直線,平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、點(diǎn).第二章直線.平面之間的位置關(guān)系立體幾何本章內(nèi)容2.1 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第二章 小結(jié)2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定(第一課時)復(fù)習(xí)與提高2.3.1 直線與平面垂直的判定(第二課時)2.3.2 平面與平面垂直的判定(第一課時)2.3.2 平面與平面垂直的判定(第二課時)2.3.3 直線與平面2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)第一課時直線與平 面垂直的判定2.3.1返回目錄學(xué)習(xí)要點(diǎn)1. 直線和平面垂直是怎樣定義的? 2. 用直線和平面垂直的判定定理證明線面垂直需要哪些條件?

2、 問題 1. 在你的感覺中, 直線和平面垂直是怎樣一種情況? 你能說出我們教室里直線與平面垂直的例子嗎? 你認(rèn)為怎樣定義直線與平面垂直恰當(dāng)? 如果直線 l 與平面 a 內(nèi)的任意一條直線都垂直, 我們就說直線 l 與平面 a 互相垂直, 記作 la, 直線 l 叫做平面 a 的垂線, 平面 a 叫做直線 l 的垂面. 線面垂直是線面相交的一種特殊情況, 線面垂直, 有且只有一個公共點(diǎn), 即交點(diǎn), 這個交點(diǎn)叫做線面垂直的垂足. 直線與平面垂直的定義: 1. 直線與平面垂直的定義 畫直線和水平平面垂直, 要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直. 畫直線和豎直平面垂直, 要把直線畫成和表示平面的

3、平行四邊形的豎直邊垂直.allabmm b 問題2: 已知平面 a 和空間任意一點(diǎn) P, 過點(diǎn) P 能作 a 的幾條垂線? 為什么?aP 結(jié)論: 過空間任意一點(diǎn), 有且只有一條直線和已知平面垂直.如果有兩條, PAa, PBa,只有一條.垂足分別為 A, B.則 PA, PB 確定的平面與 a 相交于一直線 AB.AB于是 PAAB, PBAB,則在平面PAB內(nèi)過一點(diǎn)有兩條直線和已知直線垂直,根據(jù)平面幾何知識, 這顯然不對. 問題 3. (1) 請同學(xué)們用一塊三角板的一條直角邊放在桌面內(nèi), 另外一條直角邊不在桌面內(nèi), 請問這另一條直角邊與桌面垂直嗎? (2) 用一張有一定硬度的紙將一邊對折后又

4、展開,并將所折的邊放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面? 有不垂直的可能嗎? 用定義判斷線面垂直不太方便, 怎樣有較方便的方法判斷線面垂直呢, 我們先看下面的問題.ABCD當(dāng)A、B、C 不共線時,折痕DC垂直桌面;當(dāng)A、B、C 共線時,折痕DC不一定垂直桌面.2. 直線與平面垂直的判定 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直, 那么這條直線垂直于這個平面.符號表示:labala,lb,aa,ba,ab, la.直線與平面垂直的判定定理:由線線垂直得線面垂直. 問題 4. 一旗桿高 8 m, 在它的頂端系兩條長10m 的繩子, 拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn) ( 與旗桿腳不在同一直線

5、上). 如果這兩點(diǎn)與旗桿腳相距 6m, 那么旗桿就與地面垂直, 為什么?ABCD如圖,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,ABC和ABD的三邊滿足勾股定理, ABBC,ABBD,而 BC、BD在地面內(nèi),C、B、D不在同一直線上,即 BC, BD相交,由線面垂直的判定定理知旗桿垂直于地面.a例 1. 如圖, 已知 ab, aa. 求證: ba.am證明:在 a 內(nèi)任作兩相交直線 m、n, aa,ma, am, an, ba, bm, bn,又 m 與 n 相交, ba. 結(jié)論: 兩平行線中的一條垂直于一個平面, 那么另一條也垂直于這個平面.bnna, 練習(xí)(補(bǔ)充). 已知 PQ 是平面

6、a 的垂線段, PA 是平面 a 的斜線段, 直線 la. 求證: (1) 若 lPA, 則 lQA; (2) 若 lQA, 則 lPA.alPQA證明:(1)PQa, la.PQl.若 lPA, l平面PQA.QA平面PQA,lQA. 練習(xí)(補(bǔ)充). 已知 PQ 是平面 a 的垂線段, PA 是平面 a 的斜線段, 直線 la. 求證: (1) 若 lPA, 則 lQA; (2) 若 lQA, 則 lPA.alPQA證明:(2)PQa, la.PQl.若 lQA, l平面PQA.PA平面PQA,lPA. 練習(xí)(補(bǔ)充). 已知 PQ 是平面 a 的垂線段, PA 是平面 a 的斜線段, 直線

7、la. 求證: (1) 若 lPA, 則 lQA; (2) 若 lQA, 則 lPA.alPQAQ 為垂線段 PQ 的垂足.A 為斜線段 PA 的斜足.QA 為斜線 PA 在平面 a 上的射影.有三條線:平面的斜線,斜線在平面上的射影,平面內(nèi)的一條直線 l.結(jié)論:如果 l 斜線, 則 l射影;如果 l射影, 則 l斜線.(三垂線定理) 探究題. 如圖, 直四棱柱 ABCD-ABCD ( 側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱 ) 中, 底面四邊形ABCD 滿足什么條件時, ACBD?ABCDABCD分析:由題中定義知,側(cè)棱 AA平面ABCD,從而 AABD.又要使 ACBD,則需 BD平面AAC.所以

