《通信原理》第6版習(xí)題課后答桉

1、1-1、 設(shè)英文字母 E 出現(xiàn)的概率為 0.105 ，x 出現(xiàn)的概率為 0.002 。試求 E和 x 的信息量。解： P(E) = 0.105P( x) = 0.002I (E ) = log 2 P(E ) = log 2 0.105 = 3.25 bitI ( x) = log 2 P( x) = log 2 0.002 = 8.97bit1-2、 信息源的符號集由 A，B，C，D 和 E 組成，設(shè)每一符號獨(dú)立出現(xiàn)，其出現(xiàn)的概率為1 4,1 8,1 8, 3 16 和 5 16 。試求該信息源符號的 平均信息量。解： H = P( xi ) log 2 P( xi )= 1 log1 1

2、log1 1 log1 5 log5 = 2.23bit42 482 882 8162 16符號1-3、 設(shè)有四個消息 A、B、C、D 分別以概率1 4,1 8,1 8,1 2 傳送，每一 消息的出現(xiàn)是相互獨(dú)立的。試計算其平均信息量。解： H = P( xi ) log 2 P( xi )= 14log 21 148log 21 188log 21 1821 log 22= 1.75 bit 符號1-4、 一個由字母 A，B，C，D 組成的字。對于傳輸?shù)拿恳粋€字母用 二進(jìn)制脈沖編碼，00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替D。每個脈沖寬度為 5 ms 。（1） 不同的字母是等

3、概率出現(xiàn)時，試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾?。?） 若每個字母出現(xiàn)的概率為 P= 1 , P= 1 , P= 1 , P= 3 ，試A5B4C計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾省?解：首先計算平均信息量。4D10（1） H = P( xi ) log 2 P( xi )= 4 ( 1 ) log41 = 2 bit2 4字母平均信息速率=2 （ bit 字母 ）（ms=200）bits（2） H = P( xi ) log 2 P( xi )2 5字母= 1 log1 1 log1 1 log1 3 log3 = 1.985 bit52 542 442 4102 10字母平均信息速率=1.985 （ bit 字

4、母 ）（ms=198.5）2 5字母bits1-5、 國際莫爾斯電碼用點和劃的序列發(fā)送英文字母，劃用持續(xù) 3 單位的電流脈沖表示，點用持續(xù) 1 單位的電流脈沖表示，且劃出 現(xiàn)的概率是點出現(xiàn)的概率的1 3 ：（1） 計算點和劃的信息量；（2） 計算點和劃的平均信息量。 解：令點出現(xiàn)的概率為 P( A) ，劃出現(xiàn)的概率為 P(B)P( A) + P(B) = 1, 1 P( A) = P(B)3P( A) = 3 4P(B) = 1 4（1）I ( A) = log 2 P( A) = 0.415bit（2）I (B) = log 2 P(B) = 2bitH = P( xi ) log 2 P(

5、 xi )= 3 log3 1 log1 = 0.811bit42 442 41-6、 設(shè)一信息源的輸出由 128 個不同符號組成。其中 16 個出現(xiàn)的概率為1 32 , 其余 112 個出現(xiàn)的概率為1 224 。信息源每秒發(fā)出 1000 個符號，且每個符號彼此獨(dú)立。試計算該信息源的平均信息速 率。解： H = P( xi ) log 2 P( xi )=16 (1 ) log3212 32+ 112 (1224) log 2( 1224) = 6.4 bit 符號平均信息速率為 6.4 1000 = 6400 bit s 。1-7、 對于二電平數(shù)字信號，每秒鐘傳輸 300 個碼元，問此傳碼率

6、 RB等于多少？若數(shù)字信號 0 和 1 出現(xiàn)是獨(dú)立等概的，那么傳信率 Rb等于多少？解： RB = 300BRb = 300 bit s1-8、 若題 1-2 中信息源以 1000B 速率傳送信息，則傳送 1 小時的信息量為多少？傳送 1 小時可能達(dá)到的最大信息量為多少？解：傳送 1 小時的信息量2.23 1000 3600 = 8.028Mbit傳送 1 小時可能達(dá)到的最大信息量先求出最大的熵： Hmax= log1 = 2.32 bit2 5符號則 傳 送1小 時 可 能 達(dá) 到 的 最 大 信 息 量2.32 1000 3600 = 8.352Mbit1-9、 如果二進(jìn)獨(dú)立等概信號，碼元

7、寬度為 0.5ms ，求 RB 和 Rb ；有四進(jìn)信號，碼元寬度為 0.5ms ，求傳碼率 RB 和獨(dú)立等概時的傳信率 Rb 。解：二進(jìn)獨(dú)立等概信號： R =1= 2000B ， R = 2000 bitB0.5 10 3bs四 進(jìn) 獨(dú) 立 等 概 信 號 ：Rb = 2 2000 = 4000 bit s 。小結(jié)： 記住各個量的單位：R =1= 2000B，B0.5 10 3信息量： bitI = log 2 P( x)信 源 符 號 的 平 均 信 息 量 （ 熵 ）：H = P( xi ) log 2 P( xi )bit符號平均信息速率： bit s =（ bit 符號 ）（s 符號）

8、傳碼率： RB傳信率： Rb（B）bits2-1 、設(shè)隨機(jī)過程 (t ) 可表示 成 (t ) 2 cos(2t ) ，式中 是一個離散隨 變量，且 P( 0) 1 2 、 P( 2) 1 2 ，試求 E (1) 及 R (0,1) 。解： E (1) 1 2 cos(2 0) 1 2 cos(2 2) 1 ；22R (0,1) E (0) (1) 1 2 cos(0)2 cos(2 0) 1 cos(2)2 cos(2 2) 2 。 222-2、設(shè) Z (t ) X 1 cos w0 t X 2 sin w0 t 是一隨機(jī)過程，若 X 1 和 X 2 是彼此獨(dú)立且具有均值為 0、方差為 2

