醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué) 計量資料的統(tǒng)計描述

1、計量資料的統(tǒng)計描述 statistical description本次課內(nèi)容一、頻數(shù)表二、計量資料的頻數(shù)分布三、集中趨勢指標四、離散趨勢指標五、正態(tài)分布頻數(shù)表的繪制頻數(shù)分布表（frequency distribution table)對資料中各變量值的頻數(shù)匯總而成的表格，用來反映各變量值與其頻數(shù)間的關(guān)系，可以觀察該資料的分布類型。是最基礎(chǔ)的統(tǒng)計描述。例：某市1995年110名7歲男童的身高(cm）某市1995年110名7歲男童的身高(cm）（1）計算極差：找出觀察值中最大值與最小值，二者之差稱為極差（全距Range)。R 表示。本例134.5-110.2=24.3。（2）決定組數(shù)（class

2、number)、組段(class)、組距(class interval)：組數(shù)：不宜過多或過少。8-12組組段：變量值的范圍。有上限，下限。組距：相鄰兩組段下限值之差稱為組距，一般等距，R/組數(shù)之商。本例：預(yù)分為10組，組距：24.3/10=2.43,取2自上而下、從小到大排列。第一組段包括最小值，最后組段包括最大值。某市1995年110名7歲男童的身高(cm）（3）列表劃記：將原始數(shù)據(jù)用劃記法做出頻數(shù)表，得出各組段的頻數(shù)、頻率、累計頻率。注意事項：A: 除最后組段除外，組段無上限。B: 盡量做到等組距。特殊情況特殊對待。如年齡，數(shù)值差異很大；C:要有頻數(shù)、頻率、累計頻率標記。某市1995年1

3、10名7歲男童的身高(cm）頻數(shù)表頻數(shù)表的用途：（1）揭示頻數(shù)的分布特征：兩個重要特征：集中趨勢（central tendency):數(shù)值高低不等，但中等水平的人數(shù)最多。離散趨勢（tendency of dispersion):是指一組數(shù)據(jù)背離分布中心值的特征，反映各變量值遠離其中心值的程度 。 身高(cm)某市1995年110名7歲男童的身高分布直方圖頻數(shù)圖（frequency diagram)：統(tǒng)計描述（statistical description)：描述必須基于資料的分布(distribution)類型，主要是資料的分布特征。分布類型不同，統(tǒng)計指標不同。分布：數(shù)值在所研究樣本（或總體）

4、中的存在狀態(tài)，通常用頻數(shù)(frequency)來表示。頻數(shù)：某變量值出現(xiàn)的次數(shù)（某現(xiàn)象發(fā)生的次數(shù)）。頻數(shù)的分布特征：集中趨勢（central tendency):數(shù)值高低不等，但中等水平的人數(shù)最多。離散趨勢（tendency of dispersion):數(shù)值之間參差不齊；逐漸變大（或變小）的人數(shù)漸少。向兩端分散。兩方面含義：數(shù)值大小和位置。集中趨勢central tendency平均數(shù)（average)：用于描述數(shù)值變量資料的集中趨勢（平均水平）。特點：簡明概括，便于比較。包括：算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)，中位數(shù)，百分位數(shù)1、算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean)一組變量值之和除以變量值個

5、數(shù)所得的商,簡稱均數(shù)?？傮w均數(shù) ，樣本均數(shù) 表示。適用條件：資料成正態(tài)分布（或近似正態(tài)，或?qū)ΨQ分布）。計算方法：直接法，加權(quán)法直接法：當樣本的觀察值個數(shù)不多時，將各觀察值X1，X2，Xn相加再除以觀察值的個數(shù)n（樣本含量）即得均數(shù)。 公式：加權(quán)法weighted method當觀察值個數(shù)較多時，可先將各觀察值分組歸納成頻數(shù)表，用加權(quán)法求均數(shù)。利用頻數(shù)表，計算組中值（為本組段的下限與相鄰較大組段的下限的均值），各組段頻數(shù)與組中值的乘積，近似等于該組變量值之和，各乘積之和除以總頻數(shù)，所得的商，就是均數(shù)。幾何均數(shù)是算數(shù)均數(shù)的近似值。均數(shù)的兩個重要屬性：（1）各離均差（各觀察值與均數(shù)之差）的總和等于零

