統(tǒng)計第4章方差分析

1、1第九章 方差分析analysis of variance ANOVA溫州醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生學(xué)教研室 葉曉蕾 yexiaolei2（1）獨立性（independence）（2）正態(tài)性（normality）（3）方差齊性（ homogeneity）用途與應(yīng)用條件：用途兩個或多個均數(shù)的比較；分析兩個或多個研究因素的交互作用；回歸方程的線性假設(shè)檢驗；等。應(yīng)用條件yexiaolei3一.方差分析的基本思想 例 某醫(yī)師用、和三種方案治療嬰幼兒貧血患者，治療一個月后，血紅蛋白的增加克數(shù)如下表，問三種治療方案對嬰幼兒貧血的療效是否相同？yexiaolei4yexiaolei5全部觀察值之間的變異總變異。MS總或MS

2、T各組內(nèi)部各觀察值之間的變異組內(nèi)變異。反映隨機誤差(E)大小。 MS組內(nèi)或MSe各組均數(shù)之間的變異組間變異。反映處理因素(T)和隨機誤差(E)大小。 MS組間或MSTRyexiaolei6若無處理效應(yīng)，則F1，若存在處理效應(yīng)，則F1。F值多大才有意義，要根據(jù)計算F值的分子的自由度（組間自由度1）和分母的自由度（組內(nèi)自由度 2）查F界值表作出判斷。yexiaolei7 把全部觀察值的變異按設(shè)計的要求分成幾個部分，每部分與特定的因素相聯(lián)系，其中某部分由隨機誤差造成，通過比較可能由某因素所致的變異與隨機誤差，即可了解該因素對測定結(jié)果有無作用。8在H0成立的情況下，統(tǒng)計量F值的分布稱為F分布。F值服從

3、自由度組間=g-1， 組內(nèi)=N-g的F分布，則P，不拒絕H0；當FP ，拒絕H0，接受H1。，則F由F界值表查出在某一水準下F分布的單尾界值F，當即FF（ 組間，組內(nèi)）。求得F值后，可通過查F界值表，即可得P值，作出統(tǒng)計推斷結(jié)論，故方差分析又稱F檢驗。yexiaolei9二.完全隨機設(shè)計的方差分析 單因素方差分析（one-way ANOVA)完全隨機設(shè)計=成組設(shè)計=單因素設(shè)計是最常見的一種考察單因素兩水平或多水平的實驗設(shè)計方法。本方案是將受試對象隨機分配到實驗組和對照組，通過比較分析回答研究假設(shè)的問題。yexiaolei10（一）完全隨機設(shè)計資料方差分析中變異的分解總變異組間變異組內(nèi)變異（MS

4、總）（MS組內(nèi)）（MS組間）yexiaolei11即觀察值Xij與總均數(shù) 的離均差平方和即各組均數(shù) 與總均數(shù) 的離均差平方和即觀察值Xij與組均數(shù) 的離均差平方和yexiaolei12（二）完全隨機設(shè)計資料方差分析的計算13 1. H0：1=2=g H1：1、2、g不等或不全相等 =0.05 2. 計算F值: (1)求基礎(chǔ)數(shù)據(jù) （2）求離均差平方和SS （3）求自由度 （4）列方差分析表3. 確定P，作出統(tǒng)計推斷結(jié)論 （二）完全隨機設(shè)計資料方差分析的步驟：yexiaolei14yexiaolei15求離均差平方和SS:yexiaolei16yexiaolei17本例SPSS演示18192022

5、/7/192021P.49 例4-2yexiaolei22三.隨機區(qū)組設(shè)計的方差分析兩因素方差分析（two-way ANOVA)隨機區(qū)組設(shè)計=配伍組設(shè)計=兩因素設(shè)計(無重復(fù)觀察)例：本方案是將受試對象按性質(zhì)(如動物的性別、體重，病人的病情、性別、年齡等非實驗因素)相同或相近配成區(qū)組（block)，每個區(qū)組中的g個受試對象分別隨機分配到g個處理組中去。區(qū)組因素可以是第二個處理因素，也可以是一種非處理因素。yexiaolei23實 驗 單 位區(qū)組1區(qū)組2隨機分組g個水平隨機分組g個水平g個水平隨機分組g個水平區(qū)組ng個水平隨機分組圖27-2 隨機區(qū)組設(shè)計示意圖實 驗 單 位區(qū)組1區(qū)組2隨機分組g個

6、水平隨機分組g個水平g個水平隨機分組g個水平區(qū)組ng個水平隨機分組圖27-2 隨機區(qū)組設(shè)計示意圖實 驗 單 位區(qū)組1區(qū)組2隨機分組g個水平隨機分組g個水平g個水平隨機分組g個水平區(qū)組ng個水平隨機分組圖27-2 隨機區(qū)組設(shè)計示意圖yexiaolei24（一）隨機區(qū)組設(shè)計資料方差分析中變異的分解yexiaolei25 隨機區(qū)組設(shè)計方差分析中由于從總變異中多分離出區(qū)組間變異，排除了大鼠間因年齡、體重不同等的影響，使誤差更能反應(yīng)隨機誤差的大小，因而提高了研究的效率。yexiaolei26隨機區(qū)組設(shè)計資料方差分析的計算27（三）隨機區(qū)組設(shè)計資料方差分析的步驟： 1. H0：1=2=3 即三種方案處理后