9、的正態(tài)隨機(jī)變量，試求：（1） EZ (t) 、 EZ 2 (t) ；（2） Z (t ) 的一維分布密度函數(shù) f ( z) ；（3） B(t1 , t2 ) 和 R(t1 , t2 ) 。解：（1） EZ (t ) E X 1 cos w0 t X 2 sin w0 t cos w0 tE X 1 sin w0 tE X 2 0因為 X 1 和 X 2 是彼此獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量， X 1 和 X 2 是彼此互不相關(guān)，所以E X 1 X 2 0EZ 2 (t ) E X 2 cos 2 w t X 2 sin 2 w t cos 2 w tE X 2 sin 2 w tE X 2 1020010

10、2111122又 E X 0 ； D X E X 2 E X 1 E X 2 22同理 E X 2 2代入可得 EZ 2 (t ) 2（2）由EZ (t) 0 ； EZ 2 (t ) 2又因為 Z (t ) 是高斯分布可得DZ (t ) 22f z(t) 1exp( z)2 2 2（3） B(t1 , t2 ) R(t1 , t 2 ) EZ (t1 )EZ (t 2 ) R(t1 , t 2 )= E( X 1 cos w0 t1 X 2 sin w0 t1 )( X 1 cos w0 t 2 X 2 sin w0 t2 )22= E X 1 cos(w0 t1 ) cos(w0 t2 )

11、X 2 sin(w0 t1 ) sin(w0 t 2 )2= 2cos w0 (t1 t 2 ) cos w0令 t1 t 2 2-3、求乘積 Z (t ) X (t )Y (t) 的自相關(guān)函數(shù)。已知 X (t) 與 Y (t) 是統(tǒng)計獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過程，且它們的自相關(guān)函數(shù)分別為 Rx ( ) 、 R y ( ) 。解：因 X (t) 與 Y (t) 是統(tǒng)計獨(dú)立，故E XY E X EY RZ ( ) EZ (t )Z (t ) E X (t )Y (t ) X (t )Y (t )= E X (t) X (t )EY (t )Y (t ) RX ( )RY ( )2-4、若隨機(jī)過程 Z (t

12、 ) m(t ) cos(w0 t ) ，其中 m(t ) 是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，且自相關(guān)函1 , 1 0數(shù) Rm ( ) 為R m ( ) 1 ,0 1 0 , 其它 是服從均勻分布的隨機(jī)變量，它與 m(t ) 彼此統(tǒng)計獨(dú)立。（1） 證明 Z (t ) 是寬平穩(wěn)的；（2） 繪出自相關(guān)函數(shù) RZ ( ) 的波形；（3） 求功率譜密度 PZ (w) 及功率 S 。解：（1） Z (t ) 是寬平穩(wěn)的 EZ (t) 為常數(shù)； RZ (t1 , t 2 ) RZ (t1 t 2 )E(Z (t ) Em(t) cos(w0 t ) Em(t)Ecos(w0 t ) 122 cos(w0 t )d EZ

13、(t ) 00RZ (t1 , t 2 ) EZ (t1 )Z (t 2 ) Em(t1 ) cos(w0 t1 )m(t 2 ) cos(w0 t 2 )= Em(t1 )m(t 2 )Ecos(w0 t1 ) cos(w0 t2 )Em(t1 )m(t 2 ) = Rm (t 2 t1 ) 只與 t 2 t1 有關(guān)；令 t 2 t1 Ecos(w0 t1 ) cosw0 (t1 ) = Ecos(w0 t1 )cos(w0 t1 ) cos w0 sin(w0 t1 ) sin w0 2= cos w0 Ecos(w0 t1 ) sin w0 Ecos(w0 t1 ) sin(w0 t1

14、)= cos(w ) E1 1 cos 2(w t ) 0020 11=cos(w )201所以（2）波形略；1RZ (t1 , t 2 ) cos(w0 ) Rm ( ) 只與 有關(guān)，證畢。21 2 (1 ) cos(w0 ),1 01（3） RZ ( ) cos(w0 ) Rm ( ) = 2 2(1 ) cos(w0 ),0 10, 其它PZ (w) RZ ( )而 RZ ( ) 的波形為Rm ( )t-11可以對 Rm ( ) 求兩次導(dǎo)數(shù)，再利用付氏變換的性質(zhì)求出 Rm ( ) 的付氏變換。R ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) P (w) sin(w 2) Sa 2 ( w )m

15、mw 22 P (w) 1 Sa 2 ( w w0 ) Sa 2 ( w w0 )Z422功率 S ： S = RZ (0) 1 22-5、已知噪生 n(t ) 的自相關(guān)函數(shù) Rn（1） 求 Pn (w) 和 S ；( ) a exp(a ) ， a 為常數(shù)：2（2） 繪出 Rn ( ) 與 Pn (w) 的波形。2a解：（1）因為exp(a t ) w2 a 2所以 R2( ) a exp(a ) P (w) an2S R(0) a2nw 2 a 2（3） 略2-6、 (t ) 是一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的自相關(guān)函數(shù)是周期為 2 S 的周期函數(shù)。在區(qū)間（-1，1）上，該自相關(guān)函數(shù) R( ) 1

16、。試求 (t ) 的功率譜密度 P (w) 。解：見第 4 題R( ) 1 Sa 2 ( w )2因為 T (t ) (t 2n)n所以 (t ) R( ) T (t )據(jù)付氏變換的性質(zhì)可得 P (w) PR (w)F (w)而 T (t ) (t 2n) (w n )n故n22 w2w nP (w) PR (w)F (w) = Sa() (w n ) = n n (w n )Sa ()22-7、將一個均值為 0，功率譜密度為 n0為 B 的理想帶通濾波器上，如圖2 的高斯白噪聲加到一個中心角頻率為 wc 、帶寬2 B-wcwcw（1） 求濾波器輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)；（2） 寫出輸出噪聲的一維

