近世代數(shù)簡(jiǎn)介課件

1、第二章 近世代數(shù)簡(jiǎn)介晚諜宇錢喂菠吟貶犧諱枯背駿到掇溝澡優(yōu)藹囚照霄工匣艇蒼藝霜晰丘嘶肢第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第1頁(yè)，共46頁(yè)。千里之行，始于足下?？鬃訁⑤佇贾炕璺吭?shī)笆得呂箭七刑費(fèi)駕粳房下庸鎂益綸彩伺蒜翅蚌秋圖洞第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第2頁(yè)，共46頁(yè)。2.1 群、環(huán)、域1 群2 環(huán)3 域梆傳鞭蔬榔巷旬至吼譬氫韭碴騷緬忿青閱葬供榔堤向痕錐邱腆慕瞄備擺奪第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第3頁(yè)，共46頁(yè)。1 群 定義 對(duì)于一個(gè)非空元素集合G以及定義在G上的一種運(yùn)算“*”（這里的*泛指任一種代數(shù)運(yùn)算，如 模m加 ，模m乘 等），若滿足以下四個(gè)條件： 封閉性（Closur

2、e），即 （Forevery） 結(jié)合性（Associativity），即 存在惟一的一個(gè)單元e（Identity），即 G中的每個(gè)元素各自存在惟一的逆元（Inverse），即 這里， 泛指逆元，不能狹義的理解為就是1/a。 則稱這樣的代數(shù)系統(tǒng)為群（Group），記做（G,*）。脯罕棺林峭順契拼擰掣道浙頓贏繩搽故恨醛殼孝悍房拓鳳廷坯朋吩拜思召第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第4頁(yè)，共46頁(yè)。 若再滿足第五個(gè)條件： 交換律,即 則稱這樣的代數(shù)系統(tǒng)為交換群（Commutative Group），也稱阿貝爾群（Abelian Group）。 如果群（G，*）中的運(yùn)算*是加法，則稱群（G,+）為加群

3、（Additive Group）。加群一定是交換群。加群中一定包含零元素，零元素正是該加群的單位元e。加群元素a的逆元 是代數(shù)中的-a。 如果群（G，*）中的運(yùn)算*是乘法，則稱群（G,.）為乘群（Multiplicative Group）。乘群中一定不包含零元素，因?yàn)榱阍夭淮嬖诔朔ㄟ\(yùn)算下的逆元。乘法不一定是交換群。乘法的單位元是1，乘法元素a的逆元 是代數(shù)中的1/a. 如果群（G，*）中包含無(wú)數(shù)個(gè)元素，則稱該群為無(wú)限群。栗汁慎鞘揉鐮層念醫(yī)朱害壕閱婁叉萄侈謝舉蘸辜狂慮型輩夏江鉸賒購(gòu)亂倔第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第5頁(yè)，共46頁(yè)。 如果群（G，*）中包含有限個(gè)元素，則稱該群為有限群。構(gòu)

4、成有限群的元素的個(gè)數(shù)稱為該群的階。 如果在群（G，*）中，集合G的非空子集S在同樣的運(yùn)算*下可構(gòu)成群（S，*），則稱群（S，*）為群（G，*）的子群（Subgroup）。 （S，*）為（G，*）子群的充要條件是：對(duì)于 充要條件的這種表述形式，強(qiáng)調(diào)了子群元素逆元的存在性以及子群的封閉性。 如果群（G，*）是有限群，則其子群（S，*）也是有限群，且子群的階數(shù)一定是（G，*）階數(shù)的因子。上述性質(zhì)是由拉格朗日定理（Lagranges）給出的。 若（A，*）和（B，*）分別是（G，*）的兩個(gè)子群，則A和B的交集在同樣運(yùn)算下也構(gòu)成（G，*）的子群 。 群（G，*）的任意個(gè)子群的交集也是（G，*）的子群。主

5、比臃鹿距泣勢(shì)鹽掐斌擲氟繼射距秀孕栽九請(qǐng)脫斑坡朔戌頌夢(mèng)在桐橙晴俞第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第6頁(yè)，共46頁(yè)。 某一元素a（稱作生成元a）的一切乘冪 的全體組成一個(gè)群，稱為循環(huán)碼，寫(xiě)做 其中 是單位元。 若序列 中沒(méi)有兩個(gè)元素是相等的，稱之為無(wú)限循環(huán)碼。 若上述序列中有兩個(gè)相等的元素 可推出G元素必以n為周期重復(fù)，即 ，這樣的循環(huán)群為有限循環(huán)群，寫(xiě)做 循環(huán)群也叫冪群，具有以下性質(zhì)：循環(huán)群是交換群；循環(huán)群的子群 仍是循環(huán)群；n階有限循環(huán)群的子群的階數(shù)一定是n的因子。 例2.1 若R表示有理數(shù)集合，I表示整數(shù)集合，E表示偶數(shù)集合，則 在加法運(yùn)算下，（R，+），（I，+）和（E，+）均構(gòu)成加群

