高考數(shù)學(xué)熱點不等式

1、不等式不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，是求解數(shù)學(xué)問題的主要工具，它貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終，融合于集合問題、方程(組)的解的討論、函數(shù)性質(zhì)的確定、三角、數(shù)列、立體幾何中的最值問題，解析幾何中直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論等內(nèi)容，這些知識塊無一不與不等式有著緊密的聯(lián)系，所涉及內(nèi)容的深度與廣度是其它章節(jié)無法相比的。因此，不等式將是永不衰退的歷屆高考熱點，所以必須加強對不等式的復(fù)習(xí)與研究。按考試說明的規(guī)定，不等式這一章包括五個知識點，五條考試要求，概括起來有四個方面：不等式的性質(zhì)、不等式的證明、不等式的解法以及不等式的應(yīng)用我們先來分析一下不等式高考的命題趨勢：(1)題型穩(wěn)定：近幾年來高考平面向量試題一直穩(wěn)

2、定在1-2個小題和其他與高中各知識塊相聯(lián)系的大題上，分值約為30分左右，占總分值的20%左右。(2)由于近年高考命題強調(diào)能力立意，考查基礎(chǔ)知識不再是考查對知識的復(fù)制，而是考查對基礎(chǔ)知識的深刻理解， 考查各個基礎(chǔ)知識點的聯(lián)系和交匯.從近三年高考數(shù)學(xué)試題看不等式這一章內(nèi)容的考查不再是單一型了，它往往與其它章節(jié)知識結(jié)合在一起構(gòu)成了復(fù)合型試題，不等式試題主要體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學(xué)思想，其主要題型大致分為：解不等式、證明不等式和不等式的應(yīng)用.解不等式：不等式在生產(chǎn)實踐和相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要工具，所以不等式是高考數(shù)學(xué)命題的重點，解不等式的應(yīng)用非

3、常廣泛，如求函數(shù)的定義域、值域，求參數(shù)的取值范圍等，高考試題中對于解不等式要求較高，往往與函數(shù)概念，特別是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等有關(guān)概念和性質(zhì)密切聯(lián)系，應(yīng)重視；從歷年高考題目看，關(guān)于解不等式的內(nèi)容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式.證明不等式：復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué) 歸納法等)，掌握較靈活的運用常規(guī)方法 (即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題.不等式的應(yīng)用：應(yīng)用題中有一類是以不等式為數(shù)學(xué)模型的，當(dāng)不等式模型建立后即可轉(zhuǎn)化為解不等式來解決問題，這是高考中常見題型，希望同學(xué)們多加關(guān)注。(4)由于不等式這部分知識自身的特點，如不等式

4、研究對象的復(fù)雜性，手法的多樣性，故這部分入手容易深入難，建議大家在這兩部分的復(fù)習(xí)上把握“度”，重點突出，使學(xué)生知道哪些是學(xué)生必須掌握的， 如重要不等式成立的條件； 哪些是需要學(xué)生根據(jù)問題靈活掌握的， 如不等式的多種證明方法的運用。注意復(fù)習(xí)節(jié)奏。在近年高考中，對不等式內(nèi)容的考查的主要知識點和題型有：.關(guān)于不等式的性質(zhì)(1)梳理時突出功能性，應(yīng)用性.分成三類：理論依據(jù)(兩條)；對一個不等式進彳T變換的依據(jù) (四條)；對兩個不等式進行變換的依據(jù)(四條)對某些性質(zhì)的形式可以為使用做出調(diào)整，如當(dāng)c 0時，a b u ac bc ；當(dāng) a,b 0 時，a b= an bn ,n N.,n=1.(2)性質(zhì)使

5、用時注意方法的選擇與綜合如比較法與綜合法的選擇，數(shù)與形的結(jié)合，特殊與一般的結(jié)合及函數(shù)性質(zhì)的整合與應(yīng)用等.關(guān)于不等式的解法(1)在進一步鞏固各類基本不等式求解策略的同時，注重對策略本質(zhì)的理解，對各種方法的選擇與比較.(2)突出對分類討論思想的認(rèn)識與使用，提高求簡意識.關(guān)于不等式的證明不等式證明常用的方法有比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、 配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述 如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式， 則考慮用判別式法證(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互

6、相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴視野不等式證明還有一些常用的方法 換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、 數(shù)形結(jié)合法等 換元法主要有三角代換， 均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時，要注意代換的等 價性放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查 有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點.關(guān)于不等式的應(yīng)用(1)利用平均值定理求某

