期權(quán)定價培訓(xùn)課件(PPT-83張)

1、章2022/7/242022/7/249.1期權(quán)價格的特性 一、期權(quán)價格的構(gòu)成 期權(quán)價格等于期權(quán)的內(nèi)在價值加上時間價值。 ，內(nèi)在價值 內(nèi)在價值是指期權(quán)持有者立即行使該期權(quán)合約所賦予的權(quán)利時所能獲得的總收益。 看漲期權(quán)的內(nèi)在價值為maxS-X,0 看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為maxX-S,02022/7/24按照有無內(nèi)在價值，期權(quán)可呈現(xiàn)三種狀態(tài)：實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)和平價期權(quán)。把（SX）時的看漲(跌)期權(quán)稱為實(shí)值期權(quán)；把的看漲（跌）期權(quán)稱為平價期權(quán)；把S）時的看漲(跌)期權(quán)稱為虛值期權(quán)；2022/7/242，期權(quán)的時間價值 期權(quán)的時間價值（Time Value）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有

2、者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權(quán)的時間價值就越大。X時間價值圖9.1 看漲期權(quán)時間價值與|S-X|的關(guān)系到期日時間價值5 4 3 2 1 02022/7/243,期權(quán)價格與內(nèi)在價值和時間價值間的關(guān)系 期權(quán)合約的價值是由期權(quán)價格決定的，即由內(nèi)在價值和時間價值所決定。三者之間的關(guān)系如圖9-2所示。2022/7/24A T M期權(quán)費(fèi)變動曲線O T MI T MXIVTVTVTV0標(biāo)的資產(chǎn)市價S期權(quán)費(fèi)圖9.2 看漲期權(quán)的期權(quán)費(fèi)、內(nèi)在價值、時間價值的關(guān)系2022/7/24二、期權(quán)價格的影響因素（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格對于看漲期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價格越高

3、、協(xié)議價格越低，看漲期權(quán)的價格就越高。對于看跌期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權(quán)的價格就越高。2022/7/24（二）期權(quán)的有效期 對于美式期權(quán)而言，由于它可以在有效期內(nèi)任何時間執(zhí)行，有效期越長，多頭獲利機(jī)會就越大，而且有效期長的期權(quán)包含了有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會，因此有效期越長，期權(quán)價格越高。 對于歐式期權(quán)而言，由于它只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權(quán)就不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會。這就使歐式期權(quán)的有效期與期權(quán)價格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜。 2022/7/24 但在一般情況下（即剔除標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況），由于有效期越長，標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險就越大，空頭虧損的

4、風(fēng)險也越大，因此即使是歐式期權(quán)，有效期越長，其期權(quán)價格也越高，即期權(quán)的邊際時間價值（Marginal Time Value）為正值。 我們應(yīng)注意到，隨著時間的延長，期權(quán)時間價值的增幅是遞減的。這就是期權(quán)的邊際時間價值遞減規(guī)律。 2022/7/24（三）標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率 標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率是用來衡量標(biāo)的資產(chǎn)未來價格變動不確定性的指標(biāo)。由于期權(quán)多頭的最大虧損額僅限于期權(quán)價格，而最大盈利額則取決于執(zhí)行期權(quán)時標(biāo)的資產(chǎn)市場價格與協(xié)議價格的差額，因此波動率越大，對期權(quán)多頭越有利，期權(quán)價格也應(yīng)越高。 在定價時，波動性只能通過人們對未來的價格波動程度的估計求得，主要有兩種方法：歷史波動法和隱含波動法。2

