銳角三角函數(shù)講義

1、銳角三角函數(shù)講義 / 31銳角三角函數(shù)第一課時(shí) : 三角函數(shù)定義與特殊三角函數(shù)值知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義：一、 銳角三角函數(shù)定義：在 RtABC 中，C=900, A、B、C 的對(duì)邊分別為 a、 b、c，則 A 的正弦可表示為： sinA= ， A 的余弦可表示為 cosA=A 的正切： tanA=，它們弦稱為 A 的銳角三角函數(shù)() 斜邊sinB()斜邊cosAcosB()斜邊 tanA()A的鄰邊tanBB的對(duì)邊 ()例 2. 銳角三角函數(shù)求值：在 Rt ABC 中，C90，若 a 9，b12，則 c sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB例 3已知：如圖， Rt

2、TNM 中， TMN 90， MRTN于 R 點(diǎn)， TN4，MN 3求： sin TMR、 cos TMR、tanTMR對(duì)應(yīng)練習(xí) :1、 在 Rt ABC 中， a 5，c 13，求 sinA ， cosA， tanA 2、AB=25，BC=7，CA=24求 sinA 的值如圖， ABC中，253、 已知 是銳角，且 cos = 3 ，求 sin 、 tan 的值44、在 Rt ABC中， C 90o ，AC 5，BC 4，則 tanA5、在 ABC 中，C=90，sinA= 3 ，那么 tanA 的值等于5（） .A35B. 45C. 34D. 436、在ABC中，C90，cosA 3，c4

3、，則 a47、如圖， P是 的邊 OA上一點(diǎn)，且 P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2，3）， 則 sin =，cos= ，tan = _ 知識(shí)點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)值銳角304560sincostan當(dāng) 時(shí)，正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而例 1求下列各式的值（1）. 計(jì)算 ： 2 cos30 2sin 45 tan60 （2）計(jì)算： tan60 sin 2 45 2 cos 30 .例 2求適合下列條件的銳角(2) tan(1) cos3）已知 為銳角，且 tan（300) 3 ，求 tan 的值例 3. 三角函數(shù)的增減性1已知 A 為銳角，且 sin A 21 ，那么 A 的取值范圍是A

4、.0 A 30 B.30 A60C.60A 90D.30 A 90 2.已知 A為銳角，且 cosA0sin30，則（）A.0 A 60 B.30 A 60 C.60A 90D.30 A 90 類型一 特殊三角函數(shù)值與計(jì)算1、（1）計(jì)算： 31+（21）0 33 tan30 tan4532）計(jì)算：2 cos60sin45tan303）計(jì)算：tan45 sin301 cos60(4) sin222(5) 6cos( 16 ) 3 3（ ）在 ABC中，若 cosA 12 （sinB 22）2 0， A， B 都是銳角， 求C1、類型二：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形 如圖所示， ABC 的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)

5、格的格點(diǎn)， 則 sinAB 55C10 D 2 510 5A12的值為（ ）2、如圖， ABC 的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則 sin A3、如圖， A、B、C 三點(diǎn)在正方形網(wǎng)絡(luò)線的交點(diǎn)處， 若將 ABC 繞著點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 AC B ，則 tanB 的值為A. 41B. 31C.12則 tanAOB 的值是(AD. 2B.25D. 1類型三：直角三角形求值1、已知 RtABC中， C 90 ,tan A 43,BC 12, 求 AC、AB和 cosB2、如圖，O的半徑 OA16cm，OCAB于 C點(diǎn)，sin AOC 34 求 AB 及 OC 的長(zhǎng)3、已知： O 中， OCAB 于 C

6、點(diǎn)， AB16cm，sin AOC 3 5(1)求 O 的半徑 OA 的長(zhǎng)及弦心距 OC；(2)求 cos AOC 及 tan AOC4、已知 A是銳角， sinA 187，求 cosA， tanA的值類型四 . 利用角度轉(zhuǎn)化求值：1、已知：如圖， Rt ABC 中， C90 D 是 AC 邊上一 點(diǎn)， DEAB 于 E 點(diǎn)DEAEtanB2、如圖，直徑為 10 的 A 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C （0，5） 和點(diǎn) O（0，0） ，與 x 軸的正半軸交于點(diǎn) D ，B 是 y 軸右側(cè)圓弧上一點(diǎn)，則cos OBC 的值為（）C35DA 12B 23它的一邊在 x 軸的正半軸上，另一邊 OA 上有一點(diǎn) P（ 3，4

