人教A版高中數(shù)學(xué)必修三《6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》教案

1、6.3.2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊，第六章計(jì)數(shù)原理，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)本節(jié)是在學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)上，探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。由于二項(xiàng)式系數(shù)組成的數(shù)列就是一個離散型函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，便于建立知識前后聯(lián)系，使學(xué)生運(yùn)用利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行思考。研究二項(xiàng)式系數(shù)這組特定的性質(zhì)，對鞏固二項(xiàng)式定理，建立知識間的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識組合數(shù)、進(jìn)行組合數(shù)的計(jì)算和變形都有重要作用，對后續(xù)學(xué)習(xí)微分方程也具有重要地位。 課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能記住二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并能靈活運(yùn)用性質(zhì)解決相關(guān)問題.B.會

2、用賦值法求二項(xiàng)展開式系數(shù)的和,注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù).1.數(shù)學(xué)抽象：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 2.邏輯推理：運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)討論二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用二項(xiàng)式性質(zhì)解決問題4.幾何直觀：運(yùn)用函數(shù)圖像討論二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)重點(diǎn)： 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（對稱性、增減性與最大值和各二項(xiàng)式系數(shù)的和）；難點(diǎn)：理解增減性與最大值時，根據(jù)n的奇偶性確定相應(yīng)的分界點(diǎn)；利用賦值法證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法的滲透.多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)溫故知新 1二項(xiàng)式定理(ab)n_ (nN*)(1)這個公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理(2)展開式：等號右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共

3、有_項(xiàng)(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)_ (k0,1,2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)Ceq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1bCeq oal(2,n)an2b2Ceq oal(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bnn1 ；Ceq oal(k,n)2二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式(ab)n展開式的第_項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk1_.k1 ；Ceq oal(k,n)ankbk新知探究探究1：計(jì)算a+bn展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表二項(xiàng)式系數(shù):Cn0,Cn1, Cn2,Cnk, ,Cn0.通過計(jì)算、填表、你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？na+bn的展開式的二項(xiàng)式系數(shù) 111 2121 31331 414

4、641 515101051 61615201561將上表寫成如下形式：a+b2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1a+b1a+b3a+b4a+b5a+b6思考：通過上表和上圖，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？對于a+bn展開式的二項(xiàng)式系數(shù)Cn0,Cn1, Cn2,Cnk, ,Cn0.我們還可以從函數(shù)的角度分析它們。Cnr可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，其定義域是0,1,2,n我們還可以畫出它的圖像。例如，當(dāng)n=6時，函數(shù)fr=Cnr(r0,1,2,n)的圖像是7個離散的點(diǎn)，如圖所示。1.對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式

5、系數(shù)相等,即Cnm=Cnn-m.2.增減性與最大值 當(dāng)kn+12時,Cnk隨k的增加而減小.當(dāng)n是偶數(shù)時,中間的一項(xiàng)Cnn2取得最大值;當(dāng)n是奇數(shù)時,中間的兩項(xiàng)Cnn-12與Cnn+12相等,且同時取得最大值.探究2.已知1+xn =Cn0+Cn1x+.+Cnkxk+.+Cnnxn 3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n.令x=1 得1+1n=Cn0+Cn1+.+Cnn=2n所以，a+bn的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n1. 在(a+b)8的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為,在(a+b)9的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.解析:因?yàn)?a+b)8的展開式中有9項(xiàng),所以中間一項(xiàng)的二

6、項(xiàng)式系數(shù)最大,該項(xiàng)為C84a4b4=70a4b4.因?yàn)?a+b)9的展開式中有10項(xiàng),所以中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,這兩項(xiàng)分別為C94a5b4=126a5b4,C95a4b5=126a4b5.答案:1.70a4b4126a5b4與126a4b52. A=Cn0+Cn2+Cn4+與B=Cn1+Cn3+Cn5+的大小關(guān)系是()A.ABB.A=BC.ABD.不確定 解析:(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n,(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-+(-1)nCnn=0,Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1,即A=B.答案:B 三、典例解析例3.求證:在a+bn的

