統(tǒng)計(jì)第4章方差分析

1、1第九章 方差分析analysis of variance ANOVA溫州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生學(xué)教研室 葉曉蕾 yexiaolei2（1）獨(dú)立性（independence）（2）正態(tài)性（normality）（3）方差齊性（ homogeneity）用途與應(yīng)用條件：用途兩個(gè)或多個(gè)均數(shù)的比較；分析兩個(gè)或多個(gè)研究因素的交互作用；回歸方程的線性假設(shè)檢驗(yàn)；等。應(yīng)用條件yexiaolei3一.方差分析的基本思想 例 某醫(yī)師用、和三種方案治療嬰幼兒貧血患者，治療一個(gè)月后，血紅蛋白的增加克數(shù)如下表，問三種治療方案對(duì)嬰幼兒貧血的療效是否相同？yexiaolei4yexiaolei5全部觀察值之間的變異總變異。MS總或MS

2、T各組內(nèi)部各觀察值之間的變異組內(nèi)變異。反映隨機(jī)誤差(E)大小。 MS組內(nèi)或MSe各組均數(shù)之間的變異組間變異。反映處理因素(T)和隨機(jī)誤差(E)大小。 MS組間或MSTRyexiaolei6若無處理效應(yīng)，則F1，若存在處理效應(yīng)，則F1。F值多大才有意義，要根據(jù)計(jì)算F值的分子的自由度（組間自由度1）和分母的自由度（組內(nèi)自由度 2）查F界值表作出判斷。yexiaolei7 把全部觀察值的變異按設(shè)計(jì)的要求分成幾個(gè)部分，每部分與特定的因素相聯(lián)系，其中某部分由隨機(jī)誤差造成，通過比較可能由某因素所致的變異與隨機(jī)誤差，即可了解該因素對(duì)測(cè)定結(jié)果有無作用。8在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)量F值的分布稱為F分布。F值服從

3、自由度組間=g-1， 組內(nèi)=N-g的F分布，則P，不拒絕H0；當(dāng)FP ，拒絕H0，接受H1。，則F由F界值表查出在某一水準(zhǔn)下F分布的單尾界值F，當(dāng)即FF（ 組間，組內(nèi)）。求得F值后，可通過查F界值表，即可得P值，作出統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論，故方差分析又稱F檢驗(yàn)。yexiaolei9二.完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析 單因素方差分析（one-way ANOVA)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)=成組設(shè)計(jì)=單因素設(shè)計(jì)是最常見的一種考察單因素兩水平或多水平的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。本方案是將受試對(duì)象隨機(jī)分配到實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組，通過比較分析回答研究假設(shè)的問題。yexiaolei10（一）完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料方差分析中變異的分解總變異組間變異組內(nèi)變異（MS

4、總）（MS組內(nèi)）（MS組間）yexiaolei11即觀察值Xij與總均數(shù) 的離均差平方和即各組均數(shù) 與總均數(shù) 的離均差平方和即觀察值Xij與組均數(shù) 的離均差平方和yexiaolei12（二）完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料方差分析的計(jì)算13 1. H0：1=2=g H1：1、2、g不等或不全相等 =0.05 2. 計(jì)算F值: (1)求基礎(chǔ)數(shù)據(jù) （2）求離均差平方和SS （3）求自由度 （4）列方差分析表3. 確定P，作出統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論 （二）完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料方差分析的步驟：yexiaolei14yexiaolei15求離均差平方和SS:yexiaolei16yexiaolei17本例SPSS演示18192022

5、/7/192021P.49 例4-2yexiaolei22三.隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析兩因素方差分析（two-way ANOVA)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)=配伍組設(shè)計(jì)=兩因素設(shè)計(jì)(無重復(fù)觀察)例：本方案是將受試對(duì)象按性質(zhì)(如動(dòng)物的性別、體重，病人的病情、性別、年齡等非實(shí)驗(yàn)因素)相同或相近配成區(qū)組（block)，每個(gè)區(qū)組中的g個(gè)受試對(duì)象分別隨機(jī)分配到g個(gè)處理組中去。區(qū)組因素可以是第二個(gè)處理因素，也可以是一種非處理因素。yexiaolei23實(shí) 驗(yàn) 單 位區(qū)組1區(qū)組2隨機(jī)分組g個(gè)水平隨機(jī)分組g個(gè)水平g個(gè)水平隨機(jī)分組g個(gè)水平區(qū)組ng個(gè)水平隨機(jī)分組圖27-2 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)示意圖實(shí) 驗(yàn) 單 位區(qū)組1區(qū)組2隨機(jī)分組g個(gè)