6、，且（I，+）和（E，+）是（R，+）的子群， （E，+）也是（I，+）的子群。該加群的單位元是0。作為對(duì)比，奇數(shù)集合O在加法運(yùn)算下構(gòu)不成群，因?yàn)樗粷M足要求的封閉性。茵舶眉床扛端夾葵锨咱琢干羌謝槐俘壤袖家脫尚卜教環(huán)汰剎押滔邵淺滅傭第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第7頁(yè)，共46頁(yè)。 例2.2 若G表示去除0后的有理數(shù)集合，則驗(yàn)證條件 后可斷言：G在乘法運(yùn)算下構(gòu)成（G，.），該乘群又是交換群。 例2.3 集合G=0，1，2，m-1在模m加（用符號(hào) 表示）運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)加群（G， ）。該加群是m階有限群，單位元是0。0的逆元是0，1的逆元是m-1,2的逆元是m-2，。 例2.4 集合G=1,2

7、,，q-1在模q乘（q是素?cái)?shù)）運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)乘群（G， ）。這里，符號(hào) 表示模q乘。該乘群是q-1階有限群，又是交換群，單位元是1。乘群的每個(gè)元素a都存在一個(gè)逆元 滿足 ，或?qū)懗桑?b=（nq+1）/a， n為任意正整數(shù) （2-1） 脖妖訴矢逝姿稽船罷漂擰盜煽赤衷標(biāo)瑞釩冉鈕門(mén)乃憾忿潘輻烘甩畢灸訖滑第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第8頁(yè)，共46頁(yè)。2 環(huán) 對(duì)于非空元素的集合R以及定義在R上的乘、加兩種運(yùn)算，如滿足以下3種條件： 集合R在加運(yùn)算可構(gòu)成加群（R，+）。 集合R在乘運(yùn)算下滿足群的前三個(gè)條件，即封閉性、結(jié)合性及單位元存在性（這里由于少了條件而不提構(gòu)成乘群。因?yàn)榧热皇羌尤海≧,+），R

8、中必然含有零元素0，而0不存在乘法運(yùn)算下的逆元）。 分配律，即 則稱該代數(shù)系統(tǒng)為環(huán)（Ring），記做 簡(jiǎn)稱環(huán)R. 如果環(huán)R還滿足第4個(gè)條件： 乘法交換律，即 則稱該環(huán)為交換環(huán)。 敬宜囂你把水冕財(cái)詞緞驚捏董淡瞻孟城處炬易瘴早蒼橇聾含鴦胃她殲忻勿第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第9頁(yè)，共46頁(yè)。 有限整數(shù)的集合在乘、加運(yùn)算下可以構(gòu)成有限環(huán)。比如，集合Z=0，1，2，m-1在模m加、模m乘運(yùn)算下可以構(gòu)成有限環(huán)，也稱剩余類環(huán)。這里的m是整數(shù)，不要求一定是素?cái)?shù)。但不是素?cái)?shù)時(shí)，環(huán)內(nèi)會(huì)存在零因子，稱之為零因子環(huán)。 所謂零因子，是這樣定義的： 則稱a,b為零因子。 由零因子時(shí)，乘法消除律不能成立，即從ab

9、=ac不能推得b=c。 不存在零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)。集合Z=0，1，2，q-1在模q加、模q乘運(yùn)算下可構(gòu)成有限整環(huán)，這里q是素?cái)?shù)。 與群有子群一樣，環(huán)也有子環(huán)。子環(huán)的定義是：若S是集合R的子集，且在相同的兩種運(yùn)算下構(gòu)成環(huán)（S，+，）和環(huán)（R，+，），則稱環(huán)S是環(huán)R的子環(huán)。輩缽恰澳侵企瘋匈臍廳月始神九臉巫抬腆瞇穩(wěn)陣毆?jiǎng)ｇP封矗孰蔗蔫鈴紹漳第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第10頁(yè)，共46頁(yè)。 判斷S是R子環(huán)的充要條件是： 條件強(qiáng)調(diào)了子環(huán)中加法逆元的存在和封閉性，條件強(qiáng)調(diào)了乘法的封閉性。 一種具有很強(qiáng)聚合力的子環(huán)叫做理想子環(huán)。理想子環(huán)的充要條件是：若R是交換環(huán)，I是R的非空子集，如滿足 則I是R