7、），則 sin4、如圖，菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 10cm， DE AB， sin A 3，5則這個(gè)菱形的面積 =cm25、如圖， O是 ABC的外接圓， AD是O的直徑，若 O的半 徑為 3 ， AC 2，則 sinB 的值是()2A 2B 3C 33 2 4D 46、如圖，沿 AE 折疊矩形紙片 ABCD ，使點(diǎn) D 落在 BC 邊的點(diǎn) F 處已知 AB 8， BC 10 ，AB=8,則tanEFC 的值為 ( )37、如圖，在等腰直角三角形ABC中， C 90 ， AC 6， D為AC上一點(diǎn)，若 tan DBA 1 ，則 AD的長(zhǎng)為 ( )522A 2 B8、 如圖，在 Rt ABC 中

8、， C=90， AC=8， A 的平分 線 AD=16 3 求 B 的度數(shù)及邊 BC、AB 的長(zhǎng) .3B類型五 . 化斜三角形為直角三角形1、 如圖，在 ABC 中， A=30， B=45，AC=2 3 ， 求 AB 的長(zhǎng)2、已知：如圖，在 ABC 中， BAC120，AB 10，AC 5求： sinABC 的值3、如圖，在 Rt ABC 中， BAC=90，點(diǎn) D 在 BC 邊上，若 AB=2 ，求 ABC 的周長(zhǎng) （結(jié)4、已知：如圖， ABC中，AB9，BC6， ABC 的面積 等于 9，求 sinB5、ABC中， A=60， AB=6 cm， AC=4 cm，則 ABC 的 面積是A.2

9、 3 cm2.4 3 cm2C.6 3 cm2D.12 cm2第二課時(shí)：解直角三角形知識(shí)點(diǎn)三： 解直角三角形AB c，1在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用的主要關(guān)系如下： 在 RtABC 中， C90， ACb，BCa， 三邊之間的等量關(guān)系：兩銳角之間的關(guān)系：邊與角之間的關(guān)系：sinA cosB； cosA sinBtanA1tanBtanBtanA直角三角形中成比例的線段在 Rt ABC 中， C 90， CD AB 于 DCD2；AC2；BC2；ACBC類型一例 1在 Rt ABC 中， C 90(1)已知： a35，c 35 2，求 A、 B，b；(2)已知：a 2 3，b 2，求 A、

10、B，c；(3)已知：sinA 32，c 6，求 a、b；(4)已知：tanB 3,b 9, 求 a、c；(5)已知： A60， ABC 的面積 S 12 3,求 a、b、c 及B例 2已知：如圖， ABC 中， A 30， B 60， AC 10cm 求 AB 及 BC 的長(zhǎng)例 3已知：如圖， Rt ABC 中， D90， B45 ACD 60 BC10cm求 AD 的長(zhǎng)例 4已知：如圖， ABC 中， A 30， B 135 AC10cm求 AB 及 BC 的長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)四：三角函數(shù)應(yīng)用類型一： 三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用1已知：如圖，在菱形 ABCD 中，DEAB于 E，BE16cm，sin A1

11、213求此菱形的周長(zhǎng)2已知：如圖， RtABC中， C90， AC BC 3，作 DAC30， AD 交 CB 于 D 點(diǎn)，求： (1) BAD； (2)sinBAD、cosBAD 和 tanBAD 3. 已知：如圖 ABC中， D為BC中點(diǎn)，且 BAD90，上，DC= AC = 6，求 tan BAD 的值C5.如圖， ABC中， A=30， tan B 3，AC 4 3求 AB 的 長(zhǎng).第三課時(shí)，解直角三角形應(yīng)用類型二：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、仰角與俯角：仰角 ：視線在水平線上方的角； 俯角：視線在水平線下方的角1如圖，從熱氣球 C處測(cè)得地面 A、B 兩點(diǎn)的俯角分別是 30、45，如果此時(shí)