17、概率密度函數(shù)。解：（1） P(w) 2nH (w) P (w) 0 H (w)Oi2因為G2(w) Sa(w0 ) ，故 G(w) BSa(B )w02 Bw0又 H (w) G2 B (w) (w wc ) (w wc ) (w w ) (w w ) 1 cos(w )c由 付氏變換的性質(zhì)cf (t ) f(t) c1 F (w) F (w)122 12可得 P(w) n0 H (w) n0 G(w) (w w ) (w w )O222 B cc R( ) n0 BSa(B ) cos(wc )OO02（2） E (t ) 0 ； R(0) E 2 (t ) Bn ； R() E O (t

18、) 0所以 2 R(0) R() Bn0又因為輸出噪聲分布為高斯分布可得輸出噪聲分布函數(shù)為f o(t ) 21exp( t) 。2Bn02Bn02-8、設(shè) RC 低通濾波器如圖所示，求當(dāng)輸入均值為 0，功率譜密度為 n02 的白噪聲時，輸出過程的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。1解： H (w) R jwC1jwC1jwRC 1（1） P2n1 (w) P (w) H (w) 0 O（2）因為iexp(a ) 2 1 (wRC ) 22a所以 PO(w) n0 2w2 a 211 (wRC ) 2 RO( ) n04RCexp()RC2-9、將均值為 0，功率譜密度為 n0 2的高斯白噪聲加到低通濾波

19、器的輸入端，（1） 求輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)；（2） 求輸出噪聲的方差。解： H (w) RR jwL（1） P2nR 2(w) P (w) H (w)0 R ( ) n0 R exp( R )Oi2R 2 (wL) 2O4LL（2） Eno (t ) 0 ； 2 R(0) R() R(0) n0 R4L2-10、設(shè)有一個隨機(jī)二進(jìn)制矩形脈沖波形，它的每個脈沖的持續(xù)時為 Tb ，脈沖幅度取 1 的概率相等?，F(xiàn)假設(shè)任一間隔 Tb 內(nèi)波形取值與任何別的間隔內(nèi)取值統(tǒng)計無關(guān)，且過程具有寬平穩(wěn)性，試證： 0, Tb（1） 自相關(guān)函數(shù) R ( ) 1 Tb , Tb（2） 功率譜密度 P (w) T Sa(f

20、T)2 。 bb解：(1)R ( ) E (t) (t )當(dāng) Tb 時， (t ) 與 (t ) 無關(guān)，故 R ( ) 0當(dāng) Tb 時，因脈沖幅度取 1 的概率相等，所以在 2 Tb 內(nèi)，該波形取-1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均為1 4 。（A） 波形取-1-1、11 時，11 Tb在圖示的一個間隔 Tb 內(nèi)， R ( ) E (t) (t )= 1 1 1 44（B） 波形取-1 1、1 -1 時，1 Tb-1在圖示的一個間隔 Tb 內(nèi)， R ( ) E (t) (t )1Tb = ()4當(dāng) Tb 時， R ( ) E (t) (t )TbTb 2 1 2 1 (Tb )44

21、TbTb 0, 1 Tb Tb故 R ( ) 1 Tb , Tb（2）A A Sa 2 ( w )2-其中224A為時域波形的面積。2所以 R( ) P (w) T Sa 2 ( wTb ) 。 b22-11、圖示為單個輸入、兩個輸出的線形過濾器，若輸入過程 (t ) 是平穩(wěn)的，求 1 (t ) 與 2 (t )的互功率譜密度的表示式。（提示：互功率譜密度與互相關(guān)函數(shù)為付利葉變換對）解： 1 (t ) (t )h1 ( )d0 2 (t ) (t )h2 ( )d0R12 (t1 , t1 ) E1 (t1 ) 2 (t1 ) E (t1 )h1 ( )d0 (t1 )h2 ( )d 0 =

22、h1 ( )h2 ( )R ( )dd0 0 所以 P(w) R( )e jw d d dh ( )h( )R12( )e jw d12 121200令 P12 (w) h( )ejwd h( )e jw dR ( )e jw d = H (w)H (w)P (w)002-12、若 (t ) 是平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)為 R ( ) ，試求它通過圖示系統(tǒng)后的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度。解： h(t ) (t) (t T ) H (w) 1 e jwT1H (w) (2 2 cos wT ) 22PO (w) H (w)P (w) 2(1 cos wT )P (w)P (w) 2P (w) 2 co

23、s wT P (w) 2P (w) (e jwT e jwT )P (w)O 2R ( ) R ( T ) R ( T )2-13、若通過題 2-8 的低通濾波器的隨機(jī)過程是均值為 0，功率譜密度為 n02 的高斯白噪聲，試求輸出過程的一維概率密度函數(shù)。解： Eno (t ) 0 ；P (w) n0 O211 (wRC ) 2 RO( ) n04RCexp()RC2 2 n04Rc又因為輸出過程為高斯過程，所以其一維概率密度函數(shù)為f ( x) 1exp( x)22 22-14、一噪聲的功率密度函數(shù)如圖，試求其自相關(guān)函數(shù)為 KSa(解：見題 2-7 的解法；K2) cos(w0 ) 。Pn (w

24、) G (w) (w w0 ) (w w0 ) (w w) (w w) 1 cos(w )0由 付氏變換的性質(zhì)0f (t ) f(t) 01 F (w) F (w)122 12K可得 Pn (w) G (w) (w w0 ) (w w0 )2-15、略 R( ) KSa(2) cos(w0 )3-1、設(shè)一恒參信道的幅頻特性和相頻特性分別為 H (w) = K 0 ， (w) = wt d ，其中，K 0 , t d都是常數(shù)。試確定信號 s(t ) 通過該信道后輸出信號的時域表示式，并討論之。解： H (w) = K jwtde0SO (w) = H (w)S (w) = K 0 e jwt d