6、。（2）離均差的平方和小于各個觀察值X與任何數(shù)a(a )之差的平方和。均數(shù)是一組觀察值理想的代表值。均數(shù)的應(yīng)用：（1）只能在合理分布的基礎(chǔ)上，對同質(zhì)事物求均數(shù)才有意義，才能反映事物的特性。（2）均數(shù)最適用于對稱分布，尤其是正態(tài)分布資料。此時，均數(shù)位于分布的中央，能反映觀察值的集中趨勢。2、幾何均數(shù)geometric mean G將n個觀察值的乘積再開n次方的方根（或各觀察值對數(shù)值均值的反對數(shù)）。適用條件： （1）觀察值為非對稱分布，差距較大，用算術(shù)均數(shù)表示其平均水平會受少數(shù)特大或特小值影響；（2）數(shù)值按大小順序排列后，各觀察值呈倍數(shù)關(guān)系或近似倍數(shù)關(guān)系。如：抗體滴度，藥物效價等直接法:當觀察例數(shù)

7、不多時采用。加權(quán)法：觀察例數(shù)多時采用。幾何均數(shù)的應(yīng)用：（1）常用于等比級數(shù)資料，滴度，效價，衛(wèi)生事業(yè)平均發(fā)展速度，人口幾何增長，對數(shù)正態(tài)分布資料；（2）觀察值不能有0；（3）觀察值不能同時有正值和負值。（4）同一組資料求得的幾何均數(shù)小于算術(shù)均數(shù)。中位數(shù)（median, M) ：位于中間位置上的數(shù)值。把一組觀察值，按大小順序排列，位置居中的變量值（奇數(shù)個）或位置居中的兩個變量值的均值（偶數(shù)個）。是位置指標，以中位數(shù)為界，將觀察值分為兩半，有一半比它大，一般比它小。適用于：（1）資料偏態(tài)分布；（2）兩端無確定數(shù)值；（3）資料分布不清楚；潛伏期，毒物測定值等用中位數(shù)表示其集中趨勢。中位數(shù)的算法：未分

8、組資料，依變量個數(shù)定。 分組資料，用下公式。L:中位數(shù)所在組的下限W:中位數(shù)所在組的寬度f:中位數(shù)所在組的頻數(shù)（例數(shù)）n:總頻數(shù)C:中位數(shù)所在組的前一組的累計頻數(shù)百分位數(shù)(percentile, P)：位于某個百分位置上的數(shù)值。把一組數(shù)據(jù)從小到大排列，分成100等份，各等份含1%的觀察值，處在分割界線上的數(shù)值，就是百分位數(shù)，Pr 表示。百分位數(shù)將總體或樣本的全部觀察值分為兩部分，理論上有r%的觀察值比它小，有（100-r）%的觀察值比它大。如含量為n的樣本，P5即表示：理論上有n5%個觀察值比P5小，有n95%個觀察值比P5大。常用的百分位數(shù)：5，25，75，95 分位數(shù)。百分位數(shù)頻數(shù)表法計算

9、：Pr:百分位數(shù)；L:該百分位數(shù)所在組段的下限；W: 組距；f:該百分位數(shù)所在組段的頻數(shù)； C: 小于L的各組段的累積頻數(shù)；n:樣本數(shù)中位數(shù)是特定的百分位數(shù)。中位數(shù)常用于描述偏態(tài)分布資料的集中趨勢，它反映居中位置的變量值的大小。不受特大，特小值的影響，只受位置居中的觀察值的影響，因而不夠敏感。而均數(shù)，幾何均數(shù)是由全部觀察值綜合計算出的，敏感性好。但理論上，中位數(shù)等于算術(shù)均數(shù)。百分位數(shù)常用于描述一組資料在某百分位置上的水平和分布特征。多個百分位數(shù)結(jié)合使用，可更全面地描述總體或樣本的分布特征，包括位置大小和變異度。百分位數(shù)常用于確定醫(yī)學(xué)正常值范圍（normal range)。醫(yī)學(xué)正常值范圍，不用樣