6、水平隨機(jī)分組g個(gè)水平g個(gè)水平隨機(jī)分組g個(gè)水平區(qū)組ng個(gè)水平隨機(jī)分組圖27-2 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)示意圖實(shí) 驗(yàn) 單 位區(qū)組1區(qū)組2隨機(jī)分組g個(gè)水平隨機(jī)分組g個(gè)水平g個(gè)水平隨機(jī)分組g個(gè)水平區(qū)組ng個(gè)水平隨機(jī)分組圖27-2 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)示意圖yexiaolei24（一）隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料方差分析中變異的分解yexiaolei25 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析中由于從總變異中多分離出區(qū)組間變異，排除了大鼠間因年齡、體重不同等的影響，使誤差更能反應(yīng)隨機(jī)誤差的大小，因而提高了研究的效率。yexiaolei26隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料方差分析的計(jì)算27（三）隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料方差分析的步驟： 1. H0：1=2=3 即三種方案處理后

7、大白兔血中白蛋白減少量相等。 H1：1、2、3不等或不全相等 =0.05 必要時(shí)： H0：10個(gè)區(qū)組的大白兔血中白蛋白減少量相等。 H1：10個(gè)區(qū)組的大白兔血中白蛋白減少量不全相等。 =0.05 2. 計(jì)算F值: (1) 求基礎(chǔ)數(shù)據(jù) （2）求離均差平方和SS （3）求自由度 （4）列方差分析表3. 確定P，作出統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論yexiaolei28P.53 例4-4 某研究者采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，比較三種抗癌藥物對(duì)小白鼠肉瘤抑瘤效果，先將15只染有肉瘤小白鼠按體重大小配成5個(gè)區(qū)組，每個(gè)區(qū)組內(nèi)3只小白鼠隨機(jī)接受三種抗癌藥物,以肉瘤的重量為指標(biāo)，試驗(yàn)結(jié)果見表4-9。問三種不同的藥物的抑瘤效果有無差

8、別？yexiaolei29yexiaolei30求離均差平方和SS:3132333435yexiaolei3637統(tǒng)計(jì)結(jié)論：處理組間比較：按=0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義?？烧J(rèn)為三種藥物的抑瘤效果不同或不全相同。區(qū)組間比較：按=0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。可認(rèn)為五個(gè)區(qū)組小鼠肉瘤重量不同或不全相同。yexiaolei38四.多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較（多重比較）多重比較不宜用前述的t檢驗(yàn)。q檢驗(yàn)（SNK法）用于在設(shè)計(jì)階段未預(yù)先考慮或未預(yù)料到，經(jīng)數(shù)據(jù)結(jié)果的提示后，才決定的多個(gè)均數(shù)間的比較，常見于探索性研究。2.每兩兩比較：（1）LSD法（2）Dunnett 法用于

9、在設(shè)計(jì)階段就根據(jù)研究目的或?qū)I(yè)知識(shí)而決定的某些均數(shù)間的比較，常見于事先有明確假設(shè)的證實(shí)性實(shí)驗(yàn)研究。1.共同對(duì)照組比較：yexiaolei39LSD法以=e查t界值表，作出推斷結(jié)論。yexiaolei40Dunnet法yexiaolei41q檢驗(yàn)（SNK法）a的確定：將均數(shù)從大到小排列，并編上組次1，2，3，1與2比較時(shí)，a=2；1與3比較時(shí)，a=3；2與3比較時(shí)，a=2.42One-Way ANOVA中的兩兩比較 43444546General Linear ModelUnivariate方差分析中的兩兩比較 4748495051五.變量變換方差分析的要求：任何觀察值Xij都來自等方差的正態(tài)總