25、S (w) so (t) = K 0 s(t td )確定信號 s(t ) 通過該信道后，沒有失真，只是信號發(fā)生了延時。3-2、設(shè)某恒參信道的幅頻特性為 H (w) = 1 + cos Te jwtd ，其中， t都是常數(shù)。試確定0d信號 s(t ) 通過該信道后輸出信號的時域表示式，并討論之。解： H ( w ) = 1 + cos T e jwt dS (w) = H (w)S (w) = 1 + cos Tte jw d S (w) = e jwtd+ 1 e jw(T0 +td ) + 1 e jw(td T0 ) S (w)O s(t t0) + 1 s(t t2 T ) + 1 s

26、(t t2+ T )d2d02d0信號經(jīng)過三條延時不同的路徑傳播，同時會產(chǎn)生頻率選擇性衰落。見教材第 50 頁。3-3、設(shè)某恒參信道可用下圖所示的線形二端對網(wǎng)絡(luò)來等效。試求它的傳遞函數(shù)，并說明信 號通過該信道時會產(chǎn)生哪些失真？解： H (w) =H (w) =RR + 1jwcjwRc1 + jwRc=jwRc1 + jwRc= H (w) e j ( w)其中 H (w) =11+ 1 (wRc) 2 (w) = 2 arctg (wRc)則群遲延 (w) =d (w)dw=Rc1 + (wRc) 2可見，信號通過該信道時會頻率失真和群遲延畸變。3-4、今有兩個恒參信道,其等效模型分別如圖

27、P3-2(a)、(b)所示，試求這兩個信道的群遲延特性，并畫出它們的群遲延曲線，同時說明信號通過它們時有無群遲延失真？解：圖 AH (w) =R2R1 + R2= H (w) e j ( w)其中 H (w) =R2R1 + R2， (w) = 0故 (w) = d (w) = 0 ，沒有群遲延；dw圖 B1H (w) =jwc= H (w) e j ( w)R +1jwc1其中 H (w) =， (w) = arctg (wRc)1 + (wRc) 2故 (w) =d (w)dw=Rc1 + (wRc) 2，有群遲延失真。3-5、一信號波形 s(t ) = A cos t cos w0 t

28、，通過衰減為固定常數(shù)值、存在相移的網(wǎng)絡(luò)。試證明：若 w0 、且 w0 附近的相頻特性可近似為線形，則該網(wǎng)絡(luò)對 s(t ) 的遲延等于它的包絡(luò)的遲延。證明：令該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為 H (w) ，則 H (w) = Ke j ( w)w0 附近， (w) = wt0即 H (w) = Ke jwt0 h(t) = K (t t0 )輸出信號為 y(t ) = s(t) h(t ) = AK cos (t t0 ) cos w0 (t t0 )對包絡(luò)的遲延為 A cos t K (t t0 ) = AK cos (t t0 )證畢。3-6、瑞利衰落的包絡(luò)值V 為何值時，V 的一維概率密度函數(shù)有最大值？

29、 解：瑞利衰落的包絡(luò)值V 的一維概率密度函數(shù)為f (V ) = V 2exp(V 2)2 2)222exp( V 2 2df (V )V一維概率密度函數(shù)有最大值，則= 0 exp( V) = 0dV可得V = 2 42 23-7、試根據(jù)瑞利衰落的包絡(luò)值V 的一維概率密度函數(shù)求包絡(luò)V 的數(shù)學(xué)期望和方差。解： E (V ) = V 2Vf (V )dV = 22exp( V)dV = 2 02 22D(V ) = (2 ) 22見概率論教材。3-8、假設(shè)某隨參信道的兩徑時延差 為 1 ms ，試求該信道在哪些頻率上傳輸衰耗最大？選用哪些頻率傳輸信號最有利？解：見第 50 頁，該網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性為 2

30、 cos w = 2 cos(f )2當(dāng) f = n + 1 (KHz)2時，出現(xiàn)傳輸零點，傳輸衰耗最大當(dāng) f = (n + 1 )KHz 時，出現(xiàn)傳輸極點，傳輸信號最有利。23-9、題圖 3.3 所示的傳號和空號相間的數(shù)字信號通過某隨參信道。已知接收信號是通過該信道兩條路徑的信號之和。設(shè)兩徑的傳輸衰減相等（均為 d），且時延差=T/4。試畫出接 收信號的波形示意圖。解：T2T3Ttd接收信號的波形3-10、設(shè)某隨參信道的最大多徑時延差等于 3 ms ，為了避免發(fā)生頻率選擇性衰落，試估算 在該信道上傳輸?shù)臄?shù)字信號的占用頻帶范圍。解： f= 1 = m13 10 3= 333Hz11工程上的一般

31、公式為 f s = (33-11、略)f5= 66.7 111Hz3-12、若兩個電阻的阻值都為 1000，它們的溫度分別為 300K 和 400K，試求這兩個電阻 串聯(lián)后兩端的噪聲功率譜密度。1解： S (w) =2KTR=21.3810-233001000=8.2810-18V2HzS 2 (w) =21.3810-234001000=11.0410-18V2HzS (w) = S1 (w) + S 2 (w) =19.3210-18V2Hz3-13、具有 6.5MHz 帶寬的某高斯信道，若信道功率與噪聲功率譜密度之比為 45.5MHz ， 試求其信道容量。解： C = B log 2(1