10、本觀察值的極差，習慣上用包括95%正常人的界值，百分位數(shù)是數(shù)列的百分界值。如：白細胞數(shù)的確定，過高，過低都屬異常，故計算P2.5，P97.5,為雙側(cè)的正常值范圍。如：肺活量95%正常值范圍，只有過低算異常，故計算P5.如：尿鉛,過高為異常，故計算P95.一般說，分布中部的百分位數(shù)相當穩(wěn)定，具有較好代表性，靠近兩端的百分位數(shù)，只在樣本含量足夠大時，才穩(wěn)定，故，樣本量不夠大時，不應(yīng)取太近兩端的百分位數(shù)。 以上是集中趨勢指標。A: 8 9 10 11 12B: 3 7 10 13 17 兩組均數(shù)都為10，但離散程度不同，B組較大。均數(shù)只反映平均水平，不能反映離散度。離散趨勢tendency of d

11、ispersion全距，四分位數(shù)間距，方差，標準差，變異系數(shù)全距（Range)：極大與極小值之差。全距大，資料離散程度大，但易受極端值大小的影響。樣本量越大，抽到極端值的可能性越大，全距可能會越大。故：全距不宜單獨使用。四分位數(shù)間距（quartile interval Q)：將一組資料分為四等份，上四分位數(shù)P75和下四分位數(shù)P25之差，叫四分位數(shù)間距。意義：Q越大，離散程度越大，通常用于描述偏態(tài)分布資料的離散程度。優(yōu)點：比全距穩(wěn)定；若資料一端或兩端無確切數(shù)值，只能選擇Q作為離散指標。缺點：未考慮全部觀察值，不能全面反映資料離散趨勢。方差（variance)和標準差(standard devia

12、tion SD)對總體而言，為了克服極差和四分位數(shù)間距的缺點，要描述資料的離散趨勢，必須考慮到各個觀察值，離均差的平方和是最好的指標， 為了消除例數(shù)的影響，將其取均值，就是方差。 總體方差： 樣本方差：標準差：方差的平方根的正值。 總體的標準差： 樣本的標準差：自由度=n-1樣本的標準差：分組資料的標準差計算意義：方差，標準差越大，變異程度越大。其值越小，觀察值的離散度越小，用均數(shù)反映平均水平的代表性越好。標準差應(yīng)用：（1）反映一組觀察值的離散程度： 直接比較標準差：數(shù)值單位相同; 計算變異系數(shù)：數(shù)值單位不同;變異系數(shù)（coefficient of variation, CV) 也稱離散系數(shù)（

13、coefficient of dispersion)標準差與均數(shù)之比用百分數(shù)表示。公式：常用于比較度量單位不同或均數(shù)相差懸殊的資料的變異。同時考慮了均數(shù)和標準差，更客觀。比如：身高，體重的變異比較；（2）估計變量值的頻數(shù)分布：正態(tài)曲線，正態(tài)分布normal distribution正態(tài)分布標準正態(tài)分布面積(或概率) -1 +1 -1 +168.27% 1.96 +1.96-1.96 +1.9695.00% 2.58 +2.58-2.58 +2.5899.00%（3）計算標準誤（4）估計醫(yī)學(xué)正常值范圍：雙側(cè)：均數(shù) 1.96倍標準差單側(cè)：均數(shù) 1.645倍標準差概念： 頻數(shù)分布以均數(shù)為中心，左右兩

14、側(cè)基本對稱，靠近均數(shù)兩側(cè)頻數(shù)較多，離均數(shù)愈遠，頻數(shù)愈少，形成一個中間多，兩側(cè)逐漸減少的對稱分布。是一種連續(xù)型分布。又稱高斯分布. 高斯(Johann Carl Friedrich Gauss，生于1777年4月30日于不倫瑞克，卒于1855年2月23日于哥廷根，德國著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家、物理學(xué)家。被認為是最重要的數(shù)學(xué)家，并有數(shù)學(xué)王子的美譽。 正態(tài)分布(normal distribution)正態(tài)分布用N(, )表示，其位置與均數(shù)有關(guān)，形狀與標準差有關(guān)。醫(yī)學(xué)現(xiàn)象許多呈正態(tài)分布，或近似正態(tài)分布：如正常人的生理，生化指標變量，等從直方圖到正態(tài)曲線的過渡對稱分布正（右）偏分布負（左）偏分

