人教版（廣東專用）年高考數(shù)學(xué) 第六章 第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A

1、第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法12數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)證明當(dāng)n取_時(shí)命題成立，這一步是歸納奠基.(2)假設(shè)n=k(kn0,kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題也成立，這一步是歸納遞推.完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.第一個(gè)值n0(n0N*)n=k+13判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”).(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.( )(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.( )(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.( )4(4)不論是等式還是不等

2、式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk 到 nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).( )(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”，驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.( )5【解析】(1)錯(cuò)誤.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)可取值時(shí)結(jié)論成立，第一個(gè)可取值不一定是1.(2)錯(cuò)誤.例如，證明等式時(shí)，也可直接運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式證明.(3)錯(cuò)誤.用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)必須用上，否則就不是用數(shù)學(xué)歸納法證明.(4)錯(cuò)誤.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk 到 nk1時(shí)項(xiàng)數(shù)不一定都增加了一項(xiàng).(5)正確.當(dāng)n=1時(shí)左邊式子一共有4項(xiàng)，為1+2+22+23.答案:(1)

3、(2) (3) (4) (5) 61用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3,nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)n取何值時(shí)成立( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】選C.由已知條件n3,nN知，應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)n=3時(shí)不等式成立.72.若 則f(1)為( )(A)1 (B) (C)1+ (D) 【解析】選D.f(1)=83用數(shù)學(xué)歸納法證明： 時(shí)，在第二步證明從 nk 到 nk1 成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是( )(A)2k (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1【解析】選A.增加的項(xiàng)數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1)=2k，故選A.94用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)(n+n)= 2n13(2n

4、-1)(nN*)，由n=k到n=k+1時(shí)，等式左邊的變化是( )(A)多乘了(2k+1) (B)多乘了2(2k+1)(C)多乘了(2k+1)(2k+2) (D)多乘了2(k+1)10【解析】選B.當(dāng)n=k時(shí)，左邊=(k+1)(k+2)(k+k),當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k) =(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1),所以多乘了2(2k+1).115在數(shù)列an中，a1 且Sn=n(2n-1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式，其結(jié)果是_.【解析】由

5、a1 且Sn=n(2n-1)an得，a2 ，a3 ，a4 ，而可得答案: 12考向1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【典例1】(2012天津高考)已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10.(1) 求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式.(2) 記Tn=anb1+an-1b2+a1bn(nN*)，證明Tn+12=-2an+10bn(nN*).【思路點(diǎn)撥】(1)第一問可分別求出公差和公比即得通項(xiàng)公式.(2)第二問可用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立.13【規(guī)范解答】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2

6、q3,S4=8+6d,由條件得方程組：an=3n-1,bn=2n(nN*).(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式Tn+12=-2an+10bn(nN*)成立.當(dāng)n=1時(shí)，T1+12=a1b1+12=16，而-2a1+10b1=16,故等式成立；14假設(shè)當(dāng)n=k(k1,且kN*)時(shí)等式成立，即Tk+12=-2ak+10bk,則當(dāng)n=k+1時(shí)有：Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1

7、-12.15即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1時(shí)等式也成立.由和可知，對(duì)任意nN*,Tn+12=-2an+10bn(nN*)成立. 16【拓展提升】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的注意點(diǎn)(1)明確等式兩邊項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n=k到n=k+1時(shí)左邊的項(xiàng)是如何變化的，由此明確變形的目標(biāo).(2)注意合理利用恒等變形的常用方法.例如,因式分解、添拆項(xiàng)、配方等.17【變式訓(xùn)練】 是否存在常數(shù)a，b，c，使等式122232n(n1)2 (an2bnc)對(duì)一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論18【解析】把n1，2，3代入等式得方程組 解得猜想：等式122232n(n1)2 (3n211n10)

8、對(duì)一切nN*都成立19下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，由上面可知等式成立(2)假設(shè)nk(k1,kN*)時(shí)等式成立，即122232k(k1)2 (3k211k10)，則當(dāng)nk+1時(shí)，122232k(k1)2(k1)(k2)2 (3k211k10)(k1)(k2)2 (3k5)(k2)(k1)(k2)220當(dāng) nk1 時(shí)，等式也成立綜合(1)(2)，對(duì)nN*等式都成立21考向2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【典例2】由下列不等式： 你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明.22【思路點(diǎn)撥】觀察所給出的不等式，其左邊是若干個(gè)分式相加，分子都是1，分母由1開始，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大1，最后一項(xiàng)是2n-1，

9、因此左邊的式子為 不等式的右邊是一個(gè)分?jǐn)?shù)，依次為 由此可得到一般的不等式.證明可采用數(shù)學(xué)歸納法.23【規(guī)范解答】根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第n個(gè)不等式，即一般不等式為用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n=1時(shí)，1 ,猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN*)時(shí)，猜想成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)， 24即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，所以對(duì)任意的nN*，不等式都成立.25【拓展提升】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立，推證n=k+1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用

