人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一《1.4.1用空間向量研究直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系（1）》教案

1、1.4.1 用空間向量研究直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系（1）本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系，主要是平行。在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量語(yǔ)言，進(jìn)而運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀(guān)點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 能用向量語(yǔ)言描述直線(xiàn)和平面,理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量.B.能用向量語(yǔ)言表述直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行關(guān)系.C.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線(xiàn)

2、、平面平行關(guān)系的判定定理.D.能用向量方法證明空間中直線(xiàn)、平面的平行關(guān)系.1.數(shù)學(xué)抽象：直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量2.邏輯推理：直線(xiàn)、平面平行關(guān)系的判定；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決直線(xiàn)、平面的平行關(guān)系.1.教學(xué)重點(diǎn)：用向量語(yǔ)言表述直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行關(guān)系 2.教學(xué)難點(diǎn)： 用向量方法證明空間中直線(xiàn)、平面的平行關(guān)系 多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境導(dǎo)學(xué)牌樓與牌坊類(lèi)似,是中國(guó)傳統(tǒng)建筑之一,最早見(jiàn)于周朝。在園林、寺觀(guān)、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時(shí)牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門(mén)形構(gòu)筑物,一般較高大。如圖,牌樓的柱子

3、與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線(xiàn)與柱子垂直,我們就能知道下邊線(xiàn)與地面平行。這是為什么呢?二、探究新知一、空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示1.點(diǎn)的位置向量在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量OP來(lái)表示.我們把向量OP稱(chēng)為點(diǎn)P的位置向量.如圖. 2.空間直線(xiàn)的向量表示式如圖,a是直線(xiàn)l的方向向量,在直線(xiàn)l上取AB=a,設(shè)P是直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使得AP=ta,即AP=tAB.如圖,取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使OP=OA+ta,或OP=OA+tAB.式和式都稱(chēng)為空間直線(xiàn)的向量表示式.由

4、此可知,空間任意直線(xiàn)由直線(xiàn)上一點(diǎn)及直線(xiàn)的方向向量唯一確定.1.下列說(shuō)法中正確的是()A.直線(xiàn)的方向向量是唯一的B.與一個(gè)平面的法向量共線(xiàn)的非零向量都是該平面的法向量C.直線(xiàn)的方向向量有兩個(gè)D.平面的法向量是唯一的答案:B 解析:由平面法向量的定義可知,B項(xiàng)正確. 3.空間平面的向量表示式 如圖,取定空間任意一點(diǎn)O,空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使OP=OA+xAB+yAC.我們把這個(gè)式子稱(chēng)為空間平面ABC的向量表示式.由此可知,空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線(xiàn)向量唯一確定.4.平面的法向量如圖,直線(xiàn)l,取直線(xiàn)l的方向向量a,我們稱(chēng)向量a為平面的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和

5、一個(gè)向量a,那么過(guò)點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合P|aAP=0.點(diǎn)睛：空間中,一個(gè)向量成為直線(xiàn)l的方向向量,必須具備以下兩個(gè)條件:是非零向量;向量所在的直線(xiàn)與l平行或重合.2.若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量可以是()A.-1,12,-32 B.-1,-12,32 C.1,12,32 D.-23,13,1答案:D 解析: AB=(2,-1,-3)=-3-23,13,1,故選D.3.若兩個(gè)向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),則平面ABC的一個(gè)法向量為()A.(-1,2,-1)B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.

6、(-1,2,1)答案:A 解析:設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則nAB=0,nAC=0,即x+2y+3z=0,3x+2y+z=0.令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個(gè)法向量為n=(-1,2,-1).二、空間中直線(xiàn)、平面平行的向量表示 位置關(guān)系向量表示線(xiàn)線(xiàn)平行設(shè)1,2分別是直線(xiàn)l1,l2的方向向量,則l1l212R,使得1=2.線(xiàn)面平行設(shè)是直線(xiàn)l的方向向量,n是平面的法向量,l,則lnn=0.面面平行設(shè)n1,n2分別是平面,的法向量,則n1n2R,使得n1=n2.點(diǎn)睛：1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線(xiàn)線(xiàn)平行,根據(jù)共線(xiàn)向量定理,只需證明直線(xiàn)的方向向量12.此外,證明線(xiàn)面平行也可

7、用共面向量定理,即只要證明這條直線(xiàn)的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量線(xiàn)性表示即可.2.利用直線(xiàn)的方向向量證明直線(xiàn)與直線(xiàn)平行、直線(xiàn)與平面平行時(shí),要注意向量所在的直線(xiàn)與所證直線(xiàn)或平面無(wú)公共點(diǎn),證明平面與平面平行時(shí)也要注意兩平面沒(méi)有公共點(diǎn).4.若兩條直線(xiàn)的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線(xiàn)平行,則x=,y=.答案:-12；15 解析:因?yàn)閮蓷l直線(xiàn)平行,所以ab.于是2-6=4x=-5y,解得x=-12,y=15.5.若平面外的一條直線(xiàn)l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面的法向量為n=(4,-1,-2),則l與的位置關(guān)系是.答案:平行解析:因?yàn)閡n=(-1,2

