人教A版高中數(shù)學必修三《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(第2課時)》教案

1、6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(2)本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊，第六章計數(shù)原理，本節(jié)課主要學習分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理。兩個計數(shù)原理，其核心是準確理解兩個原理，弄清它們的區(qū)別。理解它關鍵就是要根據(jù)實例概括兩個計數(shù)原理。學生對計數(shù)問題已經有一些經驗和技巧，本節(jié)課的內容分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理就是在此基礎上的發(fā)展。由于排列、組合及二項式定理的研究都是以兩個計數(shù)原理為基礎,所以在本學科計數(shù)問題中有重要的地位，是本學科的核心內容。教學的重點是兩個原理的理解與應用，解決重點的關鍵是從單一到綜合，恰當安排實例。課程目標學科素養(yǎng)A. 進一步理解和掌握分類加法計數(shù)

2、原理和分步乘法計數(shù)原理；B能應用兩個計數(shù)原理解決實際問題.1.數(shù)學抽象：兩個計數(shù)原理 2.邏輯推理：運用分類思想解決復雜問題 3.數(shù)學運算：運用計數(shù)原理解決計數(shù)問題4.數(shù)學建模：將計數(shù)問題轉化為分類和分步計數(shù)問題重點： 分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其簡單應用 難點： 準確應用兩個計數(shù)原理解決問題多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標溫故知新兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種

3、方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯(lián)的、獨立的,“關聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復二、典例解析例4. 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成.解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩

4、個步驟完成:第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法，第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=32=6.例5給程序模塊命名，需要用個字符，其中首字符要求用字母或，后兩個要求用數(shù)字.問最多可以給多少個程序命名？分析：要完成一件事是“給一個程序模塊命名” ，可以分三個步驟完成：第1步，首選字符，第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符，還有首字符又可以分為兩類。解：由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為，后兩個字符從中選，因為數(shù)字可以重復，所以不同選法的種數(shù)都為9.由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是，即最多可以給1053個程

5、序命名.例6. 電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構成.問：（1）一個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼(GB碼)包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？分析： （1）要完成的一件事是“確定1個字節(jié)各二進制位上的數(shù)字” .由于每個字節(jié)有8個二進制位，

6、每一位上的值都是0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理來求解；（2）只要計算出多少個字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個即可.解：（1）一個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以表示22222222=28=256個不同的字符；（2）由（1）知，用一個字節(jié)能表示256個字符，2566763，所以每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.例7.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行調試，程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，一個程序模塊由許多字模塊組成，如圖，這是一個具有

7、許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結束.而第1步可有子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個來完成；第2步可以由子模塊4、子模塊5中任何一個來完成，因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個技術原理.解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2,、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81.又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑

8、條數(shù)共為9181=7371. 在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊，這樣，它可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常，總共需要的測試次數(shù)為 18+45+18+38+43=172. 再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為32=6. 如果每個子模塊都正常功能，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作，正常這樣測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178，顯然178與7371的差距是非常大的.1.使用兩

9、個原理的原則使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時可用分步乘法計數(shù)原理.2.應用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進行計算.例8.通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示發(fā)牌機關代號，第二部分有阿拉伯數(shù)字和英文字母組成的序號如圖，其中，序號的編

10、碼規(guī)則為：（1）由10個阿拉伯數(shù)字和除O,I之外的24個英文字母組成;（2）最多只能有2個英文字母. 如果某地級市發(fā)牌機關采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放多少張汽車號牌？典例解析分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數(shù)決定了這個發(fā)牌機關所能發(fā)放的最多號牌數(shù)，按程序編碼規(guī)則可知，每個序號中的數(shù)字、字母都是可重復的，并且可將序號分為三類；沒有字母，有1個字母，有2個字母，以字母所在位置為分類標準，可將有1個字母的序號，分為五個子類，將有2個字母的序號，分為十個子類.解：有號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機關所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù)，根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，

11、有1個字母，有2個字母.（1）當沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字，確定一個序號可分5個步驟，每一步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為1010101010=100000.（2）當有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類. 當?shù)?位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法；第25步都是從10個數(shù)字中選一個放在相應的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為：2410101010=240000. 同樣，其余四個子類號牌也各

12、有240000張。根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)，共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.（3）當有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可將這類序號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位. 當?shù)?位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第12步都是從24個字母中選1個分別放在第1位，第2位，各有24種選法；第35步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)

13、原理，號牌張數(shù)為2424101010=576000同樣其余九個子類號牌也各有576000張于是這類號牌張數(shù)一共為57600010=5760000綜合（1）（2）（3）根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為10000十1200000+5760000=7060000.解決抽取(分配)問題的方法(1)當涉及對象的數(shù)目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法.(2)當涉及對象的數(shù)目很大時,一般有兩種方法:直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進行;若是按對象特征抽取的,則按分類進行.間接法.去掉限制條件,計算所有的抽取方法數(shù),然后減

14、去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.歸納總結跟蹤訓練. 7名學生中有3名學生會下象棋但不會下圍棋,有2名學生會下圍棋但不會下象棋,另2名學生既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從中選出會下象棋和會下圍棋的學生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?跟蹤訓練解:第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N1=32=6(種).第2類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N2=32=6(種).第3類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,

15、同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N3=22=4(種).第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N4=2種.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(種).通過引導學生回顧計數(shù)原理，進一步比較分析加深對兩個計數(shù)原理得理解。通過具體問題，分析、比較、歸納、加深對兩個計數(shù)原理的認識。發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 在典例分析和練習中讓學生熟悉兩個計數(shù)原理的基本步驟，并能區(qū)分它們的聯(lián)系和區(qū)別，進而靈活運用兩個計數(shù)原理。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和

16、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。 三、達標檢測1.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數(shù)為()A.11 B.28 C.16 384 D.2 401解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4種不同的選法;第2步,選長褲,從7條長褲中任選一條,有7種不同的選法.故共有47=28(種)不同的配法.答案:B2.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為()A.30 B.20 C.10 D.6解析:從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類,取出的兩數(shù)

17、都是偶數(shù),共有3種取法;取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.故由分類加法計數(shù)原理得,共有N=3+3=6(種)取法.答案:D3.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,已知甲同學喜歡牛、馬和猴,乙同學喜歡牛、狗和羊,丙同學所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有()A.50種 B.60種 C.80種 D.90種解析:根據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論:若甲選擇牛,此時乙的選擇有2種,丙的選擇有10種,此時有

18、210=20(種)不同的選法.若甲選擇馬或猴,此時甲的選擇有2種,乙的選擇有3種,丙的選擇有10種,此時有2310=60(種)不同的選法.一共有20+60=80(種)不同的選法.故選C.答案:C4.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩個端點異色,若只有4種顏色可供使用,則不同的染色方法共有()A.48種 B.72種 C.96種 D.108種解析:設四棱錐為P-ABCD.當A,C顏色相同時,先染P有4種方法,再染A,C有3種方法,然后染B有2種方法,最后染D也有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,共有4322=48(種)方法;當A,C顏色不相同時,先染P有4種方法,再染A有3種方法,然后染