8、需在平面AAC內(nèi)另找一條直線容易考慮的是AC是否滿足?要使ACBD, 四邊形ABCD需滿足:BA=BC, 且DA=DC.與BD垂直且與AA相交. (改為如下的證明題, 請同學(xué)們給出證明) 如圖, 直四棱柱 ABCD-ABCD ( 側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱 ) 中, 已知 AB=BC, AD=DC, 求證: BDAC.ABCDABCD證明:連結(jié)AC,AB=BC ,BDAC,AA平面ABCD AABD, BD平面AACC,BDAC.(定義)(判定)(定義)AD=DC ,AAAC=A,AC 平面AACC,練習(xí): (課本67頁)第 1、2 題.練習(xí): (課本69頁) 1. 如圖, 在三棱錐 V-

9、ABC中, VA=VC, AB=BC, 求證: VBAC.ABCV練習(xí): (課本67頁)證明:D取 AC 邊的中點(diǎn) D,連接 VD, BD. VA=VC, VDAC,VB=BC, BDAC, AC平面VDB,而 VB平面VDB,ACVB. 2. 過ABC所在平面 a 外一點(diǎn) P, 作 POa, 垂足為 O, 連接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 則 O 是 AB 邊的 . (2) 若 PA=PB=PC, 則 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 則 O 是ABC的 心.ABCPOa解:(1)如圖,POa,則POA=POB=P

10、OC=90,又 PA=PB=PC,POAPOBPOC,得 OA=OB=OC,又C=90,直角三角形到三頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn).中點(diǎn) 2. 過ABC所在平面 a 外一點(diǎn) P, 作 POa, 垂足為 O, 連接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 則 O 是 AB 邊的 . (2) 若 PA=PB=PC, 則 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 則 O 是ABC的 心.Oa解:(2)由(1)得 OA=OB=OC,中點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等外ABCP的點(diǎn)是三角形的外心. 2. 過ABC所在平面 a 外一點(diǎn) P, 作 POa

11、, 垂足為 O, 連接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 則 O 是 AB 邊的 . (2) 若 PA=PB=PC, 則 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 則 O 是ABC的 心.Oa解:(3)中點(diǎn)外由 PAPB, PAPC,得 PA平面PBC,PABC.又由 POa 得 POBC,于是得 BC平面POA,BCAO.同理可得 ABCO,O 為ABC的垂心.垂ABCP練習(xí): (課本69頁) 如圖, 正方形 SG1G2G3中, E, F 分別是 G1G2, G2G3 的中點(diǎn), D 是 EF的中點(diǎn), 現(xiàn)在沿 SE, SF 及 E

12、F 把這個正方形折成一個四面體, 使 G1, G2, G3 三點(diǎn)重合, 重合后的點(diǎn)記為 G, 則在四面體 S-EFG 中必有( ) (A) SGEFG所在平面 (B) SDEFG所在平面 (C) GFSEF所在平面 (D) GDSEF所在平面SEFDG1G2G3GEFDSA【課時小結(jié)】1. 線面垂直的定義 若直線 l 垂直平面 a 內(nèi)的任意一直線, 則叫 la.應(yīng)用:若 la, 則 l 垂直平面 a 內(nèi)的任意一直線.la,ma,lm.【課時小結(jié)】2. 線面垂直的判定定理 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直, 那么這條直線垂直于這個平面.la,lb,ab=P,la.aa,ba,【課時小

13、結(jié)】3. 相關(guān)結(jié)論 過空間任意一點(diǎn), 有且只有一條直線和已知平面垂直. 兩平行線中的一條垂直于一個平面, 那么另一條也垂直于這個平面. 如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的斜線, 則這條直線垂直斜線在平面上的射影; 如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的一條斜線在平面上的射影, 則這條直線垂直斜線.習(xí)題 2.3B 組第 2、4 題習(xí)題 2.3B 組 2. 如圖, 棱錐 V-ABC中, VO平面 ABC, OCD, VA=VB, AD=BD, 你們能判定 CDAB 以及 AC=BC 嗎?VABCDO答: 能判定.由 VA=VB, AD=BD 得, VDAB.又由VO平面 ABC 得, VOAB.于是得AB平面

14、VOD, OCD, ABOD. ABCD,而 AD=BD,從而得 AC=BC. 4. 如圖, AB 是 O 的直徑, 點(diǎn) C 是 O 上的動點(diǎn), 過動點(diǎn) C 的直線 VC 垂直于 O 所在平面, D, E 分別是 VA, VC 的中點(diǎn). 試判斷直線 DE 與平面 VBC 的位置關(guān)系, 并說明理由.VABCDEO解:DE平面VBC.由直徑所對的圓周角是直角得ACBC.又由 VC 垂直于 O 所在平面得ACVC.而 D, E 分別是 VA, VC 的中點(diǎn)得DE/AC, DE平面VBC. AC平面VBC.第二課時直線與平 面垂直的判定2.3.1返回目錄學(xué)習(xí)要點(diǎn)1. 什么是斜線在平面上的射影? 2.

