菱形的判定定理

1、八年級數(shù)學下 新課標冀教第二十二章 四邊形22.5 菱形（第2課時）學 習 新 知問題思考什么樣的四邊形是平行四邊形?它有哪些判定方法?平行四邊形的判定方法應(yīng)該從三個方面分析:(1)邊:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.(2)角:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.(3)對角線:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.那么菱形的判定方法是什么呢?活動1利用菱形的定義判定菱形的定義既是菱形的性質(zhì),又可作為菱形的一種判定方法.即:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.活動2菱形的判定(1)畫兩條等長的線段AB,AD,分別以

2、B,D為圓心,AB為半徑畫弧,兩弧相交于點C,連接BC,CD,得到四邊形ABCD,猜一猜,這是什么四邊形?通過探究,容易得到:的四邊形是菱形.已知:如圖所示,四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求證四邊形ABCD是菱形.證明:AB=CD,BC=AD,四邊形ABCD是平行四邊形.又AB=AD,四邊形ABCD是菱形.活動3菱形的判定(2)已知:如圖所示,在ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,ACBD.求證:ABCD是菱形.證明:四邊形ABCD是平行四邊形,OA=OC.又ACBD,BD是線段AC的垂直平分線.BA=BC.四邊形ABCD是菱形.【思考】從上述證明中,你得出什么結(jié)論?菱形的判定

3、定理:兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.(教材第145頁例2)已知:如圖所示,在ABC中,AD是BAC的平分線,DEAC,交AB于點E,DFAB,交AC于點F.求證四邊形AEDF是菱形.分析:先證明四邊形AEDF是平行四邊形,再利用菱形的定義進行判定.證明:DEAC,DFAB,四邊形AEDF是平行四邊形.1=3.又1=2,2=3.AE=DE.四邊形AEDF是菱形.(補充)已知:如圖所示,在ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB= ,OA=2,OD=1.求證ABCD是菱形.證明:在AOB中,AB= ,OA=2,OD=1,AD2=AO2+OD2.AOD是直角三角形,AOD=90.ACBD

4、.平行四邊形ABCD是菱形.知識拓展(1)菱形的判定可以從兩個圖形(四邊形或平行四邊形)考慮,利用三種思路(邊、角、對角線)進行證明.(2)菱形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【課堂小結(jié)】檢測反饋1.(2016遵義中考)如圖所示,在ABCD中,對角線AC與BD交于點O,若增加一個條件,使ABCD成為菱形,下列給出的條件不正確的是()A.AB=ADB.ACBDC.AC=BDD.BAC=DAC解析:A.根據(jù)菱形的定義可得,當AB=AD時ABCD是菱形;B.根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可知B正確;C.對角線相等的平行四邊形是矩形,不一定是菱形,命題錯誤;D.當BAC=DAC時,在ABCD中,

5、ADBC,ACB=DAC,BAC=ACB,AB=BC,ABCD是菱形.故選C.C2.如圖所示,小紅在作線段AB的垂直平分線時,是這樣操作的:分別以點A,B為圓心,大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧,兩弧相交于點C,D,則直線CD即為所求.連接AC,BC,AD,BD,根據(jù)她的作圖方法可知,四邊形ADBC一定是()A.矩形 B.菱形C.正方形D.等腰梯形解析:由題意知AC=AD=BD=BC,四邊形ADBC一定是菱形.故選B.B3.用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是()A.等腰梯形B.正方形C.矩形 D.菱形解析:等邊三角形各邊長度相等,而四條邊相等的四邊形是菱形.故選D.D4.如圖所示,

6、在矩形ABCD中,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,且AHEH=1213,又AE=5,則四邊形EFGH的面積為()A.240B.60C.120D.169解析:由題意易知AEHBEFCGFDGH,EH=EF=FG=HG,四邊形EFGH是菱形,其對角線的長等于矩形的長與寬.在RtAEH中,設(shè)AH=12k,EH=13k,則AE= =5k=5,k=1,AH=12,AD=24,AB=10,S菱形EFGH= ADAB= 2410=120.故選C.C5.如圖所示,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,CEBD,DEAC.若AC=4,則四邊形CODE的周長是.解析:CEBD,DEAC,四邊

7、形CODE是平行四邊形.四邊形ABCD是矩形,OC= AC=2,OD= BD,AC=BD,OC=OD=2,四邊形CODE是菱形,DE=CE=OC=OD=2,四邊形CODE的周長=24=8.故填8.86.如圖所示,CE是ABC的外角ACD的平分線,AFCD交CE于點F,FGAC交CD于點G.求證四邊形ACGF是菱形.解析:根據(jù)平行線的性質(zhì)得到2=3,根據(jù)角平分線的定義得到1=2,由等量代換得到1=3.AF=AC,從而利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證得結(jié)論.證明:AFCD,FGAC,四邊形ACGF是平行四邊形,2=3.CE平分ACD,1=2.1=3,AC=AF,四邊形ACGF是菱形.7.如圖所示,已知BD平分ABF,且交AE于點D,(1)求作BAE的平分線AP(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);(2)設(shè)AP交BD于點O,交BF于點C,連接CD,當ACBD時.求證四邊形ABCD是菱形.解析:(1)根據(jù)角平分線的作法作出BAE的平分線AP;(2)先證明ABOCBO,得出AO=CO,AB=CB,再證明ABOADO,得出BO=DO.由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形及有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明四邊形ABCD是菱形.解:(1)如圖(1)所示.圖(1)圖(2