22.2相似三角形的判定(共3課時)教學設計

1、22.2相似三角形的判定第1課時相似三角形的判定(1)教學目標【知識與技能】掌握“兩角對應相等,兩個三角形相似”的判定方法;能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題.【過程與方法】經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程,進一步發(fā)展學生的探究、交流能力.【情感、態(tài)度與價值觀】培養(yǎng)學生敢于實踐、勇于發(fā)現(xiàn)、大膽探索、合作創(chuàng)新的精神.重點難點【重點】三角形相似的判定方法:1.兩角分別相等的兩個三角形相似.【難點】三角形相似的判定方法1的運用.教學過程一、創(chuàng)設情境,引入新課師:根據(jù)相似三角形的定義,三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.那么,兩個三角形至少要滿足哪些條件就相似呢?能否類比兩個三角形全等

2、的條件尋找判定兩個三角形相似的條件呢?今天這節(jié)課我們就一起來探索三角形相似的條件.二、探究新知問題1.如圖,在厶ABC中,D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線交AC于點E,那么ADE與ABC相似嗎？要證ADE與厶ABC相似,關(guān)鍵是要證明它們的對應邊長度的比相等，因為它們的對應角是分別相等的(為什么)？過點D作AC的平行線交BC于點F.DEBC,DFAC,=/=.四邊形DFCE是平行四邊形.DE=FC，即=.=,又VZA=ZA,ZB=ZADE,ZC=ZAED,.adesAabc.于是得到如下有用結(jié)論:平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交,截得的三角形與原三角形相似.(1)(

3、2)(3)師:觀察兩副三角尺,其中同樣角度（30與60,或45與45）的兩個三角尺大小可能不同,但它們看起來是相似的.問題2.一般地,如果兩個三角形有兩組角對應相等,它們一定相似嗎?師生活動:教師出示有兩組角對應相等的兩個三角形圖片,提出問題.學生細心觀察,交流討論.教師引導學生發(fā)現(xiàn):兩個三角尺的大小可能不同,但它們的形狀相同.學生從實物的比較中容易直觀地得到:如果兩個三角形有兩組角對應相等,它們很可能相似.作厶ABC與厶A1B1C1,使得ZA=ZA1，ZB=ZB1,這時它們的第三個角滿足ZC=ZC1嗎?分別度量這兩個三角形的邊長,計算、,你有什么發(fā)現(xiàn)?把你的結(jié)果與鄰座的同學比較你們的結(jié)論一樣

4、嗎?AABC與厶A1B1C1相似嗎？師生活動:教師引導學生度量并計算.學生獨立操作并判斷.師生通過試驗得出:這兩個三角形的第三個角滿足ZC=ZC1，邊滿足=.因此,如果兩個三角形有兩組角對應相等,那么這兩個三角形相似.問題3.分別改變這兩個三角形邊的大小,而不改變它們的角的大小,再試一試,是否有同樣的結(jié)論?師生活動:教師應用“幾何畫板”等計算機軟件做動態(tài)探究進行演示驗證,引導學生觀察在動態(tài)變化中存在的不變因素.學生利用刻度尺、量角器等作圖工具做靜態(tài)探究,學生思考得出結(jié)論.改變這兩個三角形邊的大小,而不改變它們的角的大小,這兩個三角形仍然相似.由此可得:三角形相似的判定方法1:兩角分別相等的兩個

5、三角形相似.（定理的證明由學生獨立完成）三、例題講解【例1】如圖,D、E分別是ABC的邊AB、AC上的點,DEBC,AB=7,AD=5,DE=10,求BC的長.解:.DEBC,AZADE=ZB,ZAED=ZC.ADEsAabC（兩角分別相等的兩個三角形相似）,BC=14.【例2】已知:如圖，矩形ABCD中,E為BC上一點,DF丄AE于F,若AB=4,AD=5,AE=6，求DF的長.分析:要求的是線段DF的長，觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)AB、AD、AE和DF這四條線段分別在ABE和厶AFD中，因此只要證明這兩個三角形相似，再由相似三角形的性質(zhì)可以得到這四條線段對應成比例，從而求得DF的長由于這兩個三角形