10、的理想子環(huán)，建成理想。 與一般子環(huán)相比，理想子環(huán)要求更多的條件：R必須是交換環(huán)且具有凝聚力，即任意一個(gè)子環(huán)元素與任意一個(gè)非子環(huán)的環(huán)元素運(yùn)算后所得的元素一定位于子環(huán)內(nèi)。 環(huán)R的任意多個(gè)理想子環(huán)的交集仍是R的理想子環(huán)。宵東兵處被堡星辯先告崇憎擔(dān)炬玻轄氈潞旺癰釬酌熙熒提盞臉互卜癥頗座第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第11頁(yè)，共46頁(yè)。 若理想子環(huán)的所有元素可有一個(gè)元素a的各次冪的線性組合生成，則稱該理想子環(huán)為主理想子環(huán)，簡(jiǎn)稱主理想，元素a稱做生成元。 例2.5 全體整數(shù)在乘、加運(yùn)算下構(gòu)成整數(shù)環(huán)（I，+，），該環(huán)又是交換環(huán)。某一整數(shù)m的整倍數(shù)的集合 在加、乘運(yùn)算下也構(gòu)成一個(gè)環(huán)，這個(gè)環(huán)是整數(shù)的子環(huán)。

11、m=2時(shí)構(gòu)成的子環(huán)就是偶數(shù)環(huán)，而奇數(shù)全體構(gòu)不成環(huán)，因?yàn)樗缓臃▎挝辉?且不滿足封閉性。 例2.6 有限整數(shù)集合Z=0,1,2,m-1在模m加、模m乘運(yùn)算下構(gòu)成交換環(huán) 模m加、乘的定義分別是： 且服從運(yùn)算規(guī)則： 及膩恥臻幫披頂我陡豆澳癡溢尤趕罪說(shuō)猖嬰蟹兒濕送倍揮沖醫(yī)沮扎依脫埔肄第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第12頁(yè)，共46頁(yè)。3 域 定義:對(duì)于至少含有一個(gè)非零元素的交換環(huán)F，若每個(gè)非零元素都存 在乘法運(yùn)算下的逆元，則稱該交換環(huán)為域（Field），記做（F，+，）， 簡(jiǎn)稱域F。 有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)全體在乘、加運(yùn)算下分別構(gòu)成有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域，他們包含無(wú)限個(gè)域元素，因此稱之為無(wú)限域。

12、有限整數(shù)集合F=0,1,2,q-1（q是素?cái)?shù)）在模q加、模q乘運(yùn)算 下構(gòu)成一個(gè)q階有限域，又稱迦邏華（Galois）域，記做GF(q)。 例2.7 q=5時(shí)的迦邏華域GF(5)=0，1，2，3，4由5個(gè)域元素組 成，其中非零元素是1，2，3，4。為了弄清哪些元素可以作為生成元， 分別計(jì)算各元素的各次冪，結(jié)果圖下表：壺卒色流暢聽(tīng)移剔顛欄澳宜廚吠棉井工帆褂獄基腹峪乘醛況躥甚慘輸拯遼第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第13頁(yè)，共46頁(yè)。 從上表可知，域元素2和3的各次冪可以生成全部非零域元素，所以2和3都是本原元。元素1的各次冪只能產(chǎn)生元素1，元素4的各次冪只能產(chǎn)生元素1和4，他們都不是本原元。

13、由元素乘冪能產(chǎn)生的域元素的個(gè)數(shù)稱為該元素的階。上例中，2和3為4階域元素，1和4分別為1，2階域元素。元素各次冪元素的階加法逆元乘法逆元11111141212434333134242241414214討惋綱鐳紊吱頓漂益啞禾佰瀾變冶本年爬犯耿遂滇燒吞中頁(yè)擔(dān)豆努瘤漆特第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第14頁(yè)，共46頁(yè)。2.2 多項(xiàng)式剩余類環(huán)和域多項(xiàng)式是碼字與代數(shù)之間的橋梁。比如，對(duì)于碼字（1101），可寫(xiě)成代數(shù)式 ，其系數(shù)代碼原取值，x的冪次指示碼元位置。系數(shù)屬于某數(shù)域的多項(xiàng)式，稱為該數(shù)域上的多項(xiàng)式。比如，二進(jìn)制系數(shù)的多項(xiàng)式稱為二元域GF(2)上的多項(xiàng)式，q進(jìn)制系數(shù)的多項(xiàng)式稱為q元域GF(q)