32、 +S ) = 6.5 logN2(1 + 45.5 ) = 19.5MHz6.53-14、設(shè)高斯信道的帶寬為 4KHz ，信號與噪聲功率之比為 63，試確定利用這種信道的理想通信系統(tǒng)的傳信率與差錯率。解：信道容量為 C = B log 2(1 +S ) = 4 logN2(64) = 24KHz理想通信系統(tǒng)的傳信率為 24 Kbit / s ，差錯率為 0。3-15、某一待傳輸?shù)膱D片約含 2.25106 個像元。為了很好地重現(xiàn)圖片需要 12 個亮度電平。 假若所有這些亮度電平等概率出現(xiàn)，試計算用 3min 傳送一張圖片時所需的信道帶寬(設(shè)信道中信噪功率比為 30dB)。解：每像元信息量=-

33、2（1/12）3.58 bit圖片包含信息量=3.582.251068.06106 bit要在 3min 內(nèi)傳送一張圖片時，C=8.06106/1804.48104 bit/sS/N=30dB=1030/10=1000B=C/ 2(1+S/N)4.49103 Hz4.2習(xí)題解答4-1 一知線性調(diào)制信號表示式如下：(1)costcoswct(2)(1+0.5sint) coswct 式中，wc=6。試分別劃出它們的勃興圖和頻譜圖。 解(1)costcoswct 的波形略。設(shè) SM(w)=Fcostcoswct,根據(jù) wc=6可得SM(w)= /2 (w+ +wc)+ (w+ -wc)+ (w-

34、+wc)+ (w- -wc)= /2 (w+7 )+ (w+5)+(w-5)+(w-7)該頻譜圖略。(2)(1+0.5sint) coswct 的波形圖略。設(shè) SM(w)= F(1+0.5sint) coswct，根據(jù) wc=6可得SM(w)= (w +wc)+(w -wc)+0.5j/2+(w+wc)+(w+-wc)-(w-+wc)-(w-wc)= (w+6)+(w-6)+ j/4(w+7)- (w+5)+(w-5)-(w-7)該頻譜圖略。4-2 根據(jù)圖 4-14 所示的調(diào)制信號波形，試畫出 DSB 及 AM 信號的波形圖，并比較他們分別 通過包絡(luò)檢波器后的波形差別。解 設(shè)載波 s(t)=s

35、inwct(1) DSB 信號sDSB(t)=m(t) sinwct該信號波形以及通過包絡(luò)檢波器的輸出 e(t)波形略。(2) AM 信號sAM(t)=m0+m(t) sinwct,且有 m0m(t)max.該信號波形以及通過包絡(luò)檢波器的輸出 e(t)波形略。4-3 已知調(diào)制信號 m(t)=cos (2000t)+cos (4000t),載波為 cos104t,進(jìn)行單邊帶調(diào)制，是確 定該單邊帶信號的表達(dá)式，并畫出頻譜圖。解根據(jù)單邊帶信號的時域表達(dá)式，可確定上邊代信號sUSB(t)=1/2m(t) coswct 1/2m (t )sinwc=1/2cos (2000t)+cos (4000t)c

36、os104t-1/2sin (2000t)+sin(4000t) sin104t=1/4cos12000t+ cos8000t+ cos14000t+ cos6000t- 1/4cos8000t-cos12000t+ cos6000t-cos14000t=1/2 cos12000t+1/2 cos14000tsUSB(w)= /2(w+14000)+(w+12000)+ (w-12000)+(w-14000)同理，下邊帶信號為sLSB(t)=1/2m(t) coswct +1/2m (t )sinwc=1/2cos (2000t)+cos (4000t)cos104t+1/2sin (2000

37、t)+sin(4000t) sin104t=1/2cos8000t+ cos6000tsLSB(w)= /2(w+8000)+(w+6000)+ (w-8000)+(w-6000) 兩種單邊帶信號的頻譜圖略。4-4將調(diào)幅波通過殘留邊帶濾波器產(chǎn)生殘留邊帶信號。若此濾波器的傳輸函數(shù) H(w) 如圖 4-18 所示(斜線段為直線)。當(dāng)調(diào)制信號為 m(t)=Asin (100t)+sin(6000t) 時，試確定所得殘留邊帶信號的表示式。解設(shè)調(diào)幅波 sAM(t)=m0+m(t)C coswct, 其中 m0m(t)max=A,同時根據(jù)殘留邊帶 濾波器在載波 fc 處具有互補(bǔ)對稱特性，可以得出載頻 fc

38、=10KHz。因此sAM(t)= m0+A(sin (100t)+sin(6000t) cos 20000t= m0cos20000t+ A/2sin20 100t- sin19 900t +sin26 000t+ sin14000t)sAM(w)= m0(w +20 000)+(w -20 000)+jA/2+(w+20 000)-(w-20 000)-(w+19 900)+(w-19 900)+(w+26 000)- (w-26 000)- (w+14 000)+(w-14 000) 同時，根據(jù)圖 4-18 可得w=20 000(f=10kHz)時，H(w)=0.5 w=20 100(f=

39、10.05kHz)時，H(w)=0.55 w=19 900(f=9.95kHz)時，H(w)=0.45 w=26 000(f=13kHz)時，H(w)=1 w=14 000(f=7kHz)時，H(w)=0 所以，殘留邊帶信號頻譜sVSB(w)= sAM(w)H(w)= m0/2(w +20 000)+(w -20 000)+jA/2+0.55(w+20100)-0.55(w-20 100)-0.45(w+19 900)+0.45(w-19 900)+(w+26 000)- (w-26 000)sVSB(t)= F-1sVSB(w)= m0/2 cos 20000t+ A/2(0.55 sin2