6、都是直角三角形，故有一對直角相等，再找出另一對角對應相等,即可用“兩角分別相等的兩個三角形相似”的判定方法來證明這兩個三角形相似.解:VDF丄AE于F,在矩形ABCD中,ZB=ZD.又VZBAE+ZDAF=90,ZFDA+ZDAF=90,AZBAE=ZFDA,.abesAdfa,.=,.DF=.四、鞏固練習1.如圖，若ZBEF=ZCDF,則【答案】AFEBFDCABD1yBCOAX第2題圖如圖，已知A(3,0),B(0,6)，且ZACO=ZBAO,則點C的坐標為,AC=【答案】(0,)已知，如圖,AABC中,DEBC,DFAC,則圖中共有對相似三角形.【答案】4點撥:兩條直線平行時，相應的角相

7、等.4如圖，若ZACD=Z8,則厶sH，對應邊的比例式為,ZADC=【答案】ACDABC=ZACB下列各組圖形一定相似的是（）有一個角相等的等腰三角形有一個角相等的直角三角形有一個角是100的等腰三角形有一個角是對頂角的兩個三角形【答案】C點撥:等腰三角形角相等時，要注意該角所在的位置.TOC o 1-5 h z如圖,AB=BC=CD=DE,ZB=90,則Z1+Z2+Z3等于（）45607590【答案】D點撥:AB=BC,ZB=9O,Z1=45.設AB=BC=CD=DE=1,則AC=,CE=2,=,=,ACEsHDCA,AZ2=ZCAE.VZ1=ZCAE+Z3=Z2+Z3,AZ1+Z2+Z3=

8、9O.五、課堂小結(jié)本節(jié)課學習了:平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交,截得的三角形與原三角形相似.三角形相似的判定方法1:兩角分別相等的兩個三角形相似.教學反思本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法1,本課教學力求使探究途徑多元化,把學生利用刻度尺、量角器等作圖工具做靜態(tài)探究與應用“幾何畫板”等計算機軟件做動態(tài)探究有機結(jié)合起來,讓學生充分感受探究的全面性,豐富探究的內(nèi)涵.另外小組合作學習的開展不僅提高了數(shù)學實驗的效率,而且培養(yǎng)了學生的合作能力.第2課時相似三角形的判定（2）教學目標【知識與技能】理解并掌握相似三角形的判定方法2、3.【過程與方法】培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納

9、的能力感受兩個三角形全等的兩種判定方法SSS和SAS與三角形相似定理的區(qū)別與聯(lián)系，體驗事物間特殊與一般的關(guān)系.【情感、態(tài)度與價值觀】讓學生經(jīng)歷從試驗探究到歸納證明的過程,發(fā)展學生合理的推理能力.重點難點【重點】兩個三角形相似的判定方法2、3及其應用.【難點】探究兩個三角形相似的判定方法2、3的過程.教學過程一、問題引入兩個三角形全等有哪些判定方法?（SSS,SAS,ASA,AAS定理.）我們學習過哪些判定三角形相似的方法?（三角形相似的定理兩角分別相等的兩個三角形相似）全等三角形與相似三角形有怎樣的關(guān)系?（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k=1）4如果要判定ABC與厶ABC相似，是不是一定

10、需要驗證所有的對應角和對應邊的關(guān)系?（不需要）二、新課教授由三角形全等的SSS判定方法,我們會想如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例,那么能否判定這兩個三角形相似呢?探究1:利用刻度尺和量角器畫厶ABC和厶ABC，使ZA=ZA,和都等于給定的值k,量出它們的第三組對應邊BC和BC的長,它們的比等于k嗎?另外兩組對應角ZB與ZB、ZC與ZC是否相等?改變ZA或k值的大小，再試一試是否具有同樣的結(jié)論？師生活動:教師提出問題,引導學生在稿紙上按要求畫圖.學生動手畫圖、測量,獨立研究.學生通過小組交流得出結(jié)論,教師進行補充.三角形相似的判定方法2:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

11、.探究2:任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍,度量這兩個三角形的對應角,它們相等嗎?這兩個三角形相似嗎?與同學交流一下,看看是否有同樣的結(jié)論.師生活動:教師提出問題,引導學生在稿紙上畫圖.學生動手畫圖、測量,獨立研究后再小組討論.三角形相似的判定方法3:三邊成比例的兩個三角形相似.三、例題講解【例1】在厶ABC和厶ABC中，已知下列條件成立，判斷這兩個三角形是否相似并說明理由.(1)AB=5,AC=3,ZA=45,AB=10,AC=6,ZA=45;ZA=38,ZB=97,ZA=38,ZB=45;(3)AB=2,BC=,AC=,AB=1,AC=.解:=,=.