10、體。若資料不附合此要求，有時(shí)可采用變量變換，使資料滿足t檢驗(yàn)或方差分析的要求方差齊性，正態(tài)分布。概念：變量變換就是將原始數(shù)據(jù)作某種函數(shù)轉(zhuǎn)換，如轉(zhuǎn)換成對(duì)數(shù)值。幾種常用的變量變換方法及用途：1.對(duì)數(shù)變換2.平方根變換3.倒數(shù)變換4.平方根反正弦變換52對(duì)數(shù)變換(logarithmic transformation)原始數(shù)據(jù)有小值或0時(shí)：根據(jù)需要還可選用：用途：方法：1.使服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)正態(tài)化。2.使各樣本標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)成正比（CV接近于某一常數(shù)）的數(shù)據(jù)達(dá)到方差齊性。53本例各樣本標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)成正比（CV接近于某一常數(shù)）54平方根變換(square root transformation)方法

11、：原始數(shù)據(jù)有小值或0時(shí)：用途：1.使服從Poisson分布計(jì)數(shù)資料或輕度偏態(tài)的資料正態(tài)化。2.使各樣本的方差與均數(shù)成正相關(guān)時(shí)的資料達(dá)到方差齊性。5556倒數(shù)變換(reciprocal transformation)方法：用途：數(shù)據(jù)兩端波動(dòng)較大的資料，可使極端值的影響減小。57平方根反正弦變換(arcsine transformation)方法：用弧度表示：用途：常用于服從二項(xiàng)分布的率或百分比的資料。一般認(rèn)為，當(dāng)總體率較?。ㄈ?0%）或較大（如70%）時(shí)，通過此變換可使資料接近正態(tài)分布，達(dá)到方差齊性的要求。用角度表示：5859前面內(nèi)容回顧1、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的ANOVA2、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的ANOVA所

12、關(guān)心的問題： 一個(gè)處理因素不同處理水平間的均數(shù)有無差異？ 以上第2個(gè)設(shè)計(jì)中，設(shè)立單位組（區(qū)組）的目的是控制混雜因素。使混雜因素在各處理水平間達(dá)到均衡，提高檢驗(yàn)效率。60五.析因設(shè)計(jì)（factorial design）的ANOVA 是將兩個(gè)或多個(gè)因素的各個(gè)水平進(jìn)行排列組合，交叉分組進(jìn)行試驗(yàn)，檢驗(yàn)各因素各水平之間的差異有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而且可以檢驗(yàn)因素間的交互作用。完全交叉分組試驗(yàn)設(shè)計(jì)優(yōu)點(diǎn)：全面均衡、高效。缺點(diǎn)：工作量大。實(shí)驗(yàn)組合數(shù)=每個(gè)因素水平數(shù)的乘積。如四因素三水平的實(shí)驗(yàn)組合數(shù)=34=81。多因素多水平的實(shí)驗(yàn)可采用正交設(shè)計(jì)(非全面實(shí)驗(yàn))。61例 A、B兩藥治療12名貧血病人，性別、年齡一致，隨機(jī)

13、分成四組，治療后一個(gè)月測(cè)得血中紅細(xì)胞增加數(shù)結(jié)果如下表，A、B兩藥的治療效果如何？兩藥是否存在交互效應(yīng)？A藥B藥用不用用2.1 2.2 2.01.3 1.2 1.1不用0.9 1.1 1.00.8 0.9 0.762析因設(shè)計(jì)資料的特點(diǎn)2個(gè)或以上（處理）因素（factor）(分類變量)， 每個(gè)因素有2個(gè)或以上水平（level）；每一組合涉及全部因素，每一因素只有一個(gè)水平參與；每一組合中至少有 2個(gè)或以上的觀察值；觀測(cè)值為定量數(shù)據(jù)（需滿足隨機(jī)、獨(dú)立、正態(tài)、等方差的ANOVA條件）。6364一、概念因子是指影響試驗(yàn)結(jié)果或觀察指標(biāo)的變量；因素的不同狀態(tài)為水平；方差分析中因素應(yīng)當(dāng)為分類變量。1.因子（因素

