注重構(gòu)造模型培養(yǎng)直覺(jué)思維

1、PAGE PAGE 3注重構(gòu)造模型 培養(yǎng)直覺(jué)思維襄樊市二十中學(xué) 李繼在教學(xué)工作中，經(jīng)常聽(tīng)到學(xué)生報(bào)怨“我最怕建模題了，那么多的數(shù)字和信息，組織起來(lái)特別困難，簡(jiǎn)直都不知道如何下手”。這是一個(gè)帶有普遍性的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是不能給予題目中涉及的公式，概念及數(shù)學(xué)關(guān)系賦予恰當(dāng)?shù)膶?shí)際意義，構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型。迷失了解決問(wèn)題的途徑，這不管是對(duì)教還是對(duì)學(xué)，顯然都沒(méi)有達(dá)到目的。近年來(lái)，我?guī)е@個(gè)問(wèn)題，閱讀了不少教育學(xué)、心理學(xué)方面的書(shū)籍，認(rèn)為重要原因之一在于學(xué)生直覺(jué)思維能力不強(qiáng)，不能準(zhǔn)確地構(gòu)造出相關(guān)模型。沿縱向考察數(shù)學(xué)思維，它是一個(gè)由外感到內(nèi)化的主客體間的交互作用的過(guò)程，避開(kāi)思維機(jī)制、思維活動(dòng)過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系，僅就思維材料

2、（內(nèi)容）看，一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)都要經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)化（數(shù)學(xué)模型化）、數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化和數(shù)學(xué)理論的運(yùn)用三個(gè)階段、三個(gè)階段進(jìn)程緊密相連，互相滲透，互為補(bǔ)充，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程模式。從數(shù)學(xué)思維的方式看有數(shù)學(xué)形象思維、數(shù)學(xué)邏輯思維和數(shù)學(xué)直覺(jué)思維之分。三種方式相互影響、相互滲透、相互為用，就其功能和主要傾向來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)形象思維是先導(dǎo)，直覺(jué)思維常常是提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和洞察問(wèn)題的重要工具，為邏輯思維提供展開(kāi)的方向，正如龐加萊所說(shuō)：“邏輯是解題的工具，直覺(jué)是發(fā)現(xiàn)的工具”，而發(fā)現(xiàn)這一環(huán)節(jié)之所以對(duì)學(xué)生而言較難，是因?yàn)槌鯇W(xué)者往往難以根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)建立起相應(yīng)的模型和法則，也就是一個(gè)復(fù)雜的思維過(guò)程缺少足夠的中

3、間環(huán)節(jié)做支撐，故而思路難通。因此，無(wú)論是從解決實(shí)際問(wèn)題，還是從思維發(fā)展的訓(xùn)練規(guī)律而言，教師在教學(xué)中訓(xùn)練構(gòu)造基本解題模型，強(qiáng)化構(gòu)造直覺(jué)，都具有十分重要的意義，我認(rèn)為教學(xué)中應(yīng)從以下幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)造模型的能力。一、把握關(guān)鍵語(yǔ)句，構(gòu)造解法模型豐富的聯(lián)想是直覺(jué)思維的一個(gè)基本特點(diǎn)，其基本特點(diǎn)是由當(dāng)前面臨的事物回想起相關(guān)事物并做出判斷，在建模題中常有一些關(guān)鍵詞句對(duì)解法有明顯的提示作用。例1 某自行車(chē)管理站，在某個(gè)星期日接受保管的自行車(chē)共3500輛次，其中變速車(chē)保管費(fèi)是每輛次0.5元，一般車(chē)保管費(fèi)每輛次0.3元，若一般車(chē)停放的輛次為X，總的保管費(fèi)收入為Y元。若需保管費(fèi)收入不低于1500元，問(wèn)保管一般車(chē)至

4、多有多少輛次。分析：此題求的是最大值，而在初中階段，主要是運(yùn)用一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減特性求最值，而“不低于”就意味著列不等式，由這些關(guān)鍵詞，解題者可迅速想到建立Y與X的函數(shù)關(guān)系式，解不等式或出自變量X的取值范圍，利用函數(shù)的增減性求最值。類(lèi)似的關(guān)鍵詞句在建模題中較為常見(jiàn)。例如在函數(shù)建模題中提到“有哪幾種方案”，常見(jiàn)解法是根據(jù)題意得出自變量的取值范圍，并在該范圍內(nèi)分析存在的各種情況即各種方案。教學(xué)建議：學(xué)生的直覺(jué)除了源于現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)之處，更重要的是需要豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)觀在教學(xué)中不斷積累的結(jié)顆，教學(xué)中重視學(xué)生從教學(xué)知識(shí)中提煉本質(zhì)的規(guī)律，在學(xué)生頭腦中形成，由定義、定理、黨規(guī)常法網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)模塊

5、，由特定環(huán)節(jié)（如關(guān)鍵詞句）作引導(dǎo)，直接將思維導(dǎo)入相關(guān)模塊，這也是我們訓(xùn)練直覺(jué)思維所要追求的效果之一。二、把握常用關(guān)系，構(gòu)造結(jié)構(gòu)類(lèi)型建模題必然涉及生活中多方面的數(shù)量關(guān)系，所以對(duì)各方面數(shù)量關(guān)系能熟記熟用，建立相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備，才能為構(gòu)造模型的直覺(jué)思維提供足夠的原型啟動(dòng)。例2 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元，其成本價(jià)為25元，因?yàn)樯a(chǎn)過(guò)程中，平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米的污水排出，所以為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計(jì)兩種方案對(duì)污水進(jìn)行處理，并準(zhǔn)備實(shí)施。方案一 工廠污水先凈化后處理，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)2元，并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)3000元。方案二 工廠半污水排到污水廠統(tǒng)一處理，每處理1