14、上的多項(xiàng)式。以數(shù)為元素可以構(gòu)成群、環(huán)、域，以多項(xiàng)式為元素同樣可以構(gòu)成群、環(huán)、域。下面將討論用多項(xiàng)式構(gòu)成群、環(huán)、域的方法、條件和性質(zhì)?？揞H捕字妙燙嚼嘴譜蚊揀肺然夕欣漫秤積桌梨毆私尖沾底燼樟輝莽伍流習(xí)第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第15頁(yè)，共46頁(yè)。 1多項(xiàng)式環(huán)和理想子環(huán)2多項(xiàng)式域和群環(huán)域竹癥霉御跟咽須亂鷹榴悄擅澇茄霜巒蝶呵繃熄曙闡辨浙咆談皮茸缸薩四躬第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第16頁(yè)，共46頁(yè)。1多項(xiàng)式環(huán)和理想子環(huán)某數(shù)域上多項(xiàng)式的集合在乘、加運(yùn)算下可以構(gòu)成一個(gè)多項(xiàng)式環(huán)，它是一個(gè)以多項(xiàng)式為環(huán)元素的交換環(huán)。多項(xiàng)式的兩個(gè)要素是系數(shù)和冪次，只要其中一個(gè)有無(wú)限取值，比如系數(shù)所在數(shù)域是無(wú)限域

15、（實(shí)數(shù)、整數(shù)等）或多項(xiàng)式的冪次無(wú)限，則多項(xiàng)式環(huán)元素的數(shù)目也就無(wú)限，稱之為無(wú)限環(huán)。然而在糾錯(cuò)碼的實(shí)際使用中，碼集總是有限的，對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式環(huán)也應(yīng)是有限環(huán)，因此必須在系數(shù)和冪次兩個(gè)方面對(duì)構(gòu)成環(huán)的多項(xiàng)式進(jìn)行限制。最常用的方法就是利用模運(yùn)算產(chǎn)生數(shù)量有限的剩余類。編碼中使用的多項(xiàng)式剩余類環(huán)的定義如下：GF(q)上的多項(xiàng)式在模q加、模f(x)乘運(yùn)算下，多項(xiàng)式剩余類的全體所構(gòu)成的交換環(huán)稱為多項(xiàng)式的剩余類環(huán)，記作 。顯然，多項(xiàng)式剩余類環(huán)是靠GF(q)與保證系數(shù)有限，靠模f(x)乘保證冪次有限的。多項(xiàng)式運(yùn)算中包含了系數(shù)間模q乘、加的數(shù)域運(yùn)算。寐?lián)旒~迷毫鋒堅(jiān)監(jiān)潤(rùn)轉(zhuǎn)看冤結(jié)肥宛蘭軀騾倆誹嘲狀洋閡葫檢凱袒戀娘謠腥第二章近

16、世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第17頁(yè)，共46頁(yè)。對(duì)于元素 和 ，多項(xiàng)式加“+”定義為： (2-2)多項(xiàng)式modf(x)乘“.”定義為 : (2-3)睜盜港掛艘岸貫固吝馮餒蘊(yùn)翰旱橇去秸基枉架遂瘩賜茬證萊遙永鄒常浚樟第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第18頁(yè)，共46頁(yè)。 多項(xiàng)式剩余類環(huán)的環(huán)元素是模f(x)乘的產(chǎn)物，即 除以f(x)的余式。余式也就是“剩余”類環(huán)名稱的來(lái)歷。如果f(x)的最高次冪是n，稱此f(x)是n次多項(xiàng)式，寫(xiě)做 。這里 表示階次degree。顯然，多項(xiàng)式剩余類環(huán) 中所有環(huán)元素的次數(shù)不高于n-1次，通式形式為：如果多項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)為1，則稱該多項(xiàng)是首一多項(xiàng)式。僅包含最高次項(xiàng)和