15、布幾種常見的頻數(shù)分布正態(tài)分布有兩個特征：對稱和正態(tài)峰。分布不對稱就是偏態(tài)。峰偏左，長尾向右側(cè)（即觀察值較大一端）伸延的叫右偏態(tài)，此時均數(shù)與眾數(shù)之差為正值，故稱正偏態(tài)；峰偏右，長尾向左側(cè)（即觀察值較小一端）伸延的叫左偏態(tài)，此時均數(shù)與眾數(shù)之差為負值，故稱負偏態(tài)。正態(tài)分布之所以重要, 三個主要原因:1. 正態(tài)分布在分析上較易處理。2. 正態(tài)分布之概率密度函數(shù)（p.d.f.，probability density function）的圖形為鐘形曲線(bell-shaped curve), 對稱, 很適合當做不少事件之機率模式。3. 正態(tài)分布可當做不少大樣本的近似分布。 正態(tài)分布的密度函數(shù)：式中為均數(shù)；

16、為標準差；為圓周率；為自然對數(shù)的底，即2.71828。以上均為常數(shù)，僅x為變量。主要特征1集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。 2對稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。 3均勻變動性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。 4正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均數(shù)和標準差，可記作N（，2）：均數(shù)決定正態(tài)曲線的中心位置；標準差決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。越小，曲線越陡峭；越大，曲線越扁平。 5u變換：為了便于描述和應(yīng)用，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。 標準正態(tài)分布:為了應(yīng)用方便，常將式進行變量變換，即：u變換. 所得到的新變量u的分布即為標準正態(tài)分布。

17、u的含義：變量到均數(shù)間的距離相當于標準差的倍數(shù)。標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：正態(tài)分布曲線的模擬u變換后，=0，=1，使原來的正態(tài)分布變換為標準正態(tài)分布（standard normal distribution）亦稱u分布。標準正態(tài)分布 N(0,1).正態(tài)分布的特征和分布規(guī)律： （1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交，當x=時，曲線位于最高點。 f(u=0)=0.3989（2）曲線關(guān)于直線x=左右對稱。（3）正態(tài)分布有兩個參數(shù):均數(shù),標準差;標準正態(tài)的參數(shù)分別為:0, 1（4）正態(tài)分布的面積分布有一定規(guī)律。正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律正態(tài)曲線下，橫軸上一定區(qū)間的面積,等于該區(qū)間的頻數(shù)發(fā)生的概率（即所有

18、隨機事件發(fā)生的概率）。面積可用積分求得。F(x)為正態(tài)變量X 的累積分布函數(shù)，反映正態(tài)曲線下，自- 到x的面積，即左側(cè)累積面積。 統(tǒng)計學(xué)家已經(jīng)按 編成了附表(p194)，標準正態(tài)分布曲線下的面積。應(yīng)用時注意：（1）當總體 ， 已知時，先計算u值，再用u值查表，得出所求區(qū)間面積占總面積的比例。如果未知，常分別用樣本均數(shù)和樣本標準差來估計。（2）曲線下對稱于0的區(qū)間，面積相等。如：區(qū)間（- ，-2.58）與區(qū)間（2.58， ）的面積相等。（3）曲線下橫軸上的總面積為100% 或為1。根據(jù)后兩個特征，可計算右側(cè)累積面積。3原則 P（-X+）=68.3%P（-2X+2）=95.4%P（-3X+3）=9

19、9.7%正態(tài)分布標準正態(tài)分布面積(或概率) -1_ +1 -1_+168.27%1.96_+1.96-1.96_+1.9695.00% 2.58_+2.58-2.58_+2.5899.00%正態(tài)分布和標準正態(tài)分布曲線下面積分布規(guī)律（-1，1），68.27%（-1.96，1.96），95%（-2.58，2.58），99%雙側(cè)概率單側(cè)概率正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律的應(yīng)用：一、確定醫(yī)學(xué)參考值范圍意義:是正常人指標測定值的波動范圍，可用于劃分正常，或異常。步驟：1、抽樣 2、控制測量誤差 3、取單側(cè)或雙側(cè) 4、選定合適的百分界限 5、資料正態(tài)性檢驗 6、進行參考值估計常用方法：正態(tài)分布法，對數(shù)正態(tài)分布法，百分位數(shù)法95%正常值范圍的估計適用對象雙側(cè)界限單側(cè)上界單側(cè)下界正態(tài)分布法正