7、大白兔血中白蛋白減少量相等。 H1：1、2、3不等或不全相等 =0.05 必要時： H0：10個區(qū)組的大白兔血中白蛋白減少量相等。 H1：10個區(qū)組的大白兔血中白蛋白減少量不全相等。 =0.05 2. 計算F值: (1) 求基礎(chǔ)數(shù)據(jù) （2）求離均差平方和SS （3）求自由度 （4）列方差分析表3. 確定P，作出統(tǒng)計推斷結(jié)論yexiaolei28P.53 例4-4 某研究者采用隨機區(qū)組設(shè)計進行實驗，比較三種抗癌藥物對小白鼠肉瘤抑瘤效果，先將15只染有肉瘤小白鼠按體重大小配成5個區(qū)組，每個區(qū)組內(nèi)3只小白鼠隨機接受三種抗癌藥物,以肉瘤的重量為指標，試驗結(jié)果見表4-9。問三種不同的藥物的抑瘤效果有無差

8、別？yexiaolei29yexiaolei30求離均差平方和SS:3132333435yexiaolei3637統(tǒng)計結(jié)論：處理組間比較：按=0.05水準，拒絕H0，接受H1，有統(tǒng)計學(xué)意義。可認為三種藥物的抑瘤效果不同或不全相同。區(qū)組間比較：按=0.05水準，拒絕H0，接受H1，有統(tǒng)計學(xué)意義?？烧J為五個區(qū)組小鼠肉瘤重量不同或不全相同。yexiaolei38四.多個樣本均數(shù)的兩兩比較（多重比較）多重比較不宜用前述的t檢驗。q檢驗（SNK法）用于在設(shè)計階段未預(yù)先考慮或未預(yù)料到，經(jīng)數(shù)據(jù)結(jié)果的提示后，才決定的多個均數(shù)間的比較，常見于探索性研究。2.每兩兩比較：（1）LSD法（2）Dunnett 法用于

9、在設(shè)計階段就根據(jù)研究目的或?qū)I(yè)知識而決定的某些均數(shù)間的比較，常見于事先有明確假設(shè)的證實性實驗研究。1.共同對照組比較：yexiaolei39LSD法以=e查t界值表，作出推斷結(jié)論。yexiaolei40Dunnet法yexiaolei41q檢驗（SNK法）a的確定：將均數(shù)從大到小排列，并編上組次1，2，3，1與2比較時，a=2；1與3比較時，a=3；2與3比較時，a=2.42One-Way ANOVA中的兩兩比較 43444546General Linear ModelUnivariate方差分析中的兩兩比較 4748495051五.變量變換方差分析的要求：任何觀察值Xij都來自等方差的正態(tài)總

10、體。若資料不附合此要求，有時可采用變量變換，使資料滿足t檢驗或方差分析的要求方差齊性，正態(tài)分布。概念：變量變換就是將原始數(shù)據(jù)作某種函數(shù)轉(zhuǎn)換，如轉(zhuǎn)換成對數(shù)值。幾種常用的變量變換方法及用途：1.對數(shù)變換2.平方根變換3.倒數(shù)變換4.平方根反正弦變換52對數(shù)變換(logarithmic transformation)原始數(shù)據(jù)有小值或0時：根據(jù)需要還可選用：用途：方法：1.使服從對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)正態(tài)化。2.使各樣本標準差與均數(shù)成正比（CV接近于某一常數(shù)）的數(shù)據(jù)達到方差齊性。53本例各樣本標準差與均數(shù)成正比（CV接近于某一常數(shù)）54平方根變換(square root transformation)方法

11、：原始數(shù)據(jù)有小值或0時：用途：1.使服從Poisson分布計數(shù)資料或輕度偏態(tài)的資料正態(tài)化。2.使各樣本的方差與均數(shù)成正相關(guān)時的資料達到方差齊性。5556倒數(shù)變換(reciprocal transformation)方法：用途：數(shù)據(jù)兩端波動較大的資料，可使極端值的影響減小。57平方根反正弦變換(arcsine transformation)方法：用弧度表示：用途：常用于服從二項分布的率或百分比的資料。一般認為，當總體率較小（如30%）或較大（如70%）時，通過此變換可使資料接近正態(tài)分布，達到方差齊性的要求。用角度表示：5859前面內(nèi)容回顧1、完全隨機設(shè)計的ANOVA2、隨機區(qū)組設(shè)計的ANOVA所