5、022/7/24（四）無風(fēng)險利率從比較靜態(tài)的角度看。無風(fēng)險利率越高，看跌期權(quán)的價值越低；而看漲期權(quán)的價值則越高。 從動態(tài)的角度看，當(dāng)無風(fēng)險利率提高時，看漲期權(quán)價格下降，而看跌期權(quán)的價格卻上升。2022/7/24（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益 由于標(biāo)的資產(chǎn)分紅付息等將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價格，而協(xié)議價格并未進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，因此在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)價格下降，而使看跌期權(quán)價格上升。 2022/7/24期權(quán)價格的影響因素 變量 歐式看漲 歐式看跌 美式看漲 美式看跌標(biāo)的資產(chǎn)的市價 期權(quán)協(xié)議價格 期權(quán)的有效期 ？ ？ 波動率 無風(fēng)險利率 ？ ？ ？ ？標(biāo)的資產(chǎn)的收益 注：互補(bǔ)關(guān)系：抵消關(guān)系；？：關(guān)系

6、不明確。2022/7/24我們首先將本章后面所用到的符號及其含義開列如下：X：期權(quán)的執(zhí)行價格； T：期權(quán)的到期時刻；t：現(xiàn)在的時刻； S：標(biāo)的資產(chǎn)在t時的市場價格；ST：標(biāo)的資產(chǎn)在T時的市場價格；C：美式看漲期權(quán)的價格； c：歐式看漲期權(quán)的價格；P：美式看跌期權(quán)的價格； p：歐式看跌期權(quán)的價格；r：t到T期間的市場無風(fēng)險利率（連續(xù)復(fù)利）； 三、期權(quán)價格的上下限 :標(biāo)的股票價格的波動率，一般用標(biāo)的股票連續(xù)復(fù)利收 益率的年標(biāo)準(zhǔn)差表示。 2022/7/24 （一）期權(quán)價格的上限 1, 看漲期權(quán)價格的上限 對于美式和歐式看漲期權(quán)來說，標(biāo)的資產(chǎn)價格就是看漲期權(quán)價格的上限： 其中，c代表歐式看漲期權(quán)價格，

7、C代表美式看漲期權(quán)價格，S代表標(biāo)的資產(chǎn)價格。（下同）（9.1）2022/7/24 2,看跌期權(quán)價格的上限 美式看跌期權(quán)價格（P）的上限為X： 其中，r代表T時刻到期的無風(fēng)險利率，t代表現(xiàn)在時刻。（9.2）歐式看跌期權(quán)的上限為：（9.3）2022/7/24（二）期權(quán)價格的下限 1, 歐式看漲期權(quán)價格的下限 （1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限我們考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)2022/7/24由于期權(quán)的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格下限為： 在T時刻，組合A 的價值為： 由于 ，因此，在t時刻組合A的價值也應(yīng)大于等于組合B，即:

8、或組合B的價值為ST。 （9.4）2022/7/24例題 考慮一個不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，此時股票價格為20元，執(zhí)行價格為18元，期權(quán)價格為3元，距離到期日還有1年，無風(fēng)險年利率10%。問此時市場存在套利機(jī)會嗎？如果存在，該如何套利？（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限（9.5） 我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為 ，其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為：2022/7/242, 歐式看跌期權(quán)價格的下限 （1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限 考慮以下兩種組合： 組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 在T時刻，組合C的價值為：m

9、ax（ST，X），組合D的價值為X 。組合D：金額為 的現(xiàn)金 2022/7/24 由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應(yīng)大于等于組合D，即： 由于期權(quán)價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格下限為：（9.6）2022/7/24（2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限（9.7） 我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為 就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為： 2022/7/24四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 （一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1, 看漲期權(quán) 由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標(biāo)的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時間價值總是為正的，因此我們可

10、以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。 因此，C=c （9.8）2022/7/24 根據(jù)（9.4），我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的下限： （9.9）2022/7/24 是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實(shí)值額（X-S）、無風(fēng)險利率水平等因素。一般來說，只有當(dāng)S相對于X來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。 美式看跌期權(quán)的下限為：2,看跌期權(quán)2022/7/24（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1,看漲期權(quán) 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標(biāo)的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息，因此在一定