40、0100t 0.45sin19 900t+sin26 000t)4-5 某調(diào)制方框圖如圖 4-19(b)所示。已知 m(t)的頻譜如圖 4-19(a)，載頻 w1wH,且理 想低通濾波器的截止頻率為 w1，時求輸出信號 s(t),并說 s(t)為何種已調(diào)信號 。解 設(shè) m(t)與 cos w1t 相乘后的輸出為 s1(t)，則 s1(t)是一個 DSB 信號，其頻譜如圖 4-20(a) 所 示。s1(t)再經(jīng)過截止頻率為 w1 的理想低通濾波器，所得輸出信號 s1(t)顯然是一 個下邊帶信號，其頻譜略時域表達(dá)式則為s1(t)=1/2m(t) cos w1t+1/2 m (t )sin w1t同

41、理，m(t)與 sin w1t 相乘后的輸出 s2(t) 再經(jīng)過理想低通濾波器之后，得到輸出信號 s2(t)也是一個下邊帶信號，其時域表示式為s2(t)=1/2m(t) sin w1t+1/2 m (t ) cosw1t因此，調(diào)治器最終的輸出信號s(t)= 1/2m(t) cos w1t+1/2 m (t )sin w1t cosw2t+1/2m(t) sin w1t+1/2 m (t ) cosw1t sin w2t=1/2m(t) cosw1t cosw2t- sin w1t sin w2t+ 1/2 m (t ) sin w1t cosw2t- cosw1t sin w2t= 1/2m(

42、t)cos(w2- w1)t-1/2 m (t )sin(w2- w1)t顯然，s(t)是一個載波角頻率為(w2- w1)的上邊帶信號。4-6 某調(diào)制系統(tǒng)如圖 4-21 所示。 為了在輸出端同時分別得到 f1(t) 和 f2(t)，試確定接收端的c1(t)和 c2(t) 。解設(shè)發(fā)送端合成以后的發(fā)送信號 f (t)= f1(t) cosw0t+ f2(t) sin w0t。根據(jù)圖 4-21 的處理框圖， 接受端采用的是相干解調(diào)，若假設(shè)相干載波為 cosw0t，則解調(diào)后的輸出f0(t)= f (t)cosw0tLPF=f1(t) cosw0t+ f2(t) sin w0t cosw0tLPF=1/

43、2f1(t)+1/2 f1(t) cos2w0t+ 1/2f2(t) sin 2w0tLPF=1/2 f1(t)這時可以得到 f1(t)。同理。假設(shè)接收端的相干載波為 sin w0t，則解調(diào)后的輸出f0(t)= f (t)sinw0tLPF=f1(t) cosw0t+ f2(t) sin w0t sinw0tLPF=1/2f1(t)+1/2 f1(t) sin 2w0t- 1/2f2(t) cos 2w0tLPF=1/2 f2(t)這時可以得到 f2(t)。綜上所述，可以確定 c1(t)= cosw0t, c2(t)= sinw0t.4-7 設(shè)某信道具有均勻的雙邊噪聲功率譜密度 Pn(f)=0

44、.510-3W/Hz,在該信道中傳輸抑制載 波的雙邊帶信號，并設(shè)調(diào)制信號 m(t)的頻帶限制在 5KHz,而載波為 100 KHz，已調(diào) 信號的功率為 10Kw。若接收機(jī)的輸入信號在加至解調(diào)器之前，先經(jīng)過一理想帶通 濾波器濾波，試問：(1)該理想帶通濾波器應(yīng)具有怎樣的傳輸特性 H(w)? (2)解調(diào)器輸入端的信噪功率比為多少？(3)解調(diào)器輸出端的信噪功率比為多少？(4)求解調(diào)器輸出端的噪聲功率譜密度，并用圖形表示出來。 解 (1) 該理想帶通濾波器是用于濾除帶外噪聲，并保證已調(diào)信號順利通過。由于已調(diào)信號的中心頻率為載頻 100 KHz，帶寬則是 m(t)帶寬的兩倍， 即 B=25 KHz=10

45、 KHz,為保證信號順利通過，理想帶通濾波器具有如下傳輸特性：K ,95kHz fH (w) 0, 其它其中，K 為常數(shù)。 105kHz(2)解調(diào)器輸入端的噪聲是經(jīng)過理想帶通濾波器后的高斯窄帶噪聲，其帶寬為 B，因此輸入 端的噪聲功率Ni=2Pn(f)B=20.510-310103=10W已知輸入信號功率 Si=10Kw,故有10 10 3Si/ Ni=10=1000(3)由于雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)的調(diào)制制度增益 G=2,因此，解調(diào)器輸出端的信噪比SiSO/ NO=2=2000Ni(4)相干解調(diào)時，解調(diào)器的輸出噪聲 n0(t)=1/2 nc(t),其中 nc(t)是解調(diào)器輸入端高斯窄帶噪聲的同向分量，

46、其功率譜密度ncP ( f ) 2Pn( f ) 103 W / Hz, f B 5kHz20, 其它(5)因此輸出噪聲 n0(t)的功率譜密度為Pno ( f ) 10.25 10 3 W / Hz, fPnc ( f ) 40, 其它 5kHz4-8 若對某一信號用 DSB 進(jìn)行傳輸，設(shè)加至接收機(jī)的調(diào)制信號 m(t)之功率譜密度為 nmmP ( f ) 2 0, ff, f f m f m f m試求：(1)接收機(jī)的輸入信號功率；(2)接收機(jī)的輸出信號功率；(3)若疊加于 DSB 信號的白噪聲具有雙邊帶功率譜密度為 n0/2,設(shè)解調(diào)器的輸出端接有截止頻率為 fm 的理想低通濾波器，那么，輸