12、熱氣球 C處的高度 CD 為 100米，點(diǎn) A、 D 、B 在同一直線上，則 AB 兩點(diǎn)的距離是（ ）A 200 米B 200 米 C 220 米 D 100 （） 米2已知：如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在 A 點(diǎn)的梯子， 當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在 B 點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè) 墻上時(shí)，梯子的頂端在 D 點(diǎn)已知 BAC 60， DAE 45點(diǎn) D 到地面的垂直距離 DE 3 2m ，求點(diǎn) B 到地面的垂 直距離 BCBD=30m從水平面上一點(diǎn) C 測(cè)得風(fēng)力發(fā)電裝置的頂端 A 的仰角 DCA=60，測(cè)得山頂 B 的仰角 DCB =30，求風(fēng)力發(fā)電裝置的高 AB 的 長(zhǎng)DBE4 .如圖，小聰用一

13、塊有一個(gè)銳角為 30 的 直角三角板測(cè)量樹(shù)高，已知小聰和樹(shù)都 與地面垂直， 且相距 3 3 米，小聰身高 AB 為 1.7 米，求這棵樹(shù)的高度 .5已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A 處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn) C 的俯角為 30 ，測(cè)得岸邊點(diǎn) D 的俯角為 45，又知河 寬 CD 為 50m 現(xiàn)需從山頂 A 到河對(duì)岸點(diǎn) C 拉一條筆直的纜 繩 AC，求山的高度及纜繩 AC 的長(zhǎng) （答案可帶根號(hào) ）6 如圖，為測(cè)量某物體 AB 的高度，在 D 點(diǎn)測(cè)得 A 點(diǎn)的仰 角為 30，朝物體 AB 方向前進(jìn) 20 米，到達(dá)點(diǎn) C，再次測(cè)得 點(diǎn)A 的仰角為 60，則物體 AB 的高度為（ ）A 10 米 B 10

14、米 C 20 米 D 米7超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一上周末，小 明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車(chē)速如圖，觀測(cè) 點(diǎn)設(shè)在 A 處，離益陽(yáng)大道的距離（ AC）為 30 米這時(shí)，一 輛小轎車(chē)由西向東勻速行駛， 測(cè)得此車(chē)從 B 處行駛到 C 處所 用的時(shí)間為 8 秒， BAC=75 （1）求 B、C 兩點(diǎn)的距離；（ 2）請(qǐng)判斷此車(chē)是否超過(guò)了益陽(yáng)大道 60 千米 /小時(shí)的限制速 度？（計(jì)算時(shí)距離精確到 1 米，參考數(shù)據(jù)： sin75 0.96，59 cos75 0.2，58t8an75 3.7，32 3 1.73，2 60千米/小時(shí) 16.7 米/秒）坡度與坡角（2）坡面的鉛直高度 h和水

15、平寬度 l的比叫做 坡度 （坡比）。用 字母 i表示，即 i h 。坡度一般寫(xiě)成 1: m的形式，如 i 1:5 等。把坡面與水平面的夾角記作（叫做坡角），那么 i h tan 。l例如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡 AB 的坡比是 1： 3 ， 堤壩高 BC=50m ，則應(yīng)水坡面 AB 的長(zhǎng)度是（）A 100mB100 3mC 150mD50 3m三、方位角從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的角分別是：45、 135、 225。水平角，叫做方位角。如圖3，OA 、OB、OC、OD 的方向4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如圖 4,OA 、 OB 、 OC 、

16、 OD 的方向角 分別是：北偏東 30（東北方向） ， 南偏東 45（東 南方向），南偏西 60（西南方向） ，北偏西 60（西北方向）1已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點(diǎn) A 處測(cè)得 燈塔 M 在北偏西 30，貨輪以每小時(shí) 20 海里的速度航 行，1 小時(shí)后到達(dá) B 處，測(cè)得燈塔 M 在北偏西 45，問(wèn) 該貨輪繼續(xù)向北航行時(shí)，與燈塔 M 之間的最短距離是多 少?（精確到 0.1 海里， 3 1.732 ）3BAD= 135， BCD= 90，（2） 求 AD 的長(zhǎng) 2如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn) A 分別作 AEBC 于綜合題： 三角函數(shù)與四邊形：1 如圖，四邊形 ABCD AB