8、,-3)(4,-1,-2)=0,所以u(píng)n.所以直線(xiàn)與平面平行,即l.例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E0,12,12,B(1,1,0),于是DE=0,12,12, DB=(1,1,0).設(shè)平面EDB的法向量為n=(x,y,z),則nDE,nDB,于是nDE=12y+12z=0,nDB=x+y=0,取x=1,則y=-1,z=1,故平

9、面EDB的一個(gè)法向量為n=(1,-1,1).延伸探究：本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個(gè)法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),因?yàn)閚1n2=0,所以n1n2. 利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組na=0,nb=0.(4)解方程組,取其中的一個(gè)解,即得法向量. 1.如圖所示,已知四邊

10、形ABCD是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1, AD=12,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量;(2)求平面SAB的一個(gè)法向量;(3)求平面SCD的一個(gè)法向量.解:以點(diǎn)A為原點(diǎn),AD、AB、AS所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D12,0,0,S(0,0,1).(1)SA平面ABCD,AS=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量.(2)ADAB,ADSA,AD平面SAB,AD=12,0,0是平面SAB的一個(gè)法向量.(3)在平面SCD中,DC=12,1

11、,0,SC=(1,1,-1).設(shè)平面SCD的法向量是n=(x,y,z),則nDC,nSC,nDC=0,nSC=0,得方程組12x+y=0,x+y-z=0,x=-2y,z=-y,令y=-1,得x=2,z=1,n=(2,-1,1).例2.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點(diǎn)P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點(diǎn).求證:PQRS.證明: (方法1)以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),PQ=(-3,2,1),R

12、S=(-3,2,1),PQ=RS,PQRS,即PQRS.(方法2)RS=RC+CS=12DC-DA+12DD1, PQ=PA1+A1Q=12DD1+12DC-DA,RS=PQ,RSPQ,即RSPQ.利用空間向量證明線(xiàn)與線(xiàn)平行的方法 要證明兩直線(xiàn)平行,可先求出兩直線(xiàn)的方向向量,然后證明兩直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn),從而證明兩直線(xiàn)平行.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線(xiàn)段A1D上,點(diǎn)Q在線(xiàn)段AC上,線(xiàn)段PQ與直線(xiàn)A1D和AC都垂直,求證:PQBD1.證明:以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方 體的棱長(zhǎng)為1,D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,

13、0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),設(shè)PQ=(a,b,c),則DA1PQ=0,ACPQ=0,即a+c=0,-a+b=0,取PQ=(1,1,-1).易知BD1=(-1,-1,1),PQ=-BD1,PQBD1,即PQBD1.例3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN平面A1BD.思路分析思路一:可證明MN與A1B,DB是共面向量;思路二:可證明MN與平面A1BD中的DA1是共線(xiàn)向量;思路三:可通過(guò)平面A1BD的法向量來(lái)證明.證明:(方法1)MN=C1N-C1M=12CB-12B1B=12

14、DB-12DC-12A1B+12A1B1=12DB-12A1B,MN,DB,A1B是共面向量.又MN平面A1BD,MN平面A1BD.(方法2)MN=C1N-C1M=12C1B1-12C1C=12(D1A1-D1D)=12DA1,MNDA1.又MN平面A1BD,MN平面A1BD.(方法3)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則可求得M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是MN=12,0,12,DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0).設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,

15、z),則nDA1=0,nDB=0,得x+z=0,x+y=0.取x=1,得y=-1,z=-1,n=(1,-1,-1).MNn=12,0,12(1,-1,-1)=0,MNn.又MN平面A1BD,MN平面A1BD. 利用空間向量證明線(xiàn)面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線(xiàn)的方向向量p與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量a,b是共面向量,即滿(mǎn)足p=xa+yb(x,yR),則p,a,b共面,從而可證直線(xiàn)與平面平行.(2)利用共線(xiàn)向量法:證明直線(xiàn)的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線(xiàn),再結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理即可證明線(xiàn)面平行.(3)利用法向量法:求出直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直

16、線(xiàn)與平面平行.3.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB=2, AF=1,M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn).求證:AM平面BDE.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ACBD=N,連接NE,則點(diǎn)N,E的坐標(biāo)分別是22,22,0,(0,0,1).所以NE=-22,-22,1.又點(diǎn)A,M的坐標(biāo)分別是(2,2,0),22,22,1,所以AM=-22,-22,1.所以NE=AM,且ANE,所以NEAM.又因?yàn)镹E平面BDE,AM平面BDE,所以AM平面BDE.例4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問(wèn):當(dāng)點(diǎn)Q在什