47、出信噪 功率比是多少？解(1)設(shè) DSB 已調(diào)信號 sDSB(t)=m(t) coswct,則接收機(jī)的輸入信號功率S s 2(t ) 1 m 2 (t ) 1P ( f )dfiDSB22 m 1 2 f m nm f df202f m nm f m4(2)相干解調(diào)之后，接收機(jī)的輸出信號 m0(t)=1/2 m(t)，因此，輸出信號功率0S m 2 0(t ) 1 m 2 (t ) 4nm f m8(3)解調(diào)器的輸入噪聲功率為Ni= n0B=2 n0fm 對于相干解調(diào)方式，解調(diào)器輸出噪聲功率 NO= 1/4 Ni =n0fm/2因此，輸出信噪功率比SO/ NO= (nmfm/8)/( n0fm

48、/2)= nm 4n04-9 設(shè)某信道具有均勻的雙邊噪聲功率譜密度 Pn(f)=0.510-3W/Hz,在該信道中傳輸抑制載波 的單邊帶（上邊帶）信號，并設(shè)調(diào)制信號 m(t)的頻帶限制在 5KHz,而載波為 100 KHz， 已調(diào)信號的功率為 10Kw。若接收機(jī)的輸入信號在加至解調(diào)器之前，先經(jīng)過一理想 帶通濾波器濾波，試問：(1)該理想帶通濾波器應(yīng)具有怎樣的傳輸特性 H(w)? (2)解調(diào)器輸入端的信噪功率比為多少？ (3)解調(diào)器輸出端的信噪功率比為多少？解 (1) 單邊帶信號的載頻 100 KHz，帶寬 B=5 KHz。為保證信號順利通過，理想帶通濾波 器具有如下傳輸特性：K ,100kHz

49、 fH (w) 0, 其它 105kHz(2)解調(diào)器輸入端的噪聲與已調(diào)信號的帶寬相同，Ni=2Pn(f)B=20.510-35103=5W同時已知輸入信號功率 Si=10Kw,故有Si/ Ni=10103/5=2000(6)由于單邊帶調(diào)制系統(tǒng)的調(diào)制制度增益 G=1,因此，解調(diào)器輸出端的信噪比SO/ NO=Si/ Ni=20004-10 某線性調(diào)制系統(tǒng)的輸出信噪比為 20dB,輸出噪聲功率為 10-9W,由發(fā)射機(jī)輸出端到解調(diào) 器輸入之間總的傳輸損耗為 100 dB,試求:(1)DSB/SC 時的發(fā)射機(jī)輸出功率；(2)SSB/SC 時的發(fā)射機(jī)輸出功率.解(1)在 DSB/SC 方式中，調(diào)制制度增益

50、 G=2，因此解調(diào)器輸入信噪比Si/ Ni=1/2SO/ NO=1/21010/20=50同時，在相干解調(diào)時， Ni=4 NO=410-9 W 因此解調(diào)器輸入端的信號功率 Si=50 Ni=210-7 W考慮到發(fā)射機(jī)輸出端到解調(diào)器輸入之間傳輸損耗為 100 dB,可得發(fā)射機(jī)輸出功率SO=10100/10Si =2103 W(2) 在 SSB/SC 方式中，調(diào)制制度增益 G=1， Si/ Ni=SO/ NO=100 同時，在相干解調(diào)時，Ni=4 NO=410-9 W 因此解調(diào)器輸入端的信號功率 Si=100 Ni=410-7 W考慮到發(fā)射機(jī)輸出端到解調(diào)器輸入之間傳輸損耗為 100 dB,可得發(fā)射

51、機(jī)輸出功率SO=10100/10Si =4103 W4-11 設(shè)調(diào)制信號 m(t)的功率普密度與題 4-8 相同，若用 SSB 調(diào)制方式進(jìn)行傳輸(忽 略信道的影響)，試求：(1)接收機(jī)的收入信號功率；(2)接收機(jī)的輸出信號功率；(3)若疊加于 SSB 信號的白噪聲具有雙邊帶功率譜密度為 n0/2,設(shè)解調(diào)器的輸出端接有截止頻率為 fm 的理想低通濾波器，那么，輸出信噪 功率比是多少？(4)該系統(tǒng)的調(diào)制制度增益 G 為多少？ 解(1)設(shè) SSB 已調(diào)信號 sSSB(t)=1/2m(t) coswct1/2 m (t)sinwct,則接收機(jī)的輸入信號功率iS 1 m2 (t ) 1 2f m nm

52、f df4 nm fm8402fm(2)相干解調(diào)之后，接收機(jī)的輸出信號 m0(t)=1/4 m(t)，因此，輸出信號功率S o m2 0 (t ) 1 m 216(t ) nm f m32(3)對于相干解調(diào)方式，解調(diào)器輸出噪聲功率NO= 1/4 Ni =n0fm/4因此，輸出信噪功率比SO/ NO= (nmfm/32)/( n0fm/4)=f m8n0(4)由以上分析可得，SO=1/4 Si，NO= 1/4 Ni，該系統(tǒng)的 調(diào)制制度增益G=(SO/ NO)/(Si/ Ni)=14-12 試證明：當(dāng) AM 信號采用同步檢測法進(jìn)行解調(diào)時，其制度增益 G 與大信噪比 情況下 AM 采用包絡(luò)檢波解調(diào)時

53、的制度增益 G 的結(jié)果相同。證明設(shè)解調(diào)器輸入 AM 信號 sAM(t)為 sAM(t)=A+m(t)coswct 式中，Am(t)max,輸入噪聲 ni(t)為 ni(t)= nc(t) coswct-ns(t) sinwct顯然，解調(diào)器輸入的信號功率 Si 和噪聲功率 Ni 分別為Ss 2tA2m 2(t )i AM ( ) 222N i ni (t ) n0 B設(shè)同步檢測時的相干載波為 coswct，則解調(diào)器的輸出 s0(t)應(yīng)為s0(t)= sAM(t)+ ni(t) coswctLPF=A+m(t)coswct coswct+ nc(t) coswct-ns(t) sinwctLPF=