15、直線和平面所成的角是由哪些元素構(gòu)成? 其范圍是多少? 3. 求直線和平面所成角的大小時, 應(yīng)掌握哪些要點(diǎn)? 問題5. 如圖, 直線 l 與平面 a 斜交于一點(diǎn) A, 過點(diǎn) A 在平面 a 內(nèi)作直線 l1, l2, l3, , 這些直線與直線 l 的夾角中, 你認(rèn)為哪個角最小? 怎樣確定這個最小的角?lal4Al3l1l2P過 l 上任一點(diǎn) P 作平面 a 的O垂線 PO, 垂足為 O, 連結(jié) AO,則PAO 就是那個最小的角.【直線和平面所成的角】 問題5. 如圖, 直線 l 與平面 a 斜交于一點(diǎn) A, 過點(diǎn) A 在平面 a 內(nèi)作直線 l1, l2, l3, , 這些直線與直線 l 的夾角中

16、, 你認(rèn)為哪個角最小? 怎樣確定這個最小的角?lal4Al3l1l2PO 一條直線 PA 和一個平面 a 相交, 但不垂直, 這條直線叫做這個平面的斜線, 其交點(diǎn) A 叫做斜足. 過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線 PO, 過垂足 O 和斜足 A 的直線 AO 叫斜線在平面上的射影. 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角, 叫做這條直線和這個平面所成的角.【直線和平面所成的角】aOPQPOa = O,PQa, Q 為垂足,則 OQ 是 PO 在平面 aPOQ 是斜線 PQ 與平面 a 所成的角.上的射影. 特例1: 如果直線垂直平面, 直線和平面所成的角為直角; 特例2: 如果直線和平面

17、平行或在平面內(nèi), 就說直線和平面所成的角是0的角. 問題6. 已知直線 l1、l2 和平面 a 所成的角相等, 能否判斷 l1l2? 反之, 如果 l1l2, l1, l2 與平面a 所成的角是否相等?如圖,aABCDOABa, CDa,AOB =COD.而 AO 與 CO 不平行.aABCDO1O2如圖,ABCD,AO1a, CO2a,則 AO1CO2,于是得BAO1=DCO2,則在直角三角形中得ABO1=CDO2.結(jié)論: 和同一平面所成的角相等的兩條斜線不一定平行.兩條平行線和同一個平面所成的角一定相等. 例2. 如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中, 求直線 A1B 和平面 A

18、1B1CD 所成的角.ABCA1B1C1D1D分析:需在平面A1B1CD上找到直線A1B的射影.即需找過A1B上的點(diǎn)垂直平面A1B1CD的直線.O而 BB1, BC不可能垂直平面A1C,易看出對角線 BC1 有可能.因?yàn)锽C1B1C,還容易看出BC1A1B1,于是可連結(jié)BC1, 交B1C于O,即A1O就是要找的射影.BA1O就是所要求的線面角,則可在RtBA1O中求. 例2. 如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中, 求直線 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.ABCA1B1C1D1D解:連結(jié) BC1, 交 B1C 于 O,則在正方形BCC1B1中, BC1B1C.又A1B1平面B

19、CC1B1,得 A1B1BC1.O則 BC1平面A1B1CD, O為垂足.得 A1O為A1B在平面A1B1C1D上的射影.BA1O就是直線A1B和平面A1B1CD所成的角,在 RtBA1O 中, A1B=BC1=2BO,得BA1O=30.直線 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角是30. 例2. 如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中, 求直線 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.ABCA1B1C1D1D求線面角的要點(diǎn):(1) 找斜線在平面上的射影,確定線面角.(2) 構(gòu)造含線面角的三角形,O通常構(gòu)造直角三角形.(3) 在三角形中求角的大小.練習(xí)(補(bǔ)充)ABCA1B1C1D1D如

20、圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中,(1) 求對角線 A1C 與平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2) 求 AA1 與平面 A1BD 所成角的正切值.解:(1)A1C是平面B1BCC1的斜線,A1B1是平面B1BCC1的垂線,B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,則A1CB1為所求的線面角.在RtA1B1C中,即 A1C 與平面 B1BCC1 所成角的正切值為練習(xí)(補(bǔ)充)ABCA1B1C1D1DO如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中,(1) 求對角線 A1C 與平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2) 求 A1A 與平面 A1BD 所成角的正切值.解:(2)取 B

21、D 的中點(diǎn) O,連結(jié) AO, A1O,過點(diǎn) A 作 AEA1O, 垂足為 E.AB=AD, A1B=A1D,EBDAO, BDA1O,則 BD平面A1AO,得 BDAE.由得AE平面A1BD.A1E是A1A在平面A1BD上的射影,ABCA1B1C1D1DOE練習(xí)(補(bǔ)充)如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中,(1) 求對角線 A1C 與平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2) 求 A1A 與平面 A1BD 所成角的正切值.解:(2)取 BD 的中點(diǎn) O,連結(jié) AO, A1O,過點(diǎn) A 作 AEA1O, 垂足為 E.AB=AD, A1B=A1D,BDAO, BDA1O,則 BD平面A1

22、AO,得 BDAE.由得AE平面A1BD.A1E是A1A在平面A1BD上的射影,則 AA1E 為所求的線面角.在 RtA1AO 中,即 A1A 與平面 A1BD所成角的正切值為【課時小結(jié)】1. 直線和平面所成的角(1) 平面的斜線與平面所成的角斜線與射影的夾角(銳角).(2) 平面的垂線與平面所成的角為90.(3) 平面的平行線或在平面內(nèi)的直線與 平面所成的角為0. 斜線和平面所成的角是斜線和平面內(nèi)所有直線所成角中最小的.兩條平行線和同一個平面所成的角相等.【課時小結(jié)】2. 求線面角的要點(diǎn) (1) 找斜線在平面上的射影, 確定線面角. (2) 構(gòu)造含角的三角形, 用三角函數(shù)求解.練習(xí)(補(bǔ)充)

23、2. 已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于 2, 底面是等邊三角形, 側(cè)棱與底面所的角為60, 求三棱錐的體積. 1. 若一直線與平面所成的角為 則此直線與該平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是 . 3. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 直線A1B與平面BC1D1所成的角為 .CDABC1D1A1B1 1. 若一直線與平面所成的角為 則此直線與該平面內(nèi)任一直線所成的角的取值范圍是 .aABCDP解:如圖,直線AB是直線PC在平面 a 內(nèi)的射影,直線 PC 與平面 a 內(nèi)的直線所成的角中,PCA最小,直角最大.則PC與平面內(nèi)任一直線所成的角的范圍是 2. 已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于 2, 底面是

