高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列專題訓(xùn)練

1、等差數(shù)列、等比數(shù)列、基礎(chǔ)知識要記牢等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式an= a + (n 1) dan= a1qn1(qw0)前n項和n a1 + anSi 2- na1 +n n-12dn a1- qd anqqi S =-/=_-1-q1-qq= 1, S = na、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好例1(1)(2013 新課標(biāo)全國I )設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為S,若 i=-2, S- 0,Sn+1=3,則 m=()A. 3B . 4C. 5 D. 6(2)(2013 北京高考)若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20, a3+a5=40,則公比q =； 前n項和Sn=.解析(1) ;是等差數(shù)列，Sn 1=-2, S0,a

2、m= Sm Sm 1=2.Sm+ 1=3,am+ 1 = Sm+ 1 Sm= 3d= am+1 am= 1.又Sm=m a+ amm ad?2-=0, . a1 = 2,am= 2+ (rn 1) , 1 = 2, rn= 5.(2)設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,則:2由 a2+ a4= 20 得 &q(1 + q ) =20,2,2、由 a3+ a5= 40 得 &q (1 + q ) = 40.由解得q=2, a1 = 2.故耳- J- =2n+1-2.1-q1-2答案(1)C(2)22n+1-2方法技巧 關(guān)于等差 等比 數(shù)列的基本運算，一般通過其通項公式及前 n項和公式構(gòu)造關(guān)于

3、a和d或q的方程或方程組解決，如果在求解過程中能夠靈活運用等差等比 數(shù)列的性質(zhì)，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對等差等比數(shù)列問題的認識.注意利用等比數(shù)列前n項和公式求和時，不可忽視對公比q是否為1的討論.三、預(yù)測押題不能少.已知an是遞增的等差數(shù)列，a1 = 2, ai=a4+ 8. 求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn=an+2an,求數(shù)列bn的前n項和S.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為 d, d0.由題意得，(2 + d)2=2 + 3d+8, cf + d-6=(d+3)( d-2) =0,得 d=2.故 an = & + (n 1) d= 2+ (n-1) -2= 2n,得 an= 2n

4、.2) bn=an+2an = 2n+22n.S = bi+b2+ bn=(2 +22) + (4 + 24)+ (2n+22n)=(2 +4+6+ 2n) + (2 2+ 24+ 22n)_2+2n n 4 * l-4”21-4=n2+ n +4n+1-4g|等差、等比數(shù)列的判定與證明一、基礎(chǔ)知識要記親數(shù)列an是等差或等比數(shù)列的證明方法：(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：一 . . . . . . * . 、一一利用定義，證明 an+1 an(ne N)為一常數(shù)；利用中項性質(zhì)，即證明2an= a 1 + an+1( n2).(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明 出

5、(nCNi)為一常數(shù)； an利用等比中項，即證明a2= an 1an+1( n2).二、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好例2 設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列，其前 n項和為S,且a5, a3, a，成等差數(shù)列.求數(shù)列an的公比； 、 、, * (2)證明：X任意 kCN, 0+2, 0, 0+1成等差數(shù)列.解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(qw。, qw1),由a5, a3, a4成等差數(shù)列，得 2a3=a5+a4,即 2a1q2= ad+ aq3.由dw0, qwo 得 q2+q2= 0,解得 q1 = - 2, q2= 1(舍去)，所以q=-2.(2)證明：法一：對任意 kC N*,0 + 2+ Sk+1- 2&

6、= (Sk+2 &) + ( Sk+1 Sk)=ak+1+ ak+2+ ak+1=2ak+1 + ak+1=0,所以，對任意(-2)kCN*, 8+2, 8, 8+1成等差數(shù)列.法二：對任意kC N*2Sk=2a1 l-qka1S + 2+ Sk+ 1 =qk+21 -qk+2k+1-qk+1a1-q+!-1 q=言2(1 -qk)-(2-qk+2-qk+1) kaiq , 2 , c、-=i7rq (q +q-2)=。，因此，對任意kCN, S+2, Sk, &+1成等差數(shù)列.方法技巧1判斷一個數(shù)列是等差等比 數(shù)列，還有通項公式法及前n項和公式法，但不作為證明方法；2若要判斷一個數(shù)列不是等差