6、立方米污水需14元的排污費(fèi)。問(wèn)：設(shè)工廠每月生產(chǎn)X件產(chǎn)品，每月利潤(rùn)Y元，分別求出依方案1和方案2處理污水時(shí)，Y與X的函數(shù)關(guān)系式：分析：本題涉及到生活中常用的關(guān)系：利潤(rùn)=收入-成本，根據(jù)題目要求，做題者只需尋找與收入和成本有關(guān)的量即可、題目的各個(gè)數(shù)據(jù)也都在這兩條線上。所以把握這兩條線就能有效地把題目中各個(gè)量間的關(guān)系理順，達(dá)到快速解題的目的。類(lèi)似的固定數(shù)量關(guān)系還有很多，例如：路程=速度時(shí)間、工作量=工作效率工作時(shí)間等等。數(shù)學(xué)建議：構(gòu)造性解法的關(guān)鍵是尋找一個(gè)促進(jìn)問(wèn)題解決的輔助模型，使原本隱晦不清的關(guān)系，在新的構(gòu)造中展現(xiàn)出來(lái)，因其更多地是憑借直覺(jué)，領(lǐng)悟問(wèn)題的特征，而常用的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，即是題目中條

7、件的主脈，也是對(duì)解題者思維上的提示。是直覺(jué)思維啟動(dòng)原型。三、把握矛盾關(guān)系，構(gòu)造法則模型對(duì)于有些建模題，在無(wú)章可循的情況下，我們可以根據(jù)題目特點(diǎn)自己設(shè)定一個(gè)法則，然后運(yùn)用該法則去解決問(wèn)題，如何建立法則，主要取決于題目中的矛盾雙方是如何制約，如何聯(lián)系。例：設(shè)一位村民當(dāng)年為加強(qiáng)社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)步伐，某市在農(nóng)村實(shí)行合作醫(yī)療制度，該制度規(guī)定：（1）每位村民年初繳納合作醫(yī)療基金a元；（2）村民個(gè)人當(dāng)年治病花去的醫(yī)療費(fèi)用（以醫(yī)療部門(mén)出示收據(jù)為準(zhǔn)），年底按下列辦法處理：村民個(gè)人當(dāng)年花去的醫(yī)療費(fèi)醫(yī)療費(fèi)用處理辦法不超過(guò)b元的部分全部由合作醫(yī)療部門(mén)承擔(dān)超過(guò)b元不超過(guò)5000元的部分個(gè)人承擔(dān)50%，其余由合作醫(yī)療部

8、門(mén)承擔(dān)超過(guò)5000元部分全部由合作醫(yī)療部門(mén)承擔(dān)設(shè)一位村民當(dāng)年治病花去的醫(yī)療費(fèi)為x元，他個(gè)人實(shí)際承擔(dān)的醫(yī)療費(fèi)用（包括醫(yī)療費(fèi)用中個(gè)人承擔(dān)的部分和繳納的合作醫(yī)療基金）為y元，下表是某村三位村民2005年治病花費(fèi)和個(gè)人實(shí)際承擔(dān)的醫(yī)療費(fèi)用。村民治病花去的醫(yī)療費(fèi)x（元）個(gè)人實(shí)際承擔(dān)的費(fèi)用y（元）甲3060乙4060丙9085（1）當(dāng)bx5000時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）政府給每位加入合作醫(yī)療的村民每年20元補(bǔ)貼，直接撥到合作醫(yī)療部門(mén)，用于彌補(bǔ)經(jīng)費(fèi)之不足，若一位重病村民一年治病花去醫(yī)療費(fèi)不少于6000元，則他一個(gè)人至少要用多少位村民的合作醫(yī)療補(bǔ)貼。分析：此題需要根據(jù)第一個(gè)表格所提供信息得到醫(yī)療費(fèi)處理方案與個(gè)人所藥醫(yī)療費(fèi)用的關(guān)系，再結(jié)合第二個(gè)表格中三位村民的具體情況，制定切合實(shí)際的方案，本題數(shù)據(jù)多、涉及面廣，處理方法隱蔽，需解題者有自主制定法則來(lái)解決問(wèn)題。教學(xué)建議：直覺(jué)思維的一大特點(diǎn)在于其跳躍性和創(chuàng)新性，對(duì)于學(xué)習(xí)中遇到的難題，教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極運(yùn)用直覺(jué)思維去大膽地猜測(cè)、探究，跨躍題目設(shè)置的障礙，以期達(dá)到訓(xùn)練思維的廣度和深度的目的。構(gòu)造法解決建模題，屬于直覺(jué)思維的范疇，其展現(xiàn)的是思維的靈活性，直接性和跳躍性。但知識(shí)的熟練運(yùn)用和思維的創(chuàng)新必需要有經(jīng)驗(yàn)的積累為基礎(chǔ)，所以基本解題模型的構(gòu)造，不僅沒(méi)有限制直覺(jué)思維的發(fā)