12、VZA=ZA=45,.ABCsAaBC.ZB=180-(ZA+ZC)=180-(38+97)=45,.ZB=ZB=45.ZA=ZA=38,.ABCsAaBC.*=,=,.ABCsAaBC.【例2】如圖,BC與DE相交于點O.問當ZB滿足什么條件時,AABCsAaDE?當AC:AE滿足什么條件時,AABCsAaDE?分析:從圖中可以看出,在厶ABC與厶ADE中,ZA=ZA,根據(jù)三角形相似的判定定理只要ZB=ZD或AC:AE=AB:AD,都有ABCADE.解:(1)TZA=ZA,當ZB=ZD時,AABCsAaDE.(2)VZA=ZA,.當AC:AE=AB:AD時,ABCADE.【例3】如圖，方格網(wǎng)

13、的小方格是邊長為1的正方形,AABC與厶ABC的頂點都在格點上,判斷ABC與厶ABC是否相似，為什么？解:由于厶ABC與厶ABC的頂點均在格點上,根據(jù)勾股定理，得AB=,AC=2,BC=;AB=,AC=,BC=5.=,=,=,=,.ABCsAaBC.四、鞏固練習根據(jù)下列條件，判斷ABC和厶ABC是否相似,并說明理由.ZA=40,AB=8cm,AC=15cm,ZA=40,AB=16cm,AC=30cm;AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,AB=20cm,BC=16cm,AC=32cm.【答案】(1)相似,兩組對應邊的比相等,且夾角相等.(2)相似,三組對應邊的比相等.圖中的兩個三角形是

14、否相似?【答案】(1)相似;(2)不相似.要做兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形的三邊長分別為3、4、5,另一個三角形的一邊長為2,它的另外兩邊長為多少?你有幾個答案?【答案】1.5,2.5或1.2,1.6或,.五、課堂小結(jié)師:通過本節(jié)課的學習,同學們有什么體會與收獲?可以與大家分享一下嗎?學生發(fā)言:說說自己的體會與收獲,教師根據(jù)學生的發(fā)言予以點評.教學反思本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法2和判定方法3,由于上節(jié)課已經(jīng)學習了探究兩個三角形相似的判定方法1,而本節(jié)課內(nèi)容在探究方法上與上節(jié)課又具有一定的相似性,因此本課教學設計注意方法上的“新舊聯(lián)系”,以幫助學生形成認知上的正遷移.此外,

15、由于判定方法2的條件“相應的夾角相等”在應用中容易被學生忽視,所以教學中教師要強調(diào)以加深學生的印象.第3課時直角三角形相似的判定教學目標【知識與技能】使學生了解直角三角形相似定理的證明方法并會應用.【過程與方法】1.類比證明兩個直角三角形全等的方法,繼續(xù)滲透和培養(yǎng)學生對類比思想的認識和理解.2.通過了解定理的證明方法培養(yǎng)和提高學生利用已學知識證明新命題的能力.【情感、態(tài)度與價值觀】通過學習培養(yǎng)學生類比的意識,了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點.重點難點【重點】直角三角形相似定理的應用.【難點】了解直角三角形相似判定定理的證題方法與思路.教學過程一、復習引入師:我們學習了幾種判定三角形相似的方法

16、?學生回答:5種.師:哪5種?教師找一名學生回答,另一名或兩名學生補充完善.師:其中判定定理1、2、3的證明思路是什么?生:作相似證全等或作全等證相似.師:同學們還記得什么是“勾股定理”嗎?生:記得.師:請你敘述一下.學生回答.二、共同探究,獲取新知1.推理證明.師:判定兩個直角三角形是否全等時,除了用那些一般的方法外還可以用“HL的方法，那么判定兩個直角三角形相似是否也有類似的方法呢?教師多媒體課件出示:如圖，在RtABC和RtABC中,ZC=ZC=90,=,判斷RtABC與RtABC是否相似，為什么?師:已知一個直角三角形的斜邊、一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊、一條直角邊對應成比例,你

