第六章方差分析（二）

1、第六章 方差分析(二)方差分析的基本原理單因素方差分析二因素方差分析多因素方差分析方差分析缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換第三節(jié) 二因素方差分析兩種因素共同影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一種方差分析。固定模型：兩種因素都是固定因素隨機(jī)模型：兩種因素都是隨機(jī)因素混合模型：一個(gè)是固定因素，一個(gè)是隨機(jī)因素。無重復(fù)觀察值的二因素方差分析具有重復(fù)觀察值的二因素方差分析一、無重復(fù)觀測(cè)值的二因素方差分析因素A因素B總和平均數(shù)B1B2BbA1A2Aax11x21xa1x12x22xa2x1bx2bxab總和 T平均數(shù) A因素的效應(yīng)B因素的效應(yīng)隨機(jī)誤差，獨(dú)立，正態(tài)分布無效假設(shè)：H01：A因素各個(gè)處理均值相等，即H02

2、：B因素各個(gè)處理均值相等，即數(shù)學(xué)模型1. 平方和的分解2.自由度的分解3. 方差計(jì)算：變異來源dfSSs2F期望方差E(s2)固定模型隨機(jī)模型混合模型A因素a1B因素b1誤差(a-1)(b-1)總變異ab-1方差分析表【例】 激素處理對(duì)大豆干物重的影響濃度A時(shí)間B總和平均數(shù)H1H2H3M1M2M3M4M5 1312310214123951413310441379291113.6712.333.009.673.67總和 40 43 44127平均數(shù) 8.0 8.6 8.88.47 1、各變異來源的平方和的計(jì)算： 矯正數(shù)總變異因素A的變異 因素B的變異 誤差2.自由度的計(jì)算3. 方差分析表變異來源

3、dfSSs2FA因素4289.0672.27116.56B因素21.730.871.41誤差84.940.62總變異14295.734. 多重比較（SSR檢驗(yàn)）注意：由于A因素差異顯著，所以檢驗(yàn)A因素導(dǎo)致的平均值差異，因而用B因素的組數(shù)（即A因素的樣本容量）。M2345SSR0.053.263.403.483.52SSR0.014.754.945.065.14LSR0.051.481.551.581.60LSR0.012.162.252.302.34SSR值與LSR值（dfe = 8）濃度平均數(shù)差異顯著性=0.05=0.01M1M2M4M5M313.6712.33 9.67 3.67 3.00

4、aabccAABCC 本例中對(duì)兩個(gè)因素造成的結(jié)果進(jìn)行了方差分析，在估計(jì)誤差時(shí)（組內(nèi)誤差SSe），是認(rèn)為兩個(gè)因素沒有互作，或者互作很小。 若兩因素有互作，則誤差項(xiàng)均方值較大，可能掩蓋試驗(yàn)因素的顯著性，增加犯錯(cuò)誤的可能性。 交互作用 (互作，interaction) 在多因素試驗(yàn)中，一個(gè)因素的作用要受到另一個(gè)因素的影響，表現(xiàn)為某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，這種現(xiàn)象稱為該兩因素存在交互作用。 然而，目前已學(xué)習(xí)過的手段都沒法研究交互因素，因此一般使用設(shè)置重復(fù)來正確估計(jì)實(shí)驗(yàn)誤差，研究因素間的交互作用。 二、有重復(fù)觀測(cè)值的二因素方差分析因素A因素B總和平均數(shù)B1B2BbA1X111X11

5、nX121X12nX1b1X1bnAa Xa11Xa1nXa21Xa2nXab1Xabn總和 T平均數(shù)A因素的效應(yīng)B因素的效應(yīng)隨機(jī)誤差，獨(dú)立，正態(tài)分布A、B的交互作用線性數(shù)學(xué)模型：1. 總變異 自由度 平方和 2. A因素引起的變異 自由度 平方和3. B因素引起的變異自由度平方和4. A、B因素的交互作用引起的變異自由度平方和5. 隨機(jī)誤差引起的變異自由度平方和變異來源dfSSs2A因素a1B因素b1AB(a-1)(b-1)誤差ab(n1)總變異abn1方差分析表變異來源固定模型隨機(jī)模型混合模型 (A固定，B隨機(jī))F期望方差F期望方差F期望方差因素A因素BAB誤差光照(A)溫度(B)25攝氏

6、度30攝氏度35攝氏度5h/d143138120107101100 80 83 89 93101 7610h/d 96103 78 91 79 61 83 59 80 76 61 6715h/d 79 83 96 98 60 71 78 64 67 58 71 83【例】研究昆蟲滯育期長(zhǎng)短與環(huán)境的關(guān)系都減去80光照（A）標(biāo)本號(hào)溫度（B）2530355h/d1234635840272120 0 3 91321 -4271188443910h/d12341623 -211 -1-19 3-21 0 -4-19-13-2648-38-3615h/d1234 -1 31618-20 -9 -2-16-