7、展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.證明:在展開式a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnkan-kbk+.+Cnnbn中，令a=1,b=-1，得1-1n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+.+(-1)nCnn即0=(Cn0+Cn2+.)-(Cn1+Cn3+.)因此Cn0+Cn2+.=Cn1+Cn3+.即在a+bn的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR,m,nN*)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(ax+by)n(a,bR

8、,nN*)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+=f(1)+f(-1)2,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+=f(1)-f(-1)2.跟蹤訓(xùn)練1. 在(2x-3y)9的展開式中,求:(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和;(2)各項(xiàng)系數(shù)之和;(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和.解:設(shè)(2x-3y)9=a0 x9+a1x8y+a2x7y2+a9y9.(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為C90+C91+C92+C99=29=512.(2)各項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a1+a2+a9,令x=1,y=1

9、,所以a0+a1+a2+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-a9=59,又a0+a1+a2+a9=-1,將兩式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=59-12=976 562,即所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為976 562. 例4.已知(1+2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).解:T6=Cn5(2x)5,T7=Cn6(2x)6,依題意有Cn525=Cn626,解得n=8.在(1+2x)8的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=C84(2x)4=1 120 x4.設(shè)第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大,則有C8k2kC8k-12k-1

10、,C8k2kC8k+12k+1,解得5k6.k=5或k=6(k0,1,2,8).系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1 792x5,T7=1 792x6.求二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最值的方法(1)若二項(xiàng)展開式的系數(shù)的絕對值與對應(yīng)二項(xiàng)式系數(shù)相等,可轉(zhuǎn)化為確定二項(xiàng)式系數(shù)的最值來解決.(2)若二項(xiàng)展開式的系數(shù)為f(k)=Cnkmg(k)的形式.如求(a+bx)n(a,bR)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng),一般是采用待定系數(shù)法,設(shè)其展開式的各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,A2,An+1,且第k+1項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)用Ak+1Ak+2,Ak+1Ak解出k,即得系數(shù)最大的項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練2.已知x+2x2n的展開式中,只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(1)求

11、該展開式中所有有理項(xiàng)的個數(shù);(2)求該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解:(1)由題意可知n2+1=6,n=10.Tk+1=C10kx10-k22kx-2k=C10k2kx10-5k2(0k10,且kN),要求該展開式中的有理項(xiàng),只需令10-5k2Z.k=0,2,4,6,8,10.有理項(xiàng)的個數(shù)為6.(2)設(shè)第Tk+1項(xiàng)的系數(shù)最大,則C10k2kC10k-12k-1,C10k2kC10k+12k+1,即2k111-k,110-k2k+1,解不等式組得193k223.kN,k=7.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8=C10727x-252=15 360 x-252.通過回顧二項(xiàng)式定理，從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部提出問題，引導(dǎo)學(xué)

12、生觀察、發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從特殊到一般，獲得二項(xiàng)式性質(zhì)的過程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過典例解析，讓學(xué)生體會利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，感受數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的價(jià)值。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.(1-x)13的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)為()A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng) C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)解析:展開式中共有14項(xiàng),中間兩項(xiàng)(第7,8項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大.故系數(shù)最小的項(xiàng)為第8項(xiàng),系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng).答案:C2.已知Cn0+2Cn1+22Cn2+2nC

13、nn=729,則Cn1+Cn3+Cn5的值等于()A.64 B.32 C.63 D.31 解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.則Cn1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=32.答案:B 3.已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A.212 B.211 C.210 D.29解析:因?yàn)?1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以Cn3=Cn7,解得n=10,所以二項(xiàng)式(1+x)10中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為12210=29.答案:D 4.已知14+2xn的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37,則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最

14、大的項(xiàng)的系數(shù)為.解析:由Cn0+Cn1+Cn2=37,得1+n+12n(n-1)=37,解得n=8(負(fù)值舍去),則第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,T5=C84144(2x)4=358x4,該項(xiàng)的系數(shù)為358.答案:3585.已知12+2xn,若展開式中第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù).解:Cn4+Cn6=2Cn5,n=7或n=14,當(dāng)n=7時,展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5,T4的系數(shù)為C7312423=352,T5的系數(shù)為C7412324=70;當(dāng)n=14時,展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是T8,T8的系數(shù)為C14712727=3 432.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知