新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)16 數(shù)列求和常用方法（教師版含解析）

1、36/36考點(diǎn)16 數(shù)列求和的常用方法知識理解一公式法1.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sneq f(na1an,2)na1eq f(nn1d,2).2.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sneq blcrc (avs4alco1(na1，q1，,f(a11qn,1q)，q1.)二裂項(xiàng)相消求和1.通項(xiàng)特征：通項(xiàng)一般是分式，分母為偶數(shù)個(gè)因式相乘，且滿足a是常數(shù)，2.解題思路錯(cuò)位相減法通項(xiàng)特征：一次函數(shù)*指數(shù)型函數(shù)解題思路分組轉(zhuǎn)化求和1.通項(xiàng)特征：或2.解題思路考向分析考向一 裂項(xiàng)相消求和【例1】(2020四川成都市華陽中學(xué))已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

2、【答案】(1)；(2).【解析】(1)，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，：，即，是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，綜上所述，結(jié)論是：.(2)由(1)可得，綜上所述，.【方法總結(jié)】裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型.【舉一反三】1(2021全國高三專題練習(xí))已知，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和_.【答案】【解析】由，所以數(shù)列前項(xiàng)和為.故答案為：.2(2020上海市金山中學(xué)高三期中)已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減，得，又，適合，所以所以所以故答案為：3(2020四川省綿陽南山中學(xué)高三月考)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為

3、，.(1)求數(shù)列體的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為，解得，.(2)由(1)得，.考向二 錯(cuò)位相減求和【例2】(2021石嘴山市第三中學(xué)高三期末)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也適合，故.由得，得，當(dāng)時(shí)，得，又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.綜上所述：，.(2)，所以，所以，所以，所以，所以.【舉一反三】1(2020黑龍江高三月考)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).

4、【解析】(1)由，得，得，所以，又，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.(2)由(1)得，所以，得，所以.2(2020湖南省平江縣第一中學(xué)高三月考)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，且，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得，故，故，即是為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故；(2)由(1)知，設(shè)的前項(xiàng)和，作差得， ，即，化簡得，故的前項(xiàng)和為.3(2020?？谑械谒闹袑W(xué)高三期中)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，；(2).【解析】(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，解得

5、：，當(dāng)時(shí)，-得：，故：(常數(shù))，所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.所以，(首項(xiàng)符合通項(xiàng))，故：.(2)所以，兩式相減得，因此.4(2020四川宜賓市高三一模)已知遞增數(shù)列滿足，且是方程的兩根，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)因?yàn)榉匠虄筛鶠榛?，又是方程的兩根，數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，解得，.對于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，整理得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，(2)，數(shù)列的前項(xiàng)和，兩式相減可得，.考向三 分組求和【例3】(2020全國)已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列

6、和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.又，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，；(2)由題意得，.【舉一反三】1(2020西藏拉薩市拉薩那曲第二高級中學(xué))設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列， ，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為q，即，的通項(xiàng)公式.(2)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和.2(2020江蘇連云港市)已知等比數(shù)列中，且是和的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足求的前n項(xiàng)和【答案】(1)；(2).

7、【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，又則由于是和的等差中項(xiàng)，得，即，解得所以，(2)3(2020吉林市吉林一中)在公差不為0的等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為65，、成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為()，因?yàn)榍?0項(xiàng)和為65，所以，因?yàn)椤⒊傻缺葦?shù)列，所以，即，聯(lián)立，解得，故.(2)因?yàn)?，所以，則，故.4(2020江蘇淮安)已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，得.當(dāng)時(shí)，由，得，-，得，又，是等比數(shù)列， (2)由，則，則考向四 倒序相加求和【例4】(2

8、020包頭市第九中學(xué))已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為( )AB33CD34【答案】A【解析】函數(shù)滿足，由可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前10項(xiàng)和為.故選：A.【舉一反三】1(2020內(nèi)蒙古包頭市高三二模)已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為( )A100B105C110D115【答案】D【解析】函數(shù)滿足，由可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為故選：D2(2020甘肅省會寧縣第一中學(xué))已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為( )A100B105C110D115【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，由可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為

9、的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為.故選：D.3(2020寧都中學(xué)高三月考)已知若等比數(shù)列滿足則( )AB1010C2019D2020【答案】D【解析】等比數(shù)列滿足即2020故選：D強(qiáng)化練習(xí)一、單選題1(2020平羅中學(xué))已知數(shù)列的通項(xiàng)公式：，則它的前項(xiàng)和是( )ABCD【答案】B【解析】，其前項(xiàng)和.故選：B.2(2020全國高三專題練習(xí))已知函數(shù)，則( )A2018B2019C4036D4038【答案】A【解析】，令，則，兩式相加得：，.故選：.3(2020全國高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)，利用課本(蘇教版必修)中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法，求得的值為( )ABCD【答案】B【解析】，設(shè)，則，兩式相加得，因此