11、條件下，提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。 由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：2022/7/242,看跌期權(quán) 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。 由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：2022/7/24 所謂看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系是指看漲期權(quán)的價格與看跌期權(quán)的價格，必須維持在無套利機(jī)會的均衡水平的價格關(guān)系上。如果這一關(guān)系被打破，則在這兩種價格之間，就存在無風(fēng)險的套利機(jī)會，而套利者的套利行為又必將這種不正常

12、的價格關(guān)系拉回到正常水平。下面我們?nèi)匀挥脽o套利均衡分析法來推導(dǎo)這一關(guān)系。五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 2022/7/24（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 1，無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) 考慮如下兩個組合： 組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金2022/7/24 在期權(quán)到期時，兩個組合的價值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即： 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系（Parity）。 如果式（9.10 ）不成立，則存在無風(fēng)險套利機(jī)會。套

13、利活動將最終促使式（ 9.10 ）成立。（9.10）2022/7/24套利機(jī)會 市場情況：某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報價，股票市場價格為31美元，3個月期無風(fēng)險年利率為10，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價格都是30美元，3個月后到期。3個月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價格分別為3美元和2.25美元。策略： 1，購買看漲期權(quán)；2，出售看跌期權(quán)；3，賣空一股股票。2022/7/24 結(jié)果： 這個策略給出的初始現(xiàn)金流為：31.003.002.2530.25美元。將這筆資金按無風(fēng)險利率投資3個月，3個月末本息和為30.25e0.1*0.25=31.02美元。在3個月末，有如下兩種可能： 1，如果

14、股票價格大于30美元，該投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。即按照30美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利31.02301.02美元。 2，如果股票價格小于30美元，該投資者的對手執(zhí)行看跌期權(quán)。即按照30美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利31.02301.02美元。2022/7/24練習(xí)： 若同樣的市場條件，但3個月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價格分別為3美元和1美元。問是否有套利的機(jī)會？若有，如何構(gòu)筑套利策略？并分析套利結(jié)果。2022/7/242.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)（9.11） 在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為 ，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價

15、關(guān)系：2022/7/24（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系 1.無收益資產(chǎn)情形2.有收益資產(chǎn)情形2022/7/249.2 期權(quán)的定價原理一，Black-Scholes期權(quán)定價公式（一） Black-Scholes模型的假設(shè)條件(1) 期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)是股票，其現(xiàn)行價格為S。這種資產(chǎn)可以被自由買賣；(2) 期權(quán)是歐式看漲期權(quán)，在期權(quán)有效期內(nèi)其標(biāo)的資產(chǎn)不存在現(xiàn)金股利的支付。其協(xié)定價格為X，期權(quán)期限為T（以年表示）；2022/7/24(3) 市場不存在交易成本和稅收，所有證券均完全可以分割；(4) 市場不存在無風(fēng)險的套利機(jī)會；(5) 市場提供了連續(xù)交易的機(jī)會;(6) 存在著一個固定的、無風(fēng)險的利率

16、，投資者可以以此利率無限制地借入或貸出；(7) 期權(quán)的標(biāo)的股票的價格遵循幾何布朗運(yùn)動，呈對數(shù)正態(tài)分布。2022/7/24 這就是著名的Black-Scholes微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。 2022/7/24（二）Black-Scholes歐式看漲期權(quán)定價公式2022/7/24 由歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價關(guān)系，我們很容易推算出具有相同標(biāo)的資產(chǎn)、相同到期日和相同執(zhí)行價格的歐式看跌期權(quán)的價格。 2022/7/24例9.1 考慮一種期權(quán)，有效期為6個月，股票價格為42美元，期權(quán)的執(zhí)行價格為40美元，無風(fēng)險年利率為10，波動率為每年20。即S=42，X40，2