17、=BC= 2， tan BDC=(1) 求 BD 的長(zhǎng)；點(diǎn) E， AFCD 于點(diǎn) F（1）求證： BAE= DAF ；（2）若 AE=4，AF= 24， sin BAE 3，55 求 CF 的長(zhǎng)三角函數(shù)與圓：1. 已知：在 O 中,AB 是直徑， CB 是 O 的切線，連接 AC 與O 交于點(diǎn) D,(1) 求證： AOD= 2C(2)若 AD=8，tanC= 43 ，求 O 的半徑2.如圖，DE 是 O的直徑， CE 與O 相 切， E為切點(diǎn) .連接 CD 交O 于點(diǎn) B， 在 EC 上取一個(gè)點(diǎn) F ，使 EF=BF.（ 1）求證 :BF 是 O 的切線 ; （2）若cosC 4, DE=9，

18、求 BF 的長(zhǎng)51已知 sinA 1，則銳角 A 的度數(shù)是2A75B 60C 45D 30AB= 5 ，則 tanA2在 RtABC 中， C90，若 BC 1，的值為A 5B2 5553在ABC中，C=90，sinA= 3，那么5C12 tanAD2的值等于（A5C.D.4. 若 sin 3 ，則銳角 .25如圖，在 RtABC中， C90，BC3，AC=2， 則tanB 的值是ABC256將 放置在正方形網(wǎng)格紙中，的值是AB2D 2 1313位置如圖所示，2D25558如圖，在直角三角形 ABC 中，斜邊 AB的長(zhǎng)為 m則直角邊 BC 的長(zhǎng)是（ ）A msin 40o B m cos 40

19、o C m tan 40o D m o tan 40o9如圖，已知 P 是射線 OB 上的任意一點(diǎn)， 且 OM : OP=4 : 5，則 cos的值等于（ A 3B 4C 44 3 510如圖， AB 為 O 的弦，半徑于點(diǎn) D ，若 OB 長(zhǎng)為 10，cos BOD則 AB 的長(zhǎng)是A . 20B. 16C. 12D. 811.在 Rt ABC中，C=90如果 cosA=那么 tanA的值A(chǔ)3512如圖，BC3490，若在 ABC 中，3，則5sinA=cos BCD 的 值B53ACB=ADC=13.計(jì)算： 2 cos302sin 45tan6013計(jì)算 2 sin 602 cos 45 3

20、 tan30 tan45 .14計(jì)算： 2 sin 60o 4cos2 30o+sin 45o tan60o15已知在 RtABC 中， C90，a=4 6 ，b=12 2 .解這個(gè)直角三角形16. 如圖，在 RtABC 中， CAB=90， AD分線， tanB= 12 ，求 CBDD的值17如圖，某同學(xué)在樓房的 A處測(cè)得荷塘的一端30 ,荷塘另一端 D處 C 、B在同一條直線上，CD 16 米，求荷塘寬 BD 為多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）A 經(jīng)過(guò) A，C 兩點(diǎn)，交 AB 于點(diǎn) D，已知 2A +O18.（6分）如圖，在 ABC中，點(diǎn) O在 AB上，以 O為圓心C 的圓1）求證： BC是O 的切線；2）若 OA=6，BC=8，求 BD 的長(zhǎng)19如圖，在 RtABC中，C=90，點(diǎn) D在 AC邊上若DB=6 ，AD= 21 CD ， sinCBD= 23 ，求 AD 的長(zhǎng)和 tanA 的值20如圖，一艘海輪位于燈塔 P 的南偏東 45方向，距離 燈塔 100 海里的 A 處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位 于燈塔 P 的北偏東 30方向上的 B 處.（1） B 處距離燈塔 P 有多遠(yuǎn)？ （2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于 PB 的延長(zhǎng)線上，距離燈 塔 200 海里的 O 處已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為 50 海里， 進(jìn)入圓形