24、等邊三角形, 側(cè)棱與底面所成的角為60, 求三棱錐的體積.OABCP解:作PO底面ABC, 垂足為O,如圖, O 為底面正三角形的中心,則PAO=PBO=PCO=60,PA=PB=PC=2.得 RtPOARtPOBRtPOC,于是得 OA=OB=OC.得 AO=1,底面ABC的高AE=E則 BC=2BE= 2. 已知三棱錐的三條側(cè)棱長都等于 2, 底面是等邊三角形, 側(cè)棱與底面所的角為60, 求三棱錐的體積.OABCP解:作PO底面ABC, 垂足為O,如圖, O 為底面正三角形的中心,則PAO=PBO=PCO=60,PA=PB=PC=2.得 RtPOARtPOBRtPOC,于是得 OA=OB=

25、OC.得 AO=1,底面ABC的高AE=E則 BC=2BE=棱錐的體積為 3. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 直線A1B與平面BC1D1所成的角為 .CDABC1D1A1B1解:平面BC1D1就是平面ABC1D1,如圖,E連結(jié)A1D, 交AD1于E,則A1EAD1,A1EAB, A1E平面ABC1D1,連結(jié)BE,則A1BE就是A1B與平面BC1D1所成的角,設(shè)正方體的棱長為a,在RtA1ED中,A1BE=30.302.3.2平面與平面垂直的判定第一課時返回目錄學(xué)習(xí)要點(diǎn)1. 什么叫二面角? 2. 二面角的大小是由什么確定的? 求二面角的大小的關(guān)鍵是什么? 問題 1. 當(dāng)我們要求別人將一

26、扇門(如教室門)開大點(diǎn), 或開小點(diǎn)時, 用什么來度量, 使開門的人能準(zhǔn)確地按要求開門? 如圖, 兩個平面相交, 常要研究交成的角的大小, 這就需要引入二面角.【1】二面角 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面.如圖,ablABPQ記作 二面角 a-l-b,或 二面角 a-AB-b,二面角 P-l-Q,二面角 P-AB-Q.【2】二面角的平面角ablABOabl 要研究和度量二面角的大小, 我們把它轉(zhuǎn)化成從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線的夾角. 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn), 在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線, 這兩條射線所成的角叫做

27、二面角的平面角.如圖,以棱 l 上任一點(diǎn)O為端點(diǎn),在半平面 a 內(nèi)作OAl,在半平面 b 內(nèi)作OBl,則AOB就是二面角a-l-b 的平面角.AOB的大小就是二面角 a-l-b 的大小.二面角的大小就由它的平面角確定.ABO衛(wèi)星軌道平面68.5我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的傾角是68.5.赤道平面即衛(wèi)星軌道平面與赤道平面所成的二面角是68.5. 問題 2. 如圖, ABC和DBC是空間的兩個等邊三角形, ABD和ACD是二面角 A-BC-D的平面角嗎? 如果不是, 你能找出它的一個平面角嗎? 答: ABD和ACD都不是二面角A-BC-D的平面角, 因?yàn)樗鼈兊倪吪c二面角的棱BC不垂直.取BC的中

28、點(diǎn)E, 連結(jié)AE、DE, AED就是二面角A-BC-D的平面角.則AEBC, DEBC,ABCDEABCDA1B1C1D1 問題3. 如圖, 正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 a, 怎樣計(jì)算二面角 A1-BD-C1 的大小.解:取 BD 的中點(diǎn) O,連結(jié) A1O, C1O.A1B=A1D, C1B=C1D,OA1OBD, C1OBD,則A1OC1 就是二面角A1-BD-C1 的平面角.連結(jié) A1C1.可算出 A1C1O 的邊A1C1, A1O, C1O.以后學(xué)了余弦定理即可解得A1OC1.E也可作A1C1的高OE, 在直角三角形中求角. 例(補(bǔ)充). 如圖, 在四棱錐 P-ABCD

29、 中, AB/DC, ABBC, PC平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角P-AD-C 的正切值.分析:目標(biāo):在平面 PAD 內(nèi)找 AD 的垂線,在平面 ABCD 內(nèi)找 AD 的垂線.憑直觀, 考查圖中已有的角,找二面角P-AD-C 的平面角.線, 點(diǎn)等.PD, CDAD 否?不垂直.PA, BAAD 否?BA與AD不垂直.則考慮連結(jié) AC,得ACD=45,如果ACAD,需CDA=45.在底面梯形中可求得CDA=45.ABCDP 例(補(bǔ)充). 如圖, 在四棱錐 P-ABCD 中, AB/DC, ABBC, PC平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角

30、P-AD-C 的正切值.解:PC=CB=BA=2, DC=4,ABCDPABCE 是正方形.E取 DC 的中點(diǎn) E, 連結(jié) AE, AC.得 AEDC, AE=DE,ADAC.PC平面ABCD,則 ADE=45.PCAD.ABBC,又ACD=45,則 AD平面 PAC,得 ADPA.則PAC為二面角P-AD-C 的平面角.在底面求得 AC=tanPAC=練習(xí)(補(bǔ)充) 1. 在正方體ABCD-ABCD中, 求二面角 A-BC-B的正切值.ABCDABCD 2. 30 的二面角的一個半平面內(nèi)有一點(diǎn) P, 這點(diǎn)到棱的距離為 h, 求點(diǎn) P 到另一個半平面的距離. 1. 在正方體ABCD-ABCD中,