10、，.故選：B.4(2019江蘇省前黃高級中學(xué)高二月考)設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得_【答案】【解析】，因此，所以.故答案為：.5(2020寶雞市渭濱中學(xué)高三月考)已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d，由，得，則，所以，；(2)由(1)得，所以.6(2020四川成都市高三其他模擬)已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且是的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2).【解析】(1)是的等比中項(xiàng)，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

11、，；(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，).7(2020靜寧縣第一中學(xué)高三月考)已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗缘茫?所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.由(1)得，.8(2020寧夏銀川市銀川一中高三月考)已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，其中，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d0，由題意，得，解得.ana1+(n1)d1+2(n1)2n1；(2)由(1)知，an2n1.則，.9(2020全國高三月考)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且

12、(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)，；(2).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，故，(2)依題意，故10(2020江蘇南通市高三期中)已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前n項(xiàng)的和為 ，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為Tn，求Tn.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意,等差數(shù)列中，因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，可得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)可得，所以.11(2020云南昆明市昆明一中高三月考)已知數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得：， 因?yàn)椋?dāng)時(shí)，而，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2

13、)因?yàn)椋?，所以?12(2020全國高三月考)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)依題意，解得，故，而，故，故，聯(lián)立兩式，解得，故，；(2)依題意，故.13(2020江蘇鎮(zhèn)江市高三期中)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，得：，解得：，；(2)，.14(2020湖南衡陽市一中高三期中)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件，中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，_.(1)求

14、數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n和.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】選條件時(shí)，(1)時(shí)，整理得，所以.(2)由(1)得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以 ， ，得：，故，所以.選條件時(shí)，(1)由于，所以，當(dāng)時(shí)，得：，整理得，所以.(2)由(1)得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以 ， ，得：，故，所以.選條件時(shí)，由于， 時(shí)，整理得(常數(shù))，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以.(2)由(1)得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以，得：，故，所以.15(2020商河縣第二中學(xué)高三期中)已知數(shù)列前項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)

15、由題知，即，即，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，；(2)由(1)知， ， 得，.16(2020山西高三月考)已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析 ；(2) .【解析】(1)證明：由，知又，是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(2)解：由(1)知，兩式相減得17(2020黑龍江鶴崗市鶴崗一中)記是正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，是6和的等比中項(xiàng)，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若等比數(shù)列的公比為，且成等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)槭?和的等比中項(xiàng)，所以， 當(dāng)時(shí)，由得，化簡得，即或者(舍去)，故，數(shù)列為等差數(shù)列.

16、因?yàn)?，解得?舍去)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為3的等差數(shù)列，所以.(2)由成等差數(shù)列，可得，可得， 又，所以，所以. 由(1)得，所以，兩式相減得，所以.18(2020深州長江中學(xué)高三期中)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】()；().【解析】()設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q()，由己知得，則解得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即.()由()得所以(1)(2)由(1)(2)，得19(2020廣東肇慶市高三月考)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，(1)求；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】(1)； (2).【解析】(1)由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，可

17、得，兩式相減，可得，整理得，即，當(dāng)時(shí)，可得，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.(2)由(1)知，則設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則，兩式相減得，所以，又由，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.20(2020沙坪壩區(qū)重慶一中高三月考)已知數(shù)列滿足：，且對任意的，都有1，成等差數(shù)列.(1)證明數(shù)列等比數(shù)列；(2)已知數(shù)列前n和為，條件：，條件：，請?jiān)跅l件中僅選擇一個(gè)條件作為已知條件來求數(shù)列前n和.【答案】(1)證明見解析；(2)答案不唯一，具體見解析.【解析】(1)由條件可知，即，且是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，(2)條件：，利用錯(cuò)位相減法:化簡得條件：利用錯(cuò)位相減法: 化簡得21(2020河北

18、衡水市衡水中學(xué)高三月考)已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)因?yàn)?，所以，因?yàn)榈炔顢?shù)列，所以，即，解得，所以，因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以，(2)由(1)得，所以，-得，所以22(2020廣東深圳市福田外國語高中)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線，上(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】(1)；(2)【解析】(1)點(diǎn)在直線上， 當(dāng)時(shí)，則， 當(dāng)時(shí)， 兩式相減，得，所以 所以是以首項(xiàng)為2，公比為2等比數(shù)列， 所以 (2)， ， 所以23(2020稷山縣稷山中學(xué)高三月考(文)已知等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則根據(jù)題意得：由，解得，所以.(2)，則.24(2020江蘇無錫市)在等差數(shù)列中，已知，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若_，求數(shù)列的前項(xiàng)和在，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問中，并對其求解【答案】(1)；(2)答案不唯一，見解析.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得；(2)選條件：，；選條件：，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)