17、022/7/24并且因此，若該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，它的價格為：又因?yàn)?N（0.7693）0.7791， N（0.6278）=0.7349所以 c=4.762022/7/24二、波動率的確定方法 例9.2 假設(shè)一只股票當(dāng)前的價格為30元，6個月期國債的年利率為3，一投資者購買一份執(zhí)行價格為35元的6個月后到期的看漲期權(quán)，假設(shè)在6個月內(nèi)股票不派發(fā)紅利。 問題：他要支付多少期權(quán)費(fèi)？由題設(shè)知：S=30，X35，但還需要知道一個無法直接得到的變量：波動率2022/7/24解題步驟：（1）波動率 的計算方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計算波動率 。 假設(shè)在過去n周里的第t周股票收盤價為St，第t-1周的收盤

18、價為St1，則第t周的股票復(fù)利收益率為那么，周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差可用下面的公式計算 其中： 表示這n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為周波動率 的估計值。由歷史的股價數(shù)據(jù)，設(shè)計算得到此股票的周波動率為0.045。2022/7/24我們?nèi)50周，即1年的交易周數(shù)，可得年波動率或： 方法二：把實(shí)際的市場期權(quán)價格代入BS公式而計算出的波動率即隱含波動率。交易員通常從交易活躍的期權(quán)中計算隱含波動率，然后利用計算出的隱含波動率來估算基于同樣股票的不太活躍的期權(quán)的價格。更常見的是，可以同時得到基于同樣股票的幾種不同期權(quán)的幾個隱含波動率，然后對這些隱含波動率進(jìn)行恰當(dāng)?shù)募訖?quán)平均就可以計算出該

19、股票的綜合隱含波動率。2022/7/24 投資者可以通過對比當(dāng)前市場的波動率與期權(quán)的隱含波動率的大小來進(jìn)行期權(quán)交易。如果認(rèn)為實(shí)際的市場波動率高于隱含波動率，那么當(dāng)前的期權(quán)價格被低估了，可以買進(jìn)期權(quán)。反之可以賣出期權(quán)。（2）計算N（d1）和 N(d2)先計算：2022/7/24然后查正態(tài)分布累積概率表，得到和（3）計算期權(quán)價格C2022/7/24三、B-S公式的基本推廣（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式 （9.6）式是針對無收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的，對于標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益的情況，我們下面分兩種情況給予簡單分析。 2022/7/241，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將在時刻 產(chǎn)生

20、已知現(xiàn)值為I的收益，且 。這時，標(biāo)的資產(chǎn)的價值可分解為兩個部分：發(fā)生在 時刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到T時刻時標(biāo)的資產(chǎn)的價值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風(fēng)險的，記為 于是我們可以直接利用（9.6）式來定價了，只要用來代替S即可， 2022/7/242，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率的情況 我們假定在任何時間段dt，標(biāo)的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt，這等價于在每一刻都將剩余股票價值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復(fù)利計算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來資產(chǎn)價值的 。所以，在現(xiàn)在時刻t，標(biāo)的資產(chǎn)的價值由兩部分組成：比例為 的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放，剩下比例為 的部分是一單位標(biāo)的資產(chǎn)在到期日T的價

21、值的現(xiàn)值。 2022/7/24 我們可用 來代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解 2022/7/24 （二）期貨看漲期權(quán)的定價公式 如果標(biāo)的資產(chǎn)為各種期貨合約的話，上述期權(quán)定價公式必須做相應(yīng)修正，因?yàn)楝F(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同的交易規(guī)則。 為此，我們設(shè)F為期貨價格， 表示期貨價格的波動率，其他符號與上述相同，則只要期貨價格和標(biāo)的資產(chǎn)價格一樣遵循幾何布朗運(yùn)動的話，就有 2022/7/24 （三）美式期權(quán)價格的近似解 假定標(biāo)的資產(chǎn)在時刻t1有收益，這里tt1T。美式看漲期權(quán)的多頭要么在臨近時刻t1執(zhí)行期權(quán)，要么在到期日時刻T執(zhí)行期權(quán)。因此，這個美式看漲期權(quán)的價值可以近似地看作兩個歐