17、么位置時(shí),平面D1BQ平面PAO?思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線(xiàn)問(wèn)題或者利用兩個(gè)平面的法向量共線(xiàn)進(jìn)行證明.解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點(diǎn)Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則O12,12,0,P0,0,12,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),則Q(0,1,m).(方法1)因?yàn)镺P=-12,-12,12,BD1=(-1,-1,1),所以O(shè)PBD1,于是OPBD1.AP=-1,0,12,BQ=(-1,0,m),當(dāng)m=12時(shí),AP=BQ,即APBQ

18、,有平面PAO平面D1BQ,故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ平面PAO.(方法2)OA=12,-12,0,OP=-12,-12,12.設(shè)平面PAO的法向量為n1=(x,y,z),則有n1OA,n1OP,因此12x-12y=0,-12x-12y+12z=0,取x=1,則n1=(1,1,2).又因?yàn)锽D1=(-1,-1,1),QD1=(0,-1,1-m).設(shè)平面D1BQ的法向量為n2=(x,y,z),則有n2BD1,n2QD1,因此-x-y+z=0,-y+(1-m)z=0,取z=1,則n2=(m,1-m,1).要使平面D1BQ平面PAO,需滿(mǎn)足n1n2,因此1m=11-m=21,解得m=12,

19、這時(shí)Q0,1,12.故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ平面PAO. 利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行,然后借助向量共線(xiàn)進(jìn)行證明;(2)通過(guò)證明兩個(gè)平面的法向量平行證明.4.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN平面EFBD.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N2,32,4,E0,32,4,F(1,3,4).MN=1,32,0, EF=1,32,0,AM=(-1,0,4),BF=(-1,0,4)

20、.MN=EF,AM=BF.MNEF,AMBF.MN平面EFBD,AM平面EFBD.又MNAM=M,平面AMN平面EFBD.金題典例：如圖,在正方體ABCD-ABCD中,求證:平面ABD平面BDC.解題提示:證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線(xiàn);二是轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行即可.證明:(方法1) 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,1),D(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C(0,1,1),于是AB=(0,1,1), DB=(1,1,0), DB=(1,1,0),設(shè)平面ABD的法向量為n1=(x1,y1,z1),則

21、n1AB,nDB,即n1AB=y1+z1=0,n1DB=x1+y1=0.令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面ABD的一個(gè)法向量為n1=(-1,1,-1).設(shè)平面BDC的法向量為n2=(x2,y2,z2).則n2DB,n2DC,即n2DB=x2+y2=0,n2DC=y2+z2=0.令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC的一個(gè)法向量為n2=(-1,1,-1).所以n1=n2,所以n1n2, 故平面ABD平面BDC.(方法2)由方法1知AD=(1,0,1),BC=(1,0,1),AB=(0,1,1),DC=(0,1,1),所以AD=BC,AB=DC,即ADBC,ABDC,所以

22、AD平面BDC,AB平面BDC.又ADAB=A,所以平面ABD平面BDC.(方法3)同方法1得平面ABD的一個(gè)法向量為n1=(-1,1,-1).易知DB=(1,1,0),DC=(0,1,1).因?yàn)閚1DB=(-1,1,-1)(1,1,0)=0,n1DC=(-1,1,-1)(0,1,1)=0,所以n1也是平面BDC的一個(gè)法向量,所以平面ABD平面BDC.點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點(diǎn)的線(xiàn)段,特別是有垂直關(guān)系的一些幾何體,如正方體,長(zhǎng)方體,直棱柱,有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等,其中長(zhǎng)方體(或正方體)是最簡(jiǎn)單的模型.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生回顧

23、空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系，并提出運(yùn)用空間向量解法立體幾何的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)將空間幾何問(wèn)題代數(shù)化的基本思想由基本問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生感受到空間向量語(yǔ)言與立體幾何的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)將立體幾何問(wèn)題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 通過(guò)典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何問(wèn)題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.若不重合的直線(xiàn)l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則()A.

24、l1l2 B.l1l2 C.l1,l2相交但不垂直D.不能確定答案:A 解析:因?yàn)?-3=2-6=-26,所以ab.又直線(xiàn)l1,l2不重合,所以l1,l2平行.2.已知線(xiàn)段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線(xiàn)AB()A.與坐標(biāo)平面xOy平行B.與坐標(biāo)平面yOz平行C.與坐標(biāo)平面xOz平行D.與坐標(biāo)平面yOz相交答案:B 解析:因?yàn)锳(9,-3,4),B(9,2,1),所以 AB=(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)(1,0,0)=0,故直線(xiàn)AB與坐標(biāo)平面yOz平行.3.若平面,則下面可以是這兩個(gè)平面法向量的是()A.n1=(

25、1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案:D 解析:因?yàn)槠矫?所以?xún)蓚€(gè)平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項(xiàng)符合.4.已知l,且l的方向向量為(2,m,1),平面的法向量為1,12,2,則m=.答案:-8 解析:設(shè)a=(2,m,1),b=1,12,2.因?yàn)閘,所以ab.于是2+12m+2=0,則m=-8.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn), 求證:(1)FC1平面ADE;(2)平面ADE平面B1C1F.證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2