7、等比數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差等比數(shù)列即可；3 an = an ian+i n2, nC N*是an為等比數(shù)列的必要而不充分條件，也就是要注意判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為 0.三、預(yù)測押題不能少2, .,，an + i 一 一 ，.*2.已知數(shù)列an滿足：ai=1, a=a(aw0), an+2=p (其中p為非零常數(shù)，nCN).ana0+1(1)判斷數(shù)列匿不是等比數(shù)列；(2)求 an.2an+1 /口 an+2an+1解：(1)由 an+2= p -,得=P -.anan+1anan + 1V Cn =,貝f C1=a) Cn + 1= pCn.an. aw0,CW0,

8、,= p(非零常數(shù))， Cn，數(shù)列anr混等比數(shù)列.數(shù)列Cn是首項為a,公比為p的等比數(shù)歹U,Cn= C1 , pn 1 = a ,an+ 1ann 1=ap當(dāng)n2時,anan = an 1an-1an - 2n2 3n 2且曰=(apn 2) x ( apn 3) x x ( ap0) x 1= an1p 2 a1n2 -3n：u2a1 滿足上式，1- an= an 1p 2, nCN*.|等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、基礎(chǔ)知識要記牢等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)*一(1)右 m n, p, qCN,且 m+ n= p+ q,則 am+ an = ap+ aqan= am+ ( n m dSm, S2m- S

9、m &m &m,仍成等差數(shù)列* 一一(1)右 m n, p, q C N ,且 m+ n= p+ q,貝U am an=ap , aq-nm(2) an= amqSm, Sam- S，, &m &m,仍成等比數(shù)列(SW0)二、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好 TOC o 1-5 h z 例3 (1)(2013 長春市調(diào)研)在正項等比數(shù)列an中，已知2佝223=4,242526=12,2.12自 + 1= 324,貝U n=()A. 11B. 12C. 14D. 16(2)(2013 遼寧高考)下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個命題：P1 ：數(shù)列an是遞增數(shù)列；P2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；P3：數(shù)列遢遞增數(shù)列

10、；P4：數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列. TOC o 1-5 h z 其中的真命題為()A.Pi,P2B .6,P4C.P2,P3D .P1 ,P4解析(1)設(shè)數(shù)列an的公比為 q,由 a1a2a3= 4 = a；q3與 a4a5a6= 12= a3q12可得 q9= 3,an 1anan+ 1= a3q3n 3= 324,因此 q3n 6= 81 = 34= q36,所以 n= 14.(2)因為d0,所以an+1an,所以p1是真命題.因為n+1n,但是an的符號不知道，所以6是假命題.同理 P3是假命題.由an+1 + 3(n+1)dan3nd=4d0,所以p4是真命題.答案(1)C(2)D方

11、法技巧1解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進行求解；2 應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，特別是等差數(shù)列中若m n= p+q,則am+ an =一，一 ,na1 + an的綜合應(yīng)用. TOC o 1-5 h z ap + aq 這一性質(zhì)與求和公式Sn =2三、預(yù)測押題不能少(1)設(shè)數(shù)列an是公差d0,因此 S20= 30 ,S S 22S20 So = 20)S30- S20= 40,則 &0= S30+= 70 + 73T= 150.S20 So20把艇命題角度，體現(xiàn)命盅鬲度，拉分題一分分必搶數(shù)列與函數(shù)的交匯數(shù)列在中學(xué)教材中既有相對獨立性