22、式看漲期權(quán)中較大的那一個。這兩個歐式看漲期權(quán)是 1）時刻t1到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)無收益； 2）時刻T到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)在時刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為I的收益 2022/7/249.3 期權(quán)定價的數(shù)值方法二叉樹定價法 在很多情形中，我們無法得到期權(quán)價格的解析解，這時，人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價，其中包括二叉樹方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的資產(chǎn)價格在風(fēng)險中性世界中的隨機(jī)運(yùn)動，預(yù)測期權(quán)的平均回報，并由此得到期權(quán)價格的一個概率解。有限差分方法將標(biāo)的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。2022/7/24一、

23、單步二叉樹定價法 （一）一個簡單案例 例9.3 假設(shè)某只股票當(dāng)前的市場價格為20元。投資者預(yù)期3個月后股價有可能是22元，也有可能是18元。再假設(shè)該股票不分紅利且無風(fēng)險利率為10%。投資者打算對3個月后以21元執(zhí)行價格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。 我們知道，若到期時股票價格為22元，期權(quán)的價值為1元；若股票價格為18元，期權(quán)的價值將是0。如圖9.3所示2022/7/24圖9.3 股票價格與期權(quán)價格變動示意圖 182022C10 在無套利假設(shè)下，二叉樹期權(quán)定價法的基本思路是：首先，以某種方式構(gòu)造一個只包含股票和期權(quán)的無風(fēng)險證券組合；其次，根據(jù)到期日的股票和期權(quán)價格得出組合的價值；再次，利用無

24、風(fēng)險組合的收益率只能是無風(fēng)險收益率，得出構(gòu)造該組合的初始成本，于是得出該期權(quán)的價格。 2022/7/24 我們首先假設(shè)無風(fēng)險證券組合里包含一個 股股票多頭頭寸和一單位看漲期權(quán)的空頭頭寸。 根據(jù)假設(shè)，3個月后市場只會出現(xiàn)兩種可能結(jié)果：股票價格要么上升到22元要么下降到18元。如果股票價格上升到22元，期權(quán)的價值為1元，則組合的總價值為 ；如果股票價格下降到18元，期權(quán)的價值為0， 則組合的總價值為 。因?yàn)榻M合為無風(fēng)險證券組合，到期日的價值是確定的。這意味著 即2022/7/24 因此，0.25股股票多頭和一單位看漲期權(quán)空頭就組成一個無風(fēng)險的證券組合。在期權(quán)到期日，組合的價值總是 =4.5元。根據(jù)

25、無套利均衡原理， 由于當(dāng)前的股價已知為20元，假設(shè)期權(quán)的價格為，則該組合當(dāng)前的價值為 2022/7/24（二）一般結(jié)論設(shè)看漲期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)行價格為S，在期權(quán)到期日，標(biāo)的資產(chǎn)的價格要么上漲至現(xiàn)價的u倍，要么下跌至現(xiàn)價的d倍。這里u1、d1，如圖9.4所示。 再設(shè)當(dāng)前歐式看漲期權(quán)的價值為C、執(zhí)行價格為X，在標(biāo)的資產(chǎn)價格的上述兩種變化下，其價值分別為 、 。如圖9.5所示。2022/7/24SuSdS圖9.4 標(biāo)的資產(chǎn)價格變動 C圖9.5 單期看漲期權(quán)的價值變動 顯然2022/7/24為確定唯一的未知量C，我們構(gòu)造如下的一個投資組合：（a）以價格C賣出一份看漲期權(quán)；（b）買入h份標(biāo)的資產(chǎn)。其中h

