第四章 正 態(tài) 分 布 體育統(tǒng)計(jì)學(xué)(共16頁(yè))

1、PAGE PAGE 17第四章 正 態(tài) 分 布如果(rgu)將第二章中的（表2 1）中的數(shù)據(jù)繪制成直方圖，把每個(gè)方條頂部中點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)圖形，它稱為(chn wi)頻數(shù)多邊形。（圖4 1）當(dāng)分組數(shù)很多，組距很小時(shí)，頻數(shù)(pn sh)多邊形就趨于類似（圖4 2）所示的平滑的曲線。這種曲線呈現(xiàn)出兩側(cè)近似對(duì)稱的鐘形。隨機(jī)變量的類似這種分布，在自然界是相當(dāng)普遍的其中最有代表性的是正態(tài)分布。下面就來(lái)介紹正態(tài)分布及其在體育中的幾個(gè)應(yīng)用。 圖4 1 頻數(shù)多邊形圖第一節(jié) 正態(tài)分布曲線的形式如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 y =e（） （4 1）則稱隨機(jī)變量(su j bin lin)X是服從正態(tài)分布的

2、由上式繪出的圖形叫做正態(tài)曲線。（圖4 2）X的變動(dòng)(bindng)范圍在 至 + 間。 圖4 2 正態(tài)分布曲線(qxin)正態(tài)分布曲線中有兩個(gè)參數(shù)：均值 及方差 。為了應(yīng)用方便，對(duì)式（4 1）中的隨機(jī)變量經(jīng)過(guò)一個(gè)稱為標(biāo)準(zhǔn)化的變換，即令u來(lái)代替原式中的 ， 尋這時(shí)的隨機(jī)變量u的概率密度函數(shù)成為： y = e （4 2）按照（4 2）式繪出的圖形，稱作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。（圖4 3） 圖4 3 標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)正態(tài)分布曲線第二節(jié) 正態(tài)分布曲線(qxin)的特征正態(tài)分布曲線有許多特點(diǎn)，它們(t men)對(duì)實(shí)際工作有很大的幫助。它的主要特點(diǎn)有以下幾個(gè)方面：一，正態(tài)分布的形式是對(duì)稱的（但對(duì)稱的分布不一定是

3、正態(tài)分布）。在正態(tài)分布中均值與中位數(shù)相重合。二，從中央最高點(diǎn)逐漸向兩側(cè)降低，降低的速度是先慢后快，以后又再次減慢，最后接近橫軸，但終究不能與橫軸相交。三，從中央向兩側(cè)逐漸下降，它的方向是先向內(nèi)彎，達(dá)到離均值左右各一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)又改向外彎，是以 的點(diǎn)為曲線從內(nèi)彎轉(zhuǎn)向外彎的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即正態(tài)曲線中標(biāo)準(zhǔn)差與曲線有固定的關(guān)系。四，因?yàn)檎龖B(tài)曲線是對(duì)稱的，在曲線下不僅平均數(shù)的兩側(cè)面積相等，各相當(dāng)距離間的面積相等，而且各相當(dāng)距離間的曲線高度也相等，正態(tài)曲線下（與橫軸間）的總面積為1. 00。五，正態(tài)曲線可以有不同形式，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可以不相同，均值不同表明曲線在橫軸上所處位置不同，標(biāo)準(zhǔn)差不同表明曲線的形態(tài)不同

4、。標(biāo)準(zhǔn)差小則曲線高、且窄；標(biāo)準(zhǔn)差大則曲線低、且寬。（圖4 4）由式（4 1）和（4 2）知，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的 = 0， = 1，即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線是關(guān)于縱軸對(duì)稱；它在 = 0時(shí)，有最大值，它近似等于0. 4，如（圖4 3）所示。 圖4 4 三種不同(b tn)形式的正態(tài)分布曲線第三節(jié) 正態(tài)分布表從某市17歲男生中隨機(jī)抽出205人測(cè)量身高，由這個(gè)(zh ge)樣本計(jì)算得到 = 168. 40厘米(l m)，S = 6. 13厘米。假定該市17歲男生身高服從正態(tài)分布，試估計(jì)身高在16. 40 172. 40厘米之間的人數(shù)。求解這類問(wèn)題的一般方法是：求從正態(tài)總體中隨機(jī)選取一個(gè)個(gè)體的測(cè)量值落在區(qū)間（a, b