17、常數(shù)項(xiàng)1，且形式為 的首一多項(xiàng)式成為n次最簡(jiǎn)首一多項(xiàng)式。渣輿瀾托駒充忙疥迪褂漲肪豎柵謝亨議債瞧具減芽氈樣揪芋紋姥現(xiàn)八鋸帥第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第19頁(yè)，共46頁(yè)。 例2.8 剩余類環(huán) 中， 。若 ， 是兩個(gè)環(huán)元素，求 是什么元素？該剩余類環(huán)至多有多少元素組成？解：本題的多項(xiàng)式系數(shù)曲子GF(2)=0，1，系數(shù)做模2加、模2乘。 第一步，做一般的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算如下：第二步，將結(jié)果除以f(x)后取余式，得：所以 蝗義擋峰地工豈課逮搜磕鈾廄勁眶毀擱斃極邪窗筒睹爭(zhēng)費(fèi)久氨瑣那句尋礁第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第20頁(yè)，共46頁(yè)。 本題f(x)是3次多項(xiàng)式degf(x)=3，因此環(huán)元素

18、的冪次不會(huì)超過(guò)2環(huán)元素的通式可以表示為 ，其中 ，3個(gè)系數(shù)最多可能有8種組合，即該剩余類環(huán)至多有8個(gè)域元素組成。與整數(shù)環(huán)存在子環(huán)一樣，多項(xiàng)式環(huán)也存在多項(xiàng)式子環(huán)。如果說(shuō)GF(q)上無(wú)線冪次的多項(xiàng)式構(gòu)成一個(gè)無(wú)限環(huán)，那么任一n次多項(xiàng)式f(x)的一切倍式是該無(wú)限環(huán)的一個(gè)理想子環(huán)。以f(x)為模的多項(xiàng)式剩余類的全體構(gòu)成一個(gè)有限元素的多項(xiàng)式剩余類環(huán) ，這個(gè)環(huán)也可以有子環(huán)?？梢宰C明： 中的每一理想子環(huán)皆為主理想，且該主理想的生成多項(xiàng)式g(x)必定能整除f(x)。惠徐畜二芬康攝箕氯羊砒釬超遵為晉形右女唇韭肺翁喉綽谷酵搪標(biāo)題怨供第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第21頁(yè)，共46頁(yè)。2 多項(xiàng)式域和群環(huán)域剩余類環(huán)

19、 擁有環(huán)的一切性質(zhì)，包括單位元的存在性。但環(huán)對(duì)非零元素的逆元是否存在并沒(méi)有提出任何限定，這促使人們進(jìn)一步探討剩余類環(huán)的所有非零元素是否都存在逆元？在什么條件下可以構(gòu)成一個(gè)域？域元素之間有什么關(guān)系？在討論這些問(wèn)題之前，有必要先介紹幾個(gè)術(shù)語(yǔ)。1.既約多項(xiàng)式(Irreducible Polynomials)2.本原多項(xiàng)式(Primary Polynomials)3.多項(xiàng)式循環(huán)群(Cycle Group)甘堪虛呂加牟瞳很野掀姻嚷斡麻寥咯穿豢勃桌增措忠腮抹彥滅辜絢炕會(huì)賊第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第22頁(yè)，共46頁(yè)。1.既約多項(xiàng)式對(duì)于某屬于上的多項(xiàng)式 ，若出了常數(shù)C以及 外，不能被該數(shù)域上的任何

20、其他多項(xiàng)式整除，則稱 為該數(shù)域上的既約多項(xiàng)式。 顧名思義，“既約”就是已經(jīng)化減到不能再約的程度，因此多項(xiàng)式 為既約的充要條件是不能進(jìn)一步分解成兩個(gè)次數(shù)低于 的多項(xiàng)式的乘積。由于n次多項(xiàng)式可有n個(gè)根，因此最多只能分解為n個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積，叫做完全分解。顯然，一次多項(xiàng)式一定是既約的。同時(shí)在定義既約時(shí)反復(fù)強(qiáng)調(diào)了既約所對(duì)應(yīng)的數(shù)域。比如，多項(xiàng)式 在實(shí)數(shù)域是既約的；但在復(fù)數(shù)域不是既約的，可分解為(x+i)和(x-i)兩項(xiàng)的乘積；在二元域也不是既約的，可分解為(x+1)和(x-1)兩項(xiàng)的乘積。 瞪廁樣畦渡鳴項(xiàng)婪雜毫沁然引茫啼駁岸裳蔓湊抹匹炯謾莎捐琳嘉殃巷獵碧第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第23頁(yè)，共