26、為套期保值比率，其大小是要保證該投資組合成為一個無風(fēng)險的投資組合。也就是說，不管市場如何變化，該投資組合在到期日是的價值是確定的。 建立組合的初始成本是購買股票的成本hS減去賣出期權(quán)收到的期權(quán)費(fèi)，即 。而標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲時，該投資組合的最終價值為 ；當(dāng)價格下跌時，該投資組合的最終價值為 。2022/7/24因?yàn)樵撏顿Y組合為無風(fēng)險投資組合。從而有： 即 （9.12） 如果期權(quán)的有效期限里的無風(fēng)險利率為r，則以該組合的當(dāng)前價值 進(jìn)行無風(fēng)險投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)和該投資組合的最終價值相等，即有 2022/7/24從而再將h代入，得 （9.13） 其中 （9.14） 在市場無套利機(jī)會存在的前提下，一

27、定有d1+ru，從而 。另外，還可以看出， 只與標(biāo)的資產(chǎn)價格的上漲或下跌幅度有關(guān)，而與某一時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格的大小無關(guān)。 2022/7/24 例9.4 接著例9.3（如圖9.3所示），已知u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd =0。由（9.14）式，我們得出 由（9.13）式，我們得出 2022/7/24（三）風(fēng)險中性概率 如果我們將（9.14）式中的p解釋為標(biāo)的資產(chǎn)價格上升的概率，于是1-p就是標(biāo)的資產(chǎn)價格下降的概率，則標(biāo)的資產(chǎn)在T時刻的預(yù)期值由下式給出 再將（9.14）式中的p代入上式，化簡得 2022/7/24 （9.14）式的p就是的風(fēng)險中性概率，而（9.

28、13）式可以表述為：在風(fēng)險中性世界里，期權(quán)的價值就是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。根據(jù)風(fēng)險中性假設(shè)，風(fēng)險中性世界里的無套利均衡價格也是真實(shí)世界里的均衡價格。因而，上述的二叉樹定價法就等價于風(fēng)險中性定價法。 在二叉樹定價中也沒有用到標(biāo)的資產(chǎn)價格上升和下降的概率。當(dāng)然，這并不意味期權(quán)定價與標(biāo)的資產(chǎn)價格上升和下降的概率無關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)的資產(chǎn)價格未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在標(biāo)的資產(chǎn)價格中了。 2022/7/24 我們可以把一年分成4個3個月、或者12個1個月，或者365天每一個時點(diǎn)上都對應(yīng)一個單步二叉樹，然后做和單步二叉樹定價法相同的工作：建立不同的無風(fēng)險資產(chǎn)組合或利用風(fēng)險中性定價法求不同狀態(tài)下

29、期權(quán)的收益，再從最終的結(jié)點(diǎn)一步一步逆推，最后計算出初始狀態(tài)下期權(quán)的價格。 二、多步二叉樹定價法2022/7/24 我們先將二叉樹從單步推廣到兩步，然后再推廣到多步情形。 設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)價為S，每一期間均可能上漲至原來的u倍，或下跌至原來的d倍。這樣，在期權(quán)的有效期限內(nèi)，看漲期限的價值及其變動如圖9.6所示： （一）兩步二叉樹定價法2022/7/24SuSdSu2SudSd2S圖9.6 兩步二叉樹中的標(biāo)的資產(chǎn)價格與期權(quán)價格變動 C2022/7/24由圖很容易得到： 我們將期權(quán)到期時標(biāo)的資產(chǎn)價格的三種可能價位與看漲期權(quán)的三種可能價值對應(yīng)起來，由前面同樣的方法，可以求出： 2022/7/24在求出C

30、u和Cd之后，我們可用相同的方法求出C，即 （9.15） 這就是兩步二叉樹定價公式。 例9.5 假設(shè)一只不分紅股票，其當(dāng)前的市場價格為20元，在二叉樹中的任一步之間，股價要么上漲10%要么下跌10%。我們假設(shè)二叉樹中每一步的時間長度為3個月，市場的無風(fēng)險利率為10%。現(xiàn)在我們對執(zhí)行價格為21元的歐式看漲期權(quán)估值。 2022/7/24圖9.7 標(biāo)的股票價格與期權(quán)價格變動示意圖 20221824.219.816.2C3.20.00.02022/7/24 由題設(shè)知，u=1.1，d=0.9，r=0.1， 由（9.14）式，我們得出 將上述所有參數(shù)代入（9.15）式，可得執(zhí)行價格為21元的歐式看漲期權(quán)的