7、些函數(shù)或?qū)ο蟮淖畲蠡蜃钚≈祮栴}強化變換的目的性突出步驟的合理性的認(rèn)識(2)突出函數(shù)，方程與不等式之間的關(guān)系，并利用三者的聯(lián)系解決某些變量取值范圍的問題.變量與常量的處理問題即恒成立問題突出函數(shù)思想的理解與應(yīng)用，以不等式為工具，充分展示對函數(shù)的理解，對函數(shù)相關(guān)知識的綜合應(yīng)用.不等式的性質(zhì)W值不等式不等式的證明比較法綜合法分析法放縮法反證法函數(shù)法導(dǎo)數(shù)法不等式的解法一元一次不等式（組） 一元二次不等式（組） 整式高次不等式（組） 分式高次不等式（組）指數(shù)不等式（組） 對數(shù)不等式（組） 三角不等式（組）線性規(guī)劃不等式的應(yīng)用函數(shù)的定義域、 值域與單調(diào)性 取值范圍問題 最值問題 方程根的分布 數(shù)列不等式、

8、函 數(shù)不等式的證 明、選擇題（每小題 5分）1. （2009安徽卷理）下列選項中,p是q的必要不充分條件的是p： a + cb+d , q： ab 且 cdp：a l,bl q： f (x) =ax -b(a 0,且a #1)的圖像不過第二象限2p: x=1, q:x =x(D) p:a 1, q:f (x) = loga x(a 0,且a # 1)在(0,依)上為增函數(shù)解析：由ab且cd= a + c b+d,而由a +cb+d a b且cd,可舉反例。選 A3x - y - 6 0, b0)的值是最大值x _ 0, y _ 0為12,2 3 ,一，一+ 一的取小值為( b).11 c ,

9、D. 48C.B.a. 25解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線ax+by= z (a0, b0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0 的交點(4,6)時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by (a0, b0)取得最大12,2 32 3、2a 3b 13 b a、13 . 25即 4a+6b=12，即 2a+3b=6, 而一+ = ( + ) = + ( + )至+ 2 = 故選 Aa b a b 66 a b 66答案：A【命題立意】：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值，對于形如已知 2a+3b=

10、6,求2 3一十一的最小值常用乘積進而用基本不等式解答 a b3已知函數(shù)-x 1x -1x 二 0 一,則不等式x + (x +1 )f (x +1 K1的解集是(x - 0(A)x | -1 x . 2 -1(B)(C)|x V2(D)x 1f 2 - 1 - x - 2 -1p一，、-x 1 :： 03 x 1 一0解析：依題意得或ix (x 1)(-x) 1 x (x 1)x 1所以 或 4-l=xb+d ” 是 “ a 且” 的A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：易得a bMcd時必有a+cb+d .若a+c b + d時，則可能有 ad且

11、cb ,選A?！敬鸢浮緼.已知 a, b , c, d 為實數(shù)，且 c d .則 “ a b” 是 “ a c b d ” 的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B解析：顯然，充分性不成立.又，若ac b d和c d都成立，則同向不等式相加得 a b 即由a c b d = a b x 5 、(2008山東又)不等式 - 2的解集是(D )(x-1)2解析：本小題主要考查分式不等式的解法。易知*#1排除3;由* = 0符合可排除C;由x =3排除A,故選D,也可用分式不等式的解法 ，將2移到左邊直接求解。(2009四川卷文)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)

12、品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是A. 12 萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27 萬元A.充分不必要條件B .必要不充分條件解析：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品X噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品A甲產(chǎn)品X噸3乙產(chǎn)品y噸x 0則有:y 03x+y 132x 3y 0,則x +2的最小值為 20= x + 22 J2 ,當(dāng)且僅當(dāng)x = = x = v2時取等3. xx1a（2008陜西理）a= ”是“對任意的正

13、數(shù) x,2x+1”的（）8xC.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：a =1=2x+a=2x十工藝2j2xM=1 ,另一方面對任意正數(shù) x, 2x+- 18 x 8x8xx只要 2x+a22xKa=2j2a1= a,所以選 A x . x82x y , 4（ 2009寧夏海南卷理）設(shè) x,y滿足（x - y之一1,則2 = x十yx-2y b2”是“ ab”的（D ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件解析：本小題主要考查充要條件相關(guān)知識。依題“ab”既不能推出“ ab” ；反之，由“ ab”也不能推出“ a2 b2。故 a2 b2”是“