5、）上的概率。這個(gè)概率在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下就是曲線、X軸、直線X = a 和X b 所圍成的面積。（圖4 5）當(dāng)概率P求得后，要求的人數(shù)約等于總?cè)藬?shù)乘以P值。圖4 5 隨機(jī)變量(su j bin lin)X在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率(gil)示意圖表的左邊第1 列這橫軸上的位置，它是指橫軸上某一點(diǎn)與平均值的距離，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位(dnwi)來(lái)表示，通常記為u，即 u = （4 3）表上邊的第1 行為u值的第2位小數(shù)。表的主體部分是各u值與均數(shù)（u = 0）之間所對(duì)應(yīng)的單側(cè)面積（或概率）。一、知U值求對(duì)應(yīng)的面積例 4 1求u 值為 1 至 +2 之間對(duì)應(yīng)的面積。解：由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線是關(guān)于x = u對(duì)稱

6、的均數(shù)處的u值為零，所以u(píng)值在 1至0這間對(duì)應(yīng)的面積與它在 0 至 +1 之間的對(duì)應(yīng)面積相等。查書(shū)后附表1得u值在1至0的對(duì)應(yīng)面積是34. 13%；u值在0至 +2 之間的面積是47. 72%。前者在均值的左邊，后者在均值的右邊，因此這兩塊面積之和便是所求面積。（圖4 6）即：34. 13% + 47. 72% = 81. 85%圖46 例 4 2 本節(jié)開(kāi)始提出的問(wèn)題，即試估計(jì)(gj)身高在 160. 40 172. 40厘米(l m)之間的人數(shù)。解：首先(shuxin)要求出身高為160. 40厘米和172. 40厘米的u值，按式（4 3）有（當(dāng) u 和 未知時(shí)，可用 和S近似代替）：u1

7、= = 1. 31u2 = = 0. 65查書(shū)后附表1 求 u1、u2 所對(duì)應(yīng)的面積。u1 = 1. 31 所對(duì)應(yīng)的面積是40. 49%，u2 = 0. 65所對(duì)應(yīng)的面積是24. 22%。u值1. 31至0. 65所對(duì)應(yīng)的面積為40. 49% + 24. 22% = 64. 71%，見(jiàn)（圖4 7）所示，于是身高在 160. 40 172. 40厘米之間的人數(shù)約為 20564. 71% 133（人）。圖47 估計(jì)(gj)身高在160. 40172. 40厘米(l m)間的人數(shù)百分?jǐn)?shù)二、已知面積(min j)求對(duì)應(yīng)的U值例 4 3 試求從 +1 向右到什么位置對(duì)應(yīng)的面積為14. 15%？解：設(shè)從

8、+1 向右到 +k 對(duì)應(yīng)的面積為14. 15%。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知+1對(duì)應(yīng)的面積是34. 13%。 24. 13%+14. 15% = 48. 28%，就是u值從0 到 +k 之間對(duì)應(yīng)的面積。查書(shū)后附表1和K = 2. 11，即從 +1 向右到 +2. 11 之間對(duì)應(yīng)的面積為14. 15%。（圖4 8）從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中，可以找出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面的分布規(guī)律。在下表中列出的五個(gè)分布位置與其對(duì)應(yīng)的概率是統(tǒng)計(jì)中電子學(xué)用到的，應(yīng)該熟記。圖4 8 從 +1 +2. 11對(duì)應(yīng)(duyng)的面積表4 1 正態(tài)曲線下的概率分布u 該范圍具有(jyu)的概率1 68. 26%1. 96 95. 00%2 95

9、. 44%2. 58 99. 00%3 99. 73%第四節(jié) 統(tǒng)計(jì)資料的正態(tài)性檢驗(yàn)(jinyn)正態(tài)分布的理論適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料。對(duì)樣本要想用正態(tài)分布理論進(jìn)行分析，首先要檢驗(yàn)樣本是否為正態(tài)分布。檢驗(yàn)的方法有多種，簡(jiǎn)單而實(shí)用的方法是“概率格紙繪圖法”。這種方法使用的概率紙是正態(tài)概率紙，它的橫軸是普通的刻度，縱軸是按正態(tài)分布的規(guī)律刻劃的。使用時(shí)，先根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求出累計(jì)頻率，然后根據(jù)累計(jì)頻率和組限，將其點(diǎn)繪在正態(tài)概率紙上，如果樣本資料是呈正態(tài)分布的則所有點(diǎn)幾乎在一條直線上。例 4 4 廣州市某中學(xué)初中生800米跑的抽樣測(cè)驗(yàn)成績(jī)(chngj)的累計(jì)頻率如下表所示，試檢驗(yàn)該資料是否近似正態(tài)分