31、 求二面角 A-BC-B的正切值.ABCDABCDG解:連接 BC交 BC 于 G,連結(jié)AG,ABBC,則 BGBC.得 BCAG.BC平面ABG.AGB 為二面角 A-BC-B 的平面角.在RtABG中,則 BG =設(shè) AB=1, 2. 30 的二面角的一個半平面內(nèi)有一點(diǎn) P, 這點(diǎn)到棱的距離為 h, 求點(diǎn) P 到另一個半平面的距離.解:PQl 于Q,作 POb, Ob,連結(jié) OQ.則 PQO=30.PQO是二面角的平面角.在RtPOQ中,PO=則 PQl.blQaPO如圖,二面角a-l-b 是30.Pa,PQ=h. l平面 POQ,即點(diǎn) P 到 b 的距離是則 lOQ.【課時小結(jié)】1. 二

32、面角 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面.ablABPQ記作 二面角 a-l-b,二面角 a-AB-b,二面角 P-l-Q,二面角 P-AB-Q.【課時小結(jié)】2. 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn), 在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線, 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角確定.ablABOablABO AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.【課時小結(jié)】3. 求二面角的大小(1) 找到二面角的兩個半平面與棱.(2) 找二面角的平面角. 在兩個半平面內(nèi)找垂直于棱的直線, 垂足為棱上同

33、一點(diǎn).常用到線線垂直與線面垂直轉(zhuǎn)換.(3) 通常在直角三角形中求平面角的大小.習(xí)題 2.3A 組第 4、7 題. 4. 如圖, 三棱錐 V-ABC中, VA=VB=AC=BC=2, AB= VC=1, 試畫出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求它的度數(shù).VBCA解:取AB的中點(diǎn)D,連接 VD, CD,D而 VA=VB=AC=BC=2,VDAB, CDAB,則VDC就是二面角V-AB-C的平面角.而則由勾股定理求得 VD=CD=1,又 VC=1,VCD是等邊三角形, VDC=60,即二面角 V-AB-C 的大小為60. 7. 如圖, 正方體ABCD-ABCD中平面ABCD與正方體的其他各個面所

34、成二面角的大小分別是多少?ABCDACDB解:與上底面所成二面角的平面角是BCB=45.與下底面所成二面角的平面角是CB C=45.與前面所成二面角的平面角是BBC=45.與后面所成二面角的平面角是BCC=45.平面AC過左、右面的垂線AB,所以與左、右面成90的二面角.2.3.2平面與平面垂直的判定第二課時返回目錄學(xué)習(xí)要點(diǎn)1. 平面與平面垂直是怎樣定義的? 2. 兩平面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么? 證明兩平面垂直需要哪些條件?平面角是直角的二面角叫做直二面角. 問題3. 觀察教室中的物體, 哪些二面角是直二面角?【3】兩個平面垂直的定義 一般地, 兩個平面相交, 如果它們所成的二面角是直二面

35、角, 就說這兩個平面互相垂直.平面 a 與平面 b 垂直, 記作: ab. 畫兩個平面垂直, 一般應(yīng)把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直.abab 問題3. 請同學(xué)們用一支鉛筆垂直于你坐的桌面,再用書面或硬紙板緊靠鉛筆, 請問: 書面與桌面構(gòu)成直二面角嗎? 書面與桌面是否垂直?兩個平面垂直的判定定理: 一個平面過另一個平面的垂線, 則這兩個平面垂直.符號表示:ablla,l b, ba.【4】兩個平面垂直的判定 例3. 如圖, AB是O的直徑, PA垂直于O所在的平面, C 是圓周上不同于 A, B 的任意一點(diǎn). 求證:平面 PAC平面 PBC.OABCP解:AB是O的直徑,又C是O上的點(diǎn)

36、, ACBC,又 PA圓面,BC圓面, PA BC,得 BC平面PAC,而 BC平面PBC,平面PBC平面PAC. 探究題. 如圖, 已知AB平面BCD, BCCD,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直, 為什么?DBCA過AB的平面與底面垂直:平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD.又 BCCD,而由AB平面BCD得 CDAB,CD平面ABC,過CD的平面垂直平面ABC:平面ACD平面ABC,平面BCD平面ABC (上面已有).練習(xí): (補(bǔ)充) 1. 如圖, 在直三棱柱ABC-A1B1C1 (側(cè)棱垂直底面) 中, ACB=90, 求證: 平面 A1BC平面A1ACC1.A1B1C1ABC 2. 在正

37、方體ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分別是AB, A1A 的中點(diǎn). 求證: 平面 BCE平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EF 1. 如圖, 在直三棱柱ABC-A1B1C1 (側(cè)棱垂直底面) 中, ACB=90, 求證: 平面 A1BC平面A1ACC1.A1B1C1ABC證明: ABC-A1B1C1是直三棱柱,BCCC1.又ACB=90 BCAC, BC平面A1ACC1.平面 A1BC平面A1ACC1.BC平面A1BC, 2. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分別是AB, A1A 的中點(diǎn). 求證: 平面 BCF平面B1C1E.證明:E, F 分別是 AB,A1