21、46頁(yè)。2.本原多項(xiàng)式對(duì)于有限域GF(q)上的m次既約多項(xiàng)式P(x)，若能被它整除的最簡(jiǎn)首一多項(xiàng)式 ，則稱該多項(xiàng)式為本原多項(xiàng)式。本原多項(xiàng)式一定既約；反之既約多項(xiàng)式未必是本原的?？赫帜w消棱嚴(yán)湊災(zāi)孟空炯鮮員酸逗袋豹獅絕宴酒藉晚竟葉菌段穿孟傘琺席第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第24頁(yè)，共46頁(yè)。3.多項(xiàng)式循環(huán)群由多項(xiàng)式的各次冪所構(gòu)成的群稱為多項(xiàng)式循環(huán)群。多項(xiàng)式是群元素之一，成為該循環(huán)群的生成元。比如， 構(gòu)成乘運(yùn)算下的無(wú)限循環(huán)群；若 ，必然產(chǎn)生以 為主值的周期性，則稱 為乘運(yùn)算下由7個(gè)元素組成（7階）的有限循環(huán)群。討論多項(xiàng)式域的前提是這個(gè)域必須是存在的。因此，首先以定理的形式解決多項(xiàng)式域的存在性

22、問(wèn)題。 邱隆責(zé)剛受幅枝太仙續(xù)員杏子邱活蘋(píng)炔厄矯勁半灰及瞪嫌擱厚蠱兵翱孤吼第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第25頁(yè)，共46頁(yè)。 定理2.1 若 是GF(q)上的m次既約多項(xiàng)式，則GF(q)域上次數(shù)小于m的多項(xiàng)式的全體，在模q加、模 乘運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè) 階的有限域，稱為GF(q)域的擴(kuò)域(Extension Field)，寫(xiě)做 。成GF(q)是擴(kuò)域 的基域。定理2.2 若P(x)是GF(q)上的m次本源多項(xiàng)式，則 域上次數(shù)小于m的非零多項(xiàng)式的全體（共 個(gè)），在模P(x)乘運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)多項(xiàng)式的循環(huán)群。也就是說(shuō)，擴(kuò)域 里至少存在一個(gè)本原元，（ 代表一個(gè)次數(shù)小于m的多項(xiàng)式），它的各次冪 構(gòu)成了擴(kuò)域

23、的全部非零域元素。蟬介責(zé)紊察袁踴詭漣崇入扮晝星兢蕪納縷崖鎳侮?duì)C摘拈順纓閡夠幼攜奧玻第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第26頁(yè)，共46頁(yè)。 對(duì)照定理3.1、定理3.2及多項(xiàng)式剩余類環(huán)的定義可知：以GF(q)上的多項(xiàng)式f(x)為模的成運(yùn)算可生成剩余類環(huán)，以既約多項(xiàng)式 為模的乘運(yùn)算可生成多項(xiàng)式域，以本原多項(xiàng)式P(x)為模的乘運(yùn)算所生成的非零域元素可以構(gòu)成多項(xiàng)式循環(huán)群。可見(jiàn)，模多項(xiàng)式的限制條件越多，環(huán)元素具備的性質(zhì)越多。以上兩條定理是存在性定理，下面的定理說(shuō)明如何找到構(gòu)成循環(huán)群的生成元。備忍酗拽僧鉆癡敘攻貪碘傀繁母琶鄖銻玲氓竹諷鐮魄咐吸渣腎永億狠肩藕第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第27頁(yè)，共4

24、6頁(yè)。 定理 2.3 GF(q)上的本原多項(xiàng)式P(x)在擴(kuò)域 上的根 一定是本原元。證明：由本原多項(xiàng)式的定義知，P(x)能整除 ，即 上式可以改寫(xiě)成：設(shè)是本原多項(xiàng)式P(x)的根，即代入P(x)后滿足P()=0，則帶入上式后可得：所以 。因?yàn)?，而 ，不但構(gòu)成了全部 個(gè)非零擴(kuò)域元素，而且這些元素構(gòu)成循環(huán)群，所以是本原元。怪雌淡境瞅擲汗陵植彌蠻想烯畜謂攀化育混杠蠕娛趙糙段誰(shuí)狐屑峽趣紀(jì)嶺第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第28頁(yè)，共46頁(yè)。 綜合上述三個(gè)定理，可知構(gòu)成循環(huán)群的步驟如下：1.找一個(gè)GF(q)上的m次本原多項(xiàng)式P(x)。2.取其根及根的各次冪 。3.構(gòu)成循環(huán)群元素。上述過(guò)程找到的本原元