10、布？組 限 頻 數(shù) 累計(jì)(li j)頻數(shù) 累計(jì)(li j)頻率（%） 1 1 0. 8 6 7 5. 6 15 22 17. 6 20 42 33. 6 27 69 55. 2 25 94 75. 2 21 115 92. 0 6 121 96. 8 2 123 98. 4 2 125 100. 0由樣本計(jì)算得：= ， S = 然后根據(jù)每組的下限值和相應(yīng)的累計(jì)頻率，將它們分別標(biāo)在圖上。根據(jù)點(diǎn)的分布趨勢(shì)畫(huà)一直線，觀察這些點(diǎn)的分布是否接近一條直線。在畫(huà)直線時(shí)應(yīng)以靠近中部的點(diǎn)為主，兩端的點(diǎn)為輔，因?yàn)橹胁康狞c(diǎn)的組頻數(shù)大，所以占比重也大。由（圖4 9）可見(jiàn)，所有的點(diǎn)幾乎都在一條直線上，故該樣本資料接近于

11、正態(tài)分布。 圖 49 當(dāng)樣本資料(zlio)符合正態(tài)分布時(shí)，籍助正態(tài)概率紙做圖，還可以對(duì) 和 作出近似地估計(jì)(gj)。從正態(tài)分布理論知道累積頻率為50% 的位置(wi zhi)應(yīng)在中點(diǎn)，即接近均數(shù)位置。從縱軸50% 的位置畫(huà)橫線與鈄線交于a 點(diǎn)，由不得a 點(diǎn)向橫軸做垂線交于 點(diǎn)，其值為 ，即為估計(jì)均數(shù)，它與計(jì)算值 僅相差 。又知均數(shù)減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差位置的面積為34. 13%，故在縱軸上的應(yīng)是50%34. 13% = 15. 87%（b點(diǎn)），以此劃?rùn)M線交于鈄線上c 點(diǎn)，向橫燦做垂線交于 處，此點(diǎn)距均數(shù)的長(zhǎng)度應(yīng)為，故估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的值為： 。計(jì)算值為 ，僅相差 。只要圖做得準(zhǔn)確，這些估計(jì)值也還是比較精確的

12、。第五節(jié) 可疑(ky)數(shù)據(jù)的舍取在實(shí)際工作中，往往能夠發(fā)現(xiàn)樣本資料中具有個(gè)別突出的數(shù)值（特大或特小的數(shù)值）。按樣本數(shù)據(jù)系列大小順序來(lái)看，發(fā)現(xiàn)這些(zhxi)突出的數(shù)值和其他數(shù)值之間有明顯脫節(jié)現(xiàn)象。這種現(xiàn)象使人們懷疑這些特別數(shù)值是否屬于研究的總體，于是把這些數(shù)據(jù)稱為可疑數(shù)據(jù)。人們把來(lái)自非同一總體的極端值，稱為異常數(shù)據(jù)。樣本中的異常數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)及時(shí)剔除，否則會(huì)影響樣本均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量及計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。如何判斷可疑數(shù)據(jù)是否為異常數(shù)據(jù)，方法不少，下面介紹適用于正態(tài)分布，且數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不多時(shí)，比較常用而有效的戈羅伯斯（Grubbs）檢驗(yàn)法。設(shè)x1,x2,x n來(lái)自正態(tài)分布的總體，將它們(t men)按大小

13、重新排列，記為 x(1)x(2) x(n)。首先計(jì)算出可疑數(shù)據(jù)的 g n 值，其公式為：g n = （4 4）式中 表示可疑數(shù)據(jù)值，若計(jì)算得 g n 值大于（表4 2）中的臨界值 an，則認(rèn)為 是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)舍棄。若小于臨界值，則 為正常數(shù)據(jù)，應(yīng)保留。表4 2 戈羅伯斯檢驗(yàn)臨界值（an）表 = 0. 05n an n an n an n an n an 3 1. 15 12 2. 29 21 2. 58 30 2. 96 40 2. 874 1. 46 13 2. 33 22 2. 60 31 3. 03 50 2. 965 1. 67 14 2. 37 23 2. 62 32 3. 09 6

14、0 3. 036 1. 82 15 2. 41 24 2. 64 33 3. 14 70 3. 097 1. 94 16 2. 44 25 2. 64 34 3. 18 80 3. 148 2. 03 17 2. 47 26 2. 75 35 3. 21 90 3. 189 2. 11 18 2. 50 27 2. 82 36 3. 23 100 3. 2110 2. 18 19 2. 53 28 2. 87 37 3. 24 110 3. 2311 2. 23 20 2. 56 29 2. 92 38 3. 25 120 3. 24例 4 5 為了解一般高中學(xué)生跳高(tiogo)水平，由隨機(jī)