12、，又有較強的綜合性，很多數(shù)列問題一般轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求解，一些題目常與函數(shù)、向量、三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯結(jié)合，考查數(shù)列的基本運 算與應(yīng)用.一、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好例1 (2013 湖南五市十校聯(lián)合檢測 )已知函數(shù)f(x)是定義在(0, +8)上的單調(diào)函數(shù)， 且對任意的正數(shù) x, y者B有f(xy ) =f(x)+f(y),若正數(shù)列 an的前n項和為S,且滿足 *f(3+2) f(an) = f(3)(門62,則2口為()A. 2n1 B . nC 2n-1D- i3 n 12*解析由題意知 f(8+2) =f(an)+f(3)( nCN),SH-2 = 3an, Si1 + 2=3an1(ns2

13、),兩式相減得，2an = 3an-1(n2).又 n = 1 時，S + 2 =3a1 = a1 + 2,-1 3，ai=1, .數(shù)列an是首項為1,公比為萬的等比數(shù)列，an=答案D方法技巧S + 2= 3an,本題考查了抽象函數(shù)的一些性質(zhì)，利用其性質(zhì)把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，即 利用關(guān)系式判斷an為等比數(shù)列，問題得以解決.二、預(yù)測押題不能少.設(shè)數(shù)列an滿足a-2a2=3,且對任意的n CN*,點列R(n,an)恒滿足RR+1,=(1,2),A n V c 中-2) 解析：選A則數(shù)列an的前n項和&為()i41.n n3-Pn+1( n+ 1 ,an+ 1),則R1R + 1, = (1 ,

14、an + 1an)= (1,2),即an + 1 an = 2,所以數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列.又因為 ai +2a2=3,所以ai = -3,所以S=n%新定義下數(shù)列的創(chuàng)新問題探究“隱藏”函數(shù)后的數(shù)列問題.數(shù)列是一類特殊函數(shù)，可以利用函數(shù)性質(zhì)定義一些新數(shù)列，推斷這個新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來新興起的 一類問題.一、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好例2 (2012 湖北高考)定義在(8, 0) U (0 , +8)上的函數(shù)f(x),如果對于任意給定 的等比數(shù)列an, f (an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在 ( 8, 0) U (0 , +8

15、)上的如下函數(shù)：f(x)=x2;f(x)=2x; f(x)=j_x;f(x) = ln|x|.則其中是 A. C. 學(xué)審題“保等比數(shù)列函數(shù)的 f(x)的序號為()B.D.保等比數(shù)列函數(shù)指： 定義在(8, 0) U (0 ,+ 8 )上的函數(shù)；(2) an)是等比數(shù)列,則f (an)仍是等比數(shù)列.解析法一：設(shè)an)的公比為q.2f ( an) = an,22J=q ，. .f (an)是等比數(shù)列.排除 B、D.f ( an) = q、an| ,需Tan+1,q =N| q|, an. .f (an)是等比數(shù)列.排除 A.法二：不妨令an=2n.2 一一.因為f (x) =x ,所以 x因為f (

16、x) = 2 , 所以 f (ai) = f (2) = 22, f(as) =f (8) =28,f(an)=4n.顯然f(2n)是首項為4f(a2) =f(4) =2 ,4,公比為4的等比數(shù)歹4f a224所以 r=Q=4*asfa2所以f(an)不是等比數(shù)列.因為f(x)=WX1,所以f(an)= ；12n=( ,2)n.顯然f(an)是首項為.2,公比為 2的等比數(shù)列.因為 f(x) = ln| x| ,所以 f (an) = In 2顯然f(an)是首項為In 2 ,公差為In 2答案C方法技巧本題沒有直接指明判斷等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),=nln 2.的等差數(shù)列.而是通過新定義將指數(shù)函數(shù)

17、、數(shù)、二次函數(shù)與數(shù)列有機結(jié)合， 解答本題應(yīng)迅速脫掉“新定義”的外衣,對數(shù)函數(shù)及備函 認清本題的實質(zhì)是：已知數(shù)列an)為正項等比數(shù)列，判斷數(shù)列a：), 2 an), 小曲)及l(fā)n| an|)是否為等比數(shù)列問題.二、預(yù)測押題不能少2.在本例條件下，其中(1)正比例函數(shù)，(2)二次函數(shù)，(3)哥函數(shù)，(4)指數(shù)函數(shù)是“保等 比數(shù)列函數(shù)”的是.解析：(1)若正比例函數(shù)f (x) = kx( k*0),則1an+1kan+1 an+1=-=q,故函數(shù) f(x) =ankanankx(kw0)是“保等比數(shù)列函數(shù)”.(2)若二次函數(shù)f (x) = kx2+bx+c(kwo且b,c不全為0),則2 .f an