38、A 的中點(diǎn).在正方形 ABB1A1中, B1C1 平面BAA1B1, B1C1BF.由得 BF平面B1C1E,平面 BCF平面B1C1E.ABCDA1C1D1B1EFBF 平面BAA1B1,BF平面BCF,B1EBF.【課時小結(jié)】1. 兩平面垂直的定義2. 兩平面垂直的判定定理 兩個平面相交成直二面角時, 稱這兩個平面互相垂直. 一個平面過另一個平面的垂線, 則這兩個平面垂直.ablla,l b, ba.習(xí)題 2.3A 組第 1、3、6 題.B 組第 1 題.習(xí)題 2.3A 組 1. 判斷下列命題是否正確, 正確的說明理由, 錯誤的舉例說明: (1) 平面 a平面 b, 平面 b平面 g 平面

39、 a平面 g; (2) 平面 a /平面 a1, 平面 b /平面 b1, 平面 a平面 b 平面 a1平面 b1.解:(1) 錯, 如圖.bga(2) 對.ab,a /a1,a1b;b /b1,a1b1. 3. 如圖, 在三棱錐 V-ABC 中, VAB=VAC= ABC=90, 試判斷平面 VBA 與平面 VBC 的位置關(guān)系, 并說明理由.VBCA解:平面 VBA 平面 VBC.其理由:由VAB=VAC= 90 得VA平面ABC,則 VABC,又ABC=90, 即 ABBC,BC平面VBA,而 BC平面VBC,平面 VBC 平面 VBA. 6. 求證: 如果共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直, 那么它

40、們中每兩條直線確定的平面也兩兩垂直.已知: PAPB, PAPC, PBPC. 求證: 平面PAB平面PBC, 平面PAB平面PAC, 平面PBC 平面PAC.PABC證明: PAPB, PAPC, PA平面PBC.而 PA平面PAB,PA平面PAC, 平面PAB平面PBC,平面PAC平面PBC.同理可證平面PAB平面PAC.B 組 1. 如圖, 在正方體ABCD-ABCD中, 證明: 平面 ACCA平面 ABD.ABCDACDB證明:在正方體中,底面 ABCD 是正方形,所以 ACBD.又因?yàn)閭?cè)棱垂直底面,所以 AABD.于是得 BD平面 AACC.而 BD平面ABD,平面 ABD平面 AA

41、CC.2.3.32.3.4直線與平面垂直的性質(zhì)平面與平面直線與平面垂直的性質(zhì)平面與平面返回目錄學(xué)習(xí)要點(diǎn) 1. 直線與平面垂直的性質(zhì)定理是什么? 在什么條件下得到什么結(jié)論? 2. 兩平面垂直的性質(zhì)定理是什么? 在什么條件下得到什么結(jié)論? 問題 1. 長方體的側(cè)棱是否都與底面垂直? 這些側(cè)棱是怎樣的位置關(guān)系? 請同時豎兩支垂直于桌面的鉛筆, 這兩支鉛筆又有怎樣的位置關(guān)系?a如圖, l1a， l2 a，垂足分別為A、B.如果 l1 l2,那么過垂足 A 可另作一直線 ml2,于是 ma.過 l1與 m 作平面 ba = c,則 l1c, mc.那么在平面 b 內(nèi)過一點(diǎn) A 就有兩直線與 c 垂直,顯

42、然不可能, 即 l1 l2不能成立, 只有 l1/l2.bl1l2ABmc2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì)垂直于同一個平面的兩條直線平行.由線面垂直得線線平行.線面垂直的性質(zhì)定理:al1l2AB符號表示:l1a,l2a, l1/l2. 例(補(bǔ)充). 已知一條直線 l 和一個平面 a 平行, 求證: 直線 l 上各點(diǎn)到平面 a 的距離 (到 a 的垂線段長)相等.alABb證明:過 l上任意兩點(diǎn) A、B 作AAa, BBa, 垂足為A、B,則 AABB,由AA、BB確定平面, 設(shè)為b,得 ba =AB, la,l b, lAB, AA=BB (兩平行線間的平行線段相等),即 l 上任意兩點(diǎn)到平面

43、 a 的距離相等.AB 問題2. 設(shè)直線 a, b 分別在正方體ABCD-ABCD中兩個不同的平面內(nèi), 欲使 a/b, a, b 應(yīng)滿足什么條件?分別滿足下面的條件都可以:(1) a, b 同垂直于一個面.(2) a, b 同平行一條棱.(3) 用一個平面截相對的兩個面所得的交線即為 a, b.bbABCDACDBaaba如圖,練習(xí): (課本71頁)第 1、2 題.練習(xí): (課本71頁) 1. 判斷下列命題是否正確, 正確的在括號內(nèi)劃“”, 錯誤的劃 “”. (1) 垂直于同一條直線的兩個平面互相平行. ( ) (2) 垂直于同一個平面的兩條直線互相平行. ( ) (3) 一條直線在平面內(nèi),

44、另一條直線與這個平面垂直, 則這兩條直線互相垂直. ( ) 2. 已知直線 a, b 和平面 a, 且 ab, aa, 則 b 與 a 的位置關(guān)系是 .平行或在 a 內(nèi)bDDCBCBAAbaa分析:借助長方體模型./aa 問題 1. 請同學(xué)們在一塊硬紙板 (或書面) 上畫一條垂直于某邊的直線 l, 再將硬紙板 (或書面) 與桌面垂直, 并使這邊在桌面內(nèi). 請問, 你畫的直線 l 與桌面是什么位置關(guān)系? 為什么?labABDC如圖,在 a 內(nèi)過點(diǎn) D 作CDAB,則l DC是二面角 a-AB-b的平面角.ba,平面角應(yīng)是直角,則得 lCD. la.2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)又 lAB,兩平