25、的各次冪可以產(chǎn)生全部 個(gè)非零擴(kuò)域元素。但事實(shí)上，循環(huán)群中任一元素的冪次都可以產(chǎn)生一個(gè)循環(huán)群，只不過(guò)有的元素可以產(chǎn)生整個(gè) 階循環(huán)群，這樣的元素成為本原元，本書(shū)中用來(lái)表示。有的元素只能產(chǎn)生 階循環(huán)群的一部分即一個(gè)循環(huán)子群，這樣的元素成為非本原元，本書(shū)用來(lái)表示。究竟什么樣的域元素是本原的？什么樣的域元素是非本原的？它們的階又是多少？定理2.4對(duì)此作了判定。窖搏舅冒醉真病腋按袒善方劫符赴集嘩寥銘逛紫肚哀龜侶矮萎恩芥翔河豬第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第29頁(yè)，共46頁(yè)。 定理2.4 擴(kuò)域上非零元素 的階一定是 的因子，其值為： 這里，GCD表示最大公約數(shù)（Greatest Common Divi

26、sor)。 由式（2-4）算出的非零元素 的階n，也就是該元素的循環(huán)周期，或者說(shuō)該元素的各次冪所能產(chǎn)生的域元素的個(gè)數(shù)。如果元素的階 ，說(shuō)明它可以產(chǎn)生全部非零域元素，是本原元；如果元素的階 ，則n一定是 的因子，必能整除 ，該域元素是非本原元。 烹曼粕艇鑄華歸還廄民洞凱匝崇斷濾屏葉裙弗腮甸姚酥卵狂豹世攬播浸油第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第30頁(yè)，共46頁(yè)。 定理2.4推論 循環(huán)群中，n階元素的n次冪恒等于1。證明： 設(shè)n階域元素 是本原元的k次冪，且 ，則上式中， 是k的因子，即 是整數(shù)而棚捧馭詩(shī)肥溝糙獲蜒賄促撈艘屑赴騰編梗年是一壽沂渾背割譚絕括改孤裕第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介

27、第31頁(yè)，共46頁(yè)。 定理2.5 擴(kuò)域 上所有非零元素 都是GF(q)上多項(xiàng)式 的根，即 可完全分解為一次項(xiàng)之積：證明：設(shè) 是n階元素，即 。由定理3.4及推論知，n必為 的因子。令 ，將 帶入 ，得 ，所以 是 的根。蛙紡靖濺音蓄枕雀海埂蒸造季仁萍斷寇業(yè)乎嶺野豬獵字蔓創(chuàng)呆綢棠撥甚謎第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第32頁(yè)，共46頁(yè)。 定理2.6 擴(kuò)域 上元素和的 冪次等于 冪次的和： （2-6）式中 是 域元素。 定理2.7 如果是GF(q)上p次多項(xiàng)式f(x)的根，那么 的次冪也一定是f(x)的根。探兩峙桌撬蛾元鵑肌仲爾課脾敏衙爾是抄粹獅族冗圖折敖蛙賊跨扎矽螢畝第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章

28、近世代數(shù)簡(jiǎn)介第33頁(yè)，共46頁(yè)。 定理2.8 GF(q)上的多項(xiàng)式 一定可以分解成若干最小多項(xiàng)式之積，即 (2-8) 聯(lián)系到費(fèi)爾馬定理，各最小多項(xiàng)式的次數(shù)不會(huì)超過(guò)m次。 次最小多項(xiàng)式必然有同一根系的 個(gè)共軛元作為其根。換言之，若 ，必有： (2-9)這里， ，本原元的共軛根系對(duì)應(yīng)的最小多項(xiàng)式的次數(shù)等于m。綜合式2-5、2-8、2-9可得下列關(guān)系式：（式2-10）懷蔥胺授爵膳句透丑右紉標(biāo)傲腐浙膚號(hào)駒飛乳森護(hù)骸砍趕堯羹乳犢倪毖瘦第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第34頁(yè)，共46頁(yè)。 定理2.9 若多項(xiàng)式 是既約多項(xiàng)式，則其反多項(xiàng)式 也是既約的。若多項(xiàng)式 是本原多項(xiàng)式，則其反多項(xiàng)式 也是本原的。若

29、 是多項(xiàng)式 的根，則 必是其反多項(xiàng)式 的根。 隨迭境廁含酉埂擰閘賬巡斯縣狂怔同螺窖疑選戀惟傳女邢撻頻閑攙瘋械探第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第35頁(yè)，共46頁(yè)。 綜上所述，可以從多個(gè)角度來(lái)描述擴(kuò)域 的域元素，不同角度有不同的表示方法，使用不同的數(shù)學(xué)工具。從循環(huán)群的觀點(diǎn)看，非零域元素寫(xiě)成 的形式，利用的數(shù)學(xué)工具是近世代數(shù)。這種表示有利于研究循環(huán)碼。從多項(xiàng)式的觀點(diǎn)看，域元素寫(xiě)成 的形式，利用的數(shù)學(xué)工具是代數(shù)學(xué)。這種表示有利于研究編、解碼過(guò)程。從碼字觀點(diǎn)看，與元素寫(xiě)成一個(gè)m重 的形式。此m重也可以看成一個(gè)矢量或一個(gè)矩陣，于是可采用矢量代數(shù)、矩陣?yán)碚摷熬€性空間為數(shù)學(xué)工具，有利于研究碼的本質(zhì)特性。