12、關(guān)心的問題： 一個處理因素不同處理水平間的均數(shù)有無差異？ 以上第2個設(shè)計中，設(shè)立單位組（區(qū)組）的目的是控制混雜因素。使混雜因素在各處理水平間達到均衡，提高檢驗效率。60五.析因設(shè)計（factorial design）的ANOVA 是將兩個或多個因素的各個水平進行排列組合，交叉分組進行試驗，檢驗各因素各水平之間的差異有無統(tǒng)計學(xué)意義，而且可以檢驗因素間的交互作用。完全交叉分組試驗設(shè)計優(yōu)點：全面均衡、高效。缺點：工作量大。實驗組合數(shù)=每個因素水平數(shù)的乘積。如四因素三水平的實驗組合數(shù)=34=81。多因素多水平的實驗可采用正交設(shè)計(非全面實驗)。61例 A、B兩藥治療12名貧血病人，性別、年齡一致，隨機

13、分成四組，治療后一個月測得血中紅細胞增加數(shù)結(jié)果如下表，A、B兩藥的治療效果如何？兩藥是否存在交互效應(yīng)？A藥B藥用不用用2.1 2.2 2.01.3 1.2 1.1不用0.9 1.1 1.00.8 0.9 0.762析因設(shè)計資料的特點2個或以上（處理）因素（factor）(分類變量)， 每個因素有2個或以上水平（level）；每一組合涉及全部因素，每一因素只有一個水平參與；每一組合中至少有 2個或以上的觀察值；觀測值為定量數(shù)據(jù)（需滿足隨機、獨立、正態(tài)、等方差的ANOVA條件）。6364一、概念因子是指影響試驗結(jié)果或觀察指標的變量；因素的不同狀態(tài)為水平；方差分析中因素應(yīng)當為分類變量。1.因子（因素

14、，factor）和水平(levels)：652. 單獨效應(yīng)（simple effect)：指其它因素固定在一個水平時，余下的一個因素不同水平之間均數(shù)的差別。662. 單獨效應(yīng)（simple effect)：指其它因素固定在一個水平時，余下的一個因素不同水平之間均數(shù)的差別。例：用B藥水平時，A藥的單獨效應(yīng)1.10 不用B藥水平時，A藥的單獨效應(yīng)0.40673. 主效應(yīng)（main effect)：指在某一因素各水平間的平均差別。與單獨效應(yīng)不同的是，它綜合了其它因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。每個因子對觀察指標的作用。有幾個因子就應(yīng)該有幾個主效應(yīng)。683. 主效應(yīng)（main effect)

15、：指在某一因素各水平間的平均差別。與單獨效應(yīng)不同的是，它綜合了其它因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。每個因子對觀察指標的作用。有幾個因子就應(yīng)該有幾個主效應(yīng)。例：A因素的主效應(yīng)：0.75。即A因素單獨效應(yīng)的平均值。694. 交互效應(yīng)（interaction)： 因素之間聯(lián)合對觀察指標產(chǎn)生的影響。當某因素的各單獨效應(yīng)隨另一因素變化而變化時，則稱這兩個因素間存在交互效應(yīng)。704. 交互效應(yīng)（interaction)： 因素之間聯(lián)合對觀察指標產(chǎn)生的影響。當某因素的各單獨效應(yīng)隨另一因素變化而變化時，則稱這兩個因素間存在交互效應(yīng)。在B藥存在時，A藥增加Hb作用為：2.1-1.0=1.1單純用A藥增

16、加Hb作用為： 1.2-0.8=0.4B藥有加強A藥升Hb作用為： 1.1-0.4= 0.7除以2為交互作用 71一級交互作用：兩個因子間（2-way) 的交互作用。二級交互作用：三個因子間 (3-way) 的交互作用。 析因分析中，應(yīng)先重點考察各因素間的交互作用，若不存在交互作用，則分析某一因素的作用只需要考察該因素的主效應(yīng)；若存在交互作用，則各因素的主效應(yīng)檢驗結(jié)果已無實際意義，應(yīng)當按各因素各種水平的組合來研究，即逐一分析各因素的單獨效應(yīng)。726. 隨機效應(yīng)型：該因素中各水平是由總體中隨機抽樣所得的。如要研究什么溫度下催化劑的效果最好，隨機抽取了30、40、50三個水平。5. 固定效應(yīng)型：該

17、因素中各水平是固定的。如性別因素分為男、女兩水平。73二、用途：作多因素分析。1、分析每個因素的單獨效應(yīng)和主效應(yīng)；2、考察因素之間的交互作用。22析因設(shè)計目的：分析A、B兩個因素對結(jié)果有無影響（主效應(yīng)），A與B有無交互作用。74兩因素析因設(shè)計：三、析因設(shè)計資料方差分析中變異的分解75四、兩因素析因設(shè)計方差分析變異的計算變異來源平方和（SS）自由度（）均方（MS）處理cr-1因素Ac-1SSA/A因素B r-1SSB/BABSSTR-SSA -SSB (c-1)(r-1)SSAB/AB誤差SSe=SST -SSTR cr(n-1)SSe/e總變異X2-C crn-1或N-1761.建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準：（1） 對A藥： H0：用與不用血中紅細胞增加數(shù)的總體均數(shù)相等。 H1：用與不用血中紅細胞增加數(shù)的總體均數(shù)不相等。（2） 對B藥：H0：用與不用血中紅