17、能判斷這兩個直角三角形是否相似嗎?學生思考、討論后回答.師:我們知道了哪些條件?生甲:兩個直角對應相等.生乙:兩邊對應成比例.師:你再添加什么條件就能證出這兩個三角形相似呢?生:還有剩下的一邊也是對應成比例的.師:為什么要這樣添加呢?生:因為添加了這個條件,就可以根據(jù)三邊對應成比例的兩個三角形相似判定這兩個三角形相似了.師:那么你怎么證明它們也是對應成比例的呢?學生思考.生:設=k,則AB=kAB.AC=kAC.根據(jù)勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示，進而可以用含AB的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kBC，所以就得到了三邊對應成比例，這兩個三角形相似.師:你回答得太好了!現(xiàn)在請同學們

18、寫出具體的步驟,然后與課本上的對照,將不完善的地方改正.學生證明并修改.證明:設=k，則AB=kAB,AC=kAC.*.*BC=k=kBC,=k,.ABCsAaBC.師:所以我們得到了判定兩個直角三角形相似的一個定理:如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似.2.例題.教師多媒體課件出示:【例】如圖,ZABC=ZCDB=90,CB=a,AC=b.問當BD與a、b之間滿足怎樣的函數(shù)表達式時,以點A、B、C為頂點的三角形與以點C、D、B為頂點的三角形相似？解:VZABC=ZCDB=90,當=時,ABCsCDB.IP=,BD=.又當

19、=時,ABCsBDC,即=,CD=.BD2=a2-()2,BD=.答:當BD=或BD=時，以點A、B、C為頂點的三角形與以點C、D、B為頂點的三角形相似.三、練習新知師:請同學們看課本84頁練習1后回答.生甲:AABF和厶ACE.生乙:AEDB和FDC.師:下面請同學們完成第2題.證明:(1)TAADC和厶ACB是直角三角形.ZA+ZACD=90,ZBCD+ZACD=90,ZA=ZBCD（同角的余角相等），又ZADC=ZCDB=90,ADCsCDB（兩角對應相等的兩個三角形相似）.=（相似三角形的對應邊成比例）./CD2=ADBD（比例的基本性質(zhì)）.（2）AZB=ZB（公共角）,ZACB=ZC

20、DB,ABCsCBD（兩角對應相等的兩個三角形相似）.=（相似三角形的對應邊成比例）./BC2=ABBD（比例的基本性質(zhì)）.za=za（公共角）.ZACB=ZADC,.ABCsACD（兩角對應相等的兩個三角形相似）.=（相似三角形的對應邊成比例）.AC2=ABAD（比例的基本性質(zhì)）.師:很好!現(xiàn)在請同學們看第3題.學生計算后回答,然后集體訂正得到:解:（1）相似.證明如下:*.*BC=6,這兩個直角三角形相似.（2）相似.證明如下:VAB=15,這兩個直角三角形相似.四、鞏固提高師:經(jīng)過剛才的了解，同學們掌握得怎么樣呢?讓我出幾道題目來考考大家.B1小明在一次軍事夏令營活動中進行打靶訓練,在用

21、槍瞄準點B時要使眼睛0、準星A、目標B在同一條直線上，如圖所示，在射擊時，小明有輕微的抖動，致使準星A偏離到A.若OA=0.2m,OB=40m,AA=0.0015m,則小明射擊到的點B偏離目標點B的長度BB約為（）TOC o 1-5 h z3m0.3m0.03m0.2m【答案】B2.如圖，在ABC中,ZC=90,ZB=60,D是AC上一點,DE丄AB于E點,且CD=2,DE=1，則BC的長為（）2B.24【答案】B3.在RtABC和RtABC中,ZC=ZC=90,下列條件不能判斷它們相似的是（）A.ZA=ZBB.AC=BC,AC=BCAB=3BC,AB=3BCAABC中有兩邊長為3、4,AABC中有兩邊長為6、8【答案】D4.如圖，在ABC中,ZC=90,E是AC的中點，且AB=5,AC=4,過點E作EF