10、分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明.26【變式訓(xùn)練】求證：27【證明】(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊 不等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)命題成立，即則當(dāng)nk1時(shí)，當(dāng)nk1時(shí)不等式亦成立原不等式對(duì)一切n2，nN*均成立 28【備選考向】歸納、猜想、證明 【典例】 在數(shù)列an中，a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*,0).(1)求a2，a3，a4.(2)猜想an的通項(xiàng)公式，并加以證明.【思路點(diǎn)撥】利用遞推公式將n=1,2,3代入即可求得a2，a3，a4，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.29【規(guī)范解答】(1)a222(2)2222，a3(222)3(2)222323，a

11、4(2323)4(2)233424.(2)由(1)可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式為：an=(n-1)n+2n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a12，等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時(shí)等式成立，即ak=(k-1)k+2k，30那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k+1)-1k+1+2k+1,即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立，根據(jù)和可知，等式對(duì)任何nN*都成立31【拓展提升】解“歸納猜想證明”題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)(1)準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ).(2)通過觀察、分析、比較、聯(lián)想，猜想出一般結(jié)論.(3)對(duì)一般結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.32【

12、變式訓(xùn)練】數(shù)列an中，求a3,a4,猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.33【解析】因?yàn)閍1=1，a2= ，且 所以 同理可求得歸納猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.(1)當(dāng)n=1時(shí)，易知猜想正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN*)時(shí)，猜想正確，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，34即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確.由(1)(2)可知，猜想對(duì)任意正整數(shù)都正確. 35【備選考向】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題【典例】用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n+1)7n-1(nN*)能被9整除.【思路點(diǎn)撥】在第二步證明中，注意利用歸納假設(shè)，對(duì)n=k+1時(shí)的式子進(jìn)行合理變形.36【規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=1時(shí)，(31+1)7-1=

13、27能被9整除，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k1)時(shí)命題成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)7k+1-1+37k+1=(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+137=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.由于(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除，所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，故(3n+1)7n-1(nN*)能被9整除.38【拓展提升】證明整除問題的關(guān)鍵“湊項(xiàng)”證明整除問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，即采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，將n=k

14、+1時(shí)的式子湊出n=k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.39【變式訓(xùn)練】用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+2能被13整除，其中n為正整數(shù).【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，421+1+31+2=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN*)時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2).42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除,42(k+1)+1+3k+3能被13整除.40方法二：42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3

15、k+2)=(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113,42k+113能被13整除，42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立,由(1)、(2)知，對(duì)任意nN*，42n+1+3n+2都能被13整除.41【易錯(cuò)誤區(qū)】未運(yùn)用歸納假設(shè)致誤【典例】用數(shù)學(xué)歸納法證明：【誤區(qū)警示】 本題錯(cuò)誤在于證明當(dāng)n=k+1等式也成立這一步驟時(shí)，沒有運(yùn)用歸納假設(shè)，而是直接利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得 這是錯(cuò)誤的.42【規(guī)范解答】當(dāng)n=1時(shí)，左邊= ，右邊 等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN*

16、)時(shí)，等式成立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)， 即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.由知，等式對(duì)nN*成立.43【思考點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)注點(diǎn)在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，兩個(gè)步驟缺一不可，尤其是在證明第二步時(shí)，一定要運(yùn)用歸納假設(shè)，即運(yùn)用當(dāng)n=k時(shí)得到的結(jié)論，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題的正確性，否則，若沒有運(yùn)用歸納假設(shè)，即使證明出當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，也不是利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，這種證法是錯(cuò)誤的. 441.(2013廣州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2 則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上式子( )(A)k21(B)(k1)2(C)(D)(k21)(k22)(k1)245【解析】選D.當(dāng)n=k時(shí)，左端=

17、1+2+3+k2,當(dāng)n=k+1時(shí)，左端=1+2+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2，因此應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上式子(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.462.(2013九江模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明34n+1+52n+1(nN*)能被8整除時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)，對(duì)于34(k+1)+1+52(k+1)+1可變形為( )(A)5634k+1+25(34k+1+52k+1)(B)3434k+1+5252k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)47【解析】選A.當(dāng)n=k時(shí)，34k+1+52k+1能被8整除，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，34k+5+52k+3=52(34k+

18、1+52k+1)-5234k+1+34k+5=(34-52)34k+1+52(34k+1+52k+1)=5634k+1+25(34k+1+52k+1),故選A.483.(2013江門模擬)凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，凸(n+1)邊形有f(n+1)條對(duì)角線，則( )(A)f(n+1)=f(n)+n+1(B)f(n+1)=f(n)+n(C)f(n+1)=f(n)+n-1(D)f(n+1)=f(n)+n-249【解析】選C.凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，當(dāng)邊數(shù)增加1時(shí)，所得凸(n+1)邊形的對(duì)角線由三部分構(gòu)成：原來的f(n)條、原來的一條邊變成了對(duì)角線、新增加的頂點(diǎn)和原來的(n-2)個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成(n-2)條對(duì)角線，所以凸(n+1)邊形有對(duì)角線f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1(條).501.已知f(n)=12+22+32+(2n)2，則f(k+1)與f(k)的關(guān)系是( )(A)f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2(B)f(k+1)=f(k)+(k+1)2(C)f(k+1)=f(k)+(2k+2)2(D)f(k+1)=f(k)+(2k+1)251【解析】選A.由已知可得f(k)=