18、+1k an+1 + ban+1 + cf ank an 2+ba + can 2q2+banq+c2 ,不是常數(shù)，故函數(shù) f (x) = kx + bx+ c(k*0且 b, c不全為 0)不是 an + ban+ c“保等比數(shù)列函數(shù)”.m An 1(3)若備函數(shù) f(x)=x(m0),則=1f= q ,故函數(shù) f(x)=x(m0)f ananAn是“保等比數(shù)列函數(shù)”.(4)若指數(shù)函數(shù) f(x) = m(m0,且 亦1),則f An+1= m12 = ma+ia,不是常數(shù)，故函 f anma數(shù)f(x)=m(m0,且1)不是“保等比數(shù)列函數(shù)”.答案：(3)曲隔三則(2013 安徽高考)設(shè)&為等

19、差數(shù)列an的前n項和，Ss=4a3, ay=-2,則a9=()A. - 6B. - 4C. 2 D. 2解析：選 A 根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，&= 4( a3+a6),又&=48,所以a6= 0.又a7=2,所以 a8=4, a9= 6. TOC o 1-5 h z (2013 新課標(biāo)I全國)設(shè)首項為1,公比為2的等比數(shù)列an的前n項和為S,則()3A. Sn= 2an 一 1 B . S = 3an - 2C. Sn=4-3anD. &=32an., 一一 ,Ai anq 一解析：選D由等比數(shù)列前n項和公式Sn=-一q,代入數(shù)據(jù)可得 S=32a.-q(2013 石家莊市質(zhì)量檢測 )已知

20、等差數(shù)列an滿足a2=3, SSn-3 = 51( n3) , Sn= 100, 則n的值為()A. 8B. 9C. 10D. 11解析：選 C 由 S S1 3= 51 得，an2+ an1+ an= 51，所以 an 1 = 17.又 a2= 3, Sn=-2= 100,解得 n= 10.4.已知函數(shù) y=anx2(anW0, nCN*)的圖像在x= 1處的切線斜率為 2an1 + 1(n2, nC N*), 且當(dāng)n=1時其圖像過點(2,8),則a7的值為()A.1B, 72C. 5D. 6*、1 一一解析：選 C 由題知 y =2anx, 1-2an= 2an 1+1( n2, n N)

21、 ,. anan1=3 又 n= 1 時1n其圖像過點(2,8)，-1X22=8,得a1 = 2,.an是首項為2,公差為2的等差數(shù)列，a,=- +2，彳導(dǎo) a7= 5.(2013 山東萊蕪模擬)已知數(shù)列a, bn滿足 a1 = b1 = 3, an+1-an=b22 =3, n N,若 Dn數(shù)列Cn滿足 Cn= ban,則 C2 013 =()A. 9C. 92 0122 013B. 27D. 272 0122 013解析：選D由已知條件知an是首項為3,公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn是首項為3,公 比為 3 的等比數(shù)列，an = 3n, bn = 3 ,又 cn= ban= 33,C2013

22、 = 3313=27?。丁（2013 福建高考）已知等比數(shù)列an的公比為q,記bn=am；n1）+1+amn1） + 2+ amn-1）+m, Cn=amn1） + 1 amn1）+2 Amn 1） +m（m nCNi）,則以下結(jié)論一定正確的是（）A.B.C.D.數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為 數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為 數(shù)列Cn為等比數(shù)列，公比為 數(shù)列Cn為等比數(shù)列，公比為mq2mq2qmmqm= a1qm= a1qn( n-1)n(n 1) +1 aqm(n 1) +m- 1一 a1qn(n-i)+ m(n-i)+ i+ +m(n-i)+m- 1解析：選C等比數(shù)列 an的通項公式an=a1qn