15、樣本計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量如下： n = 100人 = 1. 31米 s = 0. 09米假定這些學(xué)生(xu sheng)跳高成績(jī)的分布呈正態(tài)分布。其中有一名學(xué)生的成績(jī)是1. 65米，這個(gè)成績(jī)(chngj)超出平均水平三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以上，是個(gè)可疑數(shù)據(jù)。試檢驗(yàn)它是否為異常數(shù)據(jù)。按公式（4 4）計(jì)算g n = = 3. 78查（表4 2）n = 100對(duì)應(yīng)的an 值是3. 21，現(xiàn)計(jì)算 值是3. 78，大于臨界值，故1. 65 米是異常數(shù)據(jù)應(yīng)舍棄。據(jù)了解，該學(xué)生是少體校學(xué)生，受過(guò)專項(xiàng)訓(xùn)練，不屬于一般高中學(xué)生跳高水平研究的總體。第六節(jié) 正態(tài)分布理論在體育中的兩個(gè)應(yīng)用一、制定測(cè)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)制定測(cè)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是體育教學(xué)和訓(xùn)練中

16、的一項(xiàng)重要工作，一般是根據(jù)學(xué)生原有的基礎(chǔ)和不同階段教學(xué)目的與要求，事先(shxin)規(guī)定達(dá)到各標(biāo)準(zhǔn)的人數(shù)比例，并將這個(gè)比例數(shù)看作正態(tài)分布曲線下的面積，然后利用標(biāo)準(zhǔn)下正態(tài)分布表去推算相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)的具體成績(jī)。例4 6 某學(xué)校某年級(jí)在進(jìn)行(jnxng)跳高教學(xué)之前，從該年級(jí)隨機(jī)抽出一部分學(xué)生測(cè)驗(yàn)其跳高成績(jī)?，F(xiàn)由樣本計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量為： = 1. 40 米， S = 0. 10米學(xué)校方面根據(jù)學(xué)生在跳高上的基礎(chǔ)水平(shupng)和教學(xué)的要求，規(guī)定就目前狀況達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)比例為10%，良好的人數(shù)比例為20%，有15%的人不能及格，試用統(tǒng)計(jì)方法求出以上三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的具體成績(jī)。 圖 410 跳高測(cè)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的確定計(jì)算過(guò)程

17、如下：人數(shù)比例 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的面積 u值 標(biāo)準(zhǔn)10 % (優(yōu)) 50%10%=40% 1. 28 1. 40+1. 280. 10=1. 53（米）20 % (良) 50%10%20%=20% 0. 52 1. 40+0. 520. 10=1. 45（米） 15%(不及格) 50%15%=35% 1. 40 1. 401. 040. 10=1. 30（米） 綜上所述，優(yōu)秀(yuxi)標(biāo)準(zhǔn)的成績(jī)是1. 53米；良好(lingho)標(biāo)準(zhǔn)的成績(jī)是1. 45米；及格(j g)標(biāo)準(zhǔn)的成績(jī)是1. 30米。二、估計(jì)達(dá)標(biāo)人數(shù)以上闡述的是已知達(dá)標(biāo)人數(shù)比例，求出這一標(biāo)準(zhǔn)的具體成績(jī)，下面是敘述先定出具體的成績(jī)標(biāo)

18、準(zhǔn)，而后要求估計(jì)出達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的人數(shù)百分比。這實(shí)際上是已知u值求對(duì)應(yīng)正態(tài)分布曲線下面積的問(wèn)題。例 4 7 某學(xué)校對(duì)某年級(jí)男生的跳遠(yuǎn)教學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)作出如下規(guī)定：成績(jī)?yōu)?. 60米以上者得5分；5. 40米以上者得4分；4. 60米以上者得3分。教師從該年級(jí)男生中隨機(jī)抽出部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，得到 = 5. 00米，S = 0. 40米，試估計(jì)該年級(jí)男生得各分值的人數(shù)比例。圖 411 跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)人數(shù)(rn sh)的估計(jì)計(jì)算結(jié)果如下(rxi)：標(biāo) 準(zhǔn) u值（）面積(A)達(dá)標(biāo)人數(shù)比例分值成 績(jī)5分 5.60米以上(yshng) (5 605.00) / 0.40 =1.5 43.32% 50%43.32% = 6.7%4分 5.40米以上 (5.405.00) / 0.40 =1.0 34.13% 50%43.32%6.7% = 9.2%3分 4.60米以上 (4.605.00) / 0.40 = 1.0 34.13% 34.13%34.13% = 68.26%綜上所述，該年級(jí)男生跳遠(yuǎn)得5分的人數(shù)比例是6. 7%；得4分的人數(shù)比例是9. 2%；得3分的人數(shù)比例是68. 26%。如果用該年級(jí)男生的總?cè)藬?shù)乘以各人數(shù)比例，便可估計(jì)達(dá)到各標(biāo)準(zhǔn)的人數(shù)。習(xí) 題 四1什么是正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布？正態(tài)分布的特點(diǎn)是什么？如何使用正態(tài)分布表？2在正態(tài)分布表中，下列范圍包括的面積占總面積的百分之幾？