高次,無(wú)理,指數(shù),對(duì)數(shù)不等式的解法及應(yīng)用分析

1、高次、無(wú)理、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的解法及應(yīng)用分析解不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的重要工具，在研究函數(shù)的性質(zhì)、確立問題成立的條件等方面都有廣泛的應(yīng)用。 本階段的重點(diǎn)是不等式的“等價(jià)轉(zhuǎn)化”，將高次不等式低次化，無(wú)理不等式有理化、超越不等式代數(shù)化，最終回歸 到一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來解。難點(diǎn)是解含參數(shù)的不等式，對(duì)于如何選擇參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)、如何把握分類的時(shí)機(jī)是有難度和深度的。一、高次不等式.概念：形如不等式(x-x 1 )(x-x 2) (x-x n)0 (其中X1, X2, ,Xn是互不相等的實(shí)常數(shù))叫做一元n次不等式(n C N)。.解題思路：作出相應(yīng)函數(shù)的圖象草圖。具體步驟如下：(a

2、)明確標(biāo)出曲線與x軸的交點(diǎn)，(b)分析在每一個(gè)開區(qū)間上函數(shù)的那段曲線是在x軸的上方還是下方(除此之外，對(duì)草圖不必做更細(xì)致的要求)。然后根據(jù)圖象草圖，寫出滿足不等 式的解集。.例題：例 1 .解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)0;(2)(x2-5x-6)(1-x)0。解：(1)做出函數(shù)y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) 的圖象的草圖(圖1)。所以不等式的解集為(-(-1,1)(2,+8)。(2)先把原不等式化成與它等價(jià)的：(x+1)(x-6)(x-1)0分析：此例中y=(x+2)(x+1) 2(x-1) 3(x-3)出現(xiàn)了重因式,號(hào)沒有發(fā)生變化，而 x值從大于1

3、到小于1時(shí)(不含1),化，如圖3 ,故解集為(-2,-1)(-1,1)(3,+8)。注：本題可以先對(duì)不等式化簡(jiǎn)再解。原不等式等價(jià)于二、無(wú)理不等式.概念：如果函數(shù)f(x)是關(guān)于x的無(wú)理式，那么f(x)0或f(x)g(x)5。所以原不等式的解集為5, +8)。=t (t叫。則解法二：設(shè)x=。所以原不等式化為tw-2,所以t2-2t-3 R,即t41或 S3。因?yàn)?S0,所以t R3,所以x5o解法3 :令yi =,y2=x-2,從而原不等式的解集就是使函數(shù)yiy 2的x的取值范圍。在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象（圖 4）。設(shè)它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是X0,則=X0-20。解之，得X0=5或X0=1

4、（舍）。所以原不等式解集為5,+ OO評(píng)述：解法1是通法，要求必須熟練掌握，解法 2是換元法，由于不等式兩邊次數(shù)恰是倍數(shù)關(guān)系，故換元后變 為二次不等式，但最終還要解 x的方程。解法3是數(shù)形結(jié)合法，用圖象解題，一般比較簡(jiǎn)捷、形象、直觀，但要注 意作圖的正確和表達(dá)的清晰和完整。a-x (a0)。解：a-x(I)或(II)而（I）(2-(II)ax 0)。所以原不等式的解集是xa （因?yàn)?a0）。解：x=-2 o所以原不等式的解集是1,+ 8)-2。三、指數(shù)不等式，對(duì)數(shù)不等式1.解題思路：化超越不等式為代數(shù)不等式，依據(jù)是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。2.常見題型及等價(jià)轉(zhuǎn)化:x1或x=1或(1)(a0,

5、a wi)。當(dāng) 0a1 時(shí)，f(x)1 時(shí)，f(x)g(x)。(2)m (ax)2+n (ax)+k0 。令ax=t(t0),轉(zhuǎn)化為 mt 2+nt+k0 ,先求t的取值范圍，再確定 x的集合。(3)log af(x)log ag(x) (a0, a wl)。當(dāng)0a1時(shí),(4)令log af(x)=t (t 6 R),轉(zhuǎn)化為mt 2+nt+k0,先求t的取值范圍，再確定 x的集合。3.例題解：,所以 x2-2x-33-3x,所以 x2+x-60,所以-3x0),則t2-12t-64 0 。所以 0t 16,故 02 x16,從而 x4o所以原不等式的解集是(-8, 4。解：原不等式可化為:所以