7、13-22 -9 3-5236-47-41272-41-38T=1931、自由度與平方和的分解a=3 , b=3 , n=4總變異：A因素變異B因素變異A、B因素交互作用的變異誤差變異（亞組內(nèi)變異）2、方差分析與F 測(cè)驗(yàn)變異來源 df SS s2 F F0.05 F0.01 光照間 2 5367.03 2683.52 21.94* 3.35 5.49溫度間 2 5391.06 2695.53 22.03* 3.35 5.49光照溫度 4 464.94 116.24 0.95 2.73 4.11誤差 27 3303.25 122.34總變異 35 14526.31方差分析表由于兩因素均可人為控制

8、，所以是固定模型。3、多重比較（SSR）昆蟲滯育期長(zhǎng)短主要決定于光照和溫度，與二者之間的相互作用關(guān)系不大分別對(duì)光照時(shí)間和溫度進(jìn)行多重比較光照（A）間平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤溫度（B）間平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤M23SSR0.052.9053.055SSR0.013.9254.095LSR0.059.2679.745LSR0.0112.52113.063SSR值與LSR值（dfe = 27）光照（A）平均數(shù)差異顯著性=0.05=0.015h/d90aA10h/d-9bB15h/d-17bB溫度（B）平均數(shù)差異顯著性=0.05=0.012591aA35-13bB30-14bB第四節(jié) 多因素方差分析不作要求，與二因素方差分

9、析類似。實(shí)際工作中，往往需要考察三個(gè)或多個(gè)因素的效應(yīng)。這相當(dāng)于把二因素方差分析擴(kuò)展到一般情況。如在一個(gè)試驗(yàn)中，A因素有a水平，B因素有b水平，C因素有c水平等，假設(shè)每一處理都有n次重復(fù)，那么總觀測(cè)次數(shù)為abcn次。這里僅對(duì)三因素的情況進(jìn)行分析。設(shè)有一個(gè)三因素方差分析模型，各取了a、b、c個(gè)水平，每一處理有n次重復(fù)。對(duì)觀測(cè)值，其線性數(shù)學(xué)模型為：xijkl =+i +j +k + ()ij + ()ik + ()jk + ()ijk +ijkl總體平均數(shù)隨機(jī)誤差: A因素、 B因素、 C因素的效應(yīng)i 、 j、k: AB、AC、BC的交互效應(yīng)()ij 、()ik 、()jk: 三因素的交互效應(yīng)（AB

10、C）()ijkxijkl = +i +j+k + ()ij + ()ik + ()jk + ()ijk +ijkl同時(shí)應(yīng)滿足下列四個(gè)條件：實(shí)際分析時(shí)，可將三因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)列成三個(gè)二因素表（A、B因素組合，B、C因素組合，A、C因素組合），把三因素方差分析化為二因素方差分析。因此可以計(jì)算出SSA、SSB、SSC、SSAB、SSBC、SSAC?？偲椒胶涂煞纸鉃椋嚎傋杂啥鹊姆纸猓篸fT = dfA + dfB + dfC + dfAB + dfAC + dfBC + dfABC + dfe總平方和為全部試驗(yàn)觀測(cè)值的平方和，即：誤差平方和SSe顯然等于在同一處理下數(shù)據(jù)的變異平方和，即：由于胱氨酸、蛋氨酸

11、和蛋白質(zhì)都是可以控制的，所以適用于固定模型。a=4，b=3，c=2，n=2?！纠繛榱搜芯吭谏箫暳现刑砑与装彼幔ㄒ蛩谹）、蛋氨酸（因素B）和蛋白質(zhì)（因素C）對(duì)牲畜日增重（kg）的影響，設(shè)計(jì)了下面的試驗(yàn)，每一組共用兩頭牲畜作重復(fù)，結(jié)果見下表，試作方差分析。胱氨酸(A)蛋氨酸(B)蛋白(C)日增重（kg）合計(jì)0012141.111.520.971.452.082.970.02512141.091.270.991.222.082.490.0512140.851.671.211.242.062.910.05012141.301.551.001.532.303.080.02512141.031.241

12、.211.342.242.580.0512141.121.760.961.272.083.030.10012141.221.381.131.082.352.460.02512141.341.401.411.212.752.610.0512141.341.461.191.392.532.850.15012141.190.801.031.292.222.090.02512141.361.421.161.392.522.810.0512141.461.621.031.272.492.89合計(jì)31.5028.9760.47蛋氨酸(B)胱氨酸(A)00.050.100.1505.055.384.814.