14、ab”的既不充分也不必要條件。（2009天津卷理）0b （ax）2的解集中的整數(shù)恰有3個，則(A) -1 a 0(B) 0 a 1(C) 1 a 3(D) 3 a (ax)2即(a2 1)x2+2bxb2 0 ,不等式的解集為 x 或a -1 a 1b b bb,r0 x。 右不等式的解集為x, 又由0b1 + a 得a 1 a -1a -1 a 10 -b- 1,故3-2 ,即 2-b-a2 03 0 ,則使得（1 ax） 1（i =1,2,3）都成立的x取值范 圍是（）一1 1 -1 2 -1 1_1 2A.0, 一B.0,C.0,一 D.0,一 a1 J a1 J a3 J a3 J一o

15、一o 2 2斛析：（1aix）1=a,x-2a,x0=sa,x（x-一）0,所以解集為（0,一），aai222又 d。則“ a a b”是“ a cb d ”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：a b 推不出 a-CAb-d；但a-CAb-d二 ab+c-d b,故選擇 B。 解析 2：令 a=2b=1 cd ，則 ac= 1 b-d=召（崩 8 ;由2cbd 可得，a b +（c -d）因為 od ,則 c d 0 ,所以 aAb。故“aAb”是“acb d ” 的必要而不充分條件。（2009四川卷理）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)

16、品要用 A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5 萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤 3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A原料不超過13噸，B 原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是A. 12 萬元 B. 20 萬元 C. 25 萬元 D. 27 萬元解析：設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)x、y噸，可使利潤z最大，故本題即3x + y 132x +3y 18已知約束條件 （,求目標(biāo)函數(shù) z = 5x+3y的最大y -0值，可求出最優(yōu)解為j，故 zmax =15 + 12 = 27,故選擇 D。16. （2009重慶卷理）不等式x +3 -x-1

17、 0,bA0,則一+ +2，0b的最小值是（a bA. 2B.2.2C. 4D. 5，1解析：因為一 a2, abab12 ab =曠Wb）至4且僅當(dāng)- a=癡,即a = b時，取“=”號。ab二、填空題（每小題 5分）18. （2009浙江理）若實數(shù)x, y滿足不等式組x y - 2,42x -y E4,則2x+3y的最小值是 .x - y -0,答案：4解析：通過畫出其線性規(guī)劃，可知直線 y =2；x+Z 過點（2,0 ）時，（2乂+3丫1所=4 3x y _2,19. （ 2009浙江卷文）若實數(shù)x, y滿足不等式組2x-y 4,則2x + 3y的最小值x - y _ 0,此題的考查既體

18、現(xiàn)了正確畫線性區(qū)【命題意圖】 此題主要是考查了線性規(guī)劃中的最值問題, 域的要求，也體現(xiàn)了線性目標(biāo)函數(shù)最值求解的要求22x 3y min =4解析：通過回出其線性規(guī)劃，可知直線y = x+Z過點（2 0 ）時,320. （2009上海卷文）已知實數(shù)y 2xIx、y滿足y至-2xx 21. （2009北京卷理）若實數(shù) x, y滿足xW4則$=丫-*的最小值為 .7 -5【答案】-6解析：本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.如圖，當(dāng)x =4, y = 2時,s = y x 2 4 = 6 為最小值.故應(yīng)填-6.22.(2009山東卷理）不等式2x1 -x20的解集為:原不

19、等式等價于不等式組x-22x-1 -(x -2) 01 ：二 x :二 222x-1 (x -2):二 011或不等式組無解，由得1 x1,由得1 M x ，綜上得-(2x -1) (x -2)：二0-1 x 1,所以原不等式的解集為x|1x0,解得：x-3三、解答題（2009江蘇卷）（本小題滿分16分）按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為m元，則他的滿意度為m ;如果他買進該產(chǎn)品的單價為n元，則他的滿意度為n .m an a如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h,和h2,則他對這兩種交易的綜合滿意度為.h1h2.現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn) A B兩種產(chǎn)

20、品的單件成本分別為 12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的 單件成本分別為 3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為 mA元和mB元，甲買進A與賣出 B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為 h，一，一3.求h甲和h乙關(guān)于mA、mB的表達式；當(dāng) mA = - mB時，求證： 旭二h乙；53（2）設(shè)mA = mB,當(dāng)mA、mB分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的 5綜合滿意度為多少?記（2）中最大的綜合滿意度為h0,試問能否適當(dāng)選取mA、mB的值，使得h甲之h0和 h乙之h0同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。解析： 本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查

