維的飛躍后，2o世紀下葉又完成了從整數(shù)維向分數(shù)維的拓展， 并且開創(chuàng)了用分數(shù)維數(shù)來刻劃不規(guī)則圖形的不規(guī)則程度的新模

8、式，這是幾何學史上的 又一件大事.3分形美一一一種別開生面的藝術(shù)美感計算機圖形顯示，推開了分形幾何學的大門當我們踏入這個嶄新的幾何世界時， 撲面而來的分形圖象琳瑯滿目，美不勝收， 令人留連忘返.美，是分形給每一位觀賞者 的第一印象有人說，分形是美的科學，這 種說法已為很多人所認同.由簡單的復數(shù)二次多項式f ( z ) =z2+c 迭代生成的芒德勃羅集(簡稱M集，圖2左 上角第1圖，后續(xù)各圖依次為前一圖某一局 部的放大)，是人類有史以來最奇異、最瑰 麗的藝術(shù)奇葩，它由一個主要的心形圖與一 系列大小不一的圓盤芽苞突起連在一起構(gòu)成你看，有的地方象日冕，有的地方象燃燒的火焰，那心形圓盤上飾以多姿多彩的

9、荊 棘，上面掛著鱗莖狀下垂的微小顆粒，仿佛是葡萄 藤上熟透的累累碩果.它們每一個細部都可以演繹 出美麗的夢幻般仙境似的圖案，因為只要把它的細 部放大，展現(xiàn)在眼前的景象會更令人賞心悅目這 種放大可無限地進行下去，無論放大到哪一個層 次，都會顯示同樣復雜的局部.這些局部與整體不 完全相同，又有某種相似的地方，使你感到這座具 有無窮層次結(jié)構(gòu)的雄偉建筑的每一角落，都存在無 限嵌套的迷宮和回廊，催生起你無窮的探究欲望.一種別開生面 更令人未曾想到3整個葉片與它的as丈*此尢$史七也丸3*it七走f/:擊*:或$走* 還為藝 啟迪想象力豐富的芒德勃羅稱欣賞歐氏幾何的抽象美需要艱苦 和長期的訓練，而分形卻通

10、過視覺給人們直觀、 豐富的表象，是直截的美的感受 的，非傳統(tǒng)藝術(shù)所具有的美的感受. 的是，分形無限層次的自相似原理(這一原理在圖 蕨類植物葉片上得到了清晰的展現(xiàn)： 枝杈、枝杈的枝杈的形狀在不同層次上相似) 術(shù)的表現(xiàn)提供了一種嶄新的模式， 人們創(chuàng)造出一批精美的分形藝術(shù)品：可以有無限層次的“大”字(圖4).可以有無限層次的分形模型(圖5).非舶來品的我們耳熟能詳?shù)囊皇變焊瑁?“從前有座山， 山里有個廟，廟里有個老和尚給小和尚講故事， 講的是：從前有座山，山里有個廟，廟里有個老和尚給小和尚講故事，講的是：fest* tit圖q這類前所未見的藝術(shù)精品，給我們的難道 不是一種前所未有的美的享受嗎？齊東旭

11、教授在其論著分形及其計算機生 成的后記中，引用了公元前九世紀荷馬史 詩中的一段來展望分形的發(fā)展：“她出生時十分弱小，但每個時辰都在長大.她在大地上蔓延，并震撼著周圍的世界.”(1)也方形紙扳筆者想到的是：與此同時，分形的文化價 值也將隨人們對它的發(fā)掘，和分形本身一起， 與日俱生，與時俱長.致謝：田載今先生為本文提供了素材，謹此致謝！參考文獻張濟忠編著分形 M 北京：清華大學出版社，199516，84 -93，錢佩玲.分形幾何 一一從UCSMP教材內(nèi)容引發(fā)的思考J.數(shù)學通報，1997, （10）.鄧東皋，孫小禮，張祖貴編數(shù)學文化 M 北京：北京大學出版社，19905林鴻溢,李映雪編著分形論 奇異

12、性探索 M 北京：北京理工大學出版社,1992127-132（加）凱依著,徐新陽,康雁,陳旭等譯分形漫步M 沈陽：東北大學出版社,19944林夏水等著分形的哲學漫步 M 北京：首都師范大學出版社,199964 -82李文林著數(shù)學史概論 M 北京：高等教育出版社, 2000349-353齊東旭著分形及其計算機生成 M 北京：科學出版社,199420-22, 28, 53-63 , 208-209吳祥興,陳忠等編著混沌學導論 M 上海：上?？萍嘉墨I出版社,1996183史炳星.把分形幾何帶進中學生的課堂J.數(shù)學通報，2001, （3）.近年有關(guān)分形的部分論文舒昌勇初中幾何教材滲透分形幾何的設想中小學教材教學（北京）, 2001, 5舒昌勇崛起的分形幾何中學數(shù)學研究（廣州） , 2002, 1舒昌勇對分形幾何初步進入普通高中數(shù)學課程的思考數(shù)學通報（北京）, 2002, 3；（本文被人大書報資料中心,中學數(shù)學與教學（北京） , 2002,11全文轉(zhuǎn)載） 舒昌勇分形幾何課程實驗報告數(shù)學教育學報（天津） , 2004, 1 走近分形系列