31、價值為 2022/7/24 按同樣的方法，我們可以把兩期的二叉樹模型擴(kuò)展到多期的情況。隨著期數(shù)的增加，股價變化的可能范圍越來越大，越來越接近于實(shí)際情況，所以二叉樹模型的準(zhǔn)確性也越來越高。若將期權(quán)的到期期限分割成n個小期間，則結(jié)果為（二）多步二叉樹定價法 （9.16）2022/7/24 根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n趨向于無窮大時，二項(xiàng)式分布將逼近正態(tài)分布。因此，只要u、d及p選擇得當(dāng)，則二項(xiàng)式（二叉樹）定價模型與Black-Scholes定價模型的結(jié)果就趨向于一致了。 ，且k、n-k分別為n個期間標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲、下跌的次數(shù)，其他符號同上。這就是完整的二叉樹定價公式。 式中， 2022/7/24 二叉

32、樹定價法的優(yōu)點(diǎn)在于比較直觀，而且它具有很大的靈活性，不管標(biāo)的資產(chǎn)價格服從何種分布，它都能適用。 在實(shí)際應(yīng)用二叉樹定價法時，還有兩個需要注意的問題： 首先，時間步的選擇。一般將時間區(qū)間分成30步就可以得到較為理想的結(jié)果。 其次，參數(shù)的確定。一般采用的u、d及p值使得二叉樹模型近似于實(shí)際中價格的對數(shù)正態(tài)分布。 三、二叉樹定價法在實(shí)際中的運(yùn)用2022/7/24 如果我們定義 為單步時間長度， 為標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率，通過簡單計算可以得到（9.17）（9.18）（9. 19）2022/7/24 例9.6 假設(shè)一只不分紅股票，其當(dāng)前的市場價格為20元，波動率為每年40%，市場的無風(fēng)險利率為10%。該股票

33、2個月期的歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格均為21元，求其價值。 為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為兩段，每段一個月（等于0.083 3年）。根據(jù)（9.17）（9.19）式，可以算出 2022/7/24 據(jù)此可以畫出該股票和看漲期權(quán)在期權(quán)有效期內(nèi)的二叉樹圖，如圖9.8所示 2022.2517.8224.9715.88C3.970.00.0圖9.8 標(biāo)的股票價格與看漲期權(quán)價格變動示意圖 2022/7/24 此時 ， ， 則由（5.15）式，可得歐式看跌期權(quán)的價值為 2022/7/24 如果其他條件不變，但該期權(quán)為看跌期權(quán)，我們也可以畫出看跌期權(quán)在期權(quán)有效期內(nèi)的二叉樹圖，如圖9.9所示 C0.001.005.12圖9.9 看跌期權(quán)價格變動示意圖 2022/7/24 此時 ， ， 則由（9.15）式，可得歐式看跌期權(quán)的價值為 本題只用到兩步二叉樹定價法，不論看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)的計算價格與實(shí)際值都有一定的誤差。如果把期權(quán)的有效期限分成更多的時間區(qū)間，步數(shù)就會增多，計算會更復(fù)雜，但得出的期權(quán)價值會更精確。 2022/7/241、不是井里沒有水，而是你挖的不夠深。不是成功來得慢，而是你努力的不夠多。2、孤單一人的時間使自己變得優(yōu)秀，給來的人一個驚喜，也給自己一個好的交代。3、命運(yùn)給你一個比別人低的起點(diǎn)是想告訴你，讓你用你的一生去奮斗出一個絕地反擊的故事，所以有什么理由不努力!4、心中沒有過分