21、數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力。滿分16分。一 詠.(% W 3,12,酬且曰5,20) tnA 4-3 %+ 2。7,3,當(dāng)mA =mB時，h甲=51 5 mBmBf卜 12 mB 5：(2mBmB 20)(mB5)，3 mB11mB+3mB2 mBmB 20(mB 5)(m)B 20)h甲4乙11 21100(一)2 25一 ： 1mBmB TOC o 1-5 h z ,11 1由 mBW5,20得一,一, mB 20 5故當(dāng) HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 112 一=即 mB = 20, mA = 12 時, mB 20

22、B甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為叵。5(3)(方法一)由(2)知：兒=逸5mAmBmA 12 mB 5mA 12 mB 5AB(1 +4x)(1 十 y) E * 5。2 TOC o 1-5 h z 3 351令=x, = yMUx、y = ,1,即:mAmB4一一 .一 10 .一5同理，由 h乙之h0= 得：(1+x)(1+4y)一5215 ,另一萬面,x、y -,11 4x、1+4y 2,5, 1 x、1+y -,2, 425 51(1+4x)(1+y)之一,(1+x)(1+4y)之一，當(dāng)且僅當(dāng) x = y=,即 mA=mB時，取等號。 HYPERLINK l bookmark59

23、o Current Document 224所以不能否適當(dāng)選取 mA、mB的值，使得惕，h0和怔之hb同時成立，但等號不同時成立。方法二二由知因為1220 x + 12 y +5 x +5 y +20所以，當(dāng)腦妾年.看4時*有人 =hJ*d + 15 廣墨.25 9 2T4因此，不能攻到E,%的值，使得町和蕓兒同時成立,但等號不同時成立.25. （2009湖北卷文）（本小題滿分12分）圍建一個面積為360吊的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建， 在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元

24、/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x（單位：元）。（I）將y表示為x的函數(shù):（n）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。解析：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長為 a m2則 y -45x-180(x-2)+180- 2a=225x+360a-360由已知xa=360，得a=360 x所以3602y=225x+36J -360( x - 0)x(II)2r x A 0, 225x +360-2 2225 x 3602 =10800 x36023602 .= 225x+-360之10440 .當(dāng)且僅當(dāng)225x=-時，等號成立.即當(dāng)x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是 104

25、40元.26.設(shè)數(shù)列tn滿足% =0,an4t = ca； +1c,cW N*,其中c為實數(shù)， 、 、一II* 、.、.(I)證明：an 0,1對任意nwN成立的充分必要條件是 cw0,1；1(n)設(shè) 0c一,證明：an 之 1(3c)n，nw N ;319992*(出)設(shè) 0 c -，證明：a1 +a2 + an a n +1 ，n w N31 -3c解析：(1)必耍性：= a1 =0,； a2 =1 -c ,又, a20,1,.-. 01 -c1)則 ak41 =ca； +1 c Mc + 1 c = 1,且 ak41 = ca3 +1 c 之 1 c= 0_ _ - _ _ _ - -

26、. *、ak書w0,1,由數(shù)學(xué)歸納法知an亡0,1對所有nW n成立(2)設(shè)0cl,當(dāng)n=1時，& =0,結(jié)論成立3當(dāng)n之2時， TOC o 1-5 h z 32 an -can4 1 -c,. 1 -an =c(1-an)(1 anan)八12C r /C.c3由知20,1,所以伊寸3且1 -Q。 . 1 - an 三 3c(14) 1 -an M3c(1-an。三(3c)2(1-an) -|- (3c)n(1 -a1) = (3c產(chǎn)an -1 -(3c)n4(n N*)、一1o2(3)設(shè) 0c2 ，結(jié)論成立31 -3c當(dāng) n 之2時，由(2)知 an 1 -(3c)nJ 0 a； -(1-

27、(3c)n4)2 =1 -2(3c)n4 (3c)2(n,)1 -2(3c)n4-a2+af +|+a； =a| +|+a2 n -1-23c+(3c)2+川+(3c尸/ 2(1 -(3c)n).1 -3c1-3c二 n 1 un 127.(2008 江西)數(shù)列&為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前 n項和為Sn ,數(shù)列bn為等比數(shù)列，且& =3,b =1,數(shù)列ban是公比為64的等比數(shù)列，b2s2 =64.求小,bn； TOC o 1-5 h z ,一 1113(2)求證，+，+川屋S1S2Sn4解：（1）設(shè)an的公差為d , bn的公比為q ,則d為正整數(shù),an =3+(n-1)d , bn =qn3：:;ndan1.qd63(n 1)d = q = 64 = 2依題意有 baq *anrS2b2 =(6 +d)q =64由（6+d）q =64知q