45、面垂直的性質(zhì)定理: 兩個平面垂直, 則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號表示:ab,ab = m,lm,l a, lb.abml 問題 2. 如圖, ab, 點(diǎn) Pa, PQb. 請問, PQ是否一定在 a 內(nèi)? 你能說出理由嗎?RPQablPQ一定在 a 內(nèi).其理由:設(shè) ab =l,過點(diǎn) P 作 PRl, Rl, ab, PRb, 過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個平面垂直, PQ與PR重合為同一條直線,即 PQ 必在 a 內(nèi). 例4. 已知平面 a, b , ab, 直線 a 滿足 ab, aa, 試判斷直線 a 與平面 a 的位置關(guān)系.mabab解: ab,設(shè) ab =m,在 a

46、 內(nèi)作 bm, bb. ab, ab,ba,aa,aa.即直線 a 與平面 a 互相平行.問題: (課本76頁探究) 已知平面 a, b, 直線 a, 且 ab, ab = AB, a/a, aAB, 能判斷直線 a 與平面 b 的位置關(guān)系嗎?AabBa解:ba/a,g過 a 作平面 ga = b,則 a/b.而 aAB,則 bAB,而 ab, 交線是 AB,bb,則 ab. 兩平面垂直, 平行于一平面的直線垂直于另一平面.練習(xí): (課本73頁)第 1、2 題. 1. 下列命題中錯誤的是( ) (A) 如果平面 a平面 b, 那么平面 a 內(nèi)所有直線都垂直于平面 b (B) 如果平面 a平面

47、b, 那么平面 a 內(nèi)一定存在直線平行于平面 b (C) 如果平面 a 不垂直于平面 b, 那么平面 a 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 b (D) 如果平面 a平面 g, 平面 b平面 g, ab = l, 那么lg練習(xí): (課本77頁)(D)選項(xiàng)的證明看 “習(xí)題2.3” 第 5 題.A 2. 已知兩個平面垂直, 下列命題 一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線. 一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線. 一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面. 過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線, 則此垂線必垂直于另一個平面. 其中正確的個數(shù)是 ( ) (A) 3 (B) 2 (

48、C) 1 (D) 0另一個平面內(nèi)垂直于前一個平面的無數(shù)條直線.B【課時小結(jié)】1. 直線與平面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行.l1a,l2a, l1/l2.由線面垂直得線線平行.能推得線線平行的有: 公理4. 線面平行的性質(zhì)定理. 面面平行的性質(zhì)定理. 線面垂直的性質(zhì)定理.【課時小結(jié)】2. 平面與平面垂直的性質(zhì)定理 兩個平面垂直, 則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.ab,ab = m,lm,l a, lb.abml 兩平面垂直, 平行于一平面的直線垂直于另一平面.習(xí)題 2.3A 組第 2、5、8、9 題.B 組第 3 題.a習(xí)題 2.3A 組2. 已知平面 a, b,

49、g, 且 ag, b /g, 求證 ab.證明:在 g 內(nèi)作直線 am,aa. ag,過 a 作平面 db = b, bg, a/b,b b, ba.bbgad如圖, 設(shè) a 與 g 的交線為 m,m而 aa.ba. 5. 已知平面 a, b, g 滿足 ag, bg, ab = l. 求證 lg.agbl證明:如圖,設(shè) ag =m, bg =n.取 Pg, Pm, Pn,mnPAB作 PAm, PBn. ag, bg, PAa, PBb.又 ab =l, PAl, PBl.PAg, PBg,PAPB = P, lg.a 8. 如圖, m, n 是兩條相交直線, l1, l2 是與 m, n

50、都垂直的兩條直線, 且直線 l 與 l1, l2 都相交, 求證: 1=2.mnO12ll2l1證明: l1m,l1n, mn=O, m、n 確定的平面, 設(shè)為 a, l1a,同理, l2a, l1l2,又直線 l 與 l1、l2 都相交, 1=2. 9. 求證: 兩條平行線和同一個平面所成的角相等. 如果兩平行線中的一條垂直平面, 則另一條也垂直這個平面, 它們與平面所成的角都等于90.證明: 如果兩平行線中的一條與平面所成的角是 0, 則另一條平行平面或在平面內(nèi), 即另一條與平面所成的角也是 0.當(dāng)兩平行線是平面的斜線時, 如圖,aABCDE已知: ABa=B, CDa=D, ABCD.分

51、別過AB、CD上的點(diǎn)E、F 作 EMa, 垂足為M,FNa, 垂足為N.NMF且得 EMFN,又 ABCD,BEM=DFN,于是在兩直角三角形中可得EBM=FDN,則MB、ND分別是EB、FD在即兩平行線與平面 a 所成的角相等. 9. 求證: 兩條平行線和同一個平面所成的角相等.證明:求證: AB, CD 與 a 所成的角想等.平面 a 內(nèi)的射影.B 組3. 求證: 三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直. 已知, 如圖, ab, ag, bg, ab =AO, ag = BO, bg =CO.求證: AOBO, AOCO, BOCO.證明:取點(diǎn) Pg, PBO, PCO,OABCabgEF作

52、PEBO, PFCO, ga, ga = BO,gb, gb = CO, PEa, PFb.而 AOa, AOb, PEAO, PFAO,則 AOg,又 BOg, COg,PAOBO, AOCO.又 ba, ba = AO,COb, COa,BOa,COBO.復(fù)習(xí)提高與返回目錄1. 線面垂直的定義定義可用于推證線線垂直.la,ma,lm.知識要點(diǎn) 如果直線 l 與平面 a 內(nèi)的任意一條直線都垂直, 就說直線 l 與平面 a 互相垂直.知識要點(diǎn)2. 線面垂直的判定la, aa,lb, ba,ab=P,la. 兩平行線中的一條垂直于一個平面, 另一條也垂直這個平面. 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條