30、胯辟省笛兒敗霖哆哺采逛品揚(yáng)漫龔反盟湯廚秒境衍腐蔡萄蘇都策戈晤女嘩第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第36頁(yè)，共46頁(yè)。2.3矢量空間 定義：對(duì)于數(shù)域（F，+）上n重有序元素的集合V， 集合V在矢量加運(yùn)算下構(gòu)成加群（V，+）； 矢量與標(biāo)量的標(biāo)乘封閉在V中，即 分配律、結(jié)合律成立，即 則稱矢量集合V是數(shù)域F上的n維矢量空間，也叫做n維線性空間。N維矢量也稱為n重（n-tuples）。 矢量空間中的矢量運(yùn)算服從矢量運(yùn)算法則，即若 矢量加 所得結(jié)果仍是矢量。 標(biāo)乘（標(biāo)量乘矢積） 所得結(jié)果是矢量。 點(diǎn)積或內(nèi)積（矢量乘矢量） 所得結(jié)果是標(biāo)量。 句儈炳汛丁靴扼拂咀苑資叉鴻鑷溶稼糜肇籍動(dòng)銅續(xù)姆摳語(yǔ)禮霸餓瘦嘔

31、明扔第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第37頁(yè)，共46頁(yè)。 1.線性組合 對(duì)于域F上的若干矢量 若滿足 則稱 是 的線性組合。 2.線性相關(guān) 對(duì)于域F上的若干矢量 若滿足 則稱矢量 線性相關(guān)。 如果上述條件不成立，稱這些矢量線性無(wú)關(guān)或線性獨(dú)立。從定義可以看到，只要線性相關(guān)的條件成立，就可以通過(guò)移項(xiàng)，將 中的仁一矢量表示為其他矢量的線性結(jié)合；相反，若一組矢量線性無(wú)關(guān)，則這組矢量的任一個(gè)都不能從其他矢量的線性組合生成。說(shuō)期肇卻黎抿森涪決遍桿腮荊鍺弱薯嘔菇書(shū)山溝練步閡姥災(zāi)宇椒熔瑚樹(shù)茄第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第38頁(yè)，共46頁(yè)。3.矢量空間的基底如果存在一組線性無(wú)關(guān)的矢量 這些矢量的線性

32、組合的集合可構(gòu)成一個(gè)矢量空間，則稱這組矢量為這個(gè)矢量空間的基底。N維矢量空間包含n個(gè)基底，可以說(shuō)，n個(gè)基底“張成”n維矢量空間。 例2.11 直角坐標(biāo)系中的任何點(diǎn)可用一個(gè)二維矢量（x,y）來(lái)表示，其中 （實(shí)數(shù)域）?？梢哉J(rèn)為兩維空間是有兩個(gè)矢量（1，0）和（0，1）作為基底張成的，空間的仁一矢量可由這兩個(gè)基底線性組合而成:（x，y）=x（1，0）+y（0，1）。也可以認(rèn)為該兩維空間是由兩個(gè)矢量（-1，0）和（0，-1）作為基底張成的，他們也可以組合出任何矢量 :（x，y）=-x（-1，0）-y（0，-1）?？梢?jiàn)，基地不是唯一的。把矢量元素中包含一個(gè)1而其余為0的那組基底稱為自然基底，如前面的（1，0）和（0，1）。事實(shí)上，自然基底在保持正交的前提下任意縮放或旋轉(zhuǎn)后仍是基底。赤矯憎截轟毗澳應(yīng)吻憨磚浙正衰匿式薩的拄刃犢急渙茍統(tǒng)陡市毗誣流訃蒼第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第二章近世代數(shù)簡(jiǎn)介第39頁(yè)，共46頁(yè)。 例2.12 二元擴(kuò)域 上的域元素 可一一對(duì)應(yīng)到三維矢量 其自然基底是（100），（010）和（001）。由于每個(gè)系數(shù)只有0，1兩種選擇