54、A/2+m(t)/2 + nc(t)/2其中有用信號為 m(t)/2，噪聲分量為 nc(t)/2，直流分量 A/2 可以除去，因此輸出信號功率 s0和 NO 分別為S 1 m 2 (t )04N o 12 (t ) 1 Nn4 c4i所以，在采用同步檢測法進(jìn)行解調(diào)時，AM 信號的調(diào)制制度增益SON2m 2 (t )G O SiA2 m 2 (t )N i4-13 設(shè)某信道具有均勻的雙邊噪聲功率普密度 Pn(f)= 0.510-3 W/Hz,在該信道中 傳輸振幅信號，并設(shè)調(diào)制信號 m(t)的頻帶限制于 5KHZ,載頻是 100khz,邊帶功率為 10kw,載 波功率為 40kw。若接收機(jī)的輸入信

55、號先經(jīng)過一個合適的理想帶通濾波器，然后在加至包絡(luò) 檢波器進(jìn)行解調(diào)。試求：(1)解調(diào)器輸入端的信噪功率比； (2)解調(diào)器輸出端的信噪功率比； (3)制度增益 G.。解(1)設(shè)振幅調(diào)制信號 sAM(t)=A+m(t)coswct，則已調(diào)信號功率Si 2Am 2 (t )2222 Pc Ps根據(jù)題意可知， P A 40kW , P m (t ) 10kW ,因此c2s2Si=Pc+ Ps =40+10=50kW另外，輸入端的噪聲功率Ni=2Pn(f)B=20.510-351032=10W故有輸入信噪比Si/ Ni=50103/10=5000(2)在大信噪比，即 A+m(t)ni(t)時，包絡(luò)檢波器的

56、輸出為e(t)= A+m(t)+nc(t)其中 m(t)為有用信號， nc(t)為噪聲分量。故有0S m 2 (t ) 2 10kW2N o nc(t) N i 10W因此輸出信噪比SO/ NO=20103/10=2000(3) 根據(jù)(1)(2)結(jié)果 ，可得G=(SO/ NO)/(Si/ Ni)=2000/5000=2/54-14 設(shè)被接受的調(diào)幅信號為 sm(t)=A1+m(t)coswct,采用包絡(luò)檢波法解調(diào)，其中 m(t) 的功率普密度與題 4-8 相同。若一雙邊功率普密度為 n0/2 的噪聲疊加于已調(diào)信號，試求解調(diào) 器輸出的信噪功率比。解在大信噪比，即 A+m(t)ni(t)時，包絡(luò)檢波

57、器的輸出為e(t)= A+m(t)+nc(t)其中 m(t)為有用信號， nc(t)為噪聲分量。故有f m nfS m 2 (t ) 2 m df0 nm f m2202f m2N o nc(t ) ni (t ) n0 B 2n0 f m因此解調(diào)器輸出信噪比SO/ NO=(nmfm/2)/( 2n0fm)= nm 4no4-15 試證明：若在殘留邊帶信號中加入大的載波，則可用包絡(luò)檢波法實現(xiàn)解調(diào)。證明設(shè)調(diào)制信號為 f(t),殘留邊帶濾波器特性為 h(t)H(w),則殘留邊帶信號 sVSB(t)為sVSB(t)= f(t) coswcth(t) f (t )coswc (t )h( )d f (

58、t )coswc tcoswc sinwc tsinwc h( )d coswc t f (t )h( )coswcd sinwc t f (t )h( )sinwcd 其中 hc(t)= f (t ) hc (t )coswc t,hs (t) h(t)sinwc th(t) coswct，hs(t)= h(t) sinwct設(shè) f(t)的截止頻率為 wH， 根據(jù)殘留邊帶濾波器特性 H(w+wc)+ H(w-wc)=C,wwH 可得f(t) hc(t) F(w) H(w+wc)+ H(w-wc)= CF(w)即 f(t) hc(t)= C f(t)，(C 為常數(shù))架設(shè)在殘留邊帶信號中加入一個

59、大載波，s(t)= sVSB(t)+Acoswct=cf(t)+A coswct+ f(t) hs(t) sinwcts其中包絡(luò) v(t)=cf (t ) A2 f (t ) h (t )2 cf (t ) A去直流,即可從包絡(luò)信號中恢復(fù)出原始的基帶信號 f(t).4-16設(shè)一寬帶信號頻率調(diào)制系統(tǒng)，載波振幅為 100V,頻率為 100MHz，調(diào)制信號 m(t)的頻帶限制于 5kHz，m 2 (t )=5000V2，kf=500Hz/V,最大頻偏f=75 kHz ,并設(shè)信道中噪聲功率譜密度是均勻的，其 Pn(f)=10-3W/Hz(單邊譜),試求：(2)短接收機(jī)輸入端理想帶通濾波器的傳輸特性 H

60、(w); (3)解調(diào)器輸入端的信噪功率比；(4)解調(diào)器輸出端的信噪功率比；(5)若 m(t)以調(diào)振幅方法傳輸。并以包絡(luò)檢波器檢波，試比較在輸出信噪比和所需 帶寬方面與頻率調(diào)制系統(tǒng)有何不同？解(1)接收機(jī)輸入端的帶通濾波器應(yīng)該能讓已調(diào)信號完全通過，并最大限度地濾除帶 外噪聲。根據(jù)題意可知mf=f/fm=75/5=15品帶信號帶寬B=2(mf+1) fm=2（15+1）5=160信號所處頻率范圍為 100MHz0.16 kHz /2 MHz。因此，理想帶通濾波器的傳 輸特性應(yīng)為K ,99.92MHz fH (w) 0, 其它其中 K 為常數(shù)。(2)設(shè)解調(diào)器輸入端的信號為t 100.08MHzsFM