53、相交直線都垂直, 那么這條直線垂直于這個平面. 過空間任意一點(diǎn), 有且只有一條直線和已知平面垂直.知識要點(diǎn)3. 三垂線定理 如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的斜線, 則這條直線垂直斜線在平面上的射影; 如果平面內(nèi)的一條直線垂直平面的一條斜線在平面上的射影, 則這條直線垂直斜線.知識要點(diǎn)4. 直線和平面所成的角平面的斜線和斜線在平面上的射影的夾角.要點(diǎn):(1) 由線面垂直找射影;(2) 在三角形中計(jì)算.特例:(1) 線面垂直, 線面角為90.(2) 線面平行或在其內(nèi), 線面角為0.知識要點(diǎn)5. 直線與平面垂直的性質(zhì)垂直于同一個平面的兩條直線平行.l1a,l2a, l1/l2.由線面垂直得線線平行.知

54、識要點(diǎn)6. 二面角 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面.ablABPQ記作 二面角 a-l-b,二面角 a-AB-b,二面角 P-l-Q,二面角 P-AB-Q.知識要點(diǎn)7. 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn), 在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線, 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角確定.ablABOablABO AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.知識要點(diǎn)8. 兩平面垂直的定義與判定定義:判定: 兩個平面相交成直二面角時, 稱這兩個平面互相垂直. 一個平面過另一個平面的垂線,

55、則這兩個平面垂直.ablla,l b, ba.知識要點(diǎn)9. 兩平面垂直的性質(zhì) 兩個平面垂直, 則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.ab,ab = m,lm,l a, lb.abml 兩平面垂直, 平行于一平面的直線垂直于另一平面.例題選講返回目錄 例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點(diǎn), 若PDA=45. 求證: MN平面PCD.PABCDMN分析:需證MN垂直PCD三邊中的兩邊.若 MN平面PCD,注意 N 是 PC 的中點(diǎn),則 MN 必是 PC 的中垂線.即考慮 MP=MC.于是思考是否PAMCBM,由此可得 MNPC.又如此思考 M

56、N 是否是 AB 的中垂線,即 NA=NB 是否成立?NA, NB分別是RtPAC和RtPBC斜邊PC的中線,NA=NB 即可成立. 例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點(diǎn), 若PDA=45. 求證: MN平面PCD.PABCDMN證明:PA矩形ABCD, PDA=45,連結(jié) PM, CM,PAD是等腰直角三角形.則 PA=AD=BC.又 M 是 AB 的中點(diǎn)得 AM=BM,得 RtPAMRtCBM,MP=MC.而 N 是 PC 的中點(diǎn), MNPC.PABCDMN 例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)

57、, 若PDA=45. 求證: MN平面PCD.證明:PA矩形ABCD, PDA=45,連結(jié) PM, CM,PAD是等腰直角三角形.則 PA=AD=BC.又 M 是 AB 的中點(diǎn)得 AM=BM,得 RtPAMRtCBM,MP=MC.而 N 是 PC 的中點(diǎn), MNPC.由 PA矩形ABCD, 得PAC 是直角三角形.由 CBAB, CBPA, 得PBC 是直角三角形.則 AN, BN 是兩直角三角形斜邊 PC 的中線,AN=BN,得 MN 是 AB 的中垂線, MNAB.由 AB/DC, 得 MNDC.由得 MN平面 PCD. 例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是

58、AB、PC的中點(diǎn), 若PDA=45. 求證: MN平面PCD.PABCDMN其他思考:E思考一:證 MNPC 同上.要證 MNDC, 可作PCD的中位線 NE.證 DC平面 NEM, 即可證得 DCMN. 例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點(diǎn), 若PDA=45. 求證: MN平面PCD.PABCDMN其他思考:F思考二:將 MN 平移到平面 PAD 內(nèi),即取 PD 中點(diǎn) F,可證得 AF/MN.只需證 AF平面 PCD, 即得 MN平面PCD.PABCDMN 例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),

59、若PDA=45. 求證: MN平面PCD.其他思考:思考三:將原圖補(bǔ)形為長方體.可證 MN/BC1, BC1平面PDCB1,B1即得 MN平面 PCD.側(cè)面B1BCC1是正方形.C1平面PCD是其對角面. 例 2. 如圖, ABC 和DBC 是空間的兩個等邊三角形, E 是 BC 的中點(diǎn). 點(diǎn) A 在平面 DBC 內(nèi)的射影是否在 DE 上? 為什么? ABC 和DBC 是等邊三角形,AEBC, DEBC,E 是 BC 的中點(diǎn).其理由如下:則 BC平面AED,得平面DBC平面AED.則 AF平面DBC .點(diǎn) A 在平面 DBC 內(nèi)的射影在 DE 上.答: 一定在 DE上.平面DBC平面AED=D

60、E,作AFDE, 垂足為F,(面面垂直的性質(zhì))(面面垂直的判定)BACDEF 例 3. 如圖, 四棱錐ABCD 的各條棱長都等于 a, E 是 AD 的中點(diǎn). (1) 求這個棱錐的高; (2) 求CE與平面BCD所成角的正弦.DABCE解:取 BC 的中點(diǎn) F,得 BCAF, BCDF, BC平面AFD,則平面BCD平面AFD.F(1)O作 AODF, 垂足為O,則 AO平面 BCD.AO 是三棱錐 ABCD 的高.RtAOBRtAOCRtAOD,得 OB=OC=OD,O是BCD的重心,即棱錐的高為 例 3. 如圖, 四棱錐ABCD 的各條棱長都等于 a, E 是 AD 的中點(diǎn). (1) 求這