13、3119.550.0254.574.825.365.3320.080.0504.975.115.385.3820.8414.5915.3115.5515.0260.47資料AB表（1）將數(shù)據(jù)分別累加：蛋白質(zhì)(C)胱氨酸(A)00.050.100.15126.226.627.637.2327.70148.378.697.927.7932.7714.5915.3115.5515.0260.47資料AC表蛋氨酸(B)蛋白質(zhì)(C)121408.9510.6019.550.0259.5910.4920.080.0509.1611.6820.8427.7032.7760.47資料BC表（2）計(jì)算平方和：2

14、.0409-1.27560.7653（）自由度的分解為:（4）結(jié)果列入方差分析表：變異來源dfSSs2FF0.05F0.01胱氨酸A30.04270.01420.4453.014.72蛋氨酸B20.05260.02630.8243.405.61蛋白質(zhì)C10.53550.535516.787*4.267.82AB60.25430.04241.3292.513.67AC30.23990.08002.5083.014.72BC20.08210.04101.2853.405.61ABC誤差6240.06850.76530.01140.03190.3572.513.67總變異47363.99檢驗(yàn)結(jié)果表明

15、，蛋白質(zhì)對(duì)豬日增重影響極其顯著，胱氨酸及蛋氨酸的影響不顯著，可能的原因是在飼料中并不缺乏這兩種氨基酸。第五節(jié) 方差分析缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)彌補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)的原則：使補(bǔ)上缺失的數(shù)據(jù)后，誤差平方和最小。注意：缺失的數(shù)據(jù)不能恢復(fù)或者代替原來的數(shù)據(jù)，只能補(bǔ)足后才能進(jìn)行方差分析，而估計(jì)的數(shù)據(jù)沒有攜帶任何新的信息，所以在試驗(yàn)過程中盡量避免這類情況發(fā)生。缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)方法B1B2B3B4B5B6B7B8合計(jì)A13039414242393838309A23746x4351443549305+xA3273736243741y43245+yA43042354046473846324總和124164112+x14917617

16、1111+y1761183+x+y例：注意：總自由度和誤差自由度都要減1（有幾個(gè)未知數(shù)，就減幾）。第六節(jié)、方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換1、處理效應(yīng)與誤差（環(huán)境）效應(yīng)是可加的；可加性是否顯著有專門的統(tǒng)計(jì)方法2、試驗(yàn)誤差是獨(dú)立的隨機(jī)變量，且是正態(tài)分布；非正態(tài)性分布的資料進(jìn)行適當(dāng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換3、所有處理的誤差方差都是同質(zhì)的。將變異特別明顯的數(shù)據(jù)剔除數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1、平方根轉(zhuǎn)換：減少服從泊松分布的數(shù)據(jù)的極端大的變量對(duì)方差的影響。即觀察樣本值差異是否很大。數(shù)據(jù)較小時(shí)采用處理A1A2A3A4A514385387717182442422613126331937715187774380315521620394.754

17、13.0085.2537.7535.25燕麥田中某種雜草的株數(shù)處理A1A2A3A4A5120.923.28.84.14.2221.020.57.85.65.1317.919.412.39.38.8419.517.77.24.04.519.820.29.05.85.6平方根變異來源dfSSs2FF0.05F0.01處理間4866.663216.66646.43*3.064.89誤差1569.9954.666總變異19936.658方差分析表數(shù)據(jù)包括有0，lg(x+1)2、對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換：資料的效應(yīng)成比例或標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)成比例，將其轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂锌杉有郧曳讲钭兂杀容^一致。對(duì)于消除極大數(shù)的作用強(qiáng)于平方根轉(zhuǎn)換。

18、時(shí)期捕蛾燈對(duì)數(shù)值119.150.1123.01.281.702.09223.4166.0407.41.372.222.61339.5223.9398.11.602.352.60423.458.9229.11.371.772.36516.664.6251.21.221.812.4019.8112.7281.81.371.972.41極差22.9173.8284.40.380.650.52捕獲昆蟲統(tǒng)計(jì)及捕獲數(shù)的對(duì)數(shù)值變異來源dfSSs2FF0.05F0.01時(shí)期間40.48760.12198.08*3.847.01捕蛾燈22.75041.375291.17*4.468.65誤差80.12000.0150總變異143.3603對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后數(shù)據(jù)的方差分析表處理的成數(shù)3、反正弦轉(zhuǎn)換：成數(shù)或百分?jǐn)?shù)、趨于二項(xiàng)分布的接近于0和100的資料方差變大，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)換，滿足方差同質(zhì)性、分布正態(tài)性。處理2h4h6h對(duì)照1858055952807