23、T, 所以 Cn= am；n1)+1 am(n1) + 2 am；n1) + m;（2）第63行從左至右的第4個數(shù)字應(yīng)是n n+ 2且 a1=1,an=.而，2偶數(shù)行的順序從左到右，奇數(shù)行的順序從右到左，第63行的第1個數(shù)字為1 954 ,從左至m m2(n 1)+一口 m m2(n 1)+一中= a1q2=aqnm2 .二1 m 2Cn- 4 s =qm, m 1 m ! n 12 -所以數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為qn2.已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，若a1 = 3,前三項的和為21,則a4+a5+a6=. 解析：由已知a4 + a5+a6=a1q3+a1q4+a1q5=（a1+a1q+a

24、1q2）q3=（a1+a2+a3）.q3,即a4+a5+ a6= 21 q3.由前三項的和為 21,且a1=3解得q=2,故 a4+a5+a6=21q3=21X8= 168.答案：168（2013 銀川模擬）已知數(shù)列an滿足 anan+0+2, an+3= 24,且 a1 = 1, a2= 2, a3 = 3,則 a1 + a2+ a3+ , , + a2 013 =.解析：由 anHn+ Bn +2Hn +3=24）可知 Hn+12n+2Hn+32n + 4=24）得 an+4=an）所以C列 Hn是辰期為 4 的數(shù)列，再令 n=1,求得 a4=4,每四個一組可得 （a+a2+a3+a4）+

25、 + （a2 009+22 010 + 22 011 + a2 012） + 82 013 = 10X 503+ 1 = 5 031.答案：5 031（2013 荊州質(zhì)量檢查）如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行；數(shù)字2,3出現(xiàn)在第 2行；數(shù)字6,5,4（從左至右）出現(xiàn)在第3行；數(shù)字7,8,9,10 出現(xiàn)在第4行，依次類推，則（1）按網(wǎng)絡(luò)運作順序第n行第1個數(shù)字（如第2行第1個數(shù)字為2,第3行第1個數(shù)字為4,） 解析：設(shè)第n行的第1個數(shù)字構(gòu)成數(shù)列an,則an+1 an=n,右的第4個數(shù)字是從右至左的第60個數(shù)字，從而所求數(shù)字為1 954 + 59= 2 013.-

26、 2答案：二2一 2 013. (2013 全國新課標(biāo)n )已知等差數(shù)列an的公差不為零，31 = 25,且a, 311, ai3成等比 數(shù)列.(1)求an的通項公式；(2)求 31 + 34+ &+ a3n2.2解：(1)設(shè)an的公差為d.由題息，a11=a1a13, 2即(ad 10d) =&(a1+ 12d),于是 d(2 a1 + 25d) =0.又a1 = 25,所以d= 0(舍去)，或d=2.故 an= - 2n + 27.(2)令 Sn= a1 + a4+ a7+ + a3n2.由(1)知a3n 2=-6n+31,故a3n2是首項為25,公差為一6的等差數(shù)列.從而S = 2(a1

27、 +、n2 ,a3n2) = 2 , ( 6n + 56) = 3n + 28n.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且S=4an 3(nCN). 證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)右數(shù)列bn滿足bn+1= an+ bn( nC N),且b1 = 2,求數(shù)列bn的通項公式.解：(1)證明：由Sn=4an 3可知，當(dāng) n = 1 時，a1= 4a1 3,解得 a1 = 1.因為 s=4an3,則 Sn 1=4an 1-3(n2),所以當(dāng) n2 時，an= S Sn 1 = 4an4an 1 ,4 一整理得 an=an-1,又 a1=1W0,34所以an是首項為1,公比為w的等比數(shù)歹3(2)由(1)知 an=4 n-1:、鼻!，由 bn + 1= an+ bn(nC N),3得 bn+1 -bn= J3 Ji可得