14、，factor）和水平(levels)：652. 單獨(dú)效應(yīng)（simple effect)：指其它因素固定在一個(gè)水平時(shí)，余下的一個(gè)因素不同水平之間均數(shù)的差別。662. 單獨(dú)效應(yīng)（simple effect)：指其它因素固定在一個(gè)水平時(shí)，余下的一個(gè)因素不同水平之間均數(shù)的差別。例：用B藥水平時(shí)，A藥的單獨(dú)效應(yīng)1.10 不用B藥水平時(shí)，A藥的單獨(dú)效應(yīng)0.40673. 主效應(yīng)（main effect)：指在某一因素各水平間的平均差別。與單獨(dú)效應(yīng)不同的是，它綜合了其它因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。每個(gè)因子對(duì)觀察指標(biāo)的作用。有幾個(gè)因子就應(yīng)該有幾個(gè)主效應(yīng)。683. 主效應(yīng)（main effect)

15、：指在某一因素各水平間的平均差別。與單獨(dú)效應(yīng)不同的是，它綜合了其它因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。每個(gè)因子對(duì)觀察指標(biāo)的作用。有幾個(gè)因子就應(yīng)該有幾個(gè)主效應(yīng)。例：A因素的主效應(yīng)：0.75。即A因素單獨(dú)效應(yīng)的平均值。694. 交互效應(yīng)（interaction)： 因素之間聯(lián)合對(duì)觀察指標(biāo)產(chǎn)生的影響。當(dāng)某因素的各單獨(dú)效應(yīng)隨另一因素變化而變化時(shí)，則稱這兩個(gè)因素間存在交互效應(yīng)。704. 交互效應(yīng)（interaction)： 因素之間聯(lián)合對(duì)觀察指標(biāo)產(chǎn)生的影響。當(dāng)某因素的各單獨(dú)效應(yīng)隨另一因素變化而變化時(shí)，則稱這兩個(gè)因素間存在交互效應(yīng)。在B藥存在時(shí)，A藥增加Hb作用為：2.1-1.0=1.1單純用A藥增

16、加Hb作用為： 1.2-0.8=0.4B藥有加強(qiáng)A藥升Hb作用為： 1.1-0.4= 0.7除以2為交互作用 71一級(jí)交互作用：兩個(gè)因子間（2-way) 的交互作用。二級(jí)交互作用：三個(gè)因子間 (3-way) 的交互作用。 析因分析中，應(yīng)先重點(diǎn)考察各因素間的交互作用，若不存在交互作用，則分析某一因素的作用只需要考察該因素的主效應(yīng)；若存在交互作用，則各因素的主效應(yīng)檢驗(yàn)結(jié)果已無實(shí)際意義，應(yīng)當(dāng)按各因素各種水平的組合來研究，即逐一分析各因素的單獨(dú)效應(yīng)。726. 隨機(jī)效應(yīng)型：該因素中各水平是由總體中隨機(jī)抽樣所得的。如要研究什么溫度下催化劑的效果最好，隨機(jī)抽取了30、40、50三個(gè)水平。5. 固定效應(yīng)型：該

17、因素中各水平是固定的。如性別因素分為男、女兩水平。73二、用途：作多因素分析。1、分析每個(gè)因素的單獨(dú)效應(yīng)和主效應(yīng)；2、考察因素之間的交互作用。22析因設(shè)計(jì)目的：分析A、B兩個(gè)因素對(duì)結(jié)果有無影響（主效應(yīng)），A與B有無交互作用。74兩因素析因設(shè)計(jì)：三、析因設(shè)計(jì)資料方差分析中變異的分解75四、兩因素析因設(shè)計(jì)方差分析變異的計(jì)算變異來源平方和（SS）自由度（）均方（MS）處理cr-1因素Ac-1SSA/A因素B r-1SSB/BABSSTR-SSA -SSB (c-1)(r-1)SSAB/AB誤差SSe=SST -SSTR cr(n-1)SSe/e總變異X2-C crn-1或N-1761.建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)：（1） 對(duì)A藥： H0：用與不用血中紅細(xì)胞增加數(shù)的總體均數(shù)相等。 H1：用與不用血中紅細(xì)胞增加數(shù)的總體均數(shù)不相等。（2） 對(duì)B藥：H0：用與不用血中紅