6、所以所以1x5 。所以原不等式的解集為（1,5）。注意：（1）解對(duì)數(shù)不等式要考慮原不等式中的定義域；（2）如出現(xiàn)往往將此項(xiàng)移項(xiàng)，這樣可以避開分式運(yùn)算；（3）如出現(xiàn)以2和4為底數(shù)的對(duì)數(shù)，最好統(tǒng)一成4為底的對(duì)數(shù)，這樣可以避開無(wú)理式運(yùn)算。四、作業(yè) 解下列關(guān)于x的不等式:1. (x-a)(x+2)(x-3)03.4.5.6.作業(yè)參考答案:解：1.當(dāng) a-2 時(shí)，解集為(-0,a)(-2,3)。(-2,3)。當(dāng)a=-2時(shí)，解集為(-oo,-2)當(dāng)-2a3 時(shí)，解集為（-8,-2）（3,a）。2. x(x-1) 3(x-2) 2(x+1)(x 2+x+1)0 ,所以)2+x(x-1) 3(x-2) 2(x

7、+1)(x+)0所以x(x-1) 3(x-2) 2(x+1)0 。 所以解集為(-1,0)(1,2)(2,+8)。3,因?yàn)?x+4)(x-3)=x 2+x-12 , (x+3)(x-2)=x 2+x-6(t 0)。則(x+4)(x-3)=t 2-6 ,所以原不等式可化為t2-6+t36,即 t2+t-420 ,所以-7t6 ，因?yàn)?tR,所以 0 46,所以,所以 0WxW-3 或 2 wx6,所以解集為4.所以所以所以所以所以，所以解集為5. (1)當(dāng)x=1時(shí)，顯然原不等式不成立，所以xwl。(2)當(dāng)0Vx1時(shí)，即，所以,所以 0 x1時(shí)，即,所以x2 。(2,+ 00)。綜上所述，原不等式

8、的解集為(0,1)6. (1)當(dāng)0a1時(shí)，原不等式等價(jià)于因?yàn)樗裕ㄒ驗(yàn)閍1 ）,所以,所以xa。綜上所述，當(dāng)0a1時(shí)，解集為(a, + 8)。在線測(cè)試選擇題1 .不等式 mx 2+nx+30的解集是兇-102則m , n的值是(B、A、 m=-m=n=m=-，n=D、 m=-,n=-12.關(guān)于x的不等式0)的解集是(一、rB、(0, aC、D、(-巴)U (0,+ 8).已知不等式kx2-kx-20 的解集是空集，則k的取值范圍是）A、-8 wk W0B、-4 wk 30C、0WkD、1 wkW4 TOC o 1-5 h z .已知不等式log a（x2+2x+5）0B、a 2C、0a0 ,且

9、x2y=2 , xy+x 2的最小值是（）r r r rA、3B、2C、1D、-3答案與解析答案：1、C 2、B 3、A 4、C5、A解析：1、分析：根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程之間的關(guān)系，我們知道-1和2是方程mx，nx+3=0 的根。2、分析：利用函數(shù)圖象來解，在同一個(gè)坐標(biāo)系下畫出y=和y=2x+a的圖象，滿足前面的圖象在后面圖象下面的x的取值即是所求。也可以用代入法，代入 x=a不等式成立,選項(xiàng)A, C中沒有a,錯(cuò)。代入x=-a ,不等式不成立，選項(xiàng) D錯(cuò)。3、分析：根據(jù)一元二次函數(shù)圖象的性質(zhì)和一元二次不等式的解法，要滿足條件，則k0,且根的判別式應(yīng)該小于等于0。也可以用代入法。k=

10、0符合題意，D中沒有0,錯(cuò)。k=1 ,不合題意，C錯(cuò)。k=-8代入，符合題意， B錯(cuò)。4、分析：這是一個(gè)關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的不等式問題，我們注意到左邊對(duì)數(shù)的真數(shù)的最小值是4,要滿足條件，則0a0 , y0 ,將y=代入xy+x 2,得到（當(dāng)且僅當(dāng)x=1等號(hào)成立）。注：涉及到不等式解集的選擇題多數(shù)都可以用代入法。這是比較簡(jiǎn)單的方法。解無(wú)理不等式的若干求簡(jiǎn)策略解無(wú)理不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。無(wú)理不等式的常規(guī)解法是先將原不等式化成或g(x)或g(x)等基本形式，再兩邊平方去根號(hào)轉(zhuǎn)化為有理不等式組求解。但對(duì)某些無(wú)理不等式，上述解法往往運(yùn)算量大，過程冗長(zhǎng)。解題中若能注意到某些特殊要素的功能作用，或利用某些特殊手段將原不等式作適當(dāng)轉(zhuǎn)化，常能簡(jiǎn)化解題過程，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，提高解題效率。在具體的解題過程中，有以下幾方面的策略。.借用“定義域”確定符號(hào)，簡(jiǎn)化或避免討論，從而使解題過程簡(jiǎn)化。使無(wú)理不等式中各代數(shù)式都有意義的未知數(shù)的取值范圍，不妨稱為不等式的“定義域”。顯然，不等式的解集應(yīng)是其“定義域”的子集。將不等式化為基本形式并確定其“定義域”，再考慮不等式另一邊的取值符號(hào